2024—2025学年沪科版数学八年级上册期中复习讲义

期中复习拔高 期中复习拔高 1 第11章 平面直角坐标系 1 类型一、坐标规律 1 【题型1】回字规律 1 【题型2】新定义规律探究 2 【题型3】图形变化规律探索 2 类型二、新定义 3 第12章　一次函数 5 【题型1】一次函数过定点问题 5 【题型2】一次函数交点问题 5 【题型3】一次函数几何综合 5 【题型4】动点问题中函数关系 7 【题型5】行程问题 8 【题型6】方案优化问题 10 【题型7】利润问题 10 【题型8】整点问题 12 【题型9】新定义规律 12 【题型10】含绝对值的函数关系问题 12 第13章　三角形三边关系、命题与证明(共7个知识点，23个题型) 13 【题型1】角平分线+高线 13 【题型2】“A”字形 13 【题型3】“8”字形 15 【题型4】双垂直模型 15 【题型5】“镖”形 16 【题型6】“筝”形 17 【题型7】双内角平分线模型 18 【题型8】内外角平分线模型 19 【题型9】双外角角平分线模型 19 【题型10】新定义问题 20 课后巩固 20 期中复习拔高 第11章 平面直角坐标系 类型一、坐标规律 【题型1】回字规律 1．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点(1，0)；第二分钟，它从点(1，0)运动到点(1，1)，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2023分钟时，这个粒子所在位置的坐标是(　D　) A．(44，4) B．(44，3) C．(44，5) D．(44，1) 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2．(2023秋•五十中东期中)如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：(1，0)→(2，0)→(2，1)→(1，1)→(1，2)→(2，2)→…根据这个规律，第2022个点的坐标为(　C　) A．(45，1) B．(45，2) C．(45，3) D．(45，4) 3．如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为(　A　) A．， B．， C．， D．， 4．如图，一个实心点从原点出发，沿下列路径每次运动一个点，则运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为(　C　) A．45 B．946 C．990 D．103 【题型2】新定义规律探究 5．(2023秋•包河区期中)在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(，)，规定以下两种变化： ①(，)=(，)，②(，)=(，)．按照该规定：((，2))=(　A　) A．(1，) B．(3，1) C．(2，) D．(3，) 6．(2024春•庐江县期中)在平面直角坐标系中，对于点,)，我们把(，)叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为(3，2)，则A_3的友好点的坐标是 __(，4)__，的友好点的坐标是 __(3，2)__． 【题型3】图形变化规律探索 7．在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位，得到△A1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，1)，(3，1)．把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则边BC中点的对应点的坐标是(　C　) A．(11，1) B．(，1) C．(11，) D．(，) 第1题图 第2题图 8．如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成△，第二次将△变换成△，第三次将变换成△；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△变换成△，则的坐标为____________，的坐标为_____________． (2)按以上规律将进行次变换得到△，则的坐标为____________，的坐标为_____________； (3)△的面积为______________． 【答案】(1)，(2)，，，；(3) 【详解】(1)解：、、．的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：．又、、．的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：．故答案为：，． (2)由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：，． 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：，；故答案为：，，，； (3)的坐标为：，，的坐标为：，，△的面积为． 类型二、新定义 1．(2023秋•五十中西期中)定义：在平面直角坐标系中，若两点(，)、(，)，所连线段的中点是，则的坐标为 (，)，例如：点(1，2)、点(3，)，则线段的中点的坐标为(，)，即(2，)． 请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点(，)，(，)，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是2，则的值等于__2或6__． 2．(2023秋•四十五中本部期中)定义：在平面直角坐标系中，已知点(，)，(，)，(，)，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：点(，2)，(1，2)，(1，3)的“最佳间距”是1． (1)点(2，1)，(5，1)，(5，5)的“最佳间距”是__3__； (2)当点(0，0)，(，0)，(，)的“最佳间距”为时，点P的横坐标为__或或． 3．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的，两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为(，1)，在点(0，3)，(3，)，(2，)中，为点的“等距点”的是__、__； (2)若(，)，(4，)两点为“等距点”，求的值． 【解答】解：(1)∵(，1)到、轴的距离中最大值为3，∴与点是“等距点”的点是、．故答案为：、； (2)(，)，(4，)两点为“等距点”， ①时，则或，．解得(舍去)或． ②若时，则，解得：或(舍去)． 根据“等距点”的定义知，或符合题意．即的值是1或2． 第12章　一次函数 【题型1】一次函数过定点问题 1．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)直线恒过一定点，则该点的坐标是__(2，3)__．平面直角坐标系中有三点(，0)，(2，3)，(5，0)，若该直线将△分成左右面积之比为1：2的两部分，则的值是__3或__． 【题型2】一次函数交点问题 2．(2023秋•四十二中期中)已知直线与轴的交点在(1，0)，(4，0)之间(包括，两点)，则的取值范围(　D　) A． B． C． D． 3．(2023秋•五十中西期中)如图，在平面直角坐标系中，(，2)，(3，5)，直线与线段有公共点． (1)直线一定经过的定点是__(1，1)__； (2)的取值范围是__或__． 【题型3】一次函数几何综合 4．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)如图，直线与坐标轴交于点、两点，直线与直线相交于点(，)，交轴于点，且△的面积为． (1)则点的坐标为__(3，0)__；____； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴交直线于点，若，求点的坐标． 【解答】解：(1)当时，，当时，，解得：， ∴点的坐标为(3，0)．故答案为：(3，0)；； (2)过点作轴，垂足为，如图：由(1)得：， ∴，即，∴，∴，∴点的坐标为(，0)． 设直线的解析式为， 将点(，)、(，0)代入得：，解得：，∴直线的解析式为； (3)如图：设点的坐标为(，)， ∵轴交直线于点，，∴点的坐标为(，)， 代入直线的解析式为得，，解得，∴点的坐标为(1，2)． 5．(2023秋•包河区期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点(，6)，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求、的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点在轴上，且满足，求点D的坐标． 【解答】解：(1)当时，，∴点坐标为(1，3)． 直线经过(，6)和(1，3)，则，解得：，∴一次函数的解析式为； (2)方程组的解是； (3)当时，即，∴，设点坐标为(0，)，∴. ∵，∴，解得：，∴点的坐标为(0，12)或(0，)． 6．(2023秋•五十中西期中)如图，已知直线：与直线：交于点(，)，直线在轴上的截距为． (1)求，的值； (2)过直线上一点(，3)作轴的垂线交直线于点C，交直线于点． ①当时，求点的坐标； ②当时，请通过计算比较与的大小． 【解答】解：(1)∵直线：在轴上的截距为． ∴，将点(，)代入，即，解得：，∴ (2)①依题意，(，)，(，)，∵，∴或， 解得：或，∴(，3)或(，3)， ②依题意，(，)，(，)，∵，∴，， 设与交于点，则，解得：，∴(2，3)， 当时，， 当时，解得：(不合题意)， 当时，解得：，则时； 当时，，， 当时，即时，， 当时，即时，， 当时，即时，， 综上所述：时；时，；时，． 【题型4】动点问题中函数关系 7．(2023秋•四十八中期中)如图，已知在△中，，点沿自向运动，作于，于，则的值与的长之间的函数图象大致是(　D　) A． B． C． D． 第5题图 第6题图 第7题图 8．(2023秋•五十中西期中)如图，点，分别是轴和轴上的动点，且，取的中点，则在坐标平面内所有满足条件的点围成的封闭图形的面积为(　A　) A．32 B．28 C．16 D．8 9．(2023秋•四十二中期中)如图，点、的坐标分别为(2，0)，(0，1)，点是第一象限内直线y上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积(　D　) A．逐渐增大 B．逐渐减少 C．先减少后增大 D．不变 10．(2023秋•四十五中本部期中)如图①，四边形中，，∠．动点从出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到停止．设运动时间为，△的面积为，关于的函数图象如图②所示． (1)结合图①和图②可知，__15__，__10__； (2)①当点在线段上运动时，请写出与的关系式(并写明自变量的取值范围)； ②当时，等于多少？ (3)如图③，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点停止，同时，动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点停止．设运动时间为，当点运动到边上时，连接、、，当△的面积为7.5时，直接写出的值． 【解答】解：(1)由函数图象可知，点从出发，从点到耗时16秒，即， 此时，解得：，∴，．故答案为：15，10； (2)①当点在线段上运动时，， 设一次函数的解析式为， 则有，解得，∴()； ②当点在上，时，，解得，∴当时，； (3)由题意得，当运动到停止的时间为5，而点运动到的时间为， 当点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形， 设运动的时间为，则，，而， 当点在上方时，则， 的面积，解得：； 当点在点下方时，， △的面积，解得：； 当点在上时，点运动到时，，解得； 综上，或或． 【题型5】行程问题 11．(2023秋•四十五中本部期中)如图，，分别表示甲、乙两人在越野登山比赛整个过程中，所走的路程(m)与甲出发时间(min)的函数图象，下列说法正确的有(　B　) ①越野登山比赛的全程为1000m；②乙的速度为20m/min； ③的值为750；④乙到达终点时，甲离终点还有100m A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．(2023秋•五十中东期中)、两地相距630千米客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶货车两小时可到达途中站，客车需9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、(千米)，它们与行驶时间(小时)之间的函数关系如图．下列说法：①客、货两车的速度分别为60千米/小时，45千米/小时；②、两站间的距离是540千米；③点横坐标为12；④点坐标为(6，180)，其中正确的说法是__①②④__(填序号)． 13．(2023秋•四十五中橡树湾期中)如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)，两车之间的距离为(km)，图中的折线表示与之间的函数关系．下列说法中正确的是(　C　) A．B点表示此时快车到达乙地 B．段表示慢车先加速后减速最后到达甲地 C．快车的速度为km/h D．慢车的速度为125km/h 14．(2023秋•瑶海区三十八中期中)甲、乙两人从地前往地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发30s后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离地的距离分别为(单位：m)、(单位：m)，都是甲出发时间(单位：s)的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为m/s，乙的速度为m/s. (1)__5:6__，__75__； (2)求与之间的函数表达式； (3)在图②中画出甲、乙两人之间的距离(单位：m)与甲出发时间(单位：s)之间的函数图象． 【解答】解：(1)由图可得，，解得， 乙的速度为：(m/s)， ∴甲的速度为：(m/s)，∴，故答案为：5：6，75； (2)设与之间的函数表达式是， ∵点(30，0)和点(430，1200)在该函数图象上，∴，解得， 即与之间的函数表达式是； (3)由题意可得， 当时，此时； 当时，， 当时，， 当时，， 由图①和题意可知：当时，随的增大而增大，符合正比例函数； 当时，随的增大而减小，符合一次函数； 当时，随的增大而增大，符合一次函数； 当时，随的增大而减小，符合一次函数； 图象如图所示． 【题型6】方案优化问题 15．(2023秋•五十中东期中)某校积极筹备“爱成都•迎大运”体育节活动决定购买一批篮球和足球共60个．已知在线下商店购买50个篮球和10个足球共需4600元，购买30个篮球和30个足球共需4200元． (1)分别求在线下商店购买篮球和足球的单价； (2)经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店篮球的单价和线下商店一样，但线上商店足球有优惠活动，足球的单价是线下的八折．若学校要求购买篮球的个数不得少于足球的个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的篮球和足球才能使得所花费用最少？并求出该费用的最小值？ 