第二十二章 二次函数章节压轴题模拟训练-2024-2025学年人教版九年级数学上册高频与压轴题型专项攻略

第二十二章 二次函数章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．对于二次函数，当自变量时，图象在第（    ）象限． A．一、四 B．二、三 C．四 D．一 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 判断出函数图象开口向下，顶点坐标为，与y轴交于即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数中的二次项系数， ∴函数图象开口向下，顶点坐标为， 当时，，即函数图象与y轴交于， ∴当自变量时，函数图像在第四象限， 故选：C． 2．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，可先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数图象得到字母系数的正负相比较看是否一致即可判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项正确； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误． 故选：B． 4．点是二次函数图像上的四个点，下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质及不等式，根据二次函数的对称轴及开口方向、确定各点纵坐标值的大小关系是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系即可解答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为：，且开口向下， ∴距离对称轴越近，函数值越大， ， A.若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意； B.若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意； C.若，所以不一定成立，故选项错，不符合题意； D．若，则一定成立，故选项正确误，符合题意． 故选：D． 5．已知抛物线（a、b、c为常数，且）的y与x的部分对应值如下表： x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；④若是抛物线上两点，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据图表信息，用待定系数法求得解析式，依据二次函数的性质逐一判断解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设抛物线解析式为，根据题意，得， 解得， 故解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， 故①正确． 根据纵坐标相同的两个点是对称点， ∴抛物线的对称轴是， 故②正确； ∵抛物线与x轴的两个交点为 ∴两个交点间的距离是4， 故③正确； 根据的性质，得距离对称轴越远，函数值越大， 又是抛物线上两点， 当在对称轴的右侧时，则．当在对称轴的左侧时，则． 故④错误． 故选B． 6．关于二次函数，有下列四个结论： ①对任意实数m，都有与对应的函数值相等； ②若时，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或； ④若，则一元二次方程一定有两个实数根． 以上结论，正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴利用中点坐标公式即可判定①；分和两种情况，根据二次函数的图象与性质，确定出当时，函数值的取值范围，由题意即可求得a的取值范围，从而判定②；当时，，则；由，则当时，即对称轴右边到对称轴的距离为3时自变量值，此时得对应函数值；分和两种情况，分别得到和，解两个不等式组即可判定③；对于方程，有；当，且时，，原方程一定有两个不相等实数根；，但，则不一定成立；故可判定④；从而可确定最后答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ，故①正确； 当时，；当时，；当时，； 若，则，对应y的整数值有4个分别是， ， ； 若，则，对应y的整数值有4个分别是， ， ； 综上，时，对应的y的整数值有4个， 则或；故②错误； 当时，，则， 若，抛物线与x轴交于A、B两点，， 当时，， ，解得：， 若，抛物线与x轴交于A、B两点，， ∴当时，， ，解得：； 若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或，故③正确； 对于一元二次方程，有， 若，且，则成立，原方程一定有两个不相等实数根； 若，但，则不一定成立；故④错误． 综上，正确的有①③， 故选：B． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，解不等式组等知识；掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 7．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为．若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象抛物线与轴及常函数直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系．根据题意可知一元二次方程的根应为整数，通过抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为．可以画出大致图象判断出直线，观察图象当时，抛物线始终与轴相交于与．故自变量的取值范围为．所以可以取得整数，1，2共3个．由于与关于对称轴直线对称，所以与对应一条平行于轴的直线，，时对应一条平行于轴且过抛物线顶点的直线，从而确定时，的值应有2个． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ，解得． 又抛物线与轴的一个交点为， 把代入得，， 解得：． ． 对称轴，最大值． 如图所示， 顶点坐标为， 令， 即， 解得或． 当时，抛物线始终与轴交于与， ． 即常函数直线，由， ， 由图象得当时，，其中为整数时，，1，2． 一元二次方程的整数解有3个． 又与关于直线轴对称， 当时，直线恰好过抛物线顶点， 所以值可以有2个． 故选：B． 8．如图，抛物线与轴交于点顶点坐标是，与轴交点的纵坐标在和之间不含端点在以下结论中： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质、运用数形结合思想分析问题是解题的关键．把点代入解析式即可判断；由顶点坐标得出对称轴，即可判断；根据抛物线的对称性求得时，，即可判断；由图象可知抛物线与直线没有交点，即可判断；求得，再结合即可判断． 【详解】解：抛物线与轴交于点， ，故正确； 抛物线的顶点坐标是， ， ， ，故错误， 抛物线开口向上，与轴交于点，顶点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点为， 时，， ，故正确； 抛物线开口向上，顶点坐标为， 函数有最小值， 抛物线与直线没有交点， 关于的一元二次方程没有实数根，故错误； ， 抛物线为， 与轴交于点， ， 与轴交点的纵坐标在和之间不含端点， ． ． ，故正确； 故选：B． 二、填空题 9．已知抛物线，当时，的值恒大于等于．则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解一元一次不等式，根据题意，确定函数图象的开口和对称轴，分类讨论：；；根据函数最值的计算方法即可求解． 【详解】解：已知抛物线，则，对称轴为， ∴抛物线开口向下， 当时，在内，时，抛物线取到最小值， ∴最小值为：， 解得，； ∴； 当时，在内，时，抛物线取到最小值， ∴最小值为：， 解得，， ∴； 综上所述，的取值范围为， 故答案为： ． 10．如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，抛物线过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C，在抛物线上有一点P，使得是以为直角边的直角三角形，则点P的坐标为 ．（提示：两点距离公式为：） 【答案】或 【分析】 本题主要考查了二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，先根据一次函数解析式求出A、B的坐标，进而得到，设经过点A且与直线垂直的直线交y轴于E，则，可证明是等腰直角三角形，从而得到，则直线解析式为；再求出抛物线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；可求出经过点B且与直线垂直的直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或； 【详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 设经过点A且与直线垂直的直线交y轴于E，则， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 设经过点B且与直线垂直的直线解析式为，则， ∴经过点B且与直线垂直的直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； 故答案为：或。 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点D在线段上，坐标为，点E坐标为，过点E作x轴的垂线l，点D关于直线l的对称点为，连接，．若与抛物线有一个公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，二次函数与不等式等知识，利用轴对称性求出点的坐标为，根据与抛物线有一个公共点，得出，利用二次函数与不等式的关系求出m的取值范围即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∵在上， ∴ ∵点D坐标为，点E坐标为，过点E作x轴的垂线l，点D关于直线l的对称点为， ∴点的坐标为， ∵与抛物线有一个公共点， ∴ 令， 当时，，解得，， 画草图如下： ∴当时，， ∴的解集为； 同的解集为或， ∴， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与其关于直线对称的图象交于四点， 则四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数图象的性质，四边形的面积，联立函数解析式求出坐标，可求出，连接，设，由点关于直线对称，可得，，根据二次函数的性质求得，，即可求解，由轴对称的性质对称坐标的关系是解题的关键． 【详解】解：由，解得或， ∴，， ∴， 连接，    设， ∵点关于直线对称， ∴，， 把、代入得， ， 得，， 整理得，， 即， ∴， 把代入得，， 整理得，， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      【答案】 【分析】在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标． 【详解】解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，    当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得，∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 14．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在B左侧），抛物线的顶点为C，点 D为抛物线上一点，且在对称轴右侧，若的面积为3，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与面积综合，二次函数的图象与性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数与面积综合，二次函数的图象与性质，一次函数解析式是解题的关键． 令，即，可求或，即，，由，可得，如图，记直线与轴的交点为，设，且，待定系数法求直线的解析式为，当时，，可求，即，则，计算求出满足要求的解，进而可得结果． 【详解】解：令，即， 解得，或， ∴，， ∵， ∴， 如图，记直线与轴的交点为， 设，且，设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，，点是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点是上一动点，取的中点为，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与坐标、二次函数的性质等知识点，根据平面直角坐标系找到各点坐标是解题关键． 先根据矩形的性质可得，，，再根据一次函数的性质可设点的坐标为，从而可得，然后利用两点之间的距离公式可得，最后利用二次函数的性质即可得． 【详解】解：在矩形中，，点是的中点， ，，， ，，， 直线的函数解析式为， 设点的坐标为， 点是上一动点， ， 点是的中点， ， 由两点之间的距离公式可得： ， 由二次函数的性质得：在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为：， 因此，的最小值为， 故答案为： 16．直线与y轴交于点P，直线绕点P顺时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了二次函数与直线的交点问题，根据直线解析式可得都经过点，分别讨论直线与y轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线上的点坐标，进而求解，利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由，可得直线与抛物线交于点， ①直线与y轴重合满足题意，则直线与y轴交点为，如图， ， 为等腰直角三角形， ， ∴点B坐标为， 将代入得， 解得； ②直线不与y轴重合时，设直线解析式为， 令， ， 当时满足题意． ， 把代入得， ∴直线与x轴交点D坐标为，即， 作交直线于点E，过点E作轴于点F， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ∴点E坐标为． 将代入直线解析式得， 解得． ， ． 故答案为：或． 三、解答题 17．如图，抛物线经过两点，与轴负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)为抛物线的顶点．为对称轴右侧抛物线上一点，连接交于点，若，求点的坐标： (3)点为轴上方抛物线上一动点，点是抛物线对称轴与轴的交点．直线分别交抛物线的对称轴于点． 以下两个结论： ①为定值：②为定值． 请找出正确的结论，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3)①是定值，理由见详解 【分析】（1）根据题意，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得，并求出直线的解析式为，设，根据两点之间距离公式可得，，，根据，可求出，并得直线的解析式为，联立抛物线为方程组求解即可； （3）根据题意可得，，设，可求出直线的解析式为，由此得到，同理可求出直线的解析式为，，图形结合，分类讨论：第一种情况，当时，可得，，则有；第二种情况，当时，同理，，，可求出是定值． 【详解】（1）解：已知抛物线经过两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为，点为抛物线的顶点， ∴， ∴，且， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为，如图所示， 设，且， ∴，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立抛物线与直线的解析式为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； （3）解：①是定值，理由如下， 已知抛物线的解析式为，，， 令时，， 解得，，， ∴， ∵点是抛物线对称轴与轴的交点， ∴， ∵点为轴上方抛物线上一动点， ∴设， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线对称轴上，即点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴当时，， ∴， 同理，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线的对称轴上，即点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴当时，， ∴， 第一种情况，当时，如图所示， ∴，， ∴，， ∴是定值； 第二种情况，当时，如图所示， 同理，，， ∴，， ∴是定值； 综上所述，①是定值． 【点睛】本题二次函数与线段的数量关系的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，坐标系中两点之间的距离公式，二次函数与二元一次方程组的计算等知识，学会图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等 【分析】（1）令代入解析式求出A，将函数化成顶点式求解即可得到P，即可得到答案； （2）本题考查二次函数综合运用题，先根据题意求出H点坐标，从而求出，，设点，根据得到，从而得到，最后根据三角形全等分类讨论列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）， 令，即，解得，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：存在，理由如下， ∵点H在二次函数的对称轴上且交于x轴， ∴， ∵， ∴，， 设点， ∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点， ∴， ∴， ∵以点D，E，F为顶点的三角形与全等， ∴当时，， ∴，解得，（舍）， ∴； 当时，， ∴，解得，（舍）， ∴， 综上所述，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等. 19．如图，若b是正数，直线与y轴交于点A；直线与y轴交于点B；抛物线的顶点为C，且L与x轴右交点为D． (1)若，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标； (2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值； (3)设，点分别在l，a和L上，且是的平均数，求点与点D间的距离； (4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出和时“美点”的个数． 【答案】(1)，L的对称轴与的交点 (2)最大值为1 (3) (4)时“美点”的个数为4040个，时“美点”的个数为1010个 【分析】（1）算出，把代入L求解即可； （2）由，得到L的顶点，由于点C点l下方，于是得到结论； （3）由题意得到，即，得解得或．但，取，得到右交点．于是得到结论； （4）①当时，抛物线解析式直线解析式，“美点”总计4040个点，②当时，抛物线解析式，直线解析式，“美点”共有1010个． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵，而， ∴， ∴． ∴， ∴L的对称轴， 当时，， ∴L的对称轴与a的交点为； （2）解：∵， ∴L的顶点， ∵点C在l下方， ∴C与l的距离为， ∴点C与l距离的最大值为1； （3）解：由题意得，即， 得， 解得或． 但，取， 对于L，当时，，即，解得， ∵， ∴右交点． ∴点与点D间的距离为． （4）解：①当时，抛物线解析式为， 直线解析式， 联立上述两个解析式可得：， ∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且和2021之间(包括和)，共有2023个整数； ∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2023个整数点，∴总计4042个点， ∵这两段图象交点有2个点重复重复， ∴“美点”的个数：(个)； ②当时， 抛物线解析式， 直线解析式， 联立上述两个解析式可得：， ∴当x取整数时，在一次函数上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0， 在二次函数图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数， 可知到之间有1009个偶数，并且在和之间还有整数0，验证后可知0也符合条件，因此“美点”共有1010个． 故时“美点”的个数为4040个，时“美点”的个数为1010个． 【点睛】本题考查了二次函数几何综合，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且． (1)求a的值； (2)点D为抛物线的顶点，点P在第三象限的抛物线上，轴，交直线于点Q，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，连接、，交y轴于点E，连接、，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，射线交y轴于点K，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）当时求出A、B点坐标，再由，求出C点坐标，根据，求出a的值即可； （2）求出直线的解析式为，则，，可得； （3）分两种情况讨论：当E点在K点上方时，当E点在K点下方时，分别得到，，分别求P点坐标即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， 解得，， ，， ， ， ， ， ， 解得； （2）解：， ， ， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为t， ， 轴， ， ； （3）解：当E点在K点上方时，连接，，延长交于点G， ，，， ，，， ， 是直角三角形，， 由旋转可知， ， ，， ， ， ， ， ∴点A、G、B、D四点共圆， ， ， ， ， ， ， 过点A作交于点Q，过点Q作轴交于N点，过点P作轴交于H点， ， ，， ， ， ，， ， ， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ， ， 解得（舍）或， ； 当E点在K点下方时，延长交于点T，交于点M，连接，， 同理可知， ， ， ， ∴点A、T、B、D四点共圆， ， ，， ， ， 过点P作交的延长线于W点，过点P作轴交x轴于点L，过点W作交于S点， ， ， ， ，， ， ∵直线的解析式为， 当时，， ， ∴直线的解析式为， ， 解得（舍）或， ； 综上所述：P点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 21．已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解； （3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：； ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， ∵，，设，， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时，如图， 同理可得：，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， 同理可得：，解得：， ∴； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 22．如图1，已知抛物线的图象与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点． (1)抛物线顶点为，连接、、，求点到的距离； (2)如图2，在轴正半轴有一点满足，点为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点作交轴于点，为轴上一个动点，为轴上一个动点，平面内有一点，连接、、，当最大时，求的最小值； (3)如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新的抛物线，上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用二次函数图象及性质即可得到本题答案； （2）先求出解析式，再连接，作轴交于，再设，则，即，利用面积法分别求出的坐标，再分别作关于轴对称得到坐标，再连接交于轴于点，交于轴于点，继而求出本题答案； （3）求出平移后的新抛物线解析式，再利用全等三角形判定得到，利用函数交点即可求出本题答案． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的图象与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点， ∴当时，，即， ∴当时，或，即，， 对称轴，当时，，即， ∴，， ∴，得， ∴到的距离为； （2）解：设解析式为，代入，， ∴，解得：， 的解析式为：， 连接，作轴交于， ， ， 设，则，即， ， ∴当时，，此时的坐标为， 作关于轴对称得到坐标为：， 作的关于轴对称得到坐标为：， 连接交于轴于点，交于轴于点，则， （3）解：∵将抛物线沿着射线平移得到新的抛物线，平移前抛物线解析式为， ∴平移后的新抛物线， 假设上存在一点，使得， 即在轴上找点满足， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理存在一点使得，使得， ∵设，将代入， ∴，联立，解得或（舍）， ∵存在一点使得，使得， ∴，设，将代入， ∴，联立，解得或（舍）， ∴或， ∴上存在一点，使得． 【点睛】本题考查二次函数图象及性质，待定系数法求一次函数解析式，平面直角坐标系中求面积问题，函数交点问题，全等三角形判定等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．对于二次函数，当自变量时，图象在第（    ）象限． A．一、四 B．二、三 C．四 D．一 2．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．点是二次函数图像上的四个点，下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知抛物线（a、b、c为常数，且）的y与x的部分对应值如下表： x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；④若是抛物线上两点，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．关于二次函数，有下列四个结论： ①对任意实数m，都有与对应的函数值相等； ②若时，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或； ④若，则一元二次方程一定有两个实数根． 以上结论，正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 7．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为．若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 8．如图，抛物线与轴交于点顶点坐标是，与轴交点的纵坐标在和之间不含端点在以下结论中： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 9．已知抛物线，当时，的值恒大于等于．则的取值范围为 ． 10．如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，抛物线过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C，在抛物线上有一点P，使得是以为直角边的直角三角形，则点P的坐标为 ．（提示：两点距离公式为：） 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点D在线段上，坐标为，点E坐标为，过点E作x轴的垂线l，点D关于直线l的对称点为，连接，．若与抛物线有一个公共点，则m的取值范围是 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与其关于直线对称的图象交于四点， 则四边形的面积为 ．    13．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      14．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在B左侧），抛物线的顶点为C，点 D为抛物线上一点，且在对称轴右侧，若的面积为3，则点D的坐标为 ． 15．如图，在矩形中，，点是的中点，连接，以点为原点，建立平面直角坐标系，点是上一动点，取的中点为，连接，则的最小值是 ． 16．直线与y轴交于点P，直线绕点P顺时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则 ． 三、解答题 17．如图，抛物线经过两点，与轴负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)为抛物线的顶点．为对称轴右侧抛物线上一点，连接交于点，若，求点的坐标： (3)点为轴上方抛物线上一动点，点是抛物线对称轴与轴的交点．直线分别交抛物线的对称轴于点． 以下两个结论： ①为定值：②为定值． 请找出正确的结论，并求出该定值． 18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，若b是正数，直线与y轴交于点A；直线与y轴交于点B；抛物线的顶点为C，且L与x轴右交点为D． (1)若，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标； (2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值； (3)设，点分别在l，a和L上，且是的平均数，求点与点D间的距离； (4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出和时“美点”的个数． 20．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且． (1)求a的值； (2)点D为抛物线的顶点，点P在第三象限的抛物线上，轴，交直线于点Q，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，连接、，交y轴于点E，连接、，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，射线交y轴于点K，当时，求点P的坐标． 21．已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 22．如图1，已知抛物线的图象与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点． (1)抛物线顶点为，连接、、，求点到的距离； (2)如图2，在轴正半轴有一点满足，点为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点作交轴于点，为轴上一个动点，为轴上一个动点，平面内有一点，连接、、，当最大时，求的最小值； (3)如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新的抛物线，上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$