1.3等比数列 同步练习-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.3等比数列 练习 一、单选题 1．已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．设等比数列公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 4．设等比数列的前项和为，且，则（    ） A．243 B．244 C．81 D．82 5．在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 7．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．36 D．6 8．设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 二、多选题 9．设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知数列是等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 11．已知等比数列中，满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，仍成等比数列 三、填空题 12．若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则 ． 13．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 四、解答题 14．已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 15．已知数列的首项，且满足，设． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最小正整数． 参考答案 1．A 【分析】由等比数列的性质确定也是等比数列即可求解. 【详解】由， 因为为等比数列，，所以， 可得：，， 易知构成首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A. 2．A 【分析】根据等比数列的通项公式和等比中项的应用，结合题意建立方程组，解之即可求解. 【详解】设递增的等比数列的首项为，公比为， 由前3项的和为13，得， 由前3项的积为27，得，即，则， 代入，得， 即，解得或， 因为为递增的等比数列，所以，则. 故选：A. 3．D 【分析】要判断“”与“等比数列为递增数列”之间的条件关系.需要分别从充分性和必要性两方面进行分析，即看“”能否推出“等比数列为递增数列”，以及“等比数列为递增数列”能否推出“”. 【详解】假设.对于等比数列，其通项公式为. 当，时，根据通项公式可得. 此时，等比数列不是递增数列. 这说明仅仅不能保证等比数列一定是递增数列， 所以“”不是“等比数列为递增数列”的充分条件. 假设等比数列为递增数列，那么. 由通项公式可得，，所以. 当时，不等式两边同时除以（因为，，不等号方向改变）， 得到.例如当时，，解得. 这说明等比数列为递增数列时，不一定有， 所以“”不是“等比数列为递增数列”的必要条件. 则“”是“为递增数列”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 4．B 【分析】由等比中项进行转化，得到公比，再由等比数列的前项和公式得到比值.： 【详解】由等比数列性质可得， 设的公比为，则， 故． 故选：B． 5．A 【分析】设等比数列的公比为，分析可知，由已知条件求出的值，再结合等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，若，则等比数列为摆动数列， 这与矛盾，故， 根据题意得，则，解得或（舍）. 则. 故选：A. 6．D 【分析】由等比数列前n项和的性质可得答案. 【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列， 则，设，则，∵等比数列中，， ∴解得，，故，∴， 故选：D． 7．D 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】因为为等比数列，故，故，故， 所以，故（负值舍去）， 故选：D. 8．C 【分析】根据给定条件，求出等比数列公比即可计算得解. 【详解】等比数列的公比为，由，得， 即，而，则， 因此， 所以. 故选：C 9．ACD 【分析】根据等比数列的通项公式求得公比，进而可得通项公式与，再逐个选项判断即可. 【详解】对于C，依题意，设公比为，因为，， 所以，即，解得，故C正确； 对于D，故，故D正确； 对于A，则，故A正确； 对于B，则，； 所以，故B错误； 故选：ACD. 10．AB 【分析】根据题意，设的公比为q，则 ，由等比数列的定义依次判断AB；举反例判断CD. 【详解】根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则 对于选项A：因为，所以数列是等比数列，故A正确； 对于选项B：因为 ，所以数列为等比数列，故B正确； 对于选项CD：例如，则，所以数列不是等比数列，故C错误； 则，所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 11．AC 【分析】由题意利用等比数列的性质、通项公式及前n项和公式，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】等比数列中，满足，则，有， 由，，数列是首项为2公比为4的等比数列，故A选项正确； 而，结合指数函数性质可知，数列是递减数列，故B选项错误； 又，，， 故数列是首项为0公差为1的等差数列，故C选项正确； 数列中，，，， ，故D选项错误. 故选：AC. 12．189 【分析】根据给定条件，利用等比数列前项和公式计算即得. 【详解】由数列为首项为3，公比为2的等比数列，得. 故答案为：189 13．/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 14．(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）由题设有，结合等比数列定义证结论，并写出通项公式； （2）应用错位相减、等比数列前n项和公式求. 【详解】（1）由，， 所以是首项、公比均为3的等比数列， 故； （2）由（1）有，则， 所以， 两式相减，得， 所以. 15．(1)证明见解析 (2)2024 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可； （2）利用分组求和的方法得到，然后利用的增减性解不等式即可. 【详解】（1）， ，所以数列为首项为，公比为等比数列. （2）由（1）可得 ， 即， ∴， 而因为在上均单调递增，则随着的增大而增大， 要使，即，则， ∴的最小值为2024. 学科网（北京）股份有限公司 $$