第十二章 全等三角形章节压轴题模拟训练-2024-2025学年人教版八年级数学上册高频与压轴题型专项攻略

第十二章 全等三角形章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，正确作出辅助线，证明是解题关键．过作于，由是等腰直角三角形，得到，，由余角的性质推出，进而证明，得到，即可求出面积． 【详解】解：如图，过作于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，∴， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，和的平分线交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．在上取，连接，先求出，则，证明，则，根据，，得到，则，再由三角形外角的性质求得，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，在上取，连接， ∵ ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，是的角平分线， ∴ ∴ ∴ ， ∵是的角平分线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C． 3．如图，点是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，连接，若的大小为（   ） A． B． C． D．随2点的移动而变化 【答案】C 【分析】该题主要考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 根据题意得出，过点作交于点，作交于点，作交于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出是的角平分线，算出，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵的平分线和的平分线所在直线相交于点D， ∴， ∵过点作交于点，作交于点，作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了梯形面积的计算，本题中求证是解题的关键．作，易证，求四边形的面积即可解题． 【详解】解：过点E作于点A，于点E， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的面积＝四边形的面积， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积为； 故选C． 5．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BC=18，D是AB上一点，AC=BD，E是CD的中点.则AE的长是(    ).    A．12 B．9 C．9 D．以上都不对 【答案】B 【详解】试题分析：如图所示，过D作DF∥AC，交AE的延长线于F，连接BF，CF，由此可得△DEF≌△CEA，根据全等三角形的性质可得AE=EF，因此可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ACFD是平行四边形，可得AC=DF，∠FDB=∠BAC=60°，∠ACF=120°，然后根据AC=BD，可得△DBF是等边三角形，可得AC=DF=DB=FB,∠BFC=120°，所以△ACF≌△BFC，因此可知BC=AF=2AE=18，解得AE=9. 故选B    点睛：本题主要考查了全等三角形的应用，根据已知线段和所求线段不在同一三角形，又有中线的条件，所以利用“倍中线法”添加辅助线，构造全等三角形，通过全等三角形的性质找到AE与BC的关系，从而可求解. 6．如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ∴， ，①正确； ∴， 由三角形的外角性质得：， ，②正确； 作于，于，如图2所示：    则， 在和中， ， ， ， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴，∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的①②④； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．属于选择题中的压轴题． 7．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，过点作，．先证明≌得，再证明≌得，得为等腰直角三角形，求出，再证明≌得．从而求出． 【详解】取的中点，连接，过点作，． ∵四边形为正方形， ∴，． ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分 ∴， ∴． 在和中 ∴≌ ∴ 在和中 ， ∴≌ ∴， 又∵平分，， ∴ ∵，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴≌ ∴ ∴． 故选． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质．关键是取的中点后证明≌． 8．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（    ） A．2 B．2.5 C．4 D．5 【答案】B 【分析】延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，证明△BDG≌△BDC，即有BC=BG，CD=DG，进而有AG=BC-AB=2，根据GH⊥AC，有△AGC的面积为，当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG，此时GH达到最大，则△AGC的最大面积为：；根据CD=DG，可得，则△ACD的最大面积可求． 【详解】延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，如图， ∵BD平分∠ABC，BD⊥CD， ∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°， ∵BD=BD， ∴△BDG≌△BDC， ∴BC=BG，CD=DG， ∵BC-AB=2， ∴AG=BC-AB=2， ∵在△AGC中，GH⊥AC， ∴△AGC的面积， ∵AC=5， ∴， ∵在△AGH中，GH⊥AH， ∴即∠GHA=90°，△AHG是直角三角形，斜边为AG， ∴GH＜AG， ∵AG=2， ∴GH＜2， 当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG， 此时GH达到最大， ∴则GH的最大值为2， ∴△AGC的最大面积为：， ∵CD=DG，∴D点为CG中点， ∴，∴△ACD的最大面积为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线AG、DG，并判断出当G点与H点重合时GH达到最大，是解答本题的关键． 二、填空题 9．如图，在中，D是上一点，E是上一点，连接，，且，则的长为 ． 【答案】6 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 根据题意作，得出，确定，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可求解． 【详解】解：如图，作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴ ∴， 故答案为：6． 10．如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； 依题意，，进而得到．再证明，再由三角形内角和定理可得，最后利用证明得出，，即可求得，进而根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：且 由外角定理可得， 又， ∴∠CAF＝∠BCE， 在和中， ． ，， ，， ， 的面积为，， ， ， ∴ 的面积是 故答案为：， ． 11．如图，在中，D为中点，，，交于F，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形全等的判定及性质，连接，过点E作交的延长线于点G，由角平分线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，即可求解；掌握相关的性质，构建三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G， 为中点，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， 同理可证：， ， ，解得：， ， 故答案：． 12．如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】此题主要是考查了全等三角形的判定和性质，延长交于点，然后证得，得出，根据中点定义可得的面积为面积的2倍． 【详解】延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ． ∴， ， ，， ． 故答案为：4． 13．如图，直线a经过的顶点A，分别过B、C两点作于点D，于点E，，，，，则的长为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，平行线的判定和性质． 延长交直线a于F，根据已知条件得到，根据平行线的性质得到，推出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据即可得到结论． 【详解】解：延长交直线a于F， 于点D，于点E， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ．故答案为：． 14．如图所示，在四边形中，且，将沿方向平移至，连接，若以和为边构成的三角形面积是，则 ． 【答案】/ 【分析】如图，过点A作于F，延长交于G，过点C作，过点D作交于H，延长交于K，证明，得出：，再根据三角形面积即可求得答案． 【详解】解：如图，过点A作于F，延长交于G，过点C作，过点D作交于H，延长交于K， 则， ∵沿方向平移至， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵，∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∵以和为边构成的三角形面积是，∴ ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了平移的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形面积等，涉及知识点较多，难度较大，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 15．如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 【答案】 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论．本题考查了角平分线的性质，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线 在与中， ， ， ， 又 ， 为的平分线， 过点作于点， 在与中， ， ， ， ． 在与中， ， 为的平分线 ， 在中， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 16．已知：中，，，D为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于M，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和线段之间的关系，解题的关键是熟悉全等的性质和分类讨论思想的应用，当点D在的延长线上时，作，交的延长线于点G，利用可证明，有，，则．进一步利用证明，有．设，则，可求得，结合三角形面积公式得，，即可求得答案；当点D在线段上时，同理可设，有成立，可求得，则，即可． 【详解】解：点D在的延长线上时，作，交的延长线于点G，如图， 则． ∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 当点D在线段上时，同理可得，，， 可设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 故答案为：或． 三、解答题 17．在和中，，，． (1)如图，当点、、在同一条直线上时，求证：； (2)如图，当点，、不在同一条直线上时，与交于点，交于点，求证：； (3)如图，在（）的条件下，连接并延长交于点，是一个固定的值吗？，若是，求出的度数；若不是，请说明理由， 【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)是一个固定的值， 【分析】（1）证，即可得证； （2）证，得，再利用三角形的外角性质得，从而得，即可得证； （3）过点作于，于．由（）得：，进而得，利用角平分线的判定可得平分，再根据垂线定义即可得解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作于，于． 由（）得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， 又，， 平分， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了垂线定义，全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及角平分线的判定是解题的关键． 18．在中，和边上的高、交于点F，． (1)如图1，求证:； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长BA到点G，过点G作的垂线交的延长线于点H，已知，，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3)13 【分析】（1）根据同角的余角相等，即可证明． （2）先根据证明，则可得，则可得，即 ． （3）在上截取，连接．根据可得，则可得，．再证，然后由可得，则可得．又由可得，进而可得，，从而可求得的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确的做出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， ． （2）解：在和中， ， ， ， ， ． （3）解：如图，在上截取，连接． ∵是的高，， ∴， 又，， ， ，， 由（2）知，即， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 由（2）知， ， ， ， ． 19．在平面直角坐标系中，点,点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图1，当点C的坐标为时，试求点E的坐标； (2)如图2，当时，连接,证平分； (3)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． （1）由“”可证可得，然后确定点E的坐标即可； （2）如图②，过点O作于点Q，作于点P，由面积法可证即可证明结论； （3）如图所示，在上截取，连接，证明，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； （2）证明：如图②，过点O作于点Q，作于点P，    由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴平分． （3）解：如图③，当时，在上取一点F，使，    ∵, ∴， ∴， 由（2）得：平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， 设的度数为，则的度数为， ∴,解得：， ∴的度数为， 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意． 综上所述，的度数为． 20．如图，，，，． (1)如图1，、、之间的数量关系为 ； (2)如图2，点F为的中点，连接． ①求证：． ②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②垂直，见解析 【分析】（1）证明，利用周角的定义，三角形内角和定理计算即可得出结论； （2）①延长至M，使，连接，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； ②延长交于点N，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：①延长至M，使，连接， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ②延长交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，余角的性质，补角的性质，构造倍长中线法证明全等，熟练掌握构造倍长中线法证明全等是解题的关键． 21．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）是等腰三角形．证明即可； （3）延长到T，使得，连接，延长交于点M，证明是等腰三角形，推出点E是三角形的重心，可得，再证明，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴． （2）解：结论：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）解：延长到T，使得，连接，延长交于点M，如图所示： ∵，， ∴（SAS） ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴点E是是重心， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的重心的性质，属于中考压轴题． 22．中，，．    (1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段，，之间的数量关系为 ； (2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，点为斜边上一点且不与、重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或或 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得，，即可求解； （2）由“”可证，可得，，即可求解； （3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】（1），， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：； （2），理由如下： ，， ， ， ， 又， ， ，， ； （3）如图，当点在线段上时，   ，， ， 将沿翻折得到， ， 又， ， 当时，则， ， 当时，则， ， 当时，则， 不合题意舍去； 当点在的延长线上时，   ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 全等三角形章节压轴题模拟训练 一、单选题 1．如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 2．如图，在中，和的平分线交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，连接，若的大小为（   ） A． B． C． D．随2点的移动而变化 4．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BC=18，D是AB上一点，AC=BD，E是CD的中点.则AE的长是(    ).    A．12 B．9 C．9 D．以上都不对 6．如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（    ） A．2 B．2.5 C．4 D．5 二、填空题 9．如图，在中，D是上一点，E是上一点，连接，，且，则的长为 ． 10．如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 11．如图，在中，D为中点，，，交于F，，，那么 ． 12．如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 13．如图，直线a经过的顶点A，分别过B、C两点作于点D，于点E，，，，，则的长为 . 14．如图所示，在四边形中，且，将沿方向平移至，连接，若以和为边构成的三角形面积是，则 ． 15．如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 16．已知：中，，，D为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于M，若，则的值为 ． 三、解答题 17．在和中，，，． (1)如图，当点、、在同一条直线上时，求证：； (2)如图，当点，、不在同一条直线上时，与交于点，交于点，求证：； (3)如图，在（）的条件下，连接并延长交于点，是一个固定的值吗？，若是，求出的度数；若不是，请说明理由， 18．在中，和边上的高、交于点F，． (1)如图1，求证:； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长BA到点G，过点G作的垂线交的延长线于点H，已知，，，，求的长． 19．在平面直角坐标系中，点,点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图1，当点C的坐标为时，试求点E的坐标； (2)如图2，当时，连接,证平分； (3)如图3，当时，求的度数． 20．如图，，，，． (1)如图1，、、之间的数量关系为 ； (2)如图2，点F为的中点，连接． ①求证：． ②判断与的位置关系，并说明理由． 21．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 22．中，，．    (1)如图，过点作直线，当直线与不相交时，过点作于点，过点作于点，请直接写出线段，，之间的数量关系为 ； (2)如图，当直线与相交时，过点作于点，过点作于点，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，点为斜边上一点且不与、重合，现将沿翻折得到，直线与直线相交于点．当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$