【解答】解：(1)设在线下商店购买篮球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得：，解得：． 答：在线下商店购买篮球的单价为80元，足球的单价为60元． (2)设学校在线上商店购买个篮球，则购买个足球， 依题意得：，解得：． 设学校在线上商店购买这些篮球和足球共花费元，则． ∵，∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值(元)． 答：学校在线上商店购买40个篮球，20个足球时，所花费用最少，最少费用为4160元． 【题型7】利润问题 16．(2023秋•四十五中橡树湾期中)某农场种植某种农作物，欲购买化肥施肥，相关数据如表： 化肥种类 化肥单价元/kg 所需化肥数量kg/亩 每亩地增产kg 甲 5.2 40 150 乙 2.5 40 120 设该种农作物每千克单价(元)，已知，施肥前每亩产量为300kg. (1)若施甲种化肥每亩利润为(元)，施乙种化肥每亩利润为(元)，求出、与之间的函数表达式． (2)选用哪种化肥合算？ (3)为提高产品竞争力，甲化肥厂商决定每千克化肥让利元，要使施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥，则的最小值为__0.45__． 【解答】解：(1)根据题意得： ，， ∴与之间的函数表达式为，与之间的函数表达式为； (2)①当时，即，解得； ②当时，即，解得； ③当时，即，解得； 综上所述，当时，选择乙化肥更合适；当时，选择甲、乙化肥一样合适；当时，选择甲化肥更合适； (3)根据题意得：，整理得：， ∵，，∴当时，取最小值0.45．故答案为：0.45． 17．(2023秋•四十二中期中)某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ (3)在(2)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠()元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值． 【解答】解：(1)由题意得：， ∴与之间的函数关系式为； (2)由题意得：，解得， ∵中，，∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值(元)．∴最大利润为4500元； (3)∵，∴， 由题意得： ． ∵，，∴当时，，∴随的增大而增大， ∴当时，最大， 解得，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，随的增大而减小． ∴当时，最大，解得，不合题意，舍去． 综上，． 18．(2023秋•包河区期中)已知甲种水果单价为30元/千克，若一次性购买甲种水果超过40千克，超过部分的价格打八折．某经销商购买甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)直接写出图象中的值，并求与之间的函数表达式； (2)若乙种水果单价为25元/千克，该经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲、乙两种水果的购买量，才能使经销商付款总金额(元)最少？最少付款金额是多少？ 【解答】解：(1)根据题意，． 当时，， 当时，设.将坐标(40，1200)和(80，2160)代入， 得，解得，∴y=24x+240． 综上，． (2)设购进甲种水果()千克，则购进乙种水果()千克． ①当时，， ∵随的减小而减小，∴当时，取最小值，此时，． ②当时，， ∵随的增大而减小，∴当时，取最小值，此时，． 综上，， ∴购进甲、乙两种水果分别为30千克、50千克，才能使经销商付款总金额最少，最少付款金额是2150元． 【题型8】整点问题 19．(2023秋•四十五中橡树湾期中)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点．已知一次函数，． (1)若，则、的图象与轴围成的区域内(包括边界)有__4__个整点； (2)若、的图象与轴围成的区域内恰有6个整点，则的取值范围是__或__． 【题型9】新定义规律 20．(2023秋•瑶海区三十八中期中)我们有时会将关于的函数表示为，其中f(1)就表示当时的函数值，即．则 (1)____； (2)____.(结果用含的代数式表示，其中为正整数) 【题型10】含绝对值的函数关系问题 21．(2023秋•包河区期中)若关于自变量的函数的函数值始终大于的函数值，则的取值范围为____． 【解答】解：∵， ∴函数的函数值最小为，此时； ∴当时，函数的函数值始终大于的函数值， ①若，则，解得；②若，则， 解得； 综上所述，当时，自变量的函数的函数值始终大于的函数值． 故答案为：． 第13章　三角形三边关系、命题与证明 【题型1】角平分线+高线 1．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)如图，△中，平分∠，，垂足为．∠，∠．求∠的度数． 【解答】解：∵，∴，∴，∴， ∵平分∠，∴，∴． 2．(2023秋•五十中西期中)已知△中，∠，为边上的高，平分，分别交、于点、，求证：∠． 【解答】证明：∵∠，∴， ∵，∴， 又∵平分，∴，∴， ∵，∴，即． 【题型2】“A”字形 3．(2023春•广陵区校级期末)如图，在△中，∠，若沿图中的虚线截去∠，则∠(　　) A．360° B．250° C．180° D．140° 4．(2022秋•即墨区期末)三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°如何证明这个定理呢？我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． 【定理证明】 已知：△如图①，求证：． 【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠，点是延长线上一点，由平角的定义可得∠，所以∠____________，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点、分别是△的边、延长线上一点． (1)若∠，，则∠___ ___． (2)若∠，则∠______． 【拓展延伸】如图④，点、分别是四边形的边、延长线上一点． (1)若∠，∠，则∠______． (2)分别作∠和∠的平分线、，如图⑤，若，则和∠的关系为 ____________． (3)分别作∠和∠的平分线，交于点，如图⑥，求出，和∠的数量关系，并说明理由． 【解答】【定理证明】 证明：如图，过点作， ∵，∴∠，∠， ∵∠，∴∠． 【定理推论】 ∵∠，∠，∴∠．故答案为：． 【初步运用】(1)∵∠，，∠， ∴∠；故答案为：70°； (2)∵∠，，∴∠， ∵∠，， ∴∠．故答案为：260°． 【拓展延伸】(1)如图，连接， ∵，∠，∴∠， ∵∠，， ∴∠．故答案为：230°． (2)如图，过点作，则， 由(1)知，∠，∴， ∵，∴，∠，∴∠， ∵、分别是∠和∠，∴， ∴，∴∠．故答案为：． (3)，理由如下：由(1)知，∠， ∴， ∵、分别为∠和∠的角平分线，∴∠， ∴∠，∵∠， ∴，∴，即． 【题型3】“8”字形 5．(2020秋•自贡期末)如图是由线段，，，，组成的平面图形，∠，则∠的度数为(　C　) A．62° B．152° C．208° D．236° 6．(2023秋•瑶海区期中)“8字”的性质及应用： (1)如图1，，相交于点，得到一个“8字”，试说明的理由； (2)如图2，以图中给的字母为顶点的“8字”有多少个； (3)如图2，∠和∠的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由． 【解答】解：(1)∵∠，∠，又∠， ∴∠； (2)图2中有：、、共计3个“8字”； (3)∵平分∠，平分∠，∴∠，， ∵，∠，∴． 【题型4】双垂直模型 7．(2023秋•四十五中本部期中)如图，在Rt△中，∠，是上一点，且∠． (1)求证：； 证明：在Rt△中， ∵∠(已知)， ∴∠(__直角三角形两锐角互余__)． 又∵∠(已知)， ∴∠(__等量代换__)． 在△中，∠(三角形内角和定理)， ∴∠(等式的性质)， ∴(垂直的定义)． (2)如图②，若∠的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图③，若为上一点，交于点，，，，连接，求△的面积． 【解答】(1)证明：在Rt△中，∵∠(已知)，∴∠(直角三角形两锐角互余)． 又∵∠(已知)，∴∠(等量代换)． 在△中，∠(三角形内角和定理)， ∴∠(等式的性质)，∴(垂直的定义)．故答案为：直角三角形两锐角互余；等量代换； (2)证明：∵平分∠，∴∠， ∵∠，∠，∴∠； (3)解：设，则，∵，∴， ∵，∴，∴，解得，，∴． 【题型5】“镖”形 8．(2022秋•合肥月考)某零件的形状如图所示，按照要求∠，∠，∠，那么∠的度数是(　B　) A．50° B．60° C．70° D．80° 第8题图 第9题图 第10题图 9．(2024春•管城区校级期末)如图，将△沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若∠，则∠的度数为(　A　) A．38 B．39 C．40 D．41 10．(2022秋•蔡甸区校级期中)在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中∠，∠，∠，∠，∠，则∠的度数为(　C　) A．35° B．45° C．30° D．24° 11．(2023秋•四十五中橡树湾期中)问题情景：如图1，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点与点在直线的同侧，若点在△内部，试问∠，∠与∠的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若∠，则∠∠__125__度，∠∠__90__度，∠∠__35__度； (2)类比探索：请猜想∠∠与∠的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点的位置，使点在△外，其它条件都不变，判断(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠，∠与∠满足的数量关系式． 【解答】解：(1)由题意：∠∠度，∠∠度，∠∠度．故答案为125，90，35． (2)猜想：∠．理由：在△中，∠， ∵∠，∠， ∴， ∴， 又∵在Rt△中，∠，∴∠，∴(∠)， ∴∠． (3)判断：(2)中的结论不成立． ①如图3-1中，结论：∠． 理由：设交于．∵∠，∴∠，∴∠． ②如图3-2中，结论：∠．证明方法类似① ③如图3-3中，结论：∠． 理由：∵∠，∠， ∴∠，∴∠． 12．(2023秋•五十中东期中)如图①所示为五角星图案，图②、图③叫做蜕变的五角星，试回答以下问题： (1)在图①中，__180°__； (2)对于图②或图③，还能得到同样的结论吗？若能，请在图②或图③中任选其一证明你的发现；若不能，试说明理由． 【解答】解：(1)如图①，设、与的交点为、； △和△中，由三角形的外角性质知：∠∠，∠； △中，∠，所以，故答案为：． (2)结论仍然成立，以图③为例；延长交于，设与的交点为； 同(1)可知：∠，∠； 在△中，∠，∴∠． 【题型6】“筝”形 13．如图，在△中，∠，是上一点，是上一点，连接，将的一角沿折叠，使点落在△外的点处，若∠，则∠2的度数为(　D　) A．20° B．22° C．30° D．32° 第13题图 第14题图 14．(2023秋•泉山区校级期中)如图，将△沿着翻折，使点与点重合，若∠1+∠2=80°，则∠的度数为 ___40°___． 15．如图所示，将△沿着翻折，点与点对应．图(1)中点在∠内部，图(2)中点在∠外部，请分别写出∠1、∠2与∠的数量关系，并说明理由． 【解答】解：①如图(1)，2∠∠， 理由是：∵延折叠和重合， ∴∠∠，∠， ∵∠，∠， ∴； 如图(2)由图形翻折变换的性质可知，∠， 连接，则 =， = =即． 【题型7】双内角平分线模型 16．(2023秋•牡丹江期中)如图，将△沿着向内翻折，使点落到点处，，分别平分∠和∠．若∠，则∠___110°___ ． 第17题图 第18题图 17．(2024春•新吴区校级期中)如图，在△中，∠的三等分线、与∠的三等分线、分别交于点、，若∠，则∠的度数为(　B　) A．65° B．60° C．55° D．50° 18．(2023秋•四十五中本部期中)(1)如图1，在△中，∠，∠的角平分线交于点，则∠．如图2，在△中，∠，∠的两条三等分角线分别对应交于，，求证：． (2)如图3，当∠，∠被等分时，内部有个点，则∠与∠的关系为： ∠____(用含的代数式表示)． 【解答】(1)证明：∵点是∠与∠的三等分线的交点， ∴∠， ∴； (2)解：∵如图1，∠，如图2，， ∠．∴∠．故答案为：． 【题型8】内外角平分线模型 19．(2023秋•乐陵市校级月考)如图，和分别是△的内角平分线和外角平分线，是∠的平分线，是的平分线，是∠的平分线，是∠的平分线，若∠，则∠(　B　) A． B． C． D． 【题型9】双外角角平分线模型 20．(2024春•花都区期末)如图，在△中，∠，、分别平分∠、∠，、、分别在、、的延长线上，、分别平分∠、∠，、分别平分∠、∠，则∠___15°___． 21．(2023秋•雁塔区校级月考)【初步认识】 (1)如图①，在△中，平分∠，平分∠．若∠，则∠___130°___；如图②，平分，平分外角∠，则∠与∠的数量关系是 ___∠___； 【继续探索】 (2)如图③，平分外角∠，平分外角∠．请探索∠与∠之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点P是△两内角平分线的交点，点是△两外角平分线的交点，延长、交于点．在△中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠的度数． 【解答】解：(1)如图①，∵平分∠，平分∠，∴∠，∠， ∵∠，∴∠； 如图②，∵平分∠，平分外角∠，∴∠，∠， ∵∠，∠，∴， 整理得，，故答案为：130°；． (2)解：∵平分外角，平分外角∠，∴∠，∠， ∵∠， ∴∠， ∴∠，∴∠； (3)由题意知，，，， ∴当在△中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②∠，③∠，④∠，四种情况求解： ①当∠时，∠； ②当∠时，，则； ③当∠时，，解得，； ④当∠时，，解得，； 综上所述，∠的度数为60°或90°或120°． 【题型10】新定义问题 22．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)当三角形中一个内角是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为25°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为__105°__． 课后巩固 1．(2023秋•四十八中期中)如图所示，一次函数(，是常数，且)与正比例函数(是常数，且)的图象相交于点(1，2)，下列判断不正确的是(　D　)- A．关于的方程的解是 B．关于，的方程组的解是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于的不等式的解集是 2．(2023秋•包河区期中)已知合肥到芜湖的距离为150千米，现有一辆邮政车往返两城市之间，该邮政车每次到达合肥或芜湖后，均需停留1小时再重新出发．暑假期间，合肥某旅游公司计划在同线路上加开一辆旅游大巴车，在试运行期间，该邮政车与旅游大巴车同时从合肥出发，两辆车均保持匀速行驶，经过小时两车第一次相遇．两车之间的距离千米与行驶时间小时之间的部分函数关系如图所示．已知行驶过程时，邮政车的速度大于旅游大巴车的速度，请完成以下探究： (1)邮政车的速度为__80__千米/小时； (2)当两车第一次在行驶的路上相遇时，相遇点到合肥的距离为____千米． 3．(2023秋•四十二中期中)对于平面直角坐标系中的任意一点(，)，给出如下定义：记，，将点(，)与(，)称为点的一对“相伴点”．例如：点(2，3)的一对“相伴点”是点(5，)与(，5)． (1)点(4，)的一对“相伴点”的坐标是__(5，3)__与__(3，5)__； (2)若点(8，)的一对“相伴点”重合，则y的值为__0__； (3)若点的一个“相伴点”的坐标为(，7)，求点的坐标． 【解答】解：(1)∵(4，)，∴，， ∴点(4，)的一对“相伴点”的坐标是(3，5)与(5，3)，故答案为：(3，5)，(5，3)； (2)∵点(8，)，∴，， ∴点(8，)的一对“相伴点”的坐标是(，)和(，)， ∵点(8，)的一对“相伴点”重合，∴，∴，故答案为：0； (3)设点(，)，∵点的一个“相伴点”的坐标为(，7)， ∴或{，∴或，∴B(3，)或(3，4)． 4．(2023秋•瑶海区三十八中期中)如图，已知直线与坐标轴分别交于，两点，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，点横坐标为，且，过点作直线平行于轴，该直线与直线交于点，且，求点的坐标． 【解答】解：(1)由，解得，∴点的坐标为(2，4)； (2)∵直线与坐标轴跟别交于，两点，∴(0，8)，(4，0)，∴， ∵点在轴上，且，∴，∴的坐标为(0，4)或(0，)； (3)∵点在直线上，点横坐标为，且，∴(，)，(，)， ∵，∴，∴， ∴点的坐标为(，)． 5．(2023秋•四十八中期中)甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线前往黄山游玩，甲骑电动车前往，乙骑自行车前往．设乙行驶的时间为h，甲、乙两人之间的路程差(km)关于(h)的函数图象如图①所示，甲距出发点的路程(km)关于(h)的函数图象如图②所示，已知甲出发h后追上乙． (1)点B的坐标为__(，0)，点C表示的实际意义是__乙出发1.5小时后甲先到达终点，此时两人相距10千米__； (2)求的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (3)若用表示乙距出发点的路程与之间的关系，请在图②中画出的图象． 【解答】解：(1)由题意得：∵点表示甲乙两人之间的距离为0，说明甲追上乙， 甲追上乙时乙所用时间为， ∴点(，0)；点表示：乙出发1.5小时后甲先到达终点，此时两人相距10千米， 故答案为：(，0)；乙出发1.5小时后甲先到达终点，此时两人相距10千米； (2)当时，设的函数表达式为：()； 把(0.5，0)，(1.5，25)代入得，解得，∴， ∴的函数表达式为； (3)由点可得，乙经过2.5小时到达黄山，∴的图象是一条经过(2.5，25)的正比例函数图象，如图所示： 6．(2023秋•五十中天鹅湖期中)第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ (3)在(2)的条件下，该专卖店对种礼盒以每个优惠()元的价格进行优惠促销活动，种礼盒每个进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4900元，请直接写出的值． 【解答】解：(1)由题意得：， ∴与之间的函数关系式为； (2)由题意得：，∴， ∵中，，∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值(元)，∴最大利润为5500元； (3)∵，∴， 由题意得： ． ∵，，∴当时，， ∴随的增大而增大， ∴当时，最大，∴，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，∴随的增大而减小． ∴当时，最大，∴，不合题意，舍去． 综上，． 7．(2023秋•瑶海区三十八中期中)如图，在△中，∠，∠，点为边上任意一点，点可以与点重合，但不能与点重合，平分∠，平分∠． (1)当时，求∠的度数； (2)求∠的取值范围． 【解答】解：(1)由∠，∠，得∠，由平分∠，得∠， 当时，∠，由平分∠，得∠，得∠； (2)由∠，得∠， 由不能与点重合，得∠，得∠； 由点可以与点重合，即∠，得∠；总之． 8．(2023秋•四十二中期中)已知：在△中，平分∠，、相交于点． (1)如图①，若，∠，∠，求∠的大小． (2)如图②，若平分∠，且∠，求∠的大小． (3)如图③，若在△的外角∠内，且∠，∠，试探究：∠与∠的数量关系． 【解答】解：(1)∵，∴∠， ∵∠，∠, 又∵平分∠，∴∠，∠； (2)∵平分∠，平分∠， ∵∠，∠， ∵，∴， 又∵∠∠∠，∠∠，∴∠∠∠， ∴，解得：∠； (3)∵∠，设∠，∠，∴∠∠∠， ∵平分∠，∴设∠∠，则∠， ∵∠是△OBC的外角，∴∠∠∠，即， ∵∠是△的外角，∴∠，即， ∴，∴，整理得：∠，∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习拔高 期中复习拔高 1 期中复习拔高 3 第11章 平面直角坐标系 3 类型一、坐标规律 3 【题型1】回字规律 3 【题型2】新定义规律探究 3 【题型3】图形变化规律探索 4 类型二、新定义 4 第12章　一次函数 6 【题型1】一次函数过定点问题 6 【题型2】一次函数交点问题 6 【题型3】一次函数几何综合 6 【题型4】动点问题中函数关系 8 【题型5】行程问题 9 【题型6】方案优化问题 10 【题型7】利润问题 10 【题型8】整点问题 11 【题型9】新定义规律 11 【题型10】含绝对值的函数关系问题 11 第13章　三角形三边关系、命题与证明(共7个知识点，23个题型) 12 【题型1】角平分线+高线 12 【题型2】“A”字形 12 【题型3】“8”字形 13 【题型4】双垂直模型 14 【题型5】“镖”形 14 【题型6】“筝”形 15 【题型7】双内角平分线模型 16 【题型8】内外角平分线模型 17 【题型9】双外角角平分线模型 17 【题型10】新定义问题 18 课后巩固 18 期中复习拔高 第11章 平面直角坐标系 类型一、坐标规律 【题型1】回字规律 1．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点(1，0)；第二分钟，它从点(1，0)运动到点(1，1)，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2023分钟时，这个粒子所在位置的坐标是(　　) A．(44，4) B．(44，3) C．(44，5) D．(44，1) 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2．(2023秋•五十中东期中)如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：(1，0)→(2，0)→(2，1)→(1，1)→(1，2)→(2，2)→…根据这个规律，第2022个点的坐标为(　　) A．(45，1) B．(45，2) C．(45，3) D．(45，4) 3．如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为(　　) A．， B．， C．， D．， 4．如图，一个实心点从原点出发，沿下列路径每次运动一个点，则运动到第2017次时实心点所在位置的横坐标为(　　) A．45 B．946 C．990 D．103 【题型2】新定义规律探究 5．(2023秋•包河区期中)在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(，)，规定以下两种变化： ①(，)=(，)，②(，)=(，)．