专题5.2 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.2 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）函数与在同一坐标上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（10-11九年级下·北京西城·期末）将抛物线绕原点O旋转，则旋转后抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（20-21九年级上·河南周口·期末）二次函数在内的最小值是（    ） A．3 B．2 C．－29 D．－30 6．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）已知点，点，点三点都在抛物线的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，点的横坐标为，则点的横坐标为（   ） A．3 B．4 C．3.5 D．2 8．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知抛物线，直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 10．（2024九年级·全国·竞赛）如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，现将进行等分，分点分别为点，过各分点的垂线分别交二次函数的图象于点，记的面积分别为、，当越来越大时，最接近的常数是（    ）．    A． B． C． D．1 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·全国·期中）若二次函数的图象开口向下，则m的值为 ． 12．（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）若点，都在抛物线上，则线段的长为 ． 13．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如果一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图像的顶点，则 ． 14．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）对于二次函数，当x取，时，函数值相等，则当x取时，函数值为 ． 15．（24-25九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 16．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为 ．    17．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，小刚利用计算机绘制了一个树叶图案，曲线为抛物线的一部分，顶点为A，曲线与曲线关于直线对称，点B为点A的对称点，则点B的坐标为 ． 18．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）抛物线的图象交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B． （1）点B坐标为 ； （2）点，，且线段与抛物线恰有一个公共点，则m的取值范是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分10分）（22-23九年级上·天津津南·期中）已知抛物线具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一动点，则 (1)当面积为4时，求P点的坐标； (2)求周长的最小值． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）【探究】如图，已知抛物线 （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象 (不要求列表)； （2）该抛物线可由抛物线 向 平移 个单位得到； （3）当时，函数值y取值范围是 ． 【应用】已知二次函数 （h是常数），且自变量取值范围是． ①当时，求函数的最大值 ②若函数的最大值为，求h的值． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点，横轴上有一动点，连接，作的中垂线，过点作横轴的垂线和交于点．设点的坐标为，当点在横轴上运动时，解决下列问题： (1)求之间满足的函数关系式； (2)已知在此函数图象上，请求出的面积． 24．（本小题满分12分）（2019·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．     (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D C C A B A B 1．C 【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出，然后将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，，， 解得：， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象，可知，，由二次函数的图象可知，两者相吻合；故此选项符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，两者不吻合；故此选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，两者不吻合；故此选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，此时无实数根，故此选项不符合题意； 故选：． 3．A 【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求得旋转后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式求解即可． 【详解】解：的顶点坐标为， ∵抛物线绕原点O旋转， ∴旋转后的抛物线的顶点坐标为， ∴旋转后的抛物线的解析式为， 故选：A． 【点拨】本题考查二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键． 4．D 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为轴，则关于轴的对称点为，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为轴 ∵关于对称轴轴对称点为， ∴是抛物线上点， 又∵， 当时，随的增大而减小， ，点，，是抛物线上的三点， ， 故选：D． 5．C 【分析】根据图象，直接代入计算即可解答 【详解】解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y最小值=-2×16+3=-29． 故选：C． 【点拨】本题考查二次函数最小（大）值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 6．C 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，然后根据横坐标的大小关系得出答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∴抛物线上点的对称点为， 又∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的对称轴，开口方向和增减性与系数的关系是解题的关键． 7．A 【分析】本题考查二次函数与正方形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键，根据题意求出点坐标，从而得到的长，根据正方形的性质得到长, 过点作轴于点，过点作轴于点,可证,得到,在直角中,利用勾股定理解得的长,进而得到的长,即可得到答案． 【详解】解：由题可得：设 ∵点在抛物线的第一象限的图象上， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴, ∵四边形为正方形， ∴, 过点作轴于点，过点作轴于点, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵点的横坐标为， ∴ ∴在中，, ∴, 点的横坐标为3, 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明．可得，．再根据，．得，，由列出m、n得关系式即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 四边形是正方形， ，， ∴， ． ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ∴，， ∵， ∴， ． ， ． ． 故选：B． 9．A 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，轴对称的性质，本题先画出函数的简易图象，计算当的函数值，对折后可得函数值取全体实数，从而可得的范围． 【详解】解：如图，把代入， ∴， 由图象可得直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变， 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上， ∴； 故选A 10．B 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，理解二次函数图象的特点，运用极限思想分析问题是关键．先求出函数：的图象与轴的正半轴相交于点坐标，再根据题意得到三角形的面积计算方法，最后根据计算结果可推出最佳答案． 【详解】解：由题意可得：的图象与轴的正半轴相交于点 ， ， 当越来越大时，最接近的值为． 故选：B． 11．5 【分析】本题考查了二次函数的定义和的图象与性质，掌握当时图象开口向上，当时图象开口向下，是解题关键；本题根据且，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴，， ∴ 故答案为：5 ． 12．4 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出，，即可得解，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵点，都在抛物线上， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】把代入求得，根据二次函数的顶点坐标为，把代入求得，把，代入，即可求得a值． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴， 解得， ∴， ∵一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点， ∴另一个交点为， 把代入，得， 把，代入，得 ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的图象性质、一次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的图象性质和二次函数的图象性质解答． 14．3 【分析】根据抛物线的顶点式得到二次函数图象的对称轴为y轴，所以函数值相等，则自变量互为相反数，然后计算自变量为0时的函数值即可． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为y轴，当x分别取，时，函数值相等， ∴， ∴当时，． 故答案为：3． 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 15． 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为，，， ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，连接AC，交y轴于点D，根据二次函数图象的性质和正方形的性质得，进而得到，将A的坐标代入求解即可． 【详解】解：连接AC，交y轴于点D，    当时，则，即， 四边形是正方形， ，， 点， ， 解得：， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、关于直线对称的点的坐标，如关于直线的对称点为，根据二次函数的性质和关于对称点的特点求解即可． 【详解】抛物线的顶点为A， ， 点B是点A关于直线的对称点， ， 故答案为：． 18． / 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对m进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键． （1）求出A点坐标，再由点B关于x轴对称，根据点的对称性可求B点坐标； （2）根据题意，分两种情况分别求：当和时，根据“线段与抛物线恰有一个公共点”列出不等式，再结合图象可确定m的范围． 【详解】解：（1）抛物线与y轴交于点A， ∴， 点A关于x轴的对称点为点B， ∴， 故答案为：； （2）当时， 通过观察可得：C在直线l上，若要与抛物线有一个交点， 则， 解得（舍）， 当时， ， 解得，即． 19．(1) (2)当时，函数随的增大而减少 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式． （1）利用待定系数法即可求出函数的关系式． （2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而减少． 【详解】（1）解：把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）解：这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而减少． 20．(1)抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为 (2)不存在．理由见解析 【分析】本题考查抛物线的图象和性质，全等三角形的性质等： （1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）假设存在一点M，使，则点M和O关于直线对称， 求出点M的坐标，再判断点M是否在抛物线上即可． 【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为． （2）解：不存在．理由如下： 对于，令，则， 解得，， 点A的坐标为，点B的坐标为． 则， 是等腰直角三角形． 假设存在一点M，使， 为公共边，， 点M和O关于直线对称， 四边形是正方形， 点M的坐标为． 当时，， 即点M不在抛物线上， 在抛物线上不存在一点M，使． 21．(1)或 (2)5 【分析】（1）设P点的坐标为，根据面积为4求出点P的横坐标，代入解析式得到对应y值，即可求解； （2）过点M作轴于点E，与抛物线交于点，由点在抛物线上可得出，结合点到直线之间垂线段最短及为定值，即可得出当点P运动到点时，周长取最小值，由此可解． 【详解】（1）解：设P点的坐标为， 点F的坐标为， ， 当的面积为4时，， 解得：， ， 点P的坐标为或． （2）解：过点M作轴于点E，与抛物线交于点． 抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等， ， 又为定值， 当点P运动到点时，周长取最小值， ,， ，， ， 周长的最小值为5． 【点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出周长取最小值时点P的位置是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）上，4；（3）；[应用]①0；②1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）根据画二次函数 图象的方法画图即可； （2）利用二次函数的平移规律求解即可； （3）利用二次函数的性质并结合函数图象即可得出结论； 【应用】①利用二次函数的性质求解即可； ②分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）如图， （2）该抛物线可由抛物线 向上平移4个单位得到， 故答案为：上，4； （3）抛物线开口向下，当时，y有最大值为4， 当时，；当时， ∴当时，函数值y取值范围是， 故答案为：； [应用]①抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为0； ②当时，时，y随x的增大而减小，则当时，y有最大值， ∴， 解得，（舍去） 当时，时，y有最大值为0，故不符合题意； 当时，时，y随x的增大而增大，则当时，y有最大值， ∴， 解得（舍去），（舍去） 综上，若函数的最大值为，则h的值为1或6． 23．(1) (2) 【分析】（1）连接，作于点H，根据中垂线的性质得到，再利用勾股定理，从而建立x和y之间的函数关系式； （2）将点D，C，B的坐标分别代入（1）中得到的解析式中，得到D，C，B的坐标，数形结合利用割补法得到的面积. 【详解】（1）解：连接，过点作轴于． 则，， ，． ． （2）由（1）知，，如图， . 【点拨】本题考查了一次函数的性质、二次函数的基本性质、中垂线的性质、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 24．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A1的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A2的坐标． 【详解】（1）解：将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线， 如图：      （2）解：由题意，得点的“关联点”为， 由点在抛物线上，可得， ∴， 又在抛物线上， ， 解得． 将代入，得； （3）解：点的“待定关联点”为， ∵在抛物线的图象上， ， ． 又 , 当时，， 故可得． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$