精品解析：贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷

2024—2025学年第一学期高二质量监测试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册第一章，第二章第一节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列关于空间向量的说法正确的是（ ） A. 零向量是任意直线的方向向量 B. 方向相同的两个向量是相等向量 C. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 3. 已知一组数据为，则该组数据的方差为（ ） A. B. C. 6 D. 7 4. 已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，高为3，且该圆台的体积为，则该圆台的母线长为（ ） A. B. C. D. 7. 在空间四边形中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是 ，则 后该物体的温度满足 . 将温度分别为和的两块物体放入温度为的空气中，要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过（ ） (取: ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是偶函数 D. 在上单调递增 11. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小正周期为 C. 曲线关于直线轴对称 D. 当时，函数有个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则的实部为______. 13. 《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑，现将乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，则乾､坤相邻的概率为__________. 14. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 16. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，求. 17. 如图，在棱长均为1的四棱柱中，，设． （1）试用表示； （2）求的长度； （3）求直线与直线所成角的余弦值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. （1）判断直线与是否垂直，并说明理由； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足. （1）是否存在点，使得平面？ （2）求的取值范围. （3）求点到直线的距离的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期高二质量监测试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册第一章，第二章第一节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合的交集即可得出元素个数. 【详解】因为集合，， 所以，即集合中有2个元素. 故选：B 2. 下列关于空间向量的说法正确的是（ ） A. 零向量是任意直线的方向向量 B. 方向相同的两个向量是相等向量 C. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，根据直线的方向向量的定义得到A错误；B选项，根据相等向量定义得到B错误；C选项，根据空间向量基底的定义得到C错误；D选项，由空间向量和平面向量的定义进行判断. 【详解】A选项，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，A错误； B选项，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误； C选项，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，C错误； D选项，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，D正确. 故选：D 3. 已知一组数据为，则该组数据的方差为（ ） A. B. C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先求出这组数据的平均数，再代入方差公式计算即得. 【详解】的平均数为：， 且， 故这组数据的方差为：. 故选：A. 4. 已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系，即可求出答案. 【详解】由题意知直线的斜率，即， 当时，；当时，， 故直线的倾斜角的取值范围是， 故选：C 5. 如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取分别为的中点，连接，结合题意，由面面垂直的性质定理结合共线向量的定义即可求解. 【详解】取分别为的中点，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 同理可得平面， 所以向量在平面上的投影向量为，且. 故选：. 6. 已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，高为3，且该圆台的体积为，则该圆台的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】假设圆台较大的底面半径为，较小的底面半径为，根据圆台体积为，列出等式求出，再根据勾股定理求出母线长即可. 【详解】如图所示， 设圆台较大的底面半径为，较小的底面半径为， 则，解得， 过点作垂直于点， 则母线长， 故选：C. 7. 在空间四边形中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以，，为基底，根据空间向量的加减运算，表示出，即得答案. 【详解】由题意知在空间四边形中，，，，且，， 则 ， 故选：D 8. 把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是 ，则 后该物体的温度满足 . 将温度分别为和的两块物体放入温度为的空气中，要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过（ ） (取: ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可. 【详解】的物体经过后的温度为， 的物体经过后的温度为， 由题可得，， 即，解得， 所以要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，直接得到各点的坐标，即可判断. 【详解】因为在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，， ，F是棱的中点，， 所以，，，， 所以A，D正确，B，C错误. 故选：AD 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是偶函数 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合对数函数的基本性质与复合函数单调性、奇偶性的判断方法即可得出正确答案. 【详解】对于选项A，由对数函数的基本性质可得， 函数的定义域即为的解集， 解得，所以选项A正确； 对于选项B，当时，， 于是根据对数函数的性质，故选项B错误； 对于选项C，由于函数定义域为， 又，满足偶函数的定义，所以选项C正确； 对于选项D，当时，由于为复合函数， 设内层函数，在上递增， 而外层函数也为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可得， 在上为增函数，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小正周期为 C. 曲线关于直线轴对称 D. 当时，函数有个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】化简函数解析式，结合函数的周期性与对称性可判断各选项，根据函数零点的定义可解得，数形结合即可得解. 【详解】， 当时，取得最大值，且最大值为，A选项错误； 因为，的最小正周期均为，所以的最小正周期为，B选项正确； 因为，所以曲线关于直线轴对称，C选项正确； 令，得，则， 结合函数的图象，可知方程在上有个不同的实根，D选项错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则的实部为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及复数的概念得解. 【详解】因为， 所以， 所以的实部为. 故答案为： 13. 《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑，现将乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，则乾､坤相邻的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】使用列举法，结合古典概型概率公式可得. 【详解】将乾､坤､巽排成一排有： （乾,坤,巽），（乾,巽,坤），（坤,乾,巽）， （坤,巽,乾），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾）,共6种可能. 乾､坤相邻的有：（乾,坤,巽），（坤,乾,巽），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾），共4种. 所以乾､坤相邻的概率为. 故答案为：. 14. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为______. 【答案】##1.25 【解析】 【分析】根据空间向量的投影公式求解即可. 【详解】由题意，， 则在方向上的投影向量的模为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 【答案】（1）三点在同一直线上； （2）与互相垂直 【解析】 【分析】（1）计算可得，可得结论； （2）计算可得，可得结论. 【详解】（1）因为，，， 所以，又直线均过点， 所以点三点在同一条直线上； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过，两点，所以， 所以，所以与互相垂直. 16. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换分析求解； （2）根据题意利用余弦定理解得，，即可求. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 且，则，可得， 即，所以. 【小问2详解】 因为，即， 由余弦定理可得，即， 整理可得，， 所以. 17. 如图，在棱长均为1的四棱柱中，，设． （1）试用表示； （2）求的长度； （3）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到答案； （2）在（1）的基础上，平方求出，开方得到答案； （3）计算出，结合（2）中所求的，利用异面直线夹角余弦公式得到答案. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 棱长均为1的四棱柱中，， ， 所以． 【小问3详解】 ， 因为， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. （1）判断直线与是否垂直，并说明理由； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）和不垂直，理由如下： 设，则， 在中，，所以为等边三角形，所以， 因为，，所以，从而， 所以在直角中，，， 又因为，所以，所以在中，满足， 故为直角三角形，则； 又因为，，所以平面； 因为，所以，所以， 故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，； 所以，，，，， 所以，，所以， 所以不成立，故和不垂直. （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可设，计算出，的值，从而证明到，再由可证平面；所以建立空间直角坐标系，用坐标表示向量和，将判断直线是否垂直转化为判断向量是否垂直，即可得证. （2）在第一问的基础上，分别求出平面与平面的法向量，利用公式计算可得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，，所以平面， 故为平面的一个法向量； 又，，设平面的法向量， 所以，即，取，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足. （1）是否存在点，使得平面？ （2）求的取值范围. （3）求点到直线的距离的最小值. 【答案】（1）存在， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用，及即可求出点坐标； （2）由（1）知，利用模长公式结合二次函数求值域即可求解； （3）取中点为，则点轨迹为线段，所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离，利用向量法求出异面直线与的距离即可. 【小问1详解】 如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， ，， 设平面的法向量为， 则，可取， 设， 所以， 又，所以， 即，所以， 设存在点，使得平面， 则，解得，则， 则， 所以存在点，使得平面 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）知点满足， 取中点为，则点轨迹为线段， 所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离， ，，，，， 设，， 则，可取， 又， 点到直线的距离的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $