精品解析：陕西省榆林市府谷县2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题

府谷县2024-2025学年度第一学期期中检测 九年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共6页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．根据比例的性质可得，，再代入计算可得答案． 【详解】解： ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 2. 如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形是正方形，得到，根据得到，选择即可． 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故选C． 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 4. 如图，已知直线，分别交直线于点，直线相交于点，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ，，， 选项A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意； 故选：D． 5. 如图，在中，对角线相交于点，添加下列一个条件，能判定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是菱形，故选项符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴是矩形，故选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形，故选项不符合题意， D、∵四边形是平行四边形，， ∴还是平行四边形，故选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 7. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，把代入求解时间即可． 【详解】解：∵， 当时， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴“水火箭”升空的时间为， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质、角平分线定义推得，则，再结合勾股定理求出，推出后，结合中位线定理即可得解． 【详解】解：矩形中，，， 又平分，， ，，， ， ， 中，， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， 即． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、角平分线的定义、等角对等边、勾股定理解直角三角形、中位线定理，解题关键是熟练掌握中位线定理． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：2 10. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 _______． 【答案】##27度 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题关键是根据菱形和三角形内角和的性质得出角之间的关系． 根据菱形的性质求出，根据互余性质得到，计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 不透明的木箱里装有12个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同，从木箱里随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在附近，估计木箱中蓝球有________个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中蓝球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中蓝球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中蓝球约有8个， 故答案为：8． 12. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点为的黄金分割点，即．若，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在正方形中，，点是边上一点，且．点是对角线上一点，连接，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由正方形的性质得，，，再运用勾股定理得，，再证明，列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握求根公式，是解题的关键．根据一元二次方程的求根公式，解方程即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， 即，． 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再把方程化为，再化为两个一次方程求解即可． 【详解】解：， 移项得：， ∴， ∴或， 解得：，． 16. 如图，、相交于点P，连接、，且，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即：， ∴． 17. 如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，作已知角的角平分线，先作的平分线，交于，再证明，可得，可得即为所求． 【详解】如图，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，在矩形中，点在上，且，连接．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴，． 在和中， ∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】略 19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件，若商场每天盈利元，请帮助商场算一算，每件应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件衬衫应降价元，由题意可列方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每件衬衫应降价元， 由题意可得， 化简得 解得，，， ∵为了尽量减少库存，由， 所以应该选择降价元， 答：每件衬衫应降价元． 20. 五一小长假期间，小林和小云一起来到昆明旅游，晚上他们打算去特色街吃饭，他们看到满大街各式各样的美食，却不知道选择哪一个，于是通过抽卡片的游戏来决定吃什么，他们制作了四张背面完全相同的卡片，在正面上分别写着：A过桥米线；B野生菌火锅；C鲜花饼；D汽锅鸡，将这四张卡片背面朝上，放置在水平桌面上，洗匀放好．小林先从四张卡片中随机抽取一张，放回洗匀后，小云再从四张卡片中随机抽取一张． （1）小林抽到卡片正面写着汽锅鸡的概率是 ； （2）请利用列表或画树状图的方法，求两个人抽到同一种特色美食的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，概率公式： （1）直接利用概率公式计算即可； （2）列出图表得出所有等可能的结果数和抽到的两张卡片恰好是同一种美食的结果数，再利用概率公式直接计算． 【小问1详解】 ∵共有四张卡片， ∴小林抽到卡片正面写着汽锅鸡的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 所有可能出现的结果列表如下： （小林，小云） A B C D A B C D 由表可知共有16种等可能出现的结果，其中两人抽到同一种食物的有4种， ， 两人抽到同一种美食的概率为． 21. 如图，小张所在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的高度．当小张站在与教学楼和水塔在同一直线的点处时，刚好看到教学楼顶端与水塔顶端在一条直线上，此时他与教学楼的距离为．已知教学楼的高为，小张的眼睛到地面的距离为．求水塔的高度． 【答案】水塔的高度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先过作，交于点交于点，可以构造矩形，利用平行线分线段成比例定理的推论易得，再利用比例线段，可求，进而可求即可． 【详解】解：如图，过作，交于点交于点， 结合题意知，，，，，则， ∵， ， ， ∴， ， ， 所以水塔的高度为． 22. 某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． （1）用含x的代数式表示花园内温室花房的面积和小路面积； （2）若草坪面积为时，求这时道路宽度． 【答案】（1）花园内温室花房的面积为平方米，小路面积为：平方米 （2）道路宽度的值为米． 【解析】 【分析】（1）由温室花房边长是小路宽度的倍，可得出温室花房边长是米，可得出温室花房的面积；利用花园内的小路面积小路的长度小路的宽度，即可用含的代数式表示出花园内的小路面积； （2）利用草坪的面积长方形花园的面积小路的面积亭子的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：小路宽度为米，温室花房边长是小路宽度的倍， 温室花房边长是米， ∴花园内温室花房的面积为平方米 小路面积为平方米， 故小路面积为：平方米； 【小问2详解】 依题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：这时道路宽度的值为米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出花园内的小路面积，列出一元二次方程是解题的关键． 23. 如图，在中，点P，D分别在边，上，，垂足为A，，垂足为P，且． （1）求证： （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴． 又， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，根据条件找到图中的相似三角形是解题关键． （1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，通过相似三角形的性质即可证明； （2）先通过（1）中的相似三角形，得到相等角，利用等角对等边，求出，再利用角的等量代换，得到另一组相等角，从而证明另一组相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1），得， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 故的长为． 24. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线，的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 25. 如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示： ， ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． ()根据矩形的性质，利用路程速度时间可得答案； ()求解，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为 ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ， ∴， 由勾股定理可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当时，， ∴，即， 解得：， ②当时，， ∴，即， 解得：； 综上，当或时，以为顶点的三角形和相似． 26. （1）【发现】如图1，正方形的边长为4，点为中点．连接．将绕点顺时针旋转至，连接交于点．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点作，交AD于点……请沿着小明的思路思考下去，则 ； （2）【应用】如图2，菱形的边长为3，且，连接，点为上一点，连接．将绕点顺时针旋转至，连接交于点，若，求的值： （3）【拓展】如图3，在四边形中，，且，，点为上一点，连接．将绕点顺时针旋转至，连接交于点G，，请求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先由正方形的性质得到，，再由线段中点的定义得到，则由勾股定理可得；由旋转的性质可得，，则可证明三点共线；证明四边形是矩形，得到，，再证明，推出，得到，则，据此可得； （2）过点E 作交于M，作于N，由菱形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，，则，可得，，由勾股定理得，则；证明是等边三角形，得到，由旋转的性质得到，则可证明三点共线，证明，则可证明，进而推出，则，进而求出，则； （3）如图3-1所示，过点E作交于K，作，交延长线于点R，延长交于点Q，则，由平行线的性质得到，，进而可证明，求出，得到，设，则，；由旋转的性质得到，，证明，则可证明三点共线，再证明，得到；如图3-2所示，过点B作，过点A作，则，可得，证明四边形是矩形，得到，则，，进而得到， 解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴； 由旋转的性质可得，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）过点E 作交于M，作于N， ∵四边形是边长为3的菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转 至， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3-1所示，过点E作交于K，作，交延长线于点R，延长交于点Q， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转至， ∴，， ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∴（也可以过点A作交于M，分别证明四边形是平行四边形，是等边三角形，也可得此结论） ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∴， 如图3-2所示，过点B作，过点A作，则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 经检验：是方程的解， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰梯形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 府谷县2024-2025学年度第一学期期中检测 九年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共6页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，分别交直线于点，直线相交于点，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线相交于点，添加下列一个条件，能判定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 7. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．已知“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 10. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 _______． 11. 不透明的木箱里装有12个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同，从木箱里随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在附近，估计木箱中蓝球有________个． 12. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比例．如图，点为的黄金分割点，即．若，则的长为________． 13. 如图，在正方形中，，点是边上一点，且．点是对角线上一点，连接，若，则的长为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 解方程：． 16. 如图，、相交于点P，连接、，且，，，，求的长． 17. 如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在矩形中，点在上，且，连接．求证：． 19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件，若商场每天盈利元，请帮助商场算一算，每件应降价多少元？ 20. 五一小长假期间，小林和小云一起来到昆明旅游，晚上他们打算去特色街吃饭，他们看到满大街各式各样的美食，却不知道选择哪一个，于是通过抽卡片的游戏来决定吃什么，他们制作了四张背面完全相同的卡片，在正面上分别写着：A过桥米线；B野生菌火锅；C鲜花饼；D汽锅鸡，将这四张卡片背面朝上，放置在水平桌面上，洗匀放好．小林先从四张卡片中随机抽取一张，放回洗匀后，小云再从四张卡片中随机抽取一张． （1）小林抽到卡片正面写着汽锅鸡的概率是 ； （2）请利用列表或画树状图的方法，求两个人抽到同一种特色美食的概率． 21. 如图，小张所在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的高度．当小张站在与教学楼和水塔在同一直线的点处时，刚好看到教学楼顶端与水塔顶端在一条直线上，此时他与教学楼的距离为．已知教学楼的高为，小张的眼睛到地面的距离为．求水塔的高度． 22. 某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． （1）用含x的代数式表示花园内温室花房的面积和小路面积； （2）若草坪面积为时，求这时道路宽度． 23. 如图，在中，点P，D分别在边，上，，垂足为A，，垂足为P，且． （1）求证： （2）如果，，求的长． 24. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 25. 如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示： ， ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 26. （1）【发现】如图1，正方形的边长为4，点为中点．连接．将绕点顺时针旋转至，连接交于点．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点作，交AD于点……请沿着小明的思路思考下去，则 ； （2）【应用】如图2，菱形的边长为3，且，连接，点为上一点，连接．将绕点顺时针旋转至，连接交于点，若，求的值： （3）【拓展】如图3，在四边形中，，且，，点为上一点，连接．将绕点顺时针旋转至，连接交于点G，，请求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $