福建省厦门市2024-2025学年九年级上学期期中数学复习（二次函数章节重难点近三年组题汇编）

福建省厦门市2024-2025学年度九年级上学期期中数学复习（二次函数章节重难点近三年组题汇编） 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（　　）    A．1 B．0 C． D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线可由抛物线如何平移得到的（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向右平移6个单位，再向上平移7个单位 C．先向左平移3个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如表是二次函数的若干组自变量与函数值的对应值： … … … … 你认为方程的一个根最接近（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．那么飞机着陆后到静止，滑行的距离的值等于该抛物线（　　） A．顶点的横坐标 B．顶点的纵坐标 C．与x轴的右交点的横坐标 D．与y轴交点的纵坐标 5．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数的图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）    A．函数有最小值1，有最大值3 B．函数有最小值，有最大值0 C．函数有最小值，有最大值3 D．函数有最小值，无最大值 6．（23-24九年级上·福建厦门·期中）将二次函数的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的新函数的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7．（22-23九年级上·福建厦门·期中）设是抛物线上的三点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线的对称轴在轴的右侧，当时，的值随着值的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知关于x的二次函数的（b，c为常数）的一些对应值如下表： x q 0 q 则p、q之间的关系是（    ）． A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·福建厦门·期中）二次函数，若，自变量x的取值范围是，以下四个结论正确的有（）个 ①； ②； ③； ④和在该二次函数的图象上，则当实数时，． A．1 B．2 C．3 D．4 12．（22-23九年级上·福建厦门·期中）将抛物线平移，若有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”，现将抛物线：向右平移（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 13．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线，过点作y轴的垂线，若该抛物线与直线没有交点，则a的取值范围是 ． 14．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则该二次函数的开口方向，一元二次方程的一个近似解的范围 ．（两相邻整数之间） … … … … 15．（22-23九年级上·福建厦门·期中）抛物线经过点，，以及点D，若点D的横坐标为，则点D的纵坐标是 （用n的式子含表示）． 16．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最小值为，则c的值为 ． 17．（22-23九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数的图像经过两点．若该二次函数的最大值为，当时，，则的取值的范围为 ． 18．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线，该抛物线过点，且过顶点，当，则m的取值范围是 ． 19．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图：已知二次函数过，对称轴为直线．并且二次函数与x轴的一个交点位于0和1之间．①；②；③的最大值为3；④对于任意实数t，一定有．上述结论正确的是 （填序号）． 20．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知：抛物线与直线有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为、，若，则的取值范围是 ． 21．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的有 .    22．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②当时，的取值范围是；③；④方程的两个根是，；⑤当时，随增大而增大；其中结论正确的有 ． 三、解答题 23．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的顶点坐标和对称轴； (2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______． 24．（23-24九年级上·福建厦门·期中）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，物价部门规定每箱售价不低于，且不得高于元，市场调查发现：若每箱以元的价格出售，平均每天销售箱，价格每提高元，平均每天少销售箱． (1)直接写出平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式；当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 25．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点的坐标为和原点，将线段绕原点顺时针旋转， (1)求抛物线解析式，判断点是否在抛物线上； (2)连接，作点关于的对称点，求四边形的面积； (3)点是轴上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，将的面积记为，若，直接写出的取值范围． 26．（23-24九年级上·福建厦门·期中）点，在抛物线上，其中，，且抛物线的顶点在 轴上 (1)若， ①求该抛物线的解析式； ②  是该抛物线上的动点，连接交 轴于点，点 的坐标为，求面积的取值范围； (2)点 在第四象限，直线 交轴于点，且 ， 连接，点 在线段上 ，，.将抛物线 平移，若平移后抛物线的顶点仍在原抛物线上，判断平移后的抛物线是否经过点并说明理由 27．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且，当的面积是3时，求出点P的坐标； (3)抛物线的顶点为Q，直线与抛物线交于点E，F，M是线段的中点，当时，求四边形面积的最小值． 28．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与一次函数（为常数）交于，两点，其中点坐标为．    (1)求点坐标； (2)点为直线上方抛物线上一点，连接、，当时，求点的坐标； (3)将抛物线（为常数）沿射线平移个单位，平移后的抛物线与原拋物线相交于点，点为抛物线的顶点，点为轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点、、、为顶点且为对角线的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（22-23九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)直接写出，，三点的坐标； (2)如图1，连接，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作于点，轴交直线于点，求面积的最大值； (3)如图2，点在线段上（点不与点重合），点、关于原点对称，射线、分别与抛物线交于、两点，连接、，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 30．（23-24九年级上·福建厦门·期中）矩形中，把点D沿对折，使点D落在上的F点，已知，． (1)求点的坐标； (2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点且直线是该抛物线的切线，求抛物线的解析式； (3)直线与（2）中的抛物线交于两点，点的坐标为．求证： 为定值（参考公式：在平面直角坐标系中，，，则M，N两点之间的距离为） 参考答案： 1．A 【分析】本题主要考查根据函数图象确定二次函数字母系数的取值范围，根据二次函数的图象确定c的取值范围即可得． 【详解】解：根据二次函数图象可得：抛物线与y轴的正半轴相交， ∴， ∴只有A符合题意， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律求则可． 【详解】解：∵， ∴将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线， 故选：． 3．C 【分析】此题考查了图表法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．观察表格可得当时更接近于，所以得到方程的一个近似根是． 【详解】解：观察表格得：当时，，当时，， 方程的一个根最接近， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查二次函数的性质及应用，根据实际意义和抛物线图象上点的坐标意义回答即可．理解题意，明确图象上点的坐标意义是解题的关键． 【详解】解：函数解析式是表示经过 时滑行的距离，对应的抛物线上点， 飞机着陆后到静止，滑行的距离是的最大值，即顶点的纵坐标． 故选：． 5．C 【分析】本题考查二次函数的图象和最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键．由图象可直接得出当时，函数有最小值；当时，函数有最大值3，即可解答． 【详解】解：由图象可知该函数在所给自变量取值范围内，当时，函数有最小值；当时，函数有最大值3． 故选C． 6．C 【分析】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键；所以由题意易得平移后的二次函数表达式为，然后问题可求解． 【详解】解：由题意知：平移后的二次函数表达式为， ∴新函数的对称轴为直线； 故选：C． 7．D 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线， 而离直线的距离最远，点离直线最近， ． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 8．D 【分析】先得出抛物线对称轴为直线，根据抛物线的对称轴在轴的右侧，可得，根据当时，的值随着值的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， 解得：， 又∵，抛物线开口向下， 当时，的值随着值的增大而减小， 则， 解得：， 综上所述，， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据抛物线解析式可确定对称轴为，根据点与对称轴的距离的大小以及函数值的大小关系即可判断的符号，即开口方向． 