期中考试平面直角坐标系综合压轴题专项训练（四川成都专用）-【B卷常考题型】2024-2025学年 北师大版八年级数学上 册型全攻略

期中考试平面直角坐标系综合压轴题专项训练 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，， ． (1)求两点的坐标； (2)将平移到，点的对应点． ①若，求的值； ②若三点在同一直线上时，求点的坐标． 2．等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． 3．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD．    (1)求AKO的度数； (2)如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明． 4．如图，在平面直角坐标系中，，为平面坐标系中一点且． (1)求证：； (2)x轴上一点有，求取得最小值时点的坐标． 5．在平面直角坐标系中．点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段给出如下定义：过点P向线段所在直线作垂线，若垂足Q落在线段上，则称点P为线段的内垂点．若垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点．已知点，，． (1)在点、、，中，线段的内垂点为　　　　； (2)点M是线段的最佳内垂点且到线段的距离是2，则点M的坐标为　　　　； (3)点N在y轴上且为线段的内垂点，则点N的纵坐标n的取值范围是　　　　； (4)已知点，，若点F在过点且与x轴平行的直线上，点F是线段的一个内垂点．请你通过研究说明三角形的面积　　　　（填写“会”或“不会”）随着m值的变化而改变，若不改变，直接写出面积，若改变，说明理由． 6．（1）如图1，在平面直角坐标系中，满足．直接写出a、b的值：______；______； （2）如图2，在（1）问条件下将线段向右平移m个单位长度，平移后A、B的对应点分别为D、E，线段交y轴于点C，当和面积相等时，求m的值和点D、点E的坐标； （3）在（2）问的条件下，延长交x轴于点F，点F的坐标为，过点E作直线轴，动点P从点E沿直线l以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点F沿x轴向右运动，当最小时，三角形的面积为27，求Q点运动的速度． 7．如图1，在平面直角坐标系中，点，，点C在的平分线上，且点C到x轴、y轴的距离均为4． (1)点C的坐标为_______，_______； (2)直线轴且过点，点P为l上一动点，设点P的横坐标为m．若，求m的值； (3)如图2，E为x轴上一点（点E在点A的左边），过点B作，交延长线于点F，平分，延长交于点M．探究与的数量关系，并证明你的结论． 8．如图1，在平面直角坐标系中，，点在第一象限，轴，且． (1)点C的坐标为：______； (2)一动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度向左运动． ①如图2，过点作交轴于点与的角平分线相交且交点为与交于点，求的度数； ②点沿射线运动时，射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移，记点的横坐标为，当的面积大于6时，求的取值范围． 9．如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标系原点，点在第一象限，过点 向 轴作垂线，垂足为点 ，连接 ，．点 从点 出发，沿 轴的正半轴以每秒 个单位长度的速度运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位长度的速度运动，点 与点 同时出发，设点 的运动时间为 秒，连接 ，，．    (1)直接写出 的值，_____； (2)当 时，①请探究 ，， 之间的数量关系，并说明理由； ②试判断四边形 的面积是否变化？若不变化，请求出四边形 的面积；若变化，请说明理由； (3)当 时，请求出 的值及 的面积． 10．在平面直角坐标系中，，，，且． (1)请直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图1，点在线段上，线段轴，，点E从点D出发沿x轴负方向平移． ①当线段最短时，求的面积； ②若，求点D的坐标． (3)如图2，若点是x轴上方一点，且，求m与n之间的关系式．（提示：） 11．如图，等腰中，，点分别在坐标轴上． (1)如图1，若点的横坐标为5，求点的坐标； (2)如图2，若轴恰好平分交轴于点，过点作轴于点，求的值； (3)如图3，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以为边在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴的正半轴上移动时，直接写出的值． 12．如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，． (1)求点C的坐标． (2)如图2，设D为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数（点E在x轴的正半轴）． (3)如图3，当点D在线段上运动时，作交于M点，，的平分线交于N点，则点D在运动过程中，∠N的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 13．