精品解析：2024-2025学年北师大版九年级上册数学期中检测卷（三）

2024-2025学年北师大九年级上册数学期中检测卷（三） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程”．根据一元二次方程的定义，即可逐步判断． 【详解】选项A，不是整式，所以不是一元二次方程，不符合题意； 选项B，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 选项C，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 选项D，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2. 已知，若，则（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比性质计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了等比性质，熟练掌握性质是解题的关键． 3. 如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1＝PA，则AB∶A1B1＝(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换的定义及作图，根据作图的方法可知AB：A1B1=PA：PA1，PA1= PA，从而求得AB：A1B1=3：2． 【详解】解：∵PA1=PA， ∴PA：PA1=3：2， 又∵AB：A1B1=PA：PA1， ∴AB：A1B1=3：2． 故选B． 【点睛】本题主要考查了位似变换的作图，及性质相似比相等，熟练掌握其性质是解题的关键． 4. 关于x的一元二次方程x2﹣（k＋3）x＋2（k＋1）＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先计算根的判别式得到△=[-（k+3）]2-4×2（k+1）=（k-1）2，再利用非负数的性质得到△≥0，然后可判断方程根的情况． 【详解】解：△=[-（k+3）]2-4×2（k+1）=（k-1）2， ∵（k-1）2≥0， 即△≥0， ∴方程有两个实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 5. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．某女老师上身长约61.8cm，下身长约96cm，为尽可能达到黄金比的美感效果好，她应穿的高跟鞋的高度大约为(精确到1cm)（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 【答案】A 【解析】 【分析】设应穿x厘米高的高跟鞋，则根据题意及黄金分割比直接列式计算即可． 【详解】解：设应穿x厘米高的高跟鞋，由题意得： ， 解得：； 故选A． 【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比的求法是解题的关键． 6. 如图，将沿边上中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由 S△ABC＝16、S△A′EF＝9且 AD为 BC边的中线知 ， ，根据△DA′E∽△DAB知 ，据此求解可得． 【详解】、，且为边的中线， ，， 将沿边上的中线平移得到， ， ， 则，即， 解得或（舍）， 故选． 【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 7. 如图，已知，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接， 则可以直接判定四边形是菱形的依据是（　　） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查尺规作图、菱形的判定定理等知识．由作图得，即可根据“四条边相等的四边形是菱形”证明四边形是菱形，于是得到问题的答案． 【详解】解：由作图得，， ∴， ∵四条边相等的四边形是菱形， ∴四边形是菱形， 故选：D． 8. 如图所示，在离某建筑物4m处有一棵树，在某时刻，长竹竿垂直地面，影长为2m，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m，则这棵树高约有多少米 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，利用竹竿这个参照物就可以求出图中的BE．BC是BE的影子，然后加上CD加上树高即可． 【详解】解：过点C作CE∥AD交AB于点E， 则CD=AE=2m，△BCE∽△B′BA′， ∴A′B′：B′B=BE：BC， 即1.2：2=BE：4， ∴BE=2.4， ∴AB=2.4+2=4.4． 答：这棵树高约有4.4m． 故选：C． 【点睛】考查了相似三角形的应用，此题主要是要知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论，然后根据题目条件就可以求出树高． 9. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到，进而得到，然后在中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB， ∴∠EFD=∠FEB=60°， 由折叠前后对应角相等可知：， ∴， ∴， 设AE=x，则， ∴AB=AE+BE=3x=3， ∴x=1， ∴BE=2x=2， 故选：D． 【点睛】本题借助正方形考查了折叠问题，30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点，折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题． 10. 如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为， 在正方形中， 因为 , 即 ， ∵， ∴， 故答案为：. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC． 【详解】解：∵AB被截成三等分， ∴△AEH∽△AFG∽△ABC， ∴，， ∴S△AFG：S△ABC=4：9 S△AEH：S△ABC=1：9 ∴S阴影部分的面积=S△ABC-S△ABC=S△ABC 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，本题的关键是利用三等分点求得各相似三角形的相似比．从而求出面积比计算阴影部分的面积． 12. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点位似， ∴矩形∽矩形， ∵矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的相似比为， ∵点B的坐标为， ∴点的坐标为或，即或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，掌握位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于． 13. 通常情况下紫色石蕊试液遇酸性变红色，遇碱性溶液变蓝色．老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A．盐酸（呈酸性），a．白醋（呈酸性），B．氢氧化钠溶液（呈碱性），b．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查树状图求概率，先画出树状图，找到符合条件的情况，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：树状图如下： 由图可得，一共12种等可能的情况，两瓶恰好都变蓝的情况有2种， 概率为：， 故答案为：． 14. 如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是______． 【答案】(﹣2，4) 【解析】 【分析】作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，则∠AMO＝∠BNC＝90°，OM＝2，AM＝1，OB＝5，证明△BCN≌△AOM(AAS)，得出BN＝AM＝1，CN＝OM＝2，得出ON＝OB﹣BN＝4，即可得出答案． 【详解】解：作AM⊥x轴于M，CN⊥y轴于N，如图所示： 则∠AMO＝∠BNC＝90°， ∴∠AOM+∠OAM＝90°， ∵A(2，1)，B(0，5)， ∴OM＝2，AM＝1，OB＝5， ∵四边形OABC是矩形， ∴BC＝AO，∠AOC＝90°，BC∥OA， ∴∠CBN＝∠AOB， ∵∠AOM+∠AOB＝90°， ∴∠CBN＝∠AOB＝∠OAM， 在△BCN和△AOM中， ， ∴△BCN≌△AOM(AAS)， ∴BN＝AM＝1，CN＝OM＝2， ∴ON＝OB﹣BN＝4， ∴点C的坐标是(﹣2，4)； 故答案为(﹣2，4)． 【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 15. 如图，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图所示．当恰好平分时的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，由图象可得，通过证明，可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由点的运动速度为，结合图2可得， ，， ， 平分， ， ，， ， ∴， ，， ∴， ， ， ， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴ ． 故答案为：． 三、计算题：本大题共2小题，共12分． 16. 已知，，求：代数式的值. 【答案】8 【解析】 【分析】设=k，将x、y、z用k表示出来，然后再通过求出k，进而确定x、y、z的值，最后代入求解即可. 【详解】解：设=k，则x=2k，y=3k，z=4k 又，即2k-3k+4k=6，解得k=2 所以x=4，y=6，z=8 所以=12-12+8=8 【点睛】本题考查了条件代数式求值，解答的关键在于通过设中间量k，辅助求出x、y、z. 17. 解下列方程： （1）；（用配方法） （2） ．（用公式法） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先求出的值，再代入公式求出即可． 【小问1详解】 解：方程整理得． 配方，得，即． 开方，得， 解得，； 【小问2详解】 解：方程整理得． ，，，， ∴ ∴，． 四、解答题：本题共6小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是______． （2）以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是_______． 【答案】（1）画图见解析，点坐标为 （2）画图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画图即可；根据点的位置写出坐标即可； （2）根据位似的性质画图即可，根据点的位置写出坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，是所求作三角形；由图可知； 故答案为： 【小问2详解】 解：如图所示，是所求作三角形； 由图可知； 故答案为：； 【点睛】本题考查了几何变换画图，解题关键是掌握几何变换的特点，明确坐标变换规律． 19. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）证明得到，即得四边形是平行四边形，进而由即可求证； （）由勾股定理可得，再证明可得四边形是平行四边形，得到，进而即可求解． 小问1详解】 证明：∵， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：， ，， ， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 由（）可知，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 20. 栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． （1）求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率； （2）从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用， （1）设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，利用该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元， ∴月销售量为：， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该吉祥物摆件售价为元时，月销售利润达元． 21. 在中，，是边上的中线，点D在射线上． （1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ． （2）如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，则有．设，则，由可得，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：过点A作，交的延长线于点F，设，由得，．易证，则有．易证，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图1中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【小问2详解】 解：如图2：过点A作，交的延长线于点F， 设，由得． ∵E是中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 22. 如图，平行四边形的面积为96，，，为锐角．点E在边上，过点E作边的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在的右侧作正方形． （1）如果点G在对角线上，则正方形EFGH面积为______； （2）设EF与对角线交于点P，如果点G与点D重合，求的值： （3）如果点F在边上，且与相似，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过A作垂足为M，根据平行四边形的面积公式计算出，根据勾股定理计算出，从而得到垂直平分，再证明得到，设，分别得到，根据建立方程，解方程即可得到答案； （2）根据矩形的性质推到得，得出，再根据勾股定理计算出，通过证明，通过三角形的相似比计算出； （3）根据和两种情况进行讨论，当可利用（1）得结论得到答案，当时，，得，，，根据得到，再根据相似三角形的相似比建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 如下图所示，过A作垂足为M， ∵平行四边形面积为96，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， 设，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如下图所示，过A作垂足为M， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 如下图所示， ∵，当时，点G在AC上时， 由（1）得， 当时，点G不在AC上，如下图所示， ∵， ∴， 设， 得，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直角三角函数、正方形、平行四边形、全等三角形和相似三角形的性质，解题的关键是灵活运用直角三角函数和相似三角形的相似比建立方程． 23. （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）10 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． （）延长到点，使，连结，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解． 【详解】解∶（1）延长到点，使，连结， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长到，使，连接， ∵， ∴， 同（）理：， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长到，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大九年级上册数学期中检测卷（三） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若，则（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 3. 如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1＝PA，则AB∶A1B1＝(　　) A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程x2﹣（k＋3）x＋2（k＋1）＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 5. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．某女老师上身长约61.8cm，下身长约96cm，为尽可能达到黄金比的美感效果好，她应穿的高跟鞋的高度大约为(精确到1cm)（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 6. 如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7. 如图，已知，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接， 则可以直接判定四边形是菱形的依据是（　　） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是菱形 8. 如图所示，在离某建筑物4m处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为2m，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m，则这棵树高约有多少米 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（　　） A 2 B. 2 C. 2 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的__________． 12. 如图，在直角坐标系中，矩形顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是______． 13. 通常情况下紫色石蕊试液遇酸性变红色，遇碱性溶液变蓝色．老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A．盐酸（呈酸性），a．白醋（呈酸性），B．氢氧化钠溶液（呈碱性），b．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为________． 14. 如图，四边形OABC是矩形，A(2，1)，B(0，5)，点C在第二象限，则点C的坐标是______． 15. 如图，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图所示．当恰好平分时的值为______． 三、计算题：本大题共2小题，共12分． 16. 已知，，求：代数式的值. 17. 解下列方程： （1）；（用配方法） （2） ．（用公式法） 四、解答题：本题共6小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出向下平移4个单位长度得到，点的坐标是______． （2）以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点坐标是_______． 19. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20. 栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． （1）求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率； （2）从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？ 21. 在中，，是边上的中线，点D在射线上． （1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ． （2）如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值： 22. 如图，平行四边形的面积为96，，，为锐角．点E在边上，过点E作边的垂线，交平行四边形的其它边于点F，在的右侧作正方形． （1）如果点G在对角线上，则正方形EFGH的面积为______； （2）设EF与对角线交于点P，如果点G与点D重合，求值： （3）如果点F在边上，且与相似，求的长． 23. （1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$