专题5.6 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.6 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·重庆·期中）二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中的值（　　） A．21 B．12 C．5 D． 4．（2024·江苏盐城·三模）中，，，则的最小值等于（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）已知点，，在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（2024九年级上·安徽·专题练习）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ） A． B．或 C．或 D．或 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线的顶点P在直线上移动，连接，当长度最小时，则b，c的值分别为（    ） A．，0 B．2，1 C．2，0 D．，1 8．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·山东日照·期末）已知是关于的一元二次方程的两实数根，则代数式的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东青岛·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）将二次函数写成的形式为 ． 12．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的值为 ． 13．（24-25九年级上·全国·期中）已知函数，当时，函数的最大值等于 ． 14．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的最值范围是 ． 15．（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）如果我们定义 为二次函数的“有序数集”，如函数的“有序数集”为．若一个二次函数的“有序数集”是 ，则将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数的“有序数集”是 16．（24-25九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点是直线的一个动点，且有最小值，则的值为 ． 17．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）从，0，1三个数中随机抽取一个数记为，不放回，再抽取一个数记为，则抽出的数是二次函数图像上的点的概率为 ． 18．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在正方形中，，点E，F分别为，上的动点，且，与交于点O，点P为的中点． （1）若，则的长为 ； （2）在整个运动过程中，长的最小值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线． (1)求该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)根据图象指出为何值时，随着的增大而减小，为何值时，随着的增大而增大． 20．（本小题满分8分）（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴相交于原点O和点A，直线与抛物线在第一象限的交点为点B，抛物线的顶点为点C． (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)在下方的抛物线上，若存在一点D，使得，求出点D的坐标． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A与原点重合，点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，抛物线经过点、． (1)求抛物线的对称轴及点D的坐标； (2)请证明：该抛物线一定经过点； (3)若，将抛物线向右平移m个单位后，使得新抛物线恰好经过点C，求m的值和新抛物线的解析式． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）实验中学九年级（）班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数 的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数 的自变量的取值范围是 ； (2)①列表：下表是的几组对应值，其中 ， ； ②描点：根据表中的数值描点， 请补充描出点， ； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)下列关于该函数的说法，错误的是（   ） ． 函数图象是轴对称图形 ． 当时，函数值随自变量的增大而增大 ． 函数值都是非负数 ． 若函数图象经过点与， 则． (4)点与在函数图象上， 且， 则与的大小关系是 ． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知如图，抛物线（是常数，且）的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接． (1)填空：　 　； (2)设，请写出关于的函数表达式，并求出的最大值； (3)将沿点到点的方向平移，使得点与点重合．设点的对应点为点，问点能否落在二次函数的图象上？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）（1）【建立模型】在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在中，，，直线l经过点C，，，垂足分别为点D和点E，求证：，请你写出证明过程； （2）【类比迁移】勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题：如图2，在平面直角坐标系中，直线的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，反比例函数的图象经过点B，请你求出反比例函数的解析式； （3）【拓展延伸】创新小组受到勤奋小组的启发，结合抛物线的图象继续深入探究：如图3，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，创新小组的同学发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点P，连接，当时，请你和创新小组的同学一起求出点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C C D D A D A C 1．A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式．熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 故选：A． 2．A 【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象确定出a、b、c的符号，再判断反比例函数与一次函数所在的位置即可． 【详解】解：根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，由与y轴交点在正半轴可得， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数经过第一、二、三象限， 符合条件的只有A选项， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题关键．由表格可知，二次函数对称轴为直线，进而得到与的值相同，即可求出的值． 【详解】解：由表格可知，二次函数对称轴为直线， 与是关于对称轴的对称点，值相同， ， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，二次函数的应用，解题的关键是灵活运用这些知识．过点作，交的延长线于点，根据题意可得，设，则，，由可得，进而得到，在中，根据勾股定理和二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，   ， ， 在中，设，则， ， 又， ， ， 在中，， 即， 当时，最小，此时， 的最小值为， 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 6．D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，分两种情况讨论，根据题意得到关于a的不等式，计算即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴， 当时， ∵当时对应的函数值均为正数， ∴此时抛物线与x轴没有交点， ∴， ∴解得； 当时， ∵当时对应的函数值均为正数， ∴当时，， ∴解得， ∴， ∴综上所述，当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或． 故选：D． 7．A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，在直线上，从而当直线时，最短，又直线过原点，故可得直线为，再联列方程组，可求出此时，进而可得方程组，计算可以得解． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， 在直线上， 当直线时，最短． 又直线过原点， ∴射线是第二象限的角平分线， 直线为． 联列方程组， ． 此时． ． ，． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．曲线段扫过的面积，则，即可求解． 【详解】解：曲线段扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移3个单位，则， 故选：D． 9．A 【分析】首先根据二次根式的性质以及关于的一元二次方程有两个实数根，可列出关于的不等式组，求解即可获得的取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系可得，；设，求得关于的函数解析式，然后根据二次函数的图像与性质解得的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得， 又∵，， 设， ∴ ， ∴此关于的函数图像开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，可有， 当时，可有， ∴的取值范围是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、二次根式的性质、解不等式组、一元二次方程根与系数的关系以及二次函数的图像与性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 10．C 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 11． 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键． 利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，利用关于轴对称的点坐标特点，横坐标不变，纵坐标变成相反数从而得出，，，然后代入代数式计算即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与抛物线关于轴对称， 又， ∴函数的解析式为：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 13．8 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键．首先求出二次函数的对称轴，得出当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，由此即可求出最值． 【详解】解：的对称轴， 且，图象开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 且当时，， 当时，， ， 当时，函数的最大值等于， 故答案为：8． 14．或 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征；先求得与轴的交点坐标，根据图象求得答案即可． 【详解】解：由题意，将二次函数位于轴的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数， 新函数的解析式为． 当时，， 解得或， 如图， 当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是或． 故答案为：或． 15． 【分析】本题考查了新定义问题及二次函数的平移，能够读懂题意得到原函数的解题关键．先根据二次函数的“有序数集”得到这个二次函数，再通过二次函数的平移得到平移后的二次函数，再转化成“有序数集”即可． 【详解】解：∵一个二次函数的“有序数集”是 ， ∴这个二次函数为， 再将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后， 得到的新函数为， 故新函数对应的“有序数集”为． 故答案为： ． 16． 或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解一元二次方程，理解二次函数的性质是解答关键． 根据题意先表示出，利用得到，利用有最小值来求解． 【详解】解：点是直线的一个动点， ， ． 有最小值， 且， 整理得， 解得，， 经检验，，都是方程的根，符合题意． 故答案为：1或． 17． 【分析】本题主要考查了列举法求概率、二次函数图像上点的坐标特征等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据列表法可得共有9种等可能的结果，分别验证是否在二次函数图像上，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，从，0，1三个数中随机抽取一个数记为，不放回，再抽取一个数记为，可列表如下，      0 1 0 1 由列表可知，共有9种等可能的结果， 将代入二次函数，可得， 故点，，均不在该二次函数图像上， 将代入二次函数，可得， 故点在函数图像上，而点，均不在该二次函数图像上， 将代入二次函数，可得， 故点，，均不在该二次函数图像上， 所以，抽出的数是二次函数图像上的点的结果有1种， 所以抽出的数是二次函数图像上的点的概率为． 故答案为：． 18． 【分析】（1）根据正方形的性质得，，再根据勾股定理即可求得答案； （2）先证明，得到，然后根据直角三角形的性质证明，设，根据勾股定理求得，最后根据二次函数的性质，即得答案． 【详解】（1）四边形是正方形， ，， ，， ， ； 故答案为：． （2）由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， 点P为的中点， ， 设，则， ， 当时，取最小值， 长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值，根据全等三角形的判定和性质得到，是解题的关键． 19．(1)抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小 【分析】本题考查二次函数的图象和性质： （1）将一般式化为顶点式，进行作答即可； （2）五点法画出函数图象，根据图象作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （2）列表如下： 0 1 2 3 2 3 2 画图如下： 由图可知：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合题目，涉及二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）联立，即可求出点B的坐标，将化为顶点式，即可求出点C的坐标； （2）过点B作轴于点F，延长交于点G，设交x轴于点E，先证明，再分别利用待定系数法求出直线的解析式，再联立解析式求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得， 当时，， ∴， ∵， ∴顶点； （2）过点B作轴于点F，延长交于点G，设交x轴于点E， ， 又， ， ， 设直线的解析式为， 将B、C坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 由，得， ， ， 设直线的解析式为， 将G坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ． 21．(1)对称轴是直线， (2)见解析 (3)当时，或当时， 【分析】（1）根据二次函数的性质可求出抛物线的对称轴；令可求出点D的坐标； （2）根据二次函数的对称性即可求解； （3）求出点B坐标，得出函数解析式，化为顶点式，表示出平移后的解析式，然后根据新抛物线恰好经过点C，即可求解． 【详解】（1）解：的对称轴是直线． ∵当时，， ∴； （2）解：∵对称轴是直线， ∴关于对称轴对称的点为， ∴该抛物线一定经过点； （3）解：∵四边形是矩形，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 把代入，得 ， ∴， ∴， ∵抛物线向右平移m个单位， ∴平移后的解析式为， ∵新抛物线恰好经过点， ∴， 解得或， 当时，． 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的平移，矩形的性质，数形结合是解答本题的关键． 22．(1)全体实数; (2)①，；②画图见解析；③画图见解析； (3)； (4)． 【分析】（）根据函数解析式即可求解； （）①把和代入函数解析式即可求出的值；②根据的值描点即可；③根据表中的对应值及所描点连线即可； （）根据函数图象逐项判断即可； （）根据图象可知，当时，函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大，据此即可求解； 本题考查了画二次函数的图象，二次函数的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：函数 的自变量的取值范围全体实数， 故答案为：全体实数； （2）解：①当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，； ②补充描点如下： ③图象补充完整如下： （3）解：、由函数图象可知，函数图象是轴对称图形，该选项说法正确，不合题意； 、由函数图象可知，当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大，该选项说法错误，符合题意； 、由函数图象可知，取任意实数，函数值，该选项说法正确，不合题意； 、∵函数图象关于轴对称， ∴若函数图象经过点与， 则，该选项说法正确，不合题意； 故选：． （4）解：由函数图象可知，当时，函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大， ∵， ∴， 故答案为：． 23．(1)45 (2)，的最大值为 (3) 【分析】（1）先求出点的坐标，得出，根据，即可得到答案； （2）先求出顶点的坐标，然后求出直线的解析式，求出点的坐标，根据，得出，并求出的最大值即可； （3）根据平移求出点的坐标，把点代入抛物线，得出关于的方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：，， ， ， ， 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为， ， 把代入得：， 点的坐标为， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 把代入， 得， ， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 把代入得：， ， ， ， ， 当时，有最大值，且最大值为； （3）解：，， 点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，可以得到点， ， 根据平移可知，点的横坐标为，点的纵坐标为， ， 当在抛物线上时，， 解得：或（舍去）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数的解析式，平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数与轴、轴的交点及定点坐标． 24．（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一次函数与反比例函数的综合问题，一次函数与二次函数的综合， （1）直接根据角角边证明三角形全等即可； （2）先求出A，C坐标，再得出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）过点C作，且，过点B作轴，垂足为点E，连接交抛物线于点P，求出直线的解析式，再与二次函数解析式联立，解方程即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴， ∴ ∵，， ∴ （2）∵， ∴当时，，当时，，， ∴，， 由（1）可知：， ∴，， ∴，点B的坐标为 把代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为： （3）过点C作，且，过点B作轴，垂足为点E，连接交抛物线于点P， ∴， 由（2）可知，， ∴设直线的解析式为， ∴，∴， ∴ ∴， 解得：，（不合题意，舍去） 当时，， ∴ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$