按照该规定：((，2))=(　　) A．(1，) B．(3，1) C．(2，) D．(3，) 6．(2024春•庐江县期中)在平面直角坐标系中，对于点,)，我们把(，)叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为(3，2)，则A_3的友好点的坐标是 __(，4)__，的友好点的坐标是 ____________． 【题型3】图形变化规律探索 7．在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位，得到△A1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，1)，(3，1)．把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则边BC中点的对应点的坐标是(　　) A．(11，1) B．(，1) C．(11，) D．(，) 第1题图 第2题图 8．如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成△，第二次将△变换成△，第三次将变换成△；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△变换成△，则的坐标为____________，的坐标为_____________． (2)按以上规律将进行次变换得到△，则的坐标为____________，的坐标为_____________； (3)△的面积为______________． 类型二、新定义 1．(2023秋•五十中西期中)定义：在平面直角坐标系中，若两点(，)、(，)，所连线段的中点是，则的坐标为 (，)，例如：点(1，2)、点(3，)，则线段的中点的坐标为(，)，即(2，)． 请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点(，)，(，)，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是2，则的值等于____________． 2．(2023秋•四十五中本部期中)定义：在平面直角坐标系中，已知点(，)，(，)，(，)，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：点(，2)，(1，2)，(1，3)的“最佳间距”是1． (1)点(2，1)，(5，1)，(5，5)的“最佳间距”是____________； (2)当点(0，0)，(，0)，(，)的“最佳间距”为时，点P的横坐标为___________________． 3．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的，两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为(，1)，在点(0，3)，(3，)，(2，)中，为点的“等距点”的是____________； (2)若(，)，(4，)两点为“等距点”，求的值． 第12章　一次函数 【题型1】一次函数过定点问题 1．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)直线恒过一定点，则该点的坐标是__(2，3)__．平面直角坐标系中有三点(，0)，(2，3)，(5，0)，若该直线将△分成左右面积之比为1：2的两部分，则的值是____________． 【题型2】一次函数交点问题 2．(2023秋•四十二中期中)已知直线与轴的交点在(1，0)，(4，0)之间(包括，两点)，则的取值范围(　　) A． B． C． D． 3．(2023秋•五十中西期中)如图，在平面直角坐标系中，(，2)，(3，5)，直线与线段有公共点． (1)直线一定经过的定点是______________； (2)的取值范围是_________________________． 【题型3】一次函数几何综合 4．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)如图，直线与坐标轴交于点、两点，直线与直线相交于点(，)，交轴于点，且△的面积为． (1)则点的坐标为_____________；_____________； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴交直线于点，若，求点的坐标． 5．(2023秋•包河区期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点(，6)，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求、的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点在轴上，且满足，求点D的坐标． 6．(2023秋•五十中西期中)如图，已知直线：与直线：交于点(，)，直线在轴上的截距为． (1)求，的值； (2)过直线上一点(，3)作轴的垂线交直线于点C，交直线于点． ①当时，求点的坐标； ②当时，请通过计算比较与的大小． 【题型4】动点问题中函数关系 7．(2023秋•四十八中期中)如图，已知在△中，，点沿自向运动，作于，于，则的值与的长之间的函数图象大致是(　　) A． B． C． D． 第5题图 第6题图 第7题图 8．(2023秋•五十中西期中)如图，点，分别是轴和轴上的动点，且，取的中点，则在坐标平面内所有满足条件的点围成的封闭图形的面积为(　　) A．32 B．28 C．16 D．8 9．(2023秋•四十二中期中)如图，点、的坐标分别为(2，0)，(0，1)，点是第一象限内直线y上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积(　　) A．逐渐增大 B．逐渐减少 C．先减少后增大 D．不变 10．(2023秋•四十五中本部期中)如图①，四边形中，，∠．动点从出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到停止．设运动时间为，△的面积为，关于的函数图象如图②所示． (1)结合图①和图②可知，______________，_______________； (2)①当点在线段上运动时，请写出与的关系式(并写明自变量的取值范围)； ②当时，等于多少？ (3)如图③，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点停止，同时，动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点停止．设运动时间为，当点运动到边上时，连接、、，当△的面积为7.5时，直接写出的值． 【题型5】行程问题 11．(2023秋•四十五中本部期中)如图，，分别表示甲、乙两人在越野登山比赛整个过程中，所走的路程(m)与甲出发时间(min)的函数图象，下列说法正确的有(　　) ①越野登山比赛的全程为1000m；②乙的速度为20m/min； ③的值为750；④乙到达终点时，甲离终点还有100m A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第11题图 第12题图 第13题图 12．(2023秋•五十中东期中)、两地相距630千米客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶货车两小时可到达途中站，客车需9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、(千米)，它们与行驶时间(小时)之间的函数关系如图．下列说法：①客、货两车的速度分别为60千米/小时，45千米/小时；②、两站间的距离是540千米；③点横坐标为12；④点坐标为(6，180)，其中正确的说法是______________(填序号)． 