专题5.3 二次函数y=a(x-h)²(a≠0)和y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（3大知识点8类题型）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.3 二次函数y=a（x-h)²(a≠0)和y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（3大知识点8类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【知识点2】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【知识点3】二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【题型目录】 【题型1】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)对称轴、顶点坐标、开口方向...................2 【题型2】二次函数y=a(x-h)²+k对称轴、顶点坐标、开口方向......................2 【题型3】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的对称性、增减性、最值.....................3 【题型4】抛物线y=a(x-h)²(a≠0)之间y=a(x-h)²+k(a≠0)的平移关系................4 【题型5】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和坐标轴交点和面积问题...............5 【题型6】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)综合问题...................................6 【题型7】直通中考............................................................6 【题型8】拓展延伸............................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)对称轴、顶点坐标、开口方向 【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． （1）求，的值； （2）说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式1】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）关于抛物线：①；②；③y，下列结论正确的是（　　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．形状相同 D．都有最高点 【变式2】（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）已知抛物线，开口向下， 则k的取值范围是 ． 【题型2】二次函数y=a(x-h)²+k对称轴、顶点坐标、开口方向 【例2】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）在一个平面直角坐标系中，画出函数的图像． （1）列表、描点、连线： x … 0 1 … y （2）观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 【变式1】（2023·山东枣庄·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【变式2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）请写出一个开口向下，且经过点的二次函数解析式： 【题型3】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的对称性、增减性、最值 【例3】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知抛物线 （1）开口向______; （2）顶点坐标是______ ; （3）对称轴是______; （4）当______时，的最小值是______ ; （5）当时，随的增大而______; （6）若时，的取值范围为______ . 【变式1】（20-21九年级上·河北唐山·阶段练习）已知二次函数y=(x－1)2－1（0≤x≤3）的图像如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内的最值，下列说法正确的是（    ） A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，无最大值 C．有最小值0，无最大值 D．有最小值－1，有最大值3 【变式2】（22-23九年级上·黑龙江佳木斯·期末）点在二次函数的图像上，且到该抛物线对称轴的距离为3，则点的坐标为 ． 【题型4】抛物线y=a(x-h)²(a≠0)之间y=a(x-h)²+k(a≠0)的平移关系 【例4】（23-24九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数． （1）完成下表： x … 0 1 2 3 … y … … （2）根据（1）所列的表，描点（5个点），在下面网格中画出抛物线的图象．    （3）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线C（此处不作图）． ①直接写出抛物线C的表达式； ②请判断抛物线C是否经过点，并说明理由． 【变式1】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2019·四川广安·一模）将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是 ． 【题型5】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和坐标轴交点和面积问题 【例5】（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知抛物线的顶点C的坐标为，此抛物线交x轴于点A，B两点，点P为直线AD上方抛物线上一点，过点P作轴垂足为E，连接AP，PD．   （1）求抛物线和直线AD的解析式； （2）求线段PN的最大值； （3）当的面积是的面积的时，求点P的坐标． 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与x轴有两个交点 【变式2】在平面坐标系中，已知二次函数的图像与 轴交点为，与轴交点为，为坐标原点，则的面积是 . 【题型6】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)综合问题 【例6】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线和 （1）如何将抛物线平移得到抛物线？ （2）如图，抛物线与轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线于另一点，交轴于点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接． ①在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最小，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． ②若，求点的横坐标． 【变式1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（2023·福建福州·三模）如图，在正方形中，点，点，则二次函数与正方形有交点时，的最大值是 ．    第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例1】（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2021·浙江·中考真题）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 【题型8】拓展延伸 【例1】（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． （1）的值为______； （2）若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； （3）若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 【例2】（22-23九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； （2）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； （3）若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.3 二次函数y=a（x-h)²(a≠0)和y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（3大知识点8类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【知识点2】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【知识点3】二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【题型目录】 【题型1】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)对称轴、顶点坐标、开口方向...................2 【题型2】二次函数y=a(x-h)²+k对称轴、顶点坐标、开口方向......................2 【题型3】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的对称性、增减性、最值.....................3 【题型4】抛物线y=a(x-h)²(a≠0)之间y=a(x-h)²+k(a≠0)的平移关系................4 【题型5】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和坐标轴交点和面积问题...............5 【题型6】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)综合问题...................................6 【题型7】直通中考............................................................6 【题型8】拓展延伸............................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数y=a(x-h)²(a≠0)对称轴、顶点坐标、开口方向 【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． (1)求，的值； (2)说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)，；(2)抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 【分析】（1）根据二次函数的平移规律求解即可； （2）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的表达式解析式可以确定其对称轴和顶点的坐标． 解：（1）因为平移不改变图象的形状， 所以， 抛物线向左平移两个单位长度得到， 即， 所以； （2）抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是． 【点拨】此题考查了二次函数的图象和性质以及平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 【变式1】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）关于抛物线：①；②；③y，下列结论正确的是（　　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．形状相同 D．都有最高点 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数图象的性质，根据函数解析数确定对称轴，开口方向，顶点坐标，及最高点和最低点，形状，熟练掌握各函数图象的性质是解题的关键 解：①的对称轴为y轴，开口向上，顶点坐标为， 图象有最低点； ②的对称轴为y轴，开口向下，顶点坐标为， 图象有最高点； ③的对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为， 图象有最低点； ∵三个图象的，故三个抛物线的形状相同， 故选：C. 【变式2】（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）已知抛物线，开口向下， 则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数开口向下二次项系数即可求出答案． 解：由 题意可知：， 解得． 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． 【题型2】二次函数y=a(x-h)²+k对称轴、顶点坐标、开口方向 【例2】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】(1)填表、作图见详解； (2)填表见详解 【分析】本题主要考查二次函数作图， （1）把的值代入解析式求解，可得表格数据，在平面直角坐标系中根据的值描点，连线即可求解； （2）根据图示信息即可求解． （1）解：代入计算得， 描点，连线如图所示， （2）解：根据图示可得， 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 【变式1】（2023·山东枣庄·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）请写出一个开口向下，且经过点的二次函数解析式： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，以及开口向下． 解：根据题意可得：经过点， 故答案为：． 【题型3】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的对称性、增减性、最值 【例3】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知抛物线 (1)开口向______; (2)顶点坐标是______ ; (3)对称轴是______; (4)当______时，的最小值是______ ; (5)当时，随的增大而______; (6)若时，的取值范围为______ . 【答案】(1)上； (2)；(3)直线；(4)1，2； (5)减小；(6). 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 抛物线，的正负确定开口方向，对称轴是直线，顶点坐标是，结合二次函数的最值与增减性求解即可． （1）解：∵， ∴抛物线开口向上， 故答案为：上； （2）解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：； （3）解：抛物线的对称轴是：直线， 故答案为：直线； （4）解：∵抛物线开口向上， ∴顶点是最低点， 当时，的最小值是2； （5）解：当时，随的增大而减小， 故答案为：减小； （6）解：当时，， 当时，， ∵时，的最小值是2； ∴若时，的取值范围为， 故答案为：． 【变式1】（20-21九年级上·河北唐山·阶段练习）已知二次函数y=(x－1)2－1（0≤x≤3）的图像如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内的最值，下列说法正确的是（    ） A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，无最大值 C．有最小值0，无最大值 D．有最小值－1，有最大值3 【答案】D 【分析】根据图像可直接排除选项． 解：由图像可知：二次函数y=(x－1)2－1（0≤x≤3）的最大值为3，最小值为-1； 故选D． 【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·黑龙江佳木斯·期末）点在二次函数的图像上，且到该抛物线对称轴的距离为3，则点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】根据二次函数解析式得到对称轴，结合点在二次函数的图像上，且到该抛物线对称轴的距离为3，得到点的横坐标为或，将横坐标代入表达式即可得到答案． 解：二次函数， 对称轴为， 点在二次函数的图像上，且到该抛物线对称轴的距离为3， 点的横坐标为或，代入函数表达式得， 点的坐标为或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查二次函数图像与性质，涉及点在图像上，点到对称在距离等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【题型4】抛物线y=a(x-h)²(a≠0)之间y=a(x-h)²+k(a≠0)的平移关系 【例4】（23-24九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数． (1)完成下表： x … 0 1 2 3 … y … … (2)根据（1）所列的表，描点（5个点），在下面网格中画出抛物线的图象．    (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线C（此处不作图）． ①直接写出抛物线C的表达式； ②请判断抛物线C是否经过点，并说明理由． 【答案】(1)表格见详解; (2)图象见详解; (3)①；②不经过，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握画函数图象及其性质是解题的关键；因此： （1）把，，，，分别代入二次函数解析式进行求解即可； （2）根据五点描法可画出函数图象； （3）①直接根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解；②把代入抛物线C去验证即可． 解：（1）解：表格如下： 0 1 2 3 4 1 0 1 4 （2）解：图象如下所示：    （3）解：①由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线C的表达式为； ②把代入抛物线C的表达式得：， ∴抛物线C不经过点． 【变式1】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 解：将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为：，即； 故选：D． 【变式2】（2019·四川广安·一模）将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是 ． 【答案】y＝2（x+3）2+1 【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式． 解：抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1． 