专题5.4 二次函数y=a(x-h)²(a≠0)和y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.4 二次函数y=a（x-h)²(a≠0)和y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知二次函数．下列结论正确的是（    ） A．其图像的开口向下 B．图像的对称轴为直线 C．函数有最小值为 D．当时，随的增大而减小 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）关于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．顶点坐标为 B．当时，的值随的增大而减小 C．当，有最大值 D．当时，的值随的增大而增大 4．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）已知二次函数当时，函数值y的取值范围为（  ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·天津·阶段练习）一条抛物线与抛物线的形状相同、开口方向相反，与抛物线的顶点相同，求该抛物线的解析式（   ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·全国·期末）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列结论：①点的坐标为 ； ②  ；③当时，有最大值是；  ④时，随的增大而增大 ； ⑤当时，，正确的个数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线 的对称轴是 ． 12．（21-22九年级上·广东中山·阶段练习）将抛物线沿轴翻折后对应的函数解析式为 ． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 14．（24-25九年级上·全国·单元测试）抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是 ． 15．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线上有且只有三个点到轴的距离等于，点在抛物线上，且点到轴的距离小于． （1） ． （2）的取值范围是 ． 17．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，且的面积为4，则a的值为 ． 18．（2023·江苏常州·一模）如图，将抛物线绕原点顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（22-23九年级上·天津武清·阶段练习）已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标； (2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积． 20．（本小题满分8分）（2021·浙江·中考真题）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 21．（本小题满分10分）（22-23九年级上·广西防城港·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本小题满分10分）（20-21九年级下·吉林·阶段练习）（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D ①求抛物线的解析式； ②求△ABD的面积． （2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②． ①直接写出图像M所对应的函数解析式； ②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围． 24．（本小题满分12分）（2023·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，连接过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，过点作的垂线． (1)当时，求的长； (2)如图，延长交于点，请用含的代数式表示的面积； (3)如图，点在抛物线第一象限的图象上且位于点的左侧，连接并延长交于点，过点作垂直于，垂足为点，连接求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D D C D D C B 1．C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．利用二次函数的性质对用顶点式表示的二次函数进行分析后即可得到答案． 【详解】解：中， ， 图像开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； 函数有最小值为，故C正确； 当时，随的增大而增大，故D错误； 故选C． 2．A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴为，根据离对称轴越远，值越大即可求解． 【详解】解：已知二次函数解析式为， ∴图象开口向上，对称轴为， ∴离对称轴越远，值越大， ∵， ∴， 故选：A ． 3．D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、函数顶点坐标是，故该选项正确，不符合题意； B、二次函数对称轴为直线，函数开口向下，则当时，的值随的增大而减小，故当时，的值随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； C、由于函数开口向下，当时，函数有最大值，故该选项正确，不符合题意； D、当时，的值随的增大而增大，当时，的值随的增大先增大后减小，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 4．D 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质，二次函数顶点式，解题关键是通过顶点式写出顶点坐标． 根据二次函数解析式写出顶点坐标，即可判断． 【详解】解：根据二次函数的解析式可得：顶点坐标为， 、该图像的顶点坐标为，不符合题意； 、该图像的顶点坐标为，不符合题意； 、该图像的顶点坐标为，不符合题意； 、该图像的顶点坐标为，符合题意． 故选：． 5．D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质可以解答本题． 【详解】解：， 抛物线开口向下，顶点坐标为， 当时有最大值是3， 当时，， 当时，， 当时，函数值的取值范围为． 故选：D． 6．C 【分析】此题主要考查二次函数的性质．根据二次函数的性质，结合顶点坐标即可得出解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∴设新抛物线的解析式为， ∵抛物线与抛物线的形状相同、开口方向相反， ∴， ∴新抛物线解析式为． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，正确理解二次函数图象的平移规律是解题的关键．二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律即得答案． 【详解】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是． 故选D． 8．D 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象和二次函数的图象是解题的关键．分别判断一次函数和二次函数的图象分布位置即可． 【详解】解：由可得直线的图象过第一、二、四象限， 则选项C、D符合； 由可得抛物线的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 则选项A、D符合； 综上，只有选项D两个图象都符合， 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数顶点式即可对称轴和顶点坐标，进而根据对称性可求出点坐标，即可判定①；再根据点坐标求出即可判断②；由抛物线的开口方向和顶点坐标可判断③；由二次函数的增减性可判断④；由二次函数的性质可判断⑤，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵、两点是抛物线与轴的交点， ∴点关于对称轴对称， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴当时，有最大值是，故③错误； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， ∴时，随的增大而减小，故④错误； ∵， 当时，有最大值是， 当时，有最小值是， ∴当时，，故⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤，共个， 故选：． 11．直线 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质．熟练掌握抛物线的图象与性质是解题的关键． 根据抛物线的图象与性质作答即可． 【详解】解：∵抛物线为， ∴对称轴是直线． 故答案为：直线． 12． 【分析】本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征．由抛物线的顶点坐标是，可得沿轴翻折后的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，则沿轴翻折后顶点坐标是，开口向下， 新抛物线解析式是：， 故答案是：． 13． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于m的不等式是解题的关键． 可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为 14． 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据解析式得到抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下，则y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线，再根据自变量的取值范围推出当时，函数有最小值，据此求出最小值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线， ∵， ∴当时，当时，函数有最小值，最小值为， ∴y的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 直线不经过第四象限， ， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数顶点式，进行解答，即可． （1）根据抛物线上有且只有三个点到的距离等于，则为抛物线顶点到的距离，把抛物线化为顶点式，即可； （2）根据题意，则设点到轴的距离等于，即，得到，分类讨论：或时，确定的取值范围，即可． 【详解】解（1）∵抛物线上有且只有三个点到的距离等于， ∴为抛物线顶点到轴的距离， ∵， ∴抛物线的顶点位， ∴抛物线顶点到轴的距离为， ∴； （2）设点到轴的距离为 ∴ ∴ 当时，将代入 ∴； 当，把代入 ∴ ∵点到轴的距离小于 ∴ ∴ ∵时， ∴当时，；当时， ∴当时，的取值范围为 故答案为：（1）；（2）． 17． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性，三角形面积公式，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 根据轴，抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与到x轴的距离相等，可知C为顶点，，对称轴为直线，得到在x轴的上方， ，C到的距离为4，根据的面积为4，得到，设，，得到，即得． 【详解】∵抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点， ∴轴，作图如下， ∵抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等， ∴C为顶点，，对称轴为直线， ∴C在x轴下方，到x轴的距离为2， ∴在x轴的上方，到x轴的距离为2， ∴， ∴C到的距离为：， ∵， ∴， 设点A在点B的左边，则，， ∴， ∴． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，旋转的选择、勾股定理的应用，利用逆向思维，确定对应点、的关系，是本题的突破点．直线绕原点逆时针旋转得到，求得抛物线与轴的交点，绕原点顺时针旋转得到，由，即可求解． 【详解】解：直线绕原点逆时针旋转得到， 设抛物线与轴的交点为， 抛物线， 时，， ， 设点， 由题意得：， ， ， 点的坐标为 故答案为： 19．(1)对称轴为轴，开口向上，顶点坐标为 (2) 【分析】（1）由抛物线的性质可得答案； （2）由、，顶点P坐标为；可得的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口方向向上、对称轴为直线、顶点P坐标为； （2）解：如图，    ∵、，顶点P坐标为； ∴． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，坐标与图形面积，熟记抛物线的性质是解本题的关键． 20．（1），M (1，-2)；（2） 【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式． 【详解】解  （1）∵抛物线过点A(2，0)， ，解得， ， , ∴顶点M的坐标是(1，-2)； （2）设直线AM的解析式为， ∵图象过A(2，0)，M (1，-2)， ，解得， ∴直线AM的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 21．(1)抛物线的解析式为 (2)抛物线与轴的交点坐标为 (3)时，函数值随着的增大而减小 【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）计算自变量的值为所对应的函数值即可； （3）根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）当时，， 抛物线与轴的交点坐标为； （3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，函数值随着的增大而减小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，数量掌握二次函数的性质． 22．(1)， (2)存在，或或或． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解： 直线过点， ， ， ， ， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 顶点坐标为， 对称轴为直线， 过点作于点， 在中，． ①当时，设， 在中， 解之得 ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得：， ， ； ③当时，， ，． 综上所述：点的坐标为或或或． 23．（1）①；②8；（2）① ；②或 【分析】（1）①用待定系数法即可求解； ②当−（x−1）2＋4＝0时，解得 x1＝−1，x2＝3．则AB＝3−（−1）＝4，进而求解； （2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4，进而求解； ②观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）①把C（0，3）代入y＝−（x−1）2＋k，得3＝−（0−1）2＋k， 解得 k＝4． ∴y＝−（x−1）2＋4； ②由y＝−（x−1）2＋4．可知顶点D（1，4）． 当−（x−1）2＋4＝0时， 解得 x1＝−1，x2＝3． ∴A（−1，0），B（3，0）． ∴AB＝3−（−1）＝4． ∴S＝×4×4＝8； （2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4， ∴； ②从函数图象看，M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围为：x＜−1或0＜x＜1． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 24．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握两条直线的值相等，则两直线平行是解题的关键． （1）根据顶点式解析式求出点坐标，令，求出值可得点坐标，利用两点间距离公式求出的长即可； （2）分别用表示出、、的坐标，可表示出的长，再用待定系数法求直线的解析式，表示出点坐标，从而求出的长，即可求的面积； （3）设，用待定系数法先求直线的解析式，从而求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，从而判断直线与是平行的即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵该抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴， ． （2）∵， ∴， 当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴． （3）设，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ∴， ∵， ∴同理可求直线的解析式为， ∵直线的解析式为， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$