第二十一章 一元二次方程章节压轴题模拟训练-2024-2025学年人教版九年级数学上册高频与压轴题型专项攻略

第二十一章 一元二次方程章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．若，为菱形的两条对角线，且，为一元二次方程的两根，则菱形的周长为（    ） A．16 B．20 C． D． 2．关于的一元二次方程有两不等实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 3．已知方程的两根分别为，，则的值为（    ） A．1 B． C．2024 D． 4．已知实数a，b满足，则的值为（　　） A．3 B．5 C．或5 D．3或 5．若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．若关于x的方程无实根，则k可取的最小整数为（    ） A． B． C． D． 7．已知方程，则此方程的所有实数根的和为（    ） A．0 B． C．2 D．8 8．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则其中正确的（   ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 二、填空题 11．有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有100人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 人． 12．如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 13．若m，n是方程的两根，则的值为 ． 14．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 15．如图，在菱形中，点E是边的中点，点F在边上．若，，，则菱形的边长为 ． 16．的所有的根的乘积 ． 17．如果关于x的方程的两根之差是1，那么p的值为 ． 18．若关于的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数的和为 . 三、解答题 19．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 20．如图，在中，．点 P 从点C 开始沿向点B以的速度移动，点Q从点A 开始沿向点C 以的速度移动．如果点 P，Q同时从点 C，A出发，试问： (1)出发 s时，点 P，Q之间的距离等于？ (2)出发 s时，的面积为？ (3)点P，Q之间的距离能否等于？请说明理由． 21．甲和乙工程队同时施工合修一段长度为米的公路，原计划甲工程队与乙工程队的人数比为，且甲工程队每人每天可修20米，乙工程队每人每天可修10米．修筑了天后，施工进行调整，从甲队抽调了a名工人到乙队，抽调后甲、乙两队人数比为且甲工程队每人每天比原来多修，乙工程队每人每天比原来多修，结果比原计划提前10天完成任务，求a的值． 22．广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 23．如图，在矩形中， ． 点 P 从点A 出发，沿方向向点D 匀速运动，速度是 ；同时，点Q从点B出发，沿方向向点A 匀速运动，速度是 连接，设运动时间为 (1)是否存在某一时刻t，使得 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (2)设 的面积为 求S与t之间的函数表达式． (3)是否存在某一时刻t，使得 是等腰三角形？ 若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． 24．（1）如图，正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：． （2）如图，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，若，，求的长． （3）如图，中，，是高，，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．若，为菱形的两条对角线，且，为一元二次方程的两根，则菱形的周长为（    ） A．16 B．20 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，解一元二次方程，先求出一元二次方程的两个根，进而求出菱形的边长，即可得出结果． 【详解】解：， 解得：，， ∵菱形的对角线互相垂直平分 ∴， ∴菱形的周长为． 故选B． 2．关于的一元二次方程有两不等实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两不等实数根， ∴， 解得：， 又，解得：， ∴的取值范围是且， 故选：． 3．已知方程的两根分别为，，则的值为（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系． 根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两根分别为，， ∴，， ∴， ∴． 故选B． 4．已知实数a，b满足，则的值为（　　） A．3 B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，设，则原方程变为，解这个方程即可求得的值． 【详解】解：设， 原方程变为：， ， 解得：， 因为平方和是非负数， 所以的值为5； 故选：B． 5．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程，当方程有解，即时，设方程两根分别为，则有，将原题第二个等式左右两边同时除以，变形后与第一个等式比较，得到与为方程的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出所求式子的值． 【详解】解：当时，， ∴， 将变形得：， 又， 与为方程的两个解， ∴． 故选：A． 6．若关于x的方程无实根，则k可取的最小整数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求出k的范围即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程无实根， ∴关于x的方程无实根， ∴， ∴， ∴， ∴k可取的最小整数为， 故选：B． 7．已知方程，则此方程的所有实数根的和为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，解一元二次方程，分类讨论，是解决问题的关键． 根据已知方程，分，，，三种情况讨论求根，取所有根的和即可． 【详解】解：①当时， 方程化为：， 即， ∴， 解得（舍去），； ②当时， 方程化为：， 即， ∴， 解得（舍去），， ③当时，方程不成立． ∴此方程的所有实数根的和为： ． 故选：A． 8．