精品解析：上海市宝山实验学校2024-2025学年九年级上学期期中数学测试卷

上宝中学2024学年第一学期期中考试 初三数学试卷 （答题时间：100分钟 满分1150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如果，那么下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 在比例尺为1︰2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为（ ） A. 10m B. 25m C. 100m D. 10000m 3. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（　　） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：16 D. 无法确定 4. 如图5， 已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为 A. （2，3） B. （3，2） C. （3，3） D. （4，3） 5. 如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：___________． 8. 把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm． 9. 如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是____________ 10. 如果抛物线y=（m-1）x2+2mx+1的图像开口向下，那么m的取值范围是_____． 11. 将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式为______． 12. 二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为______． 0 1 2 3 4 7 2 2 7 13. 在中，，，，那么______．（结果用的锐角三角函数表示） 14. 如图，点D、E、F分别是△三边的中点，与向量的相等向量是________________． 15. 已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴，垂足为点G，与直线交于点H．如果，则点P的坐标是______． 16. 如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线与相交于点，交的延长线于点，若，则的值为________． 17. 如图，已知在四边形中，，，点E、F分别在线段、上．如果，，那么______． 18. 如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，，那么线段的长为_______． 三、解答题：（本大愚共7題，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，在梯形中，，对角线、相交于点，，． （1）求的长； （2）如果，试用表示向量． 21. 如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． （1）问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； （2）为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． （1）直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标； （2）点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标． 23. 已知：如图，在梯形中，，，点M在边上，且，． （1）求证：； （2）作，垂足为点E，并交于点F．求证：． 24. 已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； （3）现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 25. 如图，已知正方形，点H是边上的一个动点（不与点B、C重合），点E在上，满足，延长交于点F． （1）求：； （2）点M、N分别是边、的中点，已知点P在线段上，连结、，此时，求：； （3）连结．如果是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上宝中学2024学年第一学期期中考试 初三数学试卷 （答题时间：100分钟 满分1150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如果，那么下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中几个量用所设的未知数表示出来，进行约分． 根据比例的基本性质，设，，分别代入各选项进行计算即可得出答案． 【详解】解：设，（）， A. ，式子成立，故选项不符合题意； B. ，式子成立，故选项不符合题意； C. ，式子成立，故选项不符合题意； D. ，式子不成立，故选项符合题意； 故选：D． 2. 在比例尺为1︰2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为（ ） A. 10m B. 25m C. 100m D. 10000m 【答案】C 【解析】 【分析】设A、B两地间的实际距离为xm,根据比例线段得，然后解方程即可． 【详解】设A、B两地间的实际距离为xm，根据题意， 得， 解得x＝100， 所以A、B两地间的实际距离为100m． 故选C． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（　　） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：16 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质求出答案即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4， ∴它们的最长边的比是1：2， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解此题的关键． 4. 如图5， 已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为 A. （2，3） B. （3，2） C. （3，3） D. （4，3） 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：已知抛物线的对称轴为x=2，知道A的坐标为（0，3），由函数的对称性知B点坐标． 解：由题意可知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2， ∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行， 可知A、B两点为对称点， ∴B点坐标为（4，3） 故选D． 考点：二次函数的性质． 5. 如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦定义，是解题的关键 ．取点D，连接，根据，得，得是直角三角形，，即得． 【详解】解：取点D连接， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：B． 6. 如图，在菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE，可得∠BAF=∠ACE，EC=AF，由外角性质可得∠FHC=∠B，可判断①②，由点A，H，C，D四点共圆，可得∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH=∠BAF，可证△AEH～△DAH，可判断③，通过证明△AEH∽△CEA，可得，可得AE•AD=AH•AF，可判断④，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵AB=AC， ∴AB=BC=AC， 即△ABC是等边三角形， 同理：△ADC是等边三角形 ∴∠B=∠EAC=60°， 在△ABF和△CAE中，， ∴△ABF≌△CAE（SAS）； ∴∠BAF=∠ACE，EC=AF， ∵∠FHC=∠ACE+∠FAC=∠BAF+∠FAC=∠BAC=60°， ∴∠FHC=∠B， 故①正确，②正确； ∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°， ∴点A，H，C，D四点共圆， ∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH=∠BAF， ∴∠AHD=∠FHC=∠AHE=60°， ∴△AEH～△DAH，故③正确； ∵∠ACE=∠BAF，∠AEH=∠AEC， ∴△AEH∽△CEA， ∴， ∴AE•AC=AH•EC， ∴AE•AD=AH•AF， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意数形结合思想的应用． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接写出即可． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值知：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值是关键． 8. 把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm． 【答案】cm． 【解析】 【详解】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可． 解：较长线段的长=×4=（2）cm． 故答案为（2）cm． 9. 如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4，那么它们的周长之比是____________ 【答案】 【解析】 【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答． 【详解】∵两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4， ∴那么它们的周长之比是1：4．故答案为：1：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是知道相似三角形对应边的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比． 10. 如果抛物线y=（m-1）x2+2mx+1的图像开口向下，那么m的取值范围是_____． 【答案】m<1 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数m-1<0，然后解一元一次不等式即可求出m的取值范围.． 【详解】∵抛物线y=（m-1）x2+2mx+1的图像开口向下 ∴m-1<0 解得：m<1 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，明确二次函数图象的开口方法有二次项系数决定是解题的基础； 11. 将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的法则即可得出结论． 【详解】解：二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2单位后，所得二次函数的解析式为． 故答案为：． 12. 二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为______． 0 1 2 3 4 7 2 2 7 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解析式的方法是解题的关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解． 【详解】解：把点代入，得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，． 故答案为：． 13. 在中，，，，那么______．（结果用的锐角三角函数表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点D、E、F分别是△三边的中点，与向量的相等向量是________________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：由点D、E、F分别是△ABC三边的中点，根据三角形中位线的性质，可得DF∥BC，DF=BE=EC=BC，根据平面向量从而得与相等的向量． 详解：∵D、F分别是AB、AC的中点， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥BC且DF＝BC， ∵E是BC的中点， ∴BE=EC=BC， ∴DF=BE=EC， ∴与向量的相等向量是. 故答案为. 点睛：本题考查了三角形的中位线和平面向量.利用三角形的中位线定理对平面向量进行辨别是解题的关键. 15. 已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴，垂足为点G，与直线交于点H．如果，则点P的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．用待定系数法可得，由，可得直线解析式为，，设，可得，由，可得，故，即可解得点坐标． 【详解】解：把，代入得： ， 解得， ； 如图： 设直线解析式为，由，可得 ，解得， 直线解析式为， ， 设，则， ，， ，， ， ， 即， ， ， ， 解得或（与重合，舍去）， ， 故答案为： 16. 如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线与相交于点，交的延长线于点，若，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，设，则，，根据平行四边形的性质可得，，，根据平行线分线段成比例即可解决问题． 【详解】解：设， 由，则，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 17. 如图，已知在四边形中，，，点E、F分别在线段、上．如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】连过作于，交于点H，设与相交于点O，证明，即可得，设，则，由勾股定理可得，最后求出的值即可． 【详解】解：如图，过作于，交于点H，设与相交于点O， ，， ， ， ， 又． ． ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题． 18. 如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，，那么线段的长为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】连接，作于，设，，则，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，由勾股定理得出，推出，证明，求出，，得到，证明，得出，求出，结合得到关于的方程，求出的值即可得解． 【详解】解：如图，连接，作于， 四边形为矩形， ，，， ， 设，， ，， ， 由旋转的性质可得：，，， ，， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ，， ， ，， ∴ ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 三、解答题：（本大愚共7題，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值的混合运算．先将各个特殊角度的锐角三角函数值化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，在梯形中，，对角线、相交于点，，． （1）求的长； （2）如果，试用表示向量． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质， （1）由题意可得，则，即可得，根据可得答案． （2）由题意得，，则，由知，，进而可得答案． 【小问1详解】 解：， ，， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ，， ， ， 由（）知，， ． 21. 如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． （1）问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； （2）为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 【答案】（1） 过点作于点， 在中， ， ，，米，米， ∴， 两楼的间距符合规定； （2）37.5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰角的问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． （1）过点作于点，在中，由得到，比较与即可； （2）延长，交于，由，可得，由正切函数可求得，设，则，，列方程可求得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长，交于， 则，（米）， ， ， （米）， 设，则， ， ， 解得，即米， （米， 楼的高度为37.5米． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． （1）直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标； （2）点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，则，即，即可求解；当时，同理可解． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵ ∴顶点； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D， ∴点， ∵、，，， ∴、、、 ，， 又∵与相似， ∴点O与点C对应， 当时， 则，即， 解得：， 即点； 当时， 则，即， 解得：， 则点； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键． 23. 已知：如图，在梯形中，，，点M在边上，且，． （1）求证：； （2）作，垂足为点E，并交于点F．求证：． 【答案】（1） 证明：，，， ，， ， 又，即， ， ， ， ， ， （2） 证明：如图， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了梯形的性质、 直角三角形的性质、 相似三角形的判定和性质以及比例式的证明， 题目的综合性很强， 难度不小 ． （1） 首先证明，再根据已知条件证明，由相似的性质可得，进而证明，所以； （2） 由 （1） 可知是的中点， 所以是三角形斜边上的中线， 由直角三角形的性质可知，证明可得，所以，又因为，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； （3）现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 【答案】（1）； （2）P点坐标为； （3）①，②． 【解析】 【分析】（1）求出A、C点的坐标，再将点代入，即可得解； （2）先求，再由对称性可知轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）①先求出平移后的抛物线，再利用，得出，最后利用两点之间的距离公式求解； ②作，连接，，先得出即求的最小值，即的长，最后根据的周长的最小值即，得解． 【小问1详解】 解：在中，令，； 令，； ，， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图， ， ， ∵点P关于直线的对称点Q在y轴上， ， 轴， ∴P的纵坐标为， 由； 解得，(舍去)， ∴P点坐标为； 【小问3详解】 解：①设顶点为，平移后抛物线解析式为， 则， ， 设， 则， ∴， ∴的长度为定值； ②如图，作，并令，连接，， 由题知，，， 则只需求的最小值即可， ∵ 即求的最小值，即的长， ， ， 作于K， 则， ，， ∴， ， ， ， 的周长的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，算了掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题的关键． 25. 如图，已知正方形，点H是边上的一个动点（不与点B、C重合），点E在上，满足，延长交于点F． （1）求：； （2）点M、N分别是边、的中点，已知点P在线段上，连结、，此时，求：； （3）连结．如果是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得 ，，则，所以，，则，所以，进而得到，即可得到的值； （2）连接交于点，作，，设正方形的边长为2， 根据题意可得到，为等腰直角三角形，所以，由直角三角形中线的性质可得，在中，由勾股定理得：，可求出，在中，由勾股定理求出，进而得到，在中，由勾股定理求出，由平行线的性质得到，从而得到，代入即可得到答案； （3）分两种情况：①，则，可推出，所以，作于点，可证明，所以，则，可求得，在上取一点，连接，使，则，所以，，；②，则，可证明点在正方形的对角线上，则，求得，则，进而证明，得到，可证明，则，即可求得． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由题可得，连接交于点，作，，如图： 设正方形的边长为2， ∵点M、N分别是边、的中点， ∴为等腰直角三角形， ∴，, ∵， ∴, ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由题可得，①当是等腰三角形，且，如图： ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，连接，使，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②是等腰三角形，且，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在正方形的对角线上， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的正切值为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理，锐角三角函数与解直角三角形，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，熟练掌握正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数和数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $