专题5.1 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（3大知识点7类题型）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.1 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（3大知识点7类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次函数的概念 1、二次函数：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2、二次函数必须同时具备的条件 （1）含有自变量的代数式必须是整式； （2）化简后自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不为0. 【知识点2】二次函数y=ax²(a≠0)的图象和性质 1、 抛物线：二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线，它是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点. 抛物线y=ax²的对称轴是y轴，顶点是原点. 2、 用描点法画二次函数y=ax²的图象的一般步骤 （1） 列表：让x取一些有代表性的值，求出对应的y的值，列出表格； （2） 描点：在平面直角坐标系内，以自变量x的值为横坐标，以相应的值为纵坐标，描出相应的点； （3） 连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接各点，并向两端无限延伸. 3、 二次函数y=ax²的图象和性质 y=ax²(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y有最小值为0. 当x=0时，y有最大值为0. 【知识点3】二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象和性质 1、二次函数y=ax²+k与y=ax²的图象间关系 二次函数y=ax²+k与y=ax²的图象形状相同，只是位置不同，抛物线y=ax²+k可由抛物线y=ax²沿y轴向上（下）平移个单位长度得到.当，沿y轴向上平移个单位，当时，向下平移个单位. 2、二次函数y=ax²+k的图象和性质 y=ax²+k(a≠0) a>0 k>0 a<0, k>0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y有最小值为k. 当x=0时，y有最大值为k. 题型目录 【题型1】二次函数的概念........................................................3 【题型2】二次函数y=ax²的图象和性质.............................................4 【题型3】二次函数y=ax²+c的图象和性质...........................................6 【题型4】二次函数y=ax²与y=ax²+k的图象平移关系..................................9 【题型5】二次函数y=ax²与y=ax²+k的图象和性质几何应用...............................11 【题型6】直通中考..................................................................14 【题型7】拓展延伸..................................................................15 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数的概念 【例1】（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)判断点是否在该二次函数图象上． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 【题型2】二次函数y=ax²的图象和性质 【例2】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？ （3）当m为何值时，该函数有最小值？ （4）试说明函数的增减性． 【变式1】（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【题型3】二次函数y=ax²+c的图象和性质 【例3】（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 【变式1】（2022九年级下·全国·专题练习）在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线： ，，． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【变式2】（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列图象中，有可能是函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【题型4】二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象平移关系 【例4】（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； （2）抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【变式1】关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）． A． 对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到 D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降 【变式2】（21-22九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）将抛物线y＝x2先向右平移6个单位长度，向下平移8个单位长度，此时抛物线的顶点与原点O的距离为 ． 【题型5】二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象和性质几何应用 【例5】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． （1）求证：； （2）设点，求的最小值及此时点的坐标． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·广东佛山·二模）如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2020·四川南充·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ． 【题型7】拓展延伸 【例1】（22-23九年级上·湖北鄂州·期末）（1）如图1，在平面直角坐标系中，有两点，，过两点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为直线与相交于点，则线段，，所以……①，我们把①式称作两点间的距离公式．请根据此公式，求出，两点之间的距离； （2）如图2，平面直角坐标系中，的三个顶点都在抛物线上，且轴，，过点作，垂足为，请直接运用第一问的结论求出的长； （3）如图3，的三个顶点都在抛物线上，且直角顶点在该抛物线的顶点处，设直线的解析式为，试证明该直线必过一定点． 【例2】（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P． (1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线； (2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式； (3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（3大知识点7类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次函数的概念 1、二次函数：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2、二次函数必须同时具备的条件 （1）含有自变量的代数式必须是整式； （2）化简后自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不为0. 【知识点2】二次函数y=ax²(a≠0)的图象和性质 1、 抛物线：二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线，它是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点. 