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 根据一元二次方程的解、根与系数的关系可得、、，代数式可化为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∴． 故选：C． 9．如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图②得：当时，在减小，当时，先变小后变大，可得应从出发沿运动到，再运动到，或应从出发沿运动到，再运动到，设应从出发沿运动到，再运动到，如图，连接交于，再进一步解答即可； 【详解】解：由图②得：当时，在减小， 当时，先变小后变大， ∴应从出发沿运动到，再运动到， 或应从出发沿运动到，再运动到， 设应从出发沿运动到，再运动到， 如图，连接交于， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴当在处时，，即，∴， 当在处时，，即， 当位于处时，，即，∴， ∵，∴，解得：（不符合题意的根舍去）， ∴，∴菱形的周长为；故选C 【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键. 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则其中正确的（   ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①② 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键． 根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可． 【详解】解：①若，即， 则是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：， 故①正确； ②∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， 又∵方程的判别式为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故②正确； ③是方程的一个根，∴， ∴，∴或，即有两种可能性， 故③错误； ④若是一元二次方程的根， ∴根据求根公式得：或， ∴或， ∴， 故④正确． 故选：A． 二、填空题 11．有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有100人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 人． 【答案】1000 【分析】根据两轮传染后患了感冒的人数第一次被传染的人数+第二次被传染的人数，求出一个人可以传染的人数，即可进行求解．本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程求解． 【详解】解：设一个人可以传染x个人， ， 解得：，（舍）， ∴经过三轮后患了感冒的人数为：（人）， 故答案为：1000． 12．如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 【答案】2或4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则，， ∵，， ∴cm， ∵线段将分成面积的两部分， ∴或， ∴，或， 整理得：或（无实数解），     解得，， 即线段将分成面积的两部分，运动时间为2或4秒． 故答案为：2或4． 13．若m，n是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程解的定义得到，，再根据根与系数的关系得到，后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】∵m，n是方程的两根， ∴，，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 14．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据二次项系数不等于零且列式求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ，，即， 解得：，且 故答案为：且． 15．如图，在菱形中，点E是边的中点，点F在边上．若，，，则菱形的边长为 ． 【答案】30 【分析】先证明，延长与的延长线于G，过点C作交的延长线于H，求出，可得，设，则，再由勾股定理得： ，然后证明，可得，从而得到，，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， 延长与的延长线于G，过点C作交的延长线于H，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得： ， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：或0（舍去）， ∴．即菱形的边长为30． 故答案为：30 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，一元二次方程的解法，全等三角形的判定和性质，勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形三角形的判定方法，理解菱形的性质，难点是正确的作出辅助线构造全等三角形，灵活运用勾股定理构造方程求解． 16．的所有的根的乘积 ． 【答案】2 【分析】本题考查解高次方程和一元二次方程，先把看成整体，原方程视为一元二次方程，求出所有解，再求它们的乘积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴， ∴所有的根的乘积为：， 故答案为：2． 17．如果关于x的方程的两根之差是1，那么p的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点，掌握是方程的两根时，成为解题的关键． 根据判别式可求出p的取值范围，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：， 设为方程的两根， 那么有, 又由，即， 解得：， ∴， ∵，∴． 故答案为． 18．若关于的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数的和为 . 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义，解分式方程，利用一元二次方程二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，解分式方程可得出分式方程的解，再由分式方程有正整数解及m的取值范围，可得m的所有值，再将其相加即可得出结论． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数解， ∴，解得且， 解方程得且， ∵分式方程有整数解， ∴为，，， 解得：，（舍去），，（舍去），， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 三、解答题 19．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1)(2)1 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 当方程有实数根时，实数的取值范围为； （2）解：方程两实数根分别为，， ，． ， ， ， 整理，得：， 解得：，． ， 实数的值为1． 20．如图，在中，．点 P 从点C 开始沿向点B以的速度移动，点Q从点A 开始沿向点C 以的速度移动．如果点 P，Q同时从点 C，A出发，试问： (1)出发 s时，点 P，Q之间的距离等于？ (2)出发 s时，的面积为？ (3)点P，Q之间的距离能否等于？请说明理由． 【答案】(1)2 (2)或 (3)点P，Q之间的距离不等等于，理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设出发时间时，点P，Q之间的距离等于，根据勾股定理列出方程求解即可； （2）设出发时间时，的面积为，根据三角形的面积公式列出方程求解即可； （3）设出发时间时，点P，Q之间的距离等于，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设出发时间时，点P，Q之间的距离等于 则， ∴； 依题意有：， 即， 解得，（不合题意舍去）． 故答案为：2； （2）解：设出发时间时，的面积为，依题意有， 解得． 故答案为：或； （3）解：设出发时，点P，Q之间的距离等于，依题意有 ， 整理，得， ∵， ∴点P，Q之间的距离不等等于． 21．甲和乙工程队同时施工合修一段长度为米的公路，原计划甲工程队与乙工程队的人数比为，且甲工程队每人每天可修20米，乙工程队每人每天可修10米．修筑了天后，施工进行调整，从甲队抽调了a名工人到乙队，抽调后甲、乙两队人数比为且甲工程队每人每天比原来多修，乙工程队每人每天比原来多修，结果比原计划提前10天完成任务，求a的值． 【答案】a的值为20 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程（分式方程）是解题的关键． 设原计划甲工程队有人，则乙工程队有人，由抽调后甲、乙两队人数比为可求出，利用工作时间工作总量工作效率可求出原计划的工作时间，由抽调后比原计划提前10天完成任务，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设原计划甲工程队有人，则乙工程队有人， 依题意得：，解得：，原计划的工作时间为（天． 抽调后比原计划提前10天完成任务， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为20． 22．广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 【答案】(1)9月试营业期间轮渡票价格为50元/张，摆渡车票价格为20元/张 (2)a的值为30 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张，利用数量总价单价，结合预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出的值，再将其代入，中，即可求出结论； （2）利用销售总额销售单价销售数量，结合十月份轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ，． 答：9月试营业期间轮渡票价格为50元张，摆渡车票价格为20元张； （2）解：根据题意得：， 整理得：，解得：（不符合题意，舍去），． 答：的值为30． 23．如图，在矩形中， ． 点 P 从点A 出发，沿方向向点D 匀速运动，速度是 ；同时，点Q从点B出发，沿方向向点A 匀速运动，速度是 连接，设运动时间为 (1)是否存在某一时刻t，使得 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (2)设 的面积为 求S与t之间的函数表达式． (3)是否存在某一时刻t，使得 是等腰三角形？ 若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在， (2) (3)存在，或   【分析】（1）在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，再根据当时，，由勾股定理得，即，求解即可； （2）根据，代入化简即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，，， 由题意，得，， 则，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 当时，， ∴ ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴存在，当时，使得． （2）解： （3）解：当时，则， ∴ 解得：，（不符合题意，舍去） ∴； 当时，则， ∴ 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，则， ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； 综上，存在，当或时，使得 是等腰三角形． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，三角形的面积，矩形的面积，求函数关系式，解一元二次方程，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 24．（1）如图，正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：． （2）如图，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，若，，求的长． （3）如图，中，，是高，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，，根据全等三角形的性质即可得出答案； （2）过点作，截取，使，连接、．证明．得出，，再证明，得出，最后由勾股定理计算即可得出答案． （3）将沿折叠得到，将沿折叠，得到，延长，交于点G，证明四边形为正方形，得出，，设，则，，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，截取，使，连接、． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴． ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）将沿折叠得到，将沿折叠，得到，延长，交于点G，如图所示： ∵是的高线， ∴， 根据折叠可知：，，，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，折叠的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$