13．(2023秋•四十五中橡树湾期中)如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)，两车之间的距离为(km)，图中的折线表示与之间的函数关系．下列说法中正确的是(　　) A．B点表示此时快车到达乙地 B．段表示慢车先加速后减速最后到达甲地 C．快车的速度为km/h D．慢车的速度为125km/h 14．(2023秋•瑶海区三十八中期中)甲、乙两人从地前往地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发30s后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离地的距离分别为(单位：m)、(单位：m)，都是甲出发时间(单位：s)的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为m/s，乙的速度为m/s. (1)______________，______________； (2)求与之间的函数表达式； (3)在图②中画出甲、乙两人之间的距离(单位：m)与甲出发时间(单位：s)之间的函数图象． 【题型6】方案优化问题 15．(2023秋•五十中东期中)某校积极筹备“爱成都•迎大运”体育节活动决定购买一批篮球和足球共60个．已知在线下商店购买50个篮球和10个足球共需4600元，购买30个篮球和30个足球共需4200元． (1)分别求在线下商店购买篮球和足球的单价； (2)经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店篮球的单价和线下商店一样，但线上商店足球有优惠活动，足球的单价是线下的八折．若学校要求购买篮球的个数不得少于足球的个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的篮球和足球才能使得所花费用最少？并求出该费用的最小值？ 【题型7】利润问题 16．(2023秋•四十五中橡树湾期中)某农场种植某种农作物，欲购买化肥施肥，相关数据如表： 化肥种类 化肥单价元/kg 所需化肥数量kg/亩 每亩地增产kg 甲 5.2 40 150 乙 2.5 40 120 设该种农作物每千克单价(元)，已知，施肥前每亩产量为300kg． (1)若施甲种化肥每亩利润为(元)，施乙种化肥每亩利润为(元)，求出、与之间的函数表达式． (2)选用哪种化肥合算？ (3)为提高产品竞争力，甲化肥厂商决定每千克化肥让利元，要使施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥，则的最小值为___________________． 17．(2023秋•四十二中期中)某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ (3)在(2)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠()元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值． 18．(2023秋•包河区期中)已知甲种水果单价为30元/千克，若一次性购买甲种水果超过40千克，超过部分的价格打八折．某经销商购买甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)直接写出图象中的值，并求与之间的函数表达式； (2)若乙种水果单价为25元/千克，该经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲、乙两种水果的购买量，才能使经销商付款总金额(元)最少？最少付款金额是多少？ 【题型8】整点问题 19．(2023秋•四十五中橡树湾期中)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点．已知一次函数，． (1)若，则、的图象与轴围成的区域内(包括边界)有____________个整点； (2)若、的图象与轴围成的区域内恰有6个整点，则的取值范围是__________________________________． 【题型9】新定义规律 20．(2023秋•瑶海区三十八中期中)我们有时会将关于的函数表示为，其中f(1)就表示当时的函数值，即．则 (1)________； (2)__________.(结果用含的代数式表示，其中为正整数) 【题型10】含绝对值的函数关系问题 21．(2023秋•包河区期中)若关于自变量的函数的函数值始终大于的函数值，则的取值范围为__________________． 第13章　三角形三边关系、命题与证明(共7个知识点，23个题型) 【题型1】角平分线+高线 1．(2023秋•蜀山区金湖中学期中)如图，△中，平分∠，，垂足为．∠，∠．求∠的度数． 2．(2023秋•五十中西期中)已知△中，∠，为边上的高，平分，分别交、于点、，求证：∠． 【题型2】“A”字形 3．(2023春•广陵区校级期末)如图，在△中，∠，若沿图中的虚线截去∠，则∠(　　) A．360° B．250° C．180° D．140° 4．(2022秋•即墨区期末)三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°如何证明这个定理呢？我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． 【定理证明】 已知：△如图①，求证：． 【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠，点是延长线上一点，由平角的定义可得∠，所以∠____________，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点、分别是△的边、延长线上一点． (1)若∠，，则∠___ ___． (2)若∠，则∠______． 【拓展延伸】如图④，点、分别是四边形的边、延长线上一点． (1)若∠，∠，则∠______． (2)分别作∠和∠的平分线、，如图⑤，若，则和∠的关系为 ____________． (3)分别作∠和∠的平分线，交于点，如图⑥，求出，和∠的数量关系，并说明理由． 【题型3】“8”字形 5．(2020秋•自贡期末)如图是由线段，，，，组成的平面图形，∠，则∠的度数为(　　) A．62° B．152° C．208° D．236° 6．(2023秋•瑶海区期中)“8字”的性质及应用： (1)如图1，，相交于点，得到一个“8字”，试说明的理由； (2)如图2，以图中给的字母为顶点的“8字”有多少个； (3)如图2，∠和∠的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由． 【题型4】双垂直模型 7．(2023秋•四十五中本部期中)如图，在Rt△中，∠，是上一点，且∠． (1)求证：； 证明：在Rt△中， ∵∠(已知)， ∴∠(_______________________________________________)． 又∵∠(已知)， ∴∠(________________________________)． 在△中，∠(三角形内角和定理)， ∴∠(等式的性质)， ∴(垂直的定义)． (2)如图②，若∠的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图③，若为上一点，交于点，，，，连接，求△的面积． 【题型5】“镖”形 8．(2022秋•合肥月考)某零件的形状如图所示，按照要求∠，∠，∠，那么∠的度数是(　　) A．50° B．60° C．70° D．80° 第8题图 第9题图 第10题图 9．(2024春•管城区校级期末)如图，将△沿、翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若∠，则∠的度数为(　　) A．