精品解析：陕西省榆林市定边县第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

定边四中2024~2025学年第一学期高二期中考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两事分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0，5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3考生作答时，请将答蒙答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第二章~第三章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，进而求得直线的斜率. 【详解】直线可化为，所以直线的斜率. 故选：A. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：B. 3. 已知圆与圆，则与的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合圆心距与半径的关系，即可求解． 【详解】易知圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以与外离. 故选：D. 4. 如图，在长方体中，M为棱的中点. 若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】由题意得，. 故选：A． 5. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行可得，即可根据平行线间距离公式求解. 【详解】由于与平行，故，解得， 故两直线为，， 故距离为， 故选：C 6. 已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，则，然后利用，得到点，然后代入即可求解. 【详解】设，，，则， 由题意可知，即， 将点代入， 得，即 故选：D. 7. 过作与圆相切的两条直线，切点分别为，且，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先求圆的标准方程，结合同角三角函数及余弦二倍角公式即可求解. 【详解】 圆化为标准方程， 则圆心，半径， 由题意知， 解得，负值舍去， 在中，，且，所以，解得 故选：A 8. 如图，圆柱的母线长和底面直径相等，分别是下底面圆和上底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，在底面圆中， 过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 所以， 设异面直线与所成的角为， 则. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（ ） A. 长轴长为6 B. 两个焦点的坐标分别为， C. 的最大值是5 D. 的周长为12 【答案】AC 【解析】 【分析】先把椭圆C方程化为，然后结合椭圆定义和性质等一一判断即可. 【详解】椭圆化为， 于是，，所以长轴长为，A正确； 由方程可知，椭圆C的两个焦点在y轴上， 又，所以两个焦点的坐标分别为，，B错误; 由椭圆的性质知的最大值为，C正确; 根据椭圆的定义知的周长，D错误. 故选：AC. 10. 设，直线的方程为，则（ ） A. 直线过定点 B. 若直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为 C. 直线与圆相交 D. 点到直线的最大距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，将直线方程转化为，由解方程组即可；对于B，令，，得，进一步即可得y轴上的截距；对于C，判断由A的定点在圆内，从而直线与圆相交；对于D，当点与点的连线与垂直时距离最大，利用两点距离公式即可. 【详解】解：对于A项，直线的方程为化为， 由，解得，所以直线恒过定点，A错误； 对于B项，当直线在x轴上的截距为时，令，则，解得， 此时直线l的方程为，则在轴上的截距为，B正确； 对于C项，由A项可知直线过点，因为， 所以点在圆的内部，故直线与圆相交，C正确； 对于D项，当点与点的连线与垂直时，点到直线的距离最大， 且该最大距离为，D正确. 故选：BCD. 11. 在四面体ABCD中，，，，若四面体的体积为，则（ ） A. 二面角的大小可能为 B. 二面角的大小可能为 C. AC的长可能为2 D. AC的长可能为 【答案】BCD 【解析】 【分析】过作面于，连接， 可证明为二面角平面角或其补角，先通过体积求出点C到平面ABD的距离，进而可得，则二面角的可求，进而根据求AC的长即可. 【详解】过作面于，连接， 因为面 所以，又，面 所以面，则为二面角平面角或其补角， 又，其中h为点C到平面ABD的距离， 所以， 所以， 即二面角的大小为（如图1）或（如图2），故A错误，B正确； 因为，， 所以 ． 当时，； 当时，， 故C，D均正确． 故选:BCD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得，设，从而得解. 【详解】因为，所以，则存在实数，使， 即，解得，所以 故答案为： 13. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】圆心到直线的距离为，根据题意得到，计算得到答案. 【详解】，圆心为，半径，圆心到直线的距离为. 恰有2个点到直线的距离等于1，则， 即，解得. 故答案为： 14. 设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，将直线和椭圆联立消元得，由可得，再结合化简可得. 【详解】由题意，直线过且斜率为，所以直线为：， 与椭圆：联立消去，得， 设，则， 因为，所以，可得， 代入上式得，消去并化简整理得：， 将代入化简得：，解得， 因此，该双曲线的离心率. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，直线的方程为. （1）若，求直线的方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用待定系数法，结合直线平行与垂直的结论即可得解. 【小问1详解】 因为，直线的方程为， 可设直线的方程为， 将点带入方程，得，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 因为，直线的方程为， 可设直线的方程为， 将点代入方程，得，解得， 所以直线的方程为. 16. 已知三点，记的外接圆为. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入点的坐标计算，即可得到圆的一般式方程，再化为标准式即可； （2）由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设的方程为， 由题意可得，解得， 所以的方程为， 化为标准方程可得. 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 且， 因此的面积为. 17. 如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点. （1）证明：； （2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为， 所以，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面来证得. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，则. 由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直 线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 当点为棱的中点时，. 设平面的一个法向量， 则即令，解得，故， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆经过点与点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）①证明：由（1）知，椭圆的方程为， 设，不妨令在轴上方， 则， 假设直线斜率不存在，设直线方程为， 联立方程，可得， 所以解得或（舍去）， 所以直线方程为； 假设斜率存在，设直线方程为， 联立方程，得， 所以，， 由， 可得， 解得或， 所以直线方程为或， 所以直线恒过或（舍去）， 综上，直线恒过定点. ② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可； （2）①设直线方程，联立方程组，利用条件，结合韦达定理，表示出直线方程即可得到结果；②由①的结论，设直线方程为，联立方程组，结合韦达定理，表示出的面积，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设椭圆为， 因为椭圆经过点与点， 所以，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由上述可知，当直线斜率不存在时，， 设定点为点，则， 所以； 当直线斜率存在时，，则设方程为， 联立得， 则，， 所以， 设，则， 所以， 由函数在上单调递增知， 所以，当且仅当，即时取等， 故的面积的最大值为. 【点睛】 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过的直线的点方向式方程； （2）已知平面，平面，平面，若，证明：； （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 【答案】（1） （2） 由平面可知，平面的法向量为， 由平面可知，平面的法向量为， 设交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，即， 且，所以． （3） 【解析】 【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程； （2）根据题意可得平面、、的法向量，进而可求交线的方向向量，利用空间向量判断线面关系； （3）根据题意可得平面、的法向量，进而可求交线的方向向量，根据线面关系可得，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 由得，直线的方向向量为， 故直线的点方向式方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量， 则，令，解得，可得， 由平面可知，平面法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，解得，即， 则， 故平面与平面夹角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定边四中2024~2025学年第一学期高二期中考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两事分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0，5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3考生作答时，请将答蒙答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第二章~第三章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知圆与圆，则与的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 4. 如图，在长方体中，M为棱的中点. 若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 两平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 过作与圆相切的两条直线，切点分别为，且，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 如图，圆柱的母线长和底面直径相等，分别是下底面圆和上底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（ ） A. 长轴长为6 B. 两个焦点的坐标分别为， C. 的最大值是5 D. 的周长为12 10. 设，直线的方程为，则（ ） A. 直线过定点 B. 若直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为 C. 直线与圆相交 D. 点到直线的最大距离为 11. 在四面体ABCD中，，，，若四面体的体积为，则（ ） A. 二面角的大小可能为 B. 二面角的大小可能为 C. AC的长可能为2 D. AC的长可能为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________. 13. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则的取值范围是___________. 14. 设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，直线的方程为. （1）若，求直线的方程； （2）若，求直线的方程. 16. 已知三点，记的外接圆为. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点. （1）证明：； （2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆经过点与点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求的面积的最大值. 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过的直线的点方向式方程； （2）已知平面，平面，平面，若，证明：； （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $