1.2等差数列练习-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.2等差数列 练习 一、单选题 1．等差数列与的前项和分别为，且，则（    ） A．2 B． C． D． 2．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 3．设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（    ） A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或15 4．记等差数列的前n项和为，已知，则（    ） A．28 B．30 C．32 D．36 5．设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（   ） A．11 B．12 C．121 D．144 6．设正项等差数列满足，其前n项和为，若数列为等差数列，则的最小值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 二、多选题 7．已知数列是等差数列，前项和为，则下列条件能推出的是（    ） A． B． C． D． 8．已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（   ） A． B． C． D． 9．已知等差数列的前项和为，则（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列中的最小项为 D．成等差数列，且公差为 10．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．设数列是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2026项的和 ． 12．记为等差数列的前n项和，若，，则 ． 13．已知数列是等差数列，，则使的最大整数n的值为 . 14．在等差数列中，若，则的值为 . 四、解答题 15．已知是等差数列的前项和，且. (1)求； (2)若，记数列前项和为 16．在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 参考答案 1．C 【分析】利用等差数列求和公式和等差数列的性质得到，从而得到. 【详解】因为数列与均为等差数列， 则， 所以. 故选：C. 2．A 【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案. 【详解】由题意得，即，则． 故选：A． 3．A 【分析】根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式求基本量，结合及数列单调性确定取最小值时的值. 【详解】由，， 所以，数列的公差，且， 所以，且数列单调递增， 故取最小值时，的值为15或16. 故选：A 4．C 【分析】根据等差数列的性质计算． 【详解】由题意． 故选：C． 5．C 【分析】由题意，根据等差数列的前项和公式及等差数列的性质可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】在等差数列中，， 则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为121. 故选：C. 6．D 【分析】设公差为d，根据等差数列前n项和写出前3项，结合等差中项的性质列方程求公差d，进而得到关于n的表达式，利用基本不等式求其最小值. 【详解】因为等差数列满足，． 设公差为d，则，其前n项和为， 所以，，，． 因为数列也为等差数列，所以， 所以，解得，故，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：D 7．AC 【分析】利用等差数列的性质来解决本题，A、C选项找公差，求，B、D选项把前项和转换为项的值. 【详解】对于A，由，可得，所以，A正确; 对于B，由，得，B错误; 对于C，由，得的公差为，C正确; 对于D，的值不确定，D错误. 故选：AC. 8．BCD 【分析】根据等差数列性质和求和公式可知是定值，再理由等差数列性质逐项分析判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 若始终是一个定值，所以是定值，故B正确； 又因为，， 所以与也为定值，所以C，D正确； 没有足够条件判断A，故A错误； 故选：BCD． 9．ABD 【分析】根据题意可求得，可判断A正确，再由可知B正确，利用前项和的表达式以及二次函数性质可得C错误，再由前项和性质可得D正确. 【详解】设等差数列的首项为，公差为； 由可得，解得， 由等差数列性质可得当时，数列是递增数列，即A正确； 依题意可得， 所以，因此可得，即B正确； 由，由二次函数性质以及可得， 当时，，所以C错误； 易知，则， 因此， 即可得，也即， 同理可得， 即， 因此成等差数列，且公差为，即D正确. 故选：ABD 10．ABD 【分析】根据所给条件可得，进而得到，选项A、B正确；通过 得到选项C错误；根据等差数列前项和公式可得，选项D正确. 【详解】∵， ∴，， ∴， 故选项A、B正确. ∵， ∴， ∴， ∴，选项C错误. 由等差数列前项和公式得，，选项D正确. 故选：ABD. 11．2026 【分析】根据二次方程根与系数的关系得出，再利用等差数列下标和的性质得到，然后利用等差数列求和公式可得出答案. 【详解】和是方程的两根，则有， 等差数列中，. 故答案为：2026. 12． 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 则，所以. 故答案为：. 13．4 【分析】设等差数列的公差为，结合题意可得，，进而结合等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则，即， 因为，所以， 由，得， 即， 即， 整理得，，即， 解得，又， 所以使的最大整数n的值为4. 故答案为：4. 14．27 【分析】由等差数列通项公式结合题目信息可得答案. 【详解】设等差数列公差为d，注意到， 则. 故答案为：27 15．(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，进而写； （2）应用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设公差为，结合题设有，解得. 故. （2）由（1）有， 故， 即. 16．(1) (2)6 (3) 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，即可求得答案； （3）判断数列的项的正负情况，讨论n的取值，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 学科网（北京）股份有限公司 $$