6.6　一次函数、一元一次方程和一元一次不等式.课件-2024-2025学年苏科版数学八年级上册

八年级上册 SK 数学 6.6　一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 第6章 一次函数 - 6.6　一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 探究与应用 第6章　一次函数 活动　能利用一次函数的图像解一元一次方程、一元一次不等式 [讨论探究] 1.将一根长25 cm的弹簧一端固定,在另一端挂物体.当弹簧的长度不超过35 cm时,每挂1 kg质量的物体,弹簧伸长 0.5 cm.设所挂物体的质量为x kg,弹簧的长度为y cm. (1)求y与x之间的函数表达式,并画出函数图像; 探究与应用 (2)能否用方程来求这根弹簧在不超过35 cm的限度内所挂物体的最大质量? (3)能否用一元一次不等式来求这根弹簧在不超过35 cm的限度内所挂物体的最大质量? 解:(1)根据题意,挂x kg质量的物体后,这根弹簧伸长了0.5x cm,弹簧的长度是(0.5x+25)cm,y与x之间的函数表达式为y=0.5x+25.这个一次函数的图像如图所示. 探究与应用 (2)能.弹簧所挂物体的质量越大,弹簧的长度也越长.因为挂上物体后该弹簧长度不能超过35 cm,所以当y=35时,该弹簧所挂物体的质量最大,此时有一元一次方程0.5x+25=35,解得x=20,所以弹簧所挂物体的最大质量是20 kg. (3)能.由题意得0.5x+25≤35,解得x≤20,所以弹簧所挂物体的最大质量是20 kg. 探究与应用 已知一次函数的表达式,当其中一个变量的值确定时,可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值,当其中一个变量的取值范围确定时,可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围. 记 关系 探究与应用 2.如图6-6-1是一次函数y=2x+4的图像,观察图像并回答下列问题: (1)方程2x+4=0的解是　　　　;不等式2x+4>0的解集为 　　　　;不等式2x+4<0的解集为　　　　.  图6-6-1 x=-2 x>-2 x<-2 探究与应用 (2)当自变量　　　　时,函数y=2x+4的值等于0;当自变量 　　　　时,函数y=2x+4的值大于0;当自变量　　　　时,函数y=2x+4的值小于0.  (3)从图像可知,一次函数y=2x+4的图像是一 条经过点　　　　,　　　　的直线.  (4)一元一次方程与一次函数图像的关系:直 线y=kx+b与x轴交点的　　　　是一元一次方程kx+b=0的 　　　;反之也成立.  图6-6-1 x=-2 x>-2 x<-2 (0,4) (-2,0) 横坐标 解 探究与应用 (5)一元一次不等式与一次函数图像的关系:直线y=kx+b在x轴上方部分的点的　 　　　是一元一次不等式kx+b>0的 　　　;直线y=kx+b在x轴下方部分的点的　　 　　是一元一次不等式kx+b<0的　　　　;反之也成立.  图6-6-1 横坐标范围 解集 横坐标范围 解集 探究与应用 [理解应用] 例1 根据图6-6-2中一次函数y=kx+b的图像,直接写出下列问题的答案: (1)关于x的方程kx+b=0的解; (2)代数式k+b的值; (3)关于x的方程kx+b=-3的解. 图6-6-2 探究与应用 解:(1)当x=2时,y=0, 所以关于x的方程kx+b=0的解为x=2. (2)当x=1时,y=k+b=-1, 所以代数式k+b的值为-1. (3)当x=-1时,y=-3, 所以关于x的方程kx+b=-3的解为x=-1. 探究与应用 学 方法 用函数y=kx+b的图像解一元一次方程应先将方程转化为kx+b=m的形式,再画出函数y=kx+b的图像,找出直线y=kx+b与直线y=m交点的横坐标,即得方程kx+b=m的解. 探究与应用 例2 已知一次函数y1=kx-2和y2=-3x+b的图像相交于点A(2,-1). (1)求k,b的值,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像. (2)利用图像,求当x取何值时, ①y1<y2;②y1≥y2. (3)利用图像,求当x取何值时, ①y1<0且y2<0; ②y1>0且y2<0. 探究与应用 解:(1)将点A的坐标代入y1=kx-2,得2k-2=-1,解得k=. 将点A的坐标代入y2=-3x+b,得-6+b=-1,解得b=5. ∴两个函数的表达式分别为y1=x-2,y2=-3x+5.画函数图像如图. (2)①当x<2时,y1<y2; ②当x≥2时,y1≥y2. 探究与应用 (3)∵直线y1=x-2与x轴的交点坐标为(4,0), 直线y2=-3x+5与x轴的交点坐标为, ∴从图像可知: ①当x<4时,y1<0;当x>时,y2<0, ∴当<x<4时,y1<0且y2<0. ②当x>4时,y1>0;当x>时,y2<0, ∴当x>4时,y1>0且y2<0. 探究与应用 [操作尝试] 一辆汽车行驶35 km后,驶入高速公路,并以105 km/h的速度匀速行驶了x h.试根据上述情境,提出一些问题,并用一次函数、一元一次方程或一元一次不等式求解. 解:略 探究与应用 借助图像求不等式解集的注意点 (1)当y>0时,x的取值范围就是x轴上方的图像所对应的x的取值范围; (2)当y<0时,x的取值范围就是x轴下方的图像所对应的x的取值范围; (3)当y>a或y<a时,应先确定当y=a时对应的x的值,然后再进一步确定x的取值范围. 防 易错 探究与应用 谢 谢 观 看！ $$