38 B．39 C．40 D．41 10．(2022秋•蔡甸区校级期中)在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中∠，∠，∠，∠，∠，则∠的度数为(　　) A．35° B．45° C．30° D．24° 11．(2023秋•四十五中橡树湾期中)问题情景：如图1，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点与点在直线的同侧，若点在△内部，试问∠，∠与∠的大小是否满足某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若∠，则∠∠________度，∠∠________度，∠∠________度； (2)类比探索：请猜想∠∠与∠的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点的位置，使点在△外，其它条件都不变，判断(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠，∠与∠满足的数量关系式． 12．(2023秋•五十中东期中)如图①所示为五角星图案，图②、图③叫做蜕变的五角星，试回答以下问题： (1)在图①中，____________； (2)对于图②或图③，还能得到同样的结论吗？若能，请在图②或图③中任选其一证明你的发现；若不能，试说明理由． 【题型6】“筝”形 13．如图，在△中，∠，是上一点，是上一点，连接，将的一角沿折叠，使点落在△外的点处，若∠，则∠2的度数为(　　) A．20° B．22° C．30° D．32° 第13题图 第14题图 14．(2023秋•泉山区校级期中)如图，将△沿着翻折，使点与点重合，若∠1+∠2=80°，则∠的度数为_____． 15．如图所示，将△沿着翻折，点与点对应．图(1)中点在∠内部，图(2)中点在∠外部，请分别写出∠1、∠2与∠的数量关系，并说明理由． 【题型7】双内角平分线模型 16．(2023秋•牡丹江期中)如图，将△沿着向内翻折，使点落到点处，，分别平分∠和∠．若∠，则∠____________ ． 第17题图 第18题图 17．(2024春•新吴区校级期中)如图，在△中，∠的三等分线、与∠的三等分线、分别交于点、，若∠，则∠的度数为(　　) A．65° B．60° C．55° D．50° 18．(2023秋•四十五中本部期中)(1)如图1，在△中，∠，∠的角平分线交于点，则∠．如图2，在△中，∠，∠的两条三等分角线分别对应交于，，求证：． (2)如图3，当∠，∠被等分时，内部有个点，则∠与∠的关系为： ∠__________________________(用含的代数式表示)． 【题型8】内外角平分线模型 19．(2023秋•乐陵市校级月考)如图，和分别是△的内角平分线和外角平分线，是∠的平分线，是的平分线，是∠的平分线，是∠的平分线，若∠，则∠(　　) A． B． C． D． 【题型9】双外角角平分线模型 20．(2024春•花都区期末)如图，在△中，∠，、分别平分∠、∠，、、分别在、、的延长线上，、分别平分∠、∠，、分别平分∠、∠，则∠_________． 21．(2023秋•雁塔区校级月考)【初步认识】 (1)如图①，在△中，平分∠，平分∠．若∠，则∠________；如图②，平分，平分外角∠，则∠与∠的数量关系是 _________________________； 【继续探索】 (2)如图③，平分外角∠，平分外角∠．请探索∠与∠之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点P是△两内角平分线的交点，点是△两外角平分线的交点，延长、交于点．在△中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠的度数． 【题型10】新定义问题 22．(2023秋•蜀山区琥珀中学期中)当三角形中一个内角是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为25°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为________． 课后巩固 1．(2023秋•四十八中期中)如图所示，一次函数(，是常数，且)与正比例函数(是常数，且)的图象相交于点(1，2)，下列判断不正确的是(　　) A．关于的方程的解是B．关于，的方程组的解是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于的不等式的解集是 第1题图 第2题图 2．(2023秋•包河区期中)已知合肥到芜湖的距离为150千米，现有一辆邮政车往返两城市之间，该邮政车每次到达合肥或芜湖后，均需停留1小时再重新出发．暑假期间，合肥某旅游公司计划在同线路上加开一辆旅游大巴车，在试运行期间，该邮政车与旅游大巴车同时从合肥出发，两辆车均保持匀速行驶，经过小时两车第一次相遇．两车之间的距离千米与行驶时间小时之间的部分函数关系如图所示．已知行驶过程时，邮政车的速度大于旅游大巴车的速度，请完成以下探究： (1)邮政车的速度为__80__千米/小时； (2)当两车第一次在行驶的路上相遇时，相遇点到合肥的距离为__________千米． 3．(2023秋•四十二中期中)对于平面直角坐标系中的任意一点(，)，给出如下定义：记，，将点(，)与(，)称为点的一对“相伴点”．例如：点(2，3)的一对“相伴点”是点(5，)与(，5)． (1)点(4，)的一对“相伴点”的坐标是_______与________； (2)若点(8，)的一对“相伴点”重合，则的值为_______； (3)若点的一个“相伴点”的坐标为(，7)，求点的坐标． 4．(2023秋•瑶海区三十八中期中)如图，已知直线与坐标轴分别交于，两点，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，点横坐标为，且，过点作直线平行于轴，该直线与直线交于点，且，求点的坐标． 5．(2023秋•四十八中期中)甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线前往黄山游玩，甲骑电动车前往，乙骑自行车前往．设乙行驶的时间为h，甲、乙两人之间的路程差(km)关于(h)的函数图象如图①所示，甲距出发点的路程(km)关于(h)的函数图象如图②所示，已知甲出发h后追上乙． (1)点B的坐标为______________，点C表示的实际意义是________________________________________________________________； (2)求的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (3)若用表示乙距出发点的路程与之间的关系，请在图②中画出的图象． 6．(2023秋•五十中天鹅湖期中)第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ (3)在(2)的条件下，该专卖店对种礼盒以每个优惠()元的价格进行优惠促销活动，种礼盒每个进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4900元，请直接写出的值． 7．(2023秋•瑶海区三十八中期中)如图，在△中，∠，∠，点为边上任意一点，点可以与点重合，但不能与点重合，平分∠，平分∠． (1)当时，求∠的度数； (2)求∠的取值范围． 8．(2023秋•四十二中期中)已知：在△中，平分∠，、相交于点． (1)如图①，若，∠，∠，求∠的大小． (2)如图②，若平分∠，且∠，求∠的大小． (3)如图③，若在△的外角∠内，且∠，∠，试探究：∠与∠的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$