故答案为y＝2（x+3）2+1 【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【题型5】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象和坐标轴交点和面积问题 【例5】（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知抛物线的顶点C的坐标为，此抛物线交x轴于点A，B两点，点P为直线AD上方抛物线上一点，过点P作轴垂足为E，连接AP，PD．   (1)求抛物线和直线AD的解析式； (2)求线段PN的最大值； (3)当的面积是的面积的时，求点P的坐标． 【答案】(1)，; (2)PN的最大值为; (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用顶点式写出二次函数解析即可； （2）设点P的坐标为，则点N的坐标为，则，根据二次函数的性质即可求得； （3）求得的面积，进而求得的面积为5，然后根据列出关于m的方程，解方程即可求得P点的坐标． 解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为， ∴抛物线的解析式为，即； 令，则，解得或， ∴A（﹣5，0），，令，则， ∴， 设直线AD的解析式为， 则，解得 ∴直线AD的解析式为：； （2）设点P的坐标为，则点N的坐标为 ∴， ∴PN的最大值为； （3）∵顶点C的坐标为，，， ∴， ∵的面积是的面积的， ∴， ∴， 解得：或，则点P的坐标为或 【点拨】此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求二次函数解析式和三角形面积等知识，根据已知利用数形结合得出是解题关键． 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与x轴有两个交点 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质，求解即可． 解：二次函数 ，开口向下，A错误，不符合题意； 对称轴为：，B错误，不符合题意； 顶点坐标是，C正确，符合题意； ∵开口向下，顶点坐标是 ∴图象与x轴没有交点，D错误，不符合题意； 故选：C 【点拨】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及有关性质． 【变式2】在平面坐标系中，已知二次函数的图像与 轴交点为，与轴交点为，为坐标原点，则的面积是 . 【答案】1 【分析】已知函数解析式，可求出点A、B的坐标，再由三角形的面积公式直接解答； 解：由已知函数解析式得点A坐标为（1,0）； 由=2x2-4x+2得点B坐标为（0，2）， 所以中边OA=1，OB=2； 则的面积＝. 故答案为：1. 【点拨】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点问题．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而进行计算． 【题型6】二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)综合问题 【例6】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线和 (1)如何将抛物线平移得到抛物线？ (2)如图，抛物线与轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线于另一点，交轴于点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接． ①在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最小，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． ②若，求点的横坐标． 【答案】(1)见解析; (2)①存在，；② 【分析】1）将向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，即得；（2）①求出，代入求得，得到，当点M在上时，，最小，当时，，得到；②设交x轴于点N，，则，根据等腰三角形性质得到，得到，解得点的横坐标为． 解：（1）将向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到； （2）①存在，理由： 当时， ， ∴， 代入， 得， ∴， ∴， 当点M在上时， ，最小， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ②设交x轴于点N，， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴点的横坐标为．    【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数平移，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数图象和性质，勾股定理，等腰三角形性质，是解决问题的关键． 【变式1】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故C选项错误； 如图所示，若，则， 故B选项正确，D选项错误； 故选：B 【变式2】（2023·福建福州·三模）如图，在正方形中，点，点，则二次函数与正方形有交点时，的最大值是 ．    【答案】 【分析】根据抛物线顶点坐标可确定其顶点在直线上移动，然后再确定当抛物线左侧经过点时，取得最大值，以此代入坐标求解即可． 解：由题意，该抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点在直线上移动， ∵四边形为正方形，点，点， ∴点的坐标为， 如图所示，当抛物线左侧经过点时，取得最大值，    将代入得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数图象与性质，掌握抛物线顶点特征及运动轨迹，确定取得最值时的特殊位置是解题关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例1】（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 【例2】（2021·浙江·中考真题）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 【答案】（1），M (1，-2)；（2） 【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式． 解  （1）∵抛物线过点A(2，0)， ，解得， ， , ∴顶点M的坐标是(1，-2)； （2）设直线AM的解析式为， ∵图象过A(2，0)，M (1，-2)， ，解得， ∴直线AM的解析式为． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【题型8】拓展延伸 【例1】（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． （1）的值为______； （2）若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； （3）若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1； (2)见解析；(3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系； （1）由图像过点，得，即可求解； （2）可得，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解； （3）由根的判别式和根于系数的关系得，，即可求解； 掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键． （1）解：图像过点，， ； 故答案：； （2）解：由（1）得 ， ， ， ， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， 到对称轴距离越小的点，纵坐标越大， ； （3）解：由（1）得 ， 整理得：， 方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根， ， 令，画出图象如图所示： 由图象得：或， ∵方程有一个正根和一个负根， ∴， 则有 同理由图象求得， 或， 综上：a的取值范围为：或． 【例2】（22-23九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形． （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； （2）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； （3）若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）画出函数的图像，求出点D的坐标，即可求解； （2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解； （3）同（2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解． （1）解：函数的图像如下： 抛物线是美丽抛物线时，则AC=2， ∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1）， 将点D的坐标代入得：， 解得； 故答案为：； （2）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得； 故答案为：4； （3）解：∵， ∴顶点A的坐标为， 同理，点D的坐标为， 将点D的坐标代入得： , 解得． 【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了正方形的性质、二次函数的性质、新定义等，正确理解新定义、利用二次函数的性质解答，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$