【详解】解：∵的对称轴为，且 ∴若， 则离对称轴远，则抛物线的开口朝下，即，故B不正确 若， 则离对称轴远，则抛物线的开口朝上，即，故D正确 对于A，C选项不能判断的符号 故选D． 10．D 【分析】根据对称轴及顶点坐标确定抛物线与x轴只有一个交点，得到，从而得到，再根据两个已知点的纵坐标相同确定这两个点是对称点，利用对称轴关系得到，最后把代入即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，当时，， ∴顶点在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点， ∴，即， ∴， 又∵点与点关于对称轴直线对称， 则，整理得， 把代入， 得， 整理得， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的图象和性质． 11．D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，理解是“若，自变量x的取值范围是”解题的关键． 根据若，自变量x的取值范围是判断出的正负，即可判断①②③；根据点到对称轴的距离即可判断④． 【详解】解：由题可知，若，自变量x的取值范围是， 故当时，，即，故①正确； 由题可知，抛物线开口向下，所以， 又因为抛物线的对称轴为，所以，故②正确； 由题可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以，故③正确； 故当时，随的增大而减小， 因为，所以，且和在该二次函数的图象上，故，故④正确， 故选：D． 12．A 【分析】根据平移方式“左加右减”可得出抛物线的解析式，再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点代入两个解析式求值即可． 【详解】解：依题意得抛物线为： ， 为“平衡点”， 既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上， 解得或， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图像的平移和二次函数图像上点的坐标特征，理解“平衡点”的定义，掌握二次函数图像的平移的规律是解题关键． 13． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线与直线没有交点，得到抛物线的开口向下，函数的最大值小于3，或物线开口向上，且最小值大于3，两种情况，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】解：∵的图象与与直线没有交点， ∴抛物线的开口向下，且最大值小于3，或抛物线开口向上，且最小值大于3 ∴或 当时，此不等式组无解； 当时，解得：； 故答案为： 14．或 【分析】本题考查图像法求一元二次方程的解，解题的关键是理解函数和方程的关系．据此解答即可． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴根据函数的连续性，在之间，存在一个数，使， 根据抛物线的对称性，在之间，也存在一个数，使， ∴一元二次方程的一个近似解的范围是或． 故答案为：或． 15． 【分析】本题考查抛物线的对称性，求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和点的坐标特征，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为， 又∵， ∴点和点D关于对称轴对称， ∴点D的纵坐标是， 故答案为：． 16． 【分析】将代入中得，则，由题意知，求得值，进而可得直线解析式，然后将代入求解可得值． 【详解】解：将代入中得， ∴， ∵的最小值为， ∴， 解得， ∴直线， 将代入，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式等知识．解题的关键在于求出． 17．/ 【分析】先根据已知推导出：，当时，，即可求出，然后再根据抛物线开口向下，最大值为，得判别式，由此得，综合即可得解． 【详解】解：将代入抛物线表达式得：， 整理得， 并整理得：； ， 把代入并解得：， 故， 当时，， ， 故， 又，该二次函数的最大值为， 方程无实数根， ， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得与判别式是解答此题的关键． 18． 【分析】根据抛物线顶点，可知，该二次函数开口向上，分、、、进行讨论即可解答； 【详解】解：抛物线顶点，， ∴抛物线开口向上， 当时，则，∴． 当时，则，∴或． 当时，则，∴． 综上，m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的增减性的应用，正确理解题意，明确A、B两点的位置是解题的关键． 19．①④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质以及数形结合思想是解题的关键． 由函数图像可得：当时，，可判定①；由对称轴为直线可得，再根据二次函数过，可得，从而得到当时，，进而得到，即可判定②；再由，可得，然后根据，可判定③；根据当时，二次函数的函数值最大，可得即可判定④． 【详解】解：由函数图像可得：当时，，即，故①正确； ∵对称轴为直线 ∴，即， ∵二次函数过， ∴， ∴，即， ∴二次函数的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，即，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 根据题意得：当时，二次函数的函数值最大， ∴， ∴，即对于任意实数t，一定有，故④正确． 故答案为：①④． 20．// 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式、二次函数的性质．根据抛物线与直线有两个不同的交点，则方程中的，解出可得的取值；由根与系数的关系得：，，把变形后，得，即可得出答案，运用了恒等变换的思想．掌握一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：令， ∴， ∵抛物线与直线有两个不同的交点， ∴， ∴， ∵两个交点的横坐标是分别为、， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 21．②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征．根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；根据对称轴，，可得，，点，点，当时，即可判断；根据对称轴，以及得与的关系，即可判断；根据函数的最小值是当时，，即可判断． 【详解】解：观察图象可知：，，， ，故错误； 对称轴为直线，， 可得，， 点，点， 当时，，即， ，故正确； 抛物线的对称轴为直线，即， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 当时，函数有最小值， 由，可得， 若为任意实数，则，故正确； 故答案为：②③④． 22．③⑤/⑤③ 【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，则可对④进行判断；由对称轴方程得到，结合图象当时，，则可对①进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对②进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【详解】解：∵函数图象与x轴有2个交点， 则，即； 故③正确； ∵函数的对称轴是直线，则与x轴的另一个交点是， ∴方程的两个根是，， 故④错误； 函数的对称轴是直线， ∴， 由图象可知：当时，， ∴， 故①错误； 函数与x轴的交点是和， 则当时，x的取值范围是， 故②错误； 当时，随增大而增大， 故⑤正确． 综上，正确的有③⑤． 故答案为：③⑤． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数α决定抛物线的开口方向和大小；常数项c决定抛物线与y轴交点位置；抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 23．(1)图象的顶点坐标为，对称轴为直线 (2)图象见解析， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）解析式化成顶点式，即可得到结论； （2）画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴，y轴的交点，再根据图象求当时，y的取值范围． 【详解】（1）解：， 二次函数的图象的，对称轴为直线； （2）解：二次函数图象如下图： 当时，则y的取值范围是， 故答案为：． 24．(1) (2)，当每箱苹果的销售价为时，可心获得元的最大利润． 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． （1）由题意可列出函数关系式； （2）列出平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【详解】（1）解：由题意得：，化简得： ． （2）解：由题意得： ； ， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值， 又∵，随的增大面增大， ∴当，有最大值，最大值为， ∴当每箱苹果的销售价为时，可心获得元的最大利润． 25．(1)，点在抛物线上，理由见解答过程； (2)； (3)或或． 【分析】（）过点作轴于点，将线段绕原点顺时针旋转，则，则，，即可求解； （）四边形为菱形，四边形的面积； （）先求出直线的表达式为，的面积，根据即可求解． 【详解】（1）点在抛物线上，理由如下：过点作轴于点，将线段绕原点顺时针旋转，则， ∵， ∴ 则，，故点； ∵抛物线过原点， ∴， 将点的坐标代入抛物线表达式并解得：， 故抛物线的表达式为：， 当时，， ∴点在抛物线上； （2）如图，作点关于的对称点， 则四边形为菱形， 四边形的面积； （3）设直线的表达式为， 将点、的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则，， ∴的面积， ∵， ∴， 解得：或或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合运用，涉及一次函数的性质、菱形的性质、解不等式、面积的计算等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质，注意分类求解，避免遗漏． 26．(1)①，② (2)平移后的抛物线不经过点K，理由见解析 【分析】（1）①根据顶点在y轴上可知的值为，在将点的坐标代入表达式求出的值即可，②求出的函数表达式，再求出点的坐标，最后根据三角形的面积公式进行进行求解即可； （2）过点作轴，垂足为点；过点作，垂足为；过点作，垂足为，先求出点和点的坐标，再通过证明即可得出点的坐标，从而求出点的坐标，将点的坐标代入平移后的函数表达式即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵该抛物线顶点在轴上， ∴， 当时，点， 将点，代入得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：． ②把点代入得：，解得：， ∵， ∴， ∴， ∵，且点P在抛物线上， ∴，故， 设所在直线的函数表达式为：， 将点，代入得： ，解得：， ∴当时，，即， ∵， ∴， ∴点在点下方， 令以为底的高为， ∵， ∴， ， ∴当时，有最大值， ∵， ∴当时，， 综上：面积的取值范围：．    （2）过点作轴，垂足为点；过点作，垂足为；过点作，垂足为，    ∵点，， ∴点， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵该抛物线顶点在轴上， ∴， ∴， 将点，代入得： ，解得：， ∵，， ∵， ∵， ∴， ∴，， 将点，代入得： ，即：， ∴该抛物线的表达式为：， ∵平移后抛物线的顶点仍在原抛物线上， ∴设平移后的函数表达式为：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴轴， ∵， ∴， 将点代入得：， 整理得：， 此时：，故该方程无实数根， ∴平移后的抛物线是不经过点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，会用待定系数法求函数的表达式，掌握全等三角形的判定和性质以及函数的平移变化是解题的关键． 27．(1) (2)或 (3)时，有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键. （1）依据题意，把点代入求出后即可求得解析式； （2）依据题意，先求出点C和点D的坐标，然后连接，设点P的坐标为， 根据列方程求出m值即可解题； （3）依据题意可得点的坐标是，又把与 联立方程组，得 可得, 连接, 有再结合二次函数的性质即可判断得解. 【详解】（1）由题意, 把点. 代入 得 ， ， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∵x轴正半轴上有一点D，且， ∴点D的坐标为， 连接， 设点P的坐标为， 则， 解得：，， ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点的坐标是, ∴. 又∵ ∴点的坐标是. 把与联立方程组，得 ， 如图, 连接. , 当时，有最小值，最小值为 28．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法，将分别代入抛物线和一次函数解析式，求得、的的值，再联立抛物线和一次函数求解，即可得出点坐标； （2）过点作轴交与点，设，则，进而得到，再利用，求得，即可得到点的坐标； （3）先求出直线与轴交于点，再利用等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，可得沿射线平移个单位，即为向右平移5个单位，向下平移5个单位，进入得出平移后的抛物线的解析式，得到顶点，联立两条抛物线，得出，然后根据菱形的性质，得到、互相平分，，设点，，利用坐标中点公式，得出，由坐标两点距离公式得到和的长，进而求出，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过， ，解得：， ， 一次函数经过， ，解得；， ， 联立，解得：或（舍）， ； （2）解：如图，过点作轴交与点， 设，则， ， ， ， ， ， ；    （3）解：存在， 如图，直线与轴交于点， 令，则， ， ， ， ， ， ， 抛物线沿射线平移个单位，即为向右平移5个单位，向下平移5个单位， ∵， 平移后的解析式为， 点为抛物线的顶点， ， 联立，解得：， ， 当为对角线，且四边形是菱形时，、互相平分，， 令对角线、相交于点， ，， ， 设点，， ， 即， ，， ， ， ，， ， 解得：， ， ．    【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积，菱形的性质，坐标中点公式以及距离公式，二次函数的平移等知识，综合性较强，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 29．(1)， (2) (3) 【分析】（1）将和代入函数表达式求解即可； （2）先证明为等腰直角三角形，则当最大时，最大，求出直线的解析式，设点E的坐标为，则点G的坐标为， ∴，求出的最大值即可； （3）设点N的坐标为，则点M的坐标为，先求出，所在直线的函数表达式，再求出点P，Q坐标，最后将表示出来即可进行解答． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴点， 当时，， ∴点； （2）解：∵点，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为，则点G的坐标为， ∴， ∴的最大值为， ∴最大值为； （3）解：设点N的坐标为，则点M的坐标为， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的纵坐标为， 同理点Q的纵坐标为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次的图像和性质，能够用待定系数法求解函数表达式，会求二次函数与一次函数的交点． 30．(1)； (2)； (3)见解析； 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．解题时， 要学生掌握数形结合的数学思想方法． （1）根据折叠的性质得到所以在直角中，利用勾股定理来求的长度， 然后由点在轴上易求点的坐标； （2）已知抛物线与轴的两个交点坐标，所以可以设抛物线的交点式方程即，根据抛物线的切线的定义知，直线 与该抛物线有一个交点，则联立两个函数解析式，得到关于的一元二次方程则该方程的根的判别式； （3）设 假设 根据抛物线与直线的交点坐标的求法得到： 根据根与系数的关系求得 利用两点间的距离公式推知， 易求 为定值． 【详解】（1）解：由折叠的性质得到：则 又 ∴． （2）解：依题意可设过点的抛物线解析式为 即， 依题意知，抛物线与直线相切， 有两个相等的实数根， 解得 ∴抛物线的解析式为． （3）证明： 设 假设 依题意得 得 ， 即 为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$