抛物线y=ax²的对称轴是y轴，顶点是原点. 2、 用描点法画二次函数y=ax²的图象的一般步骤 （1） 列表：让x取一些有代表性的值，求出对应的y的值，列出表格； （2） 描点：在平面直角坐标系内，以自变量x的值为横坐标，以相应的值为纵坐标，描出相应的点； （3） 连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接各点，并向两端无限延伸. 3、 二次函数y=ax²的图象和性质 y=ax²(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y有最小值为0. 当x=0时，y有最大值为0. 【知识点3】二次函数y=ax²+k(a≠0)的图象和性质 1、二次函数y=ax²+k与y=ax²的图象间关系 二次函数y=ax²+k与y=ax²的图象形状相同，只是位置不同，抛物线y=ax²+k可由抛物线y=ax²沿y轴向上（下）平移个单位长度得到.当，沿y轴向上平移个单位，当时，向下平移个单位. 2、二次函数y=ax²+k的图象和性质 y=ax²+k(a≠0) a>0 k>0 a<0, k>0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点（0，0） 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y有最小值为k. 当x=0时，y有最大值为k. 题型目录 【题型1】二次函数的概念........................................................3 【题型2】二次函数y=ax²的图象和性质.............................................4 【题型3】二次函数y=ax²+c的图象和性质...........................................6 【题型4】二次函数y=ax²与y=ax²+k的图象平移关系..................................9 【题型5】二次函数y=ax²与y=ax²+k的图象和性质几何应用...............................11 【题型6】直通中考..................................................................14 【题型7】拓展延伸..................................................................15 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数的概念 【例1】（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)判断点是否在该二次函数图象上． 【答案】(1)；(2)不在 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的点的坐标特征，熟练掌握函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义得到，然后解之即可得到满足条件的m的值； （2）将代入函数关系式，求出y的值，再比较即可得出结论． （1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：函数解析式为：， 当时，， 点不在该二次函数图象上. 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金． 解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 【答案】敏敏 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键． 解：是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故敏敏正确． 【题型2】二次函数y=ax²的图象和性质 【例2】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？ （3）当m为何值时，该函数有最小值？ （4）试说明函数的增减性． 【答案】(1)或 (2)当时，该函数图像的开口向下 (3)当时，原函数有最小值 (4)见解析 【分析】(1)由二次函数的定义可得故可求m的值． (2)图像的开口向下，则，结合（1）中的结果，即可得m的值； (3)函数有最小值，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；； (4)根据（1）中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定． 解：（1）根据题意，得， 解得， ∴当或时，原函数为二次函数． （2）∵图像开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴当时，该函数图像的开口向下． （3）∵函数有最小值， ∴， 则， ∴， ∴当时，原函数有最小值． （4）当时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 【点拨】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察． 【变式1】（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）二次函数的图像是 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方向是 ． 【答案】 抛物线 轴 向下 【分析】本题考查二次函数的性质．熟记知识点是关键． 解：图像为抛物线；对称轴为轴；顶点坐标为；，开口向下； 故答案为：抛物线；轴；；向下． 【题型3】二次函数y=ax²+k的图象和性质 【例3】（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 【答案】(1)5，3； (2)-2或2；(3)或；(4)或 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得；（3）根据函数图象即可求得；（4）根据图象求得答案即可． （1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：观察图象可得： 直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 【变式1】（2022九年级下·全国·专题练习）在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线： ，，． （1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【答案】（1）抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）． 【分析】（1）首先利用取值、描点、连线的方法作出三个函数的图象，根据二次函数图象，可得二次函数的开口方向，对称抽，顶点坐标，通过观察归纳它们之间的关系． （2）由（1）的规律可得抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 解：（1）列表： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 2 0 2 … 描点、连线，可得抛物线． 将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）． 抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）． （2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象，发现图象的变化规律是解答此题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列图象中，有可能是函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，若开口向上，则；反之，．对称轴为轴；图象与轴交点在轴上方，则；反之，则，据此即可求解． 解：若，则图象开口向上，对称轴为轴，与轴交点在轴上方，故A满足题意； 若，则图象开口向下，对称轴为轴，与轴交点在轴下方； 故选：A 【题型4】二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象平移关系 【例4】（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数，的图象．    （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； （2）抛物线可由抛物线向______平移______个单位长度得到． 【答案】(1)答案见解析 (2)上，3 【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （2）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． （1）解：如图所示，    ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为： ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； （2）解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同， 相当于向上平移3个单位得到． 故答案为：上；． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键． 【变式1】关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）． A． 对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到 D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可． 解：A.二次函数 的对称轴为直线，故A选项不符合题意； B. 二次函数 的顶点坐标，故B选项不符合题意； C. 二次函数 的图像可以由二次函数 的图像向上平移1个单位得到，故C选项不符合题意； D. 二次函数 的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，故D选项符合题意． 故答案为：D． 【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的关键． 【变式2】（21-22九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）将抛物线y＝x2先向右平移6个单位长度，向下平移8个单位长度，此时抛物线的顶点与原点O的距离为 ． 【答案】10 【分析】先得到抛物线的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（6，﹣8），然后根据勾股定理即可求得． 解：∵抛物线的顶点坐标为（0，0） ∴抛物线向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度后得到对应点的坐标为（6，-8） ∴抛物线的顶点与原点O的距离为：． 故答案为：10． 【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，求得平移后的顶点坐标是解题的关键． 【题型5】二次函数y=ax²与y=ax²+k的图象和性质几何应用 【例5】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． （1）求证：； （2）设点，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 解：（1）证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； （2）解：， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为． 【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线上两点，且线段轴．若，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出点横坐标为，代入解析式进行求解即可． 解：∵关于y轴对称，线段轴， ∴线段关于y轴对称， ∵且点A在第二象限， ∴点A的横坐标为， 把代入，得， ∴点A的坐标为． 故选D． 【变式2】（2024·广东佛山·二模）如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 解：过点作轴交轴于点， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把代入， ∴， ∴， 故答案为： 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2020·四川南充·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 解：当抛物线经过（1，3）时，a=3， 当抛物线经过（3，1）时，a=， 观察图象可知≤a≤3， 故选：A． 【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【例2】（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ． 【答案】 【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解． 解：将点代入抛物线中，解得， ∴抛物线解析式为， 设CD、EF分别与轴交于点M和点N， 当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x， 此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中， 得到：， 解得，(负值舍去)， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 【题型7】拓展延伸 【例1】（22-23九年级上·湖北鄂州·期末）（1）如图1，在平面直角坐标系中，有两点，，过两点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为直线与相交于点，则线段，，所以……①，我们把①式称作两点间的距离公式．请根据此公式，求出，两点之间的距离； （2）如图2，平面直角坐标系中，的三个顶点都在抛物线上，且轴，，过点作，垂足为，请直接运用第一问的结论求出的长； （3）如图3，的三个顶点都在抛物线上，且直角顶点在该抛物线的顶点处，设直线的解析式为，试证明该直线必过一定点． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据材料提示的两点之间的距离公式，把点，代入即可求解； （2）的三个顶点都在抛物线上，由对称性可设，，，根据勾股定理即可求解； （3）的三个顶点都在抛物线上，且直角顶点在该抛物线的顶点处，可知，设，，由两点间距离公式，勾股定理可得，联立、即可求解． 解∶（1）∵，， ∴； （2）∵的三个顶点都在抛物线上， 由对称性可设，，，则，， ∴  ① ，，， ∴， 化简得．② 联立①、②得，或0，又因为， ∴，即； （3）的三个顶点都在抛物线上，且直角顶点在该抛物线的顶点处， ∴， 设，， 由两点间距离公式可得，，， 又由勾股定理得， ∴，化简得  或0 ∵， ∴， 联立、得，， 的两个根分别是， 由根与系数的关系得：， ∴，， ∴直线必过点． 【点拨】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图形的性质，材料中给出的两点间距离公式的计算方法，勾股定理是解题的关键． 【例2】（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P． (1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线； (2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式； (3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)图见解析，抛物线；(2)； (3)或 【分析】（1）按要求画出点，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，即可判定曲线的类型； （2）由勾股定理建立方程，整理后即可得x，y满足的函数关系式； （3）由的横坐标可求得的坐标，由待定系数法求出直线的解析式，求出与y轴的交点坐标，则可求出的面积；设直线与直线交于点B，则可求得；而由点P的横坐标得，进而求出线段，则可求出的面积，由的面积不超过的面积的一半，得到关于a的不等式，解不等式即可求得a的范围． （1）解：如图所示， 则L是抛物线； （2）解：由题意轴，则， ， 而，， 由于，由勾股定理得：， 即， 整理得：； （3）解：由题意知，当时，；当时，； 即； 设过的直线解析式为，则有，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，则，即直线与y轴交点为， ； 设直线与直线交于点B，则；而， ， 故， 由题意得， 即， ∴， 解不等式得：或； 即a的取值范围为：或． 【点拨】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，二次函数与面积问题，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与不等式，勾股定理等知识，综合性强，运算量大，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$