如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． (2)如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，且满足，是轴上一点，是线段上一点． (1)求出点A，B，C的坐标；并直接写出与的位置关系； (2)当点在线段上时，连接，，，探究，和的数量关系，并说明理由； (3)若三角形的面积等于四边形的面积，直接写出点P的坐标． 15．如图1，在平面直角坐标系中， 点， ， ， 且满足 P点在线段上运动（不与O、A重合）． (1)直接写出点A的坐标 ，B的坐标 ，C的坐标 ； (2)如图2，Q点在线段上运动， 与 的平分线交于点M，当时，点P在运动过程中， 的大小是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由： (3)若点Q在y轴上运动（不与O、C重合），当 与 的角平分线交于点M时，根据点Q的运动位置，直接写出 和 三者的数量关系． 16．在平面直角坐标系中，有点，且a，b满足将线段向上平移k个单位得到线段． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，点为线段上任意一点，点为线段上任意一点，．点为线段与线段之间一点，连接，，且，．试写出与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图2，若，过点作直线轴，点为直线上一点，若的面积为8，求点的坐标； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考试平面直角坐标系综合压轴题专项训练 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，， ． (1)求两点的坐标； (2)将平移到，点的对应点． ①若，求的值； ②若三点在同一直线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据绝对值，平方数的非负性即可求解； （2）①根据图形平移的性质，点对应点，可得向下平移个单位，可得点在直线上，分类讨论的情况，当时；当时；当点共线时；当在直线右边时；根据，图形结合分析面积的关系即可求解； ②根据平移的性质，点共线可确定的位置，在确定点，图形结合分析面积，即可求解． 【详解】（1）解：已知， ∵， ∴， 解得，，， ∴； （2）解：①点，平移后对应点，可得向下平移个单位， 当时，即点在的位置，点，如图所示， ∴，不符合题意，舍去； 当时，即点在的位置，如图所示，过点分别作轴的平行线，分别交于点，得矩形， ∴，，，，，， ∴， ， 解得，，符合题意； 当时，即点在的位置，如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ， 解得，，不符合题意； 如图所示，点在的位置，即共线时，不符合题意； 当在直线右边时，即点在的位置，点在右边，如图所示，过点作轴于点，则， ∴， ， 解得，； 综上所述，当的值为或； ②∵点平移后对应点，即点在的直线上，且点三点共线，作图如下，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位，且， ∴， ∴，， ∴ 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查绝对值、平方数的非负性，坐标于图形的变换，图形平移的性质，几何图形面积与坐标的位置关系的综合，理解题意，掌握坐标的性质，坐标与图形面积的计算方法是解题的关键，尤其注意点在直线的直线上是解题的突破口． 2．等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析． 【分析】（1）过点作轴于点，通过证明，得到，，即可求解， （2）在上截取，连接，通过证明，得到，，通过证明，，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线构造全等三角形． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形，， ，，， ， 在和中，， ， ，， ， ， 故答案为：， （2）解：在上截取，连接， 由对称性得，， ， ， 是的平分线， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD．    (1)求AKO的度数； (2)如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明． 【答案】(1)； (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系． （1）作于E，于F．只要证明，推出（全等三角形对应边上的高相等），，推出平分，再证明，即可解决问题； （2）结论：；过点B作轴交的延长线于H．只要证明，以及即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于E，于F．    ∵， ∴， ∴， ∴（全等三角形对应边上的高相等），， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：结论：． 理由：如图，过点B作轴交的延长线于H．    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，，为平面坐标系中一点且． (1)求证：； (2)x轴上一点有，求取得最小值时点的坐标． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【分析】（1）根据两点间的距离公式及完全平方公式求解即可； （2）根据绝对值的性质及坐标内点的坐标性质求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 当时，取得最小值， 当时，点在线段的垂直平分线上， ，，点的横坐标为，即， 由（1）知，，，， 当时，无解， 当时，， 综上，取得最小值时点的坐标为或． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了两点间的距离公式、绝对值的性质及坐标系内点的坐标性质等知识点，熟练运用有关知识是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中．点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段给出如下定义：过点P向线段所在直线作垂线，若垂足Q落在线段上，则称点P为线段的内垂点．若垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点．已知点，，． (1)在点、、，中，线段的内垂点为　　　　； (2)点M是线段的最佳内垂点且到线段的距离是2，则点M的坐标为　　　　； (3)点N在y轴上且为线段的内垂点，则点N的纵坐标n的取值范围是　　　　； (4)已知点，，若点F在过点且与x轴平行的直线上，点F是线段的一个内垂点．请你通过研究说明三角形的面积　　　　（填写“会”或“不会”）随着m值的变化而改变，若不改变，直接写出面积，若改变，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)不会，三角形的面积为6 【分析】本题考查坐标与图形的性质，垂线，平行线的距离，理解内垂点的定义是解题的关键． （1）根据新定义解决问题即可； （2）满足条件的点在线段的垂直平分线上； （3）画出图象即可解决问题； （4）由题意知轴，根据平行线间的距离处处相等，可得直线与x轴之间的距离为3，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：，， 轴， 由内垂点的定义可知，线段的内垂点的横坐标在与1之间， 在点、、，中，线段的内垂点为，， 故答案为：，； （2）解：点M是线段的最佳内垂点，，， 点M的横坐标为， 点M到线段的距离是2， 点M的纵坐标为， 点M的坐标为或， 故答案为：或； （3）解：如图，利用格点作交y轴于E，作交y轴于F， ∵点N在y轴上且为线段的内垂点， ∴N在线段上， ∴， 故答案为：； （4）解：不会，三角形的面积为6． ，， 线段在x轴上，， 点F在过点且与x轴平行的直线上， 轴，直线与x轴之间的距离为3， ， 三角形的面积为6，不会随着m值的变化而改变． 6．（1）如图1，在平面直角坐标系中，满足．直接写出a、b的值：______；______； （2）如图2，在（1）问条件下将线段向右平移m个单位长度，平移后A、B的对应点分别为D、E，线段交y轴于点C，当和面积相等时，求m的值和点D、点E的坐标； （3）在（2）问的条件下，延长交x轴于点F，点F的坐标为，过点E作直线轴，动点P从点E沿直线l以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点F沿x轴向右运动，当最小时，三角形的面积为27，求Q点运动的速度． 【答案】（1）；（2）点的坐标为，点的坐标为；（3）点的速度为每秒或个单位长度 【分析】本题考查平移坐标变化，偶次方，算术平方根的非负性以及三角形的面积，求出相应点的坐标是解决问题的关键，画出相应图形是正确解答的前提． （1）由偶次方和算术平方根的非负性可求出a、b的值； （2）根据题意画出相应图形，设平移的距离为，表示出出相应点的坐标，根据面积之间的关系进行计算即可． （3）由（2）可知点的坐标为，点的坐标为，过点作轴于点，过点作轴于点，则，则算出，再根据，算出，根据题意可得点的纵坐标始终为，由垂线段最短可知，当最小时，，即轴，则，根据，得出运动时间为6秒，设动点从点沿x轴以每秒个单位的速度向右运动，得出点的的坐标为，分为当在轴负半轴时，和当在轴正半轴时，根据等面积法列出方程求解即可； 【详解】解：（1）， ， ； 故答案为：； （2）由（1）知：， 设平移的距离为，则点的坐标分别为：， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则， 若， 则， ， ， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为； （3）由（2）可知点的坐标为，点的坐标为，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， 则， ， ， 轴，点从点沿直线1以每秒2个单位长度的速度向左运动， 点的纵坐标始终为， 由垂线段最短可知，当最小时，，即轴， 则，此时点的横坐标始为，则， ，则运动时间为：秒， 设动点从点沿x轴以每秒个单位的速度向右运动， 点的的坐标为， 当在轴负半轴时，， 解得：． 当在轴正半轴时，过点作轴，连接， ， 解得． 综上，点的速度为每秒或个单位长度． 7．如图1，在平面直角坐标系中，点，，点C在的平分线上，且点C到x轴、y轴的距离均为4． (1)点C的坐标为_______，_______； (2)直线轴且过点，点P为l上一动点，设点P的横坐标为m．若，求m的值； (3)如图2，E为x轴上一点（点E在点A的左边），过点B作，交延长线于点F，平分，延长交于点M．探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，7 (2)或 (3)，证明见解析 【分析】（1）用所在长方形的面积减去四周小三角形的面积可得； （2）分点P在点A右侧与左侧两种情况，用含m的式子表示出的面积，进而可得m的值； （3）由三角形外角的性质可得，，等量代换可得，再根据平行线的性质得出，可证． 【详解】（1）解：点C在第三象限，到x轴、y轴的距离均为4， 点C的坐标为． 如图，作轴于点H，轴于点G， ， 故答案为：，7 （2）解：， ， 点P的坐标为，当点P在点A右侧时，如图： ，解得； 同理，当点P在点A左侧时，可得， 综上可知，m的值为或； （3）解：， 证明如下： 平分， ， ， 平分，， ， 又， ，即， ，， ． 【点睛】本题考查坐标与图形，三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质等，掌握坐标系内三角形面积的求法，熟练运用分类讨论、等量代换思想是解题的关键． 8．如图1，在平面直角坐标系中，，点在第一象限，轴，且． (1)点C的坐标为：______； (2)一动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度向左运动． ①如图2，过点作交轴于点与的角平分线相交且交点为与交于点，求的度数； ②点沿射线运动时，射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移，记点的横坐标为，当的面积大于6时，求的取值范围． 【答案】(1)；2)①；②或 【分析】（1）由点B的坐标及的长度即可求解； （2）①过点F作轴，由平行线的性质、角平分线的定义即可求解； ②设t秒时，点D的横坐标为m，则；由于射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移，则此时点D的坐标为；求出当的面积为6时t的值，得到m的值，则可确定的面积大于6时m的范围． 【详解】（1）解：，轴， ， 故答案为：； （2）解：①如图，过点F作轴，则； 轴， ，， ； ， ， ； 分别是与的角平分线， ， ， ； ②设t秒时，点D的横坐标为m，则； 由于射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移， 则此时点D的坐标为； ，点D到x轴的距离为， 当的面积为6时，即， 解得：或， 即或； 当的面积大于6时，m的范围为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义及角的运算，掌握这些知识是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标系原点，点在第一象限，过点 向 轴作垂线，垂足为点 ，连接 ，．点 从点 出发，沿 轴的正半轴以每秒 个单位长度的速度运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位长度的速度运动，点 与点 同时出发，设点 的运动时间为 秒，连接 ，，．    (1)直接写出 的值，_____； (2)当 时， ①请探究 ，， 之间的数量关系，并说明理由； ②试判断四边形 的面积是否变化？若不变化，请求出四边形 的面积；若变化，请说明理由； (3)当 时，请求出 的值及 的面积． 【答案】(1)2 (2)①，理由见解析；②不变，12 (3)当或6时，，此时的面积为或84． 【分析】（1）先求出，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （2）①如图1，过点N作轴，则轴，由平行线的性质可得，据此可得结论；②如图2，由（1）得，；由题意得，，，再根据进行求解即可． （3）分两种情况讨论：当时，此时点N在上，，，求出的值，进而求出，再根据，即可求出的面积；当时，此时点N在的延长线上，，，求出的值，进而求出、、，再根据，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴， ∵， ∴，即， 解得或（舍去）； （2）解：①，理由如下： 如图1，过点N作轴，    ∵轴， ∴轴， ∴， ∴． ②如图2，由（1）得，，    ∴， ∴； 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积不变，． （3）解：当时，如下图，此时点N在上，，，     ， ， ， ， ， ； 当时，如下图，此时点N在的延长线上，，，     ， ， ， ， ，， ， ， 综上可知，当或6时，，此时的面积为或84． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形面积，平行线的性质，利用平方根的含义解方程，动态几何问题，熟练的利用数形结合的方法解题，清晰的分类讨论是解本题的关键． 10．在平面直角坐标系中，，，，且． (1)请直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图1，点在线段上，线段轴，，点E从点D出发沿x轴负方向平移． ①当线段最短时，求的面积； ②若，求点D的坐标． (3)如图2，若点是x轴上方一点，且，求m与n之间的关系式．（提示：） 【答案】(1)，， (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b、c的值，然后写出点的坐标即可； （2）①过点B作，垂足为点H，交于点Q，则Q为，根据垂线段最短，当点E与点Q重合时，最短，根据，求出，即可求出结果； ②先求出，，根据列出方程进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论：当点D在左侧时，当点D在BC右侧时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴坐标分别为点，，． （2）解：①如图1，过点B作，垂足为点H，交于点Q，则Q为， 根据垂线段最短，当点E与点Q重合时，最短， 所用， ∵， ∴， ∴． ②如图2，∵， ， ∴， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为． （3）解：如图3，当点D在左侧时，过点D作，垂足为点M，交于点N， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图4，当点D在BC右侧时，过点D作，垂足为点M，交于点N， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，非负数的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，注意进行分类讨论． 11．如图，等腰中，，点分别在坐标轴上． (1)如图1，若点的横坐标为5，求点的坐标； (2)如图2，若轴恰好平分交轴于点，过点作轴于点，求的值； (3)如图3，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以为边在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴的正半轴上移动时，直接写出的值． 【答案】(1)点 (2) (3)3 【分析】本题考查了坐标系特征，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键． （1）作轴，证，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题； （2）延长交延长线于点， 证明和， 可得，即可解答， （3）作轴，证和，可得和，即可求得，即可解题． 【详解】（1）解：如下图，过点作轴于点， 则， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点的横坐标为5， ∴， ∴， ∴点； （2）如下图，延长交延长线于点， ∵， ∴， ∵轴平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，作轴于， ∵， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 12．如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，． (1)求点C的坐标． (2)如图2，设D为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数（点E在x轴的正半轴）． (3)如图3，当点D在线段上运动时，作交于M点，，的平分线交于N点，则点D在运动过程中，∠N的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据实数的非负性，结合图形的面积，点所在象限，计算点C的坐标即可． （2）根据角的平分线定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理计算即可． （3）过点D作，过点N作，利用平行线的判定和性质，角的平分线的定义，解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴． ∴． ∵， ∴， 解得． ∵C在第四象限， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． （3）如图，，大小不会发生变化，理由如下： 如图，过点D作，过点N作，则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理：， ∴． 【点睛】本题考查了实数的非负性，平行线的判定和性质，垂直的应用，角的平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 13．如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． (2)如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 【答案】(1)，， (2)是定值，为2 (3)，理由见解析 【分析】（1）因为与不可能为负数，要使，则有，，求出和即可得到点、点的坐标，又因为是等腰直角三角形，根据其性质即可得出点的坐标； （2）先根据“角角边”判断，从而得到，，，根据点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， 得到即可求解； （3）先利用“角边角”证明，得到，然后利用“角角边”证明，得到，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：和满足， ，， ，， 点的坐标为，点的坐标为． ，， 是等腰直角三角形， 点向左平移1个单位，向上平移1个单位得到点， 点是点向右平移3个单位，向下平移1个单位得到的， 点的坐标为：． 故答案为： ，，． （2）解：轴， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ． 点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， ． ， ． （3）解：延长交的延长线与点， y轴恰好平分， ， 轴于点E，， ，，． ，， 轴，轴， ， ， ， ， 又， ， ， ． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，且满足，是轴上一点，是线段上一点． (1)求出点A，B，C的坐标；并直接写出与的位置关系； (2)当点在线段上时，连接，，，探究，和的数量关系，并说明理由； (3)若三角形的面积等于四边形的面积，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)A，B，C， (2) (3)或 【分析】本题属于坐标与图形综合题，主要考查非负数的性质；算术平方根，偶次方根．坐标与平行线的性质，三角形的面积， （1）由已知条件．就可以得到：和，和．就能很容易的写出、两点的坐标．又因为，所以可得与平行． （2）过点做轴的平行线，所以得到一组平行线轴，通过平行线内错角相等，最后得到． （3）四边形是一个梯形，并且四边形的面积是定值，由的面积和梯形的面积相等可知，的位置应该在线段外，设点坐标为，，，所以，得．即得到点坐标为或． 【详解】（1）解：（1）． ，， ，； 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． 平行于坐标轴， ； （2）．理由如下： 如图，过点作，交于点， ，． ，． ， ． （3）点的坐标为或． 理由如下： ， ； ， 得． 即得到点坐标为或． 15．如图1，在平面直角坐标系中， 点， ， ， 且满足 P点在线段上运动（不与O、A重合）． (1)直接写出点A的坐标 ，B的坐标 ，C的坐标 ； (2)如图2，Q点在线段上运动， 与 的平分线交于点M，当时，点P在运动过程中， 的大小是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由： (3)若点Q在y轴上运动（不与O、C重合），当 与 的角平分线交于点M时，根据点Q的运动位置，直接写出 和 三者的数量关系． 【答案】(1)；； (2)的大小没有变化，其值为 (3)当点Q在线段上时， ；当点Q在延长线上时，；当点Q在延长线上时， 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、c的值即可求解； （2）过点M作，根据平行线的性质与角平分线的定义解答即可； （3）分三种情况：当点P在线段上时，当点P在延长线上时，当点P在延长线上时，分别根据平行线的性质与角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， 解得：，， ∴，，． （2）解：过点M作，如图2， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵与 的平分线交于点M， ∴，， ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴的大小没有变化，其值为． （3）解：当点P在线段上时，过点M作， ∵与 的平分线交于点M， ∴，， ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 即； 当点P在延长线上时，过点M作，如图， 同理，，即， 当点P在延长线上时，过点M作，如图， 同理，即． 综上，当点P在线段上时， ；当点P在延长线上时，；当点P在延长线上时，． 【点睛】本题考查非负数的性质，点的坐标，平行线的性质与判定，角平分线的定义，余角的性质，三角形内角和定理．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 16．在平面直角坐标系中，有点，且a，b满足将线段向上平移k个单位得到线段． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，点为线段上任意一点，点为线段上任意一点，．点为线段与线段之间一点，连接，，且，．试写出与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图2，若，过点作直线轴，点为直线上一点，若的面积为8，求点的坐标； 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)点或点 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，三角形的面积公式，非负性等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）由非负性可求，的值，即可求解； （2）延长，交于点，延长，交于点，由平行线的性质可得，，由外角性质可得，，可求，即可求解； （3）分点在点的左侧和右侧两种情况讨论，由三角形的面积关系可求解． 【详解】（1）， ，， 点，点； （2）， 理由如下： 如图1，延长，交于点，延长，交于点， 设，，则， ， ，， ， ，， ， ， ； （3）当点在点右侧，且在直线左侧时，如图2，连接， ， ， 的面积为8， ， ， 点， 当点在点右侧，且在直线右侧时， 同理可得：， ， 点； 当点在点左侧时，如图3，连接， ， ， 的面积为8， ， （不合题意舍去） 综上所述：点或点； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$