期中考试利用勾股定理求最值压轴题专项训练（四川成都专用）-【B卷常考题型】2024-2025学年 北师大版八年级数学上册题型全攻略

期中考试利用勾股定理求最值压轴题专项训练 一、单选题 1．如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是和边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，，勾股定理，作点M关于对称的点，使得，连接，可得点在上，，则当三点共线，且时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出，再由等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点M关于对称的点，使得，连接， ∵平分， ∴点在上，， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最小值是， 故选：D． 2．如图，点是正半轴上一点，点是负半轴上一点，，点（在的右边）在轴上，且，点是轴上一动点，将三角形沿直线翻折，点落在点处，已知的最小值为1，则点的坐标是（    ） A．（0，2） B．（0，2.4） C．（0，2.5） D．（0，1.8） 【答案】B 【分析】由折叠的性质可求AC的长，由勾股定理可求OA的长． 【详解】解：∵将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处， ∴AB＝AE=3， ∵EC≥AC -AE， ∴当点A，点E，点C共线时，EC有最小值， 如图， ∵CE的最小值为1， ∴AC＝4， ∴AO2+OC2＝16，AO2+（5﹣OC）2＝9， ∴OC=3.2,OA＝2.4， ∴点A坐标为（0，2.4）， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是解决问题的关键． 3．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将沿着向左平移使与重合，得到，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作关于的对称点，连接，此时的最小值为线段长，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示：    由平移性质得到， ， 作关于的对称点，连接，如图所示：   由对称性得到， ， 由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长， ， ， 在长方形中，，，由矩形性质可得， ， 是的中点， ， 与关于的对称， ， 在长方形中，， 在中，，，，由勾股定理得到， 的最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型题型的识别及做题方法步骤是解决问题的关键． 4．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点A作于点E，当点A在的上时的值最小，根据勾股定理依次求出，，，的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， ∵ 当点A在上时的值最小，如图， ∵，， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴∠， 又∵， ∴， 在中中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，最值问题等知识，两边之差小于第三边，解题的关键是作出辅助线，从整体上把握题意，准确找到图形中数量关系． 5．已知a、b为两正数，且，则代数式最小值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，然后根据勾股定理构可得AB=和AC=，当A，B，C三点共线时有最小值，在根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b， 根据勾股定理可得：AB=和AC=， 所以： ， ∴当A，B，C三点共线时有最小值，即BC， 在Rt△BDC中． 故选：B 【点睛】本题主要考查勾股定理，能够根据二次根式的特点，数形结合，构造出直角三角形表示所求式子是解题的关键． 二、填空题 6．如图，在四边形中，，，，，点在上，且，点和点为边上的两个动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题以及平行线的性质，三角形三边关系，勾股定理，过点作得平行四边形，知，，作点关于对称点，连接，则，连接，当，，三点共线时，的值最小为，得到最小为，在中由勾股定理可得，从而可求出结论，熟练掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解: 过点作交于点，则四边形是平行四边形， ∴，， ∵，∴， 作点关于对称点，连接，则，， ∴， ∴， 当，，三点共线时，的值最小，为， ∴的最小值为， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：. 7．在中，，点D是线段上的动点，连接，以线段为直角边如图所示作等腰直角三角形，则周长的最小值为 ．      【答案】 【分析】取的中点F，连接，证明出，得到，作点C关于的对称点G，连接与的交点为D，此时的周长最小，过点G作交于点K，连接，然后利用等面积法和勾股定理求解即可． 【详解】取的中点F，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴的周长 作点C关于的对称点G，连接与的交点为D， 由对称性可得， ∴，此时的周长最小 过点G作交于点K，连接    ∵是的垂直平分线 ∴ 在中， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， 在中， ∴ ∴ ∴在中， ∴ 在中， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称求最短距离，勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．已知为实数，则代数式的最小值为 ． 【答案】13 【分析】根据的几何意义结合图象求出最小值即可． 【详解】∵， 如图所示，由代数式的结构构造点P（m，0），A（8，3），B（3，9）， 则， 作点B关于x轴的对称点A'（3，-9）， 则， ∴代数式的最小值为13. 【点睛】本题考查了图形与坐标求最值问题，解题的关键是根据代数式的几何意义，利用数形结合思想转化为求最值问题． 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝8，BC＞6，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 ． 【答案】． 【分析】过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，MG，利用两点之间线段最短，确定最小值为BG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC， 连接FG，MG，过B作BR⊥AG，交AG 的反向延长线于R， 则∠RBC＝∠BRA＝90°， ∴∠GAF＝∠ACE， 在△AFG和△CEA中， ， ∴△AFG≌△CEA（SAS）， ∴GF＝AE， ∴AE+BF的最小值，即为BG的长， ∵∠ABC＝45°， ∴∠RAB＝∠EBA＝45°， ∵AB＝6 ， ∴BR＝AR＝6， ∵AC＝8， ∴AG＝AC＝8， ∴RG＝AR+AG＝6+8＝14， ∴BG＝ =， 即AE+BF的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的全等，线段和最小值，平行线的性质，熟练掌握通过构造平行线法构造出线段和最小解题模型是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段在y轴上移动，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】此题主要考查平移的性质，勾股定理；将把向下平移2个单位长度得到线段，连接，则，进而得出的最小值为长，即可求解答案． 【详解】解：如图，把向下平移2个单位长度得到线段，连接，则，    ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 11．如图，在四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点． （1）的长是 ； （2）过点P分别作于点M，作 于点H．连接，在点P的运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 10 【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短： （1）勾股定理求出的长即可； （2）连接，等积法求出的长，再根据垂线段最短，得到当，即点与点重合时，最小，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵于点O，，， ∴； 故答案为：10； （2）连接， ∵于点M， 于点H， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点P为线段上的一个动点， ∴当时，的值最小， ∵， ∴当点与点重合时，的值最小，为的长，即， ∴的最小值为； 故答案为：． 三、解答题 12．最值问题． （1）如图（1），在中，有一点P在上移动，若，，求的最小值． 　　　　　　 （2）如图（2），在中，，，点M在边上，且，，动点P在边上，连接、，能使的长度最短． ①请通过画图指出点P的位置． ②求出的最短长度． 【答案】（1）的最小值为9.8；（2）①见解析；②的最短长度为． 【分析】（1）从B向作垂线段，交于P，此时取最小值，设，则，在中，，在中，，利用列式求解即可； （2）①如图，过点作于O，延长到，使，连接，交于P，则点P为所求； ②的值最小，连接，由条件可知，可得，，最终利用求解即可． 【详解】（1）从B向作垂线段，交于P， 此时取最小值， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴，解得， 在中， ， ∴， 答：的最小值为9.8； （2）①如图，过点作于O， 延长到，使， 连接，交于P， 则点P为所求． ②此时的值最小， 连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，涉及最短距离问题，有一定综合性，要熟练掌握勾股定理解三角形，根据题意作出准确的辅助线是解题关键． 13．如图，长方形中，，，点P在边上（不含端点B，C），直线与的延长线交于点E． (1)当点P是的中点时， 的长为 ， 的长为 ； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①在（1）的条件下，求出的长；（小陈不完整的求解过程如下，请你帮他补充完整．） （只需在答题卡对应区域写出剩余求解过程） ②连接，求周长的最小值． 【答案】(1)，3 (2)①；②6 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据，可得，，利用即可证明，得到； （2）①设，则，，在中，由勾股定理得，即； ②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值． 【详解】（1）∵当点P是的中点时， ∴， ∴ ， ，， 点是的中点， ， ∴， ∴， 故答案为：；． （2）①由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ②由折叠得，， 的周长， 连接，， 由两点之间线段最短可知， 当点恰好位于对角线上时，最小． 连接，在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键． 14．【问题提出】 （1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________． 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：）    【答案】（1）；（2）；（3）元 【分析】（1）用勾股定理可得，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得； （2）连接，取中点为点，连接，，用勾股定理可得，用中位线定理和直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，的值，根据图象即可得出的最大值为． （3）连接，，延长交于点H，根据，得；证明，得，根据，，，，又因为，所处的位置为的垂直平分线，此时取最大值；设，根据勾股定理可得，，，在直角中由勾股定理求得，在直角中，由勾股定理建立方程求得，代入中可求出，从而得出最长为米，则求出学校修建步行通道最多需要花费的钱数． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∵为边的中点， ∴， ∴， 故答案为． （2）连接，取中点为点，连接，，    ∵，，， ∴， ∵中点为点，且点为的中点，， ∴， ∵，中点为点， ∴， 由图象可得，的最大值为， 故线段的最大值为． （3）如图，连接，，延长，相交于H点， ∵，E为中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， 即当时，最大，从而最大，此时垂直平分， 故； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，    ∵， 即， 化简可得， ∴， ∴最长为米， ∴则学校修建步行通道最多需要花费（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．[问题提出]（1）如图1，与都是等边三角形，点C在边上，求的度数； [尝试探究]（2）如图2，在四边形中，，， M是边上一点，E是边上一点，且．过点E作，交AM的延长线于点F，连接．求证：； [迁移创新]（3）如图3，在中，，，D为的中点，E为线段上一点．若，直接写出的值． 【答案】（1）°  （2）见解析  （3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可解题； （2）延长至，使，先证明得到，然后证明即可得到结论； （3）作交的延长线于，作于，设，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解:∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， ∴ 又∵ ∴°； （2）证明:延长至，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵ ∴      ∴ 又∵, ∴，   ∴且 又∵ ∴； （3）解:作交的延长线于，作于， ∵为中点， 设，   ∴ ，     ∴， ∵， ∴， 又∵ ， 在中，    ∴， 在中 ∵ ∴， ,在中 在中, ∴. ∴， ∴ ， ∴． 16．已知为等边三角形，点D、E分别是上一点． (1)如图1，，连接交于点F，在的延长线上取点G，使得，连接，若，求的面积； (2)如图2，相交于点G，点F为延长线上一点，连接，已知，，，探究之间的数量关系并说明理由； (3)如图3，已知，过点A作于点D，点M是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连接，当取最小值时请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3) 【分析】（1）证明，则，进一步证明为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到答案； （2）作交BE于H，作交于T，证明，进一步证明，则，，证明是等边三角形，再证明，则，证明，则，得到，则，即可得到结论； （3）连接，利用等边三角形的性质得到，，勾股定理得到，证明，得到，则当时，最小，最小值为，此时，则，在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：在等边中，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形； ； （2）解：； 证明：如图1，作交BE于H，作交于T， ，，， ， 即， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，； 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 即：， ， ， ，， 在四边形中，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：； 连接， 是等边三角形，， ，，， ∵，是等边三角形， ，，， ∴， 在和中， ， ， ， 当时，最小，最小值为， 此时， ， 在中，． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 17．我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识应用】 如图1，点为线段上的一点，分别过点作于A，于，连结． （1）若，，，设，用含的代数式表示的长； （2）参照（1）的思想方法，构图求代数式的最小值． 【能力迁移】 （3）如图2，正方形中，点在边上，点在边上，且．已知，求的最小值． 【答案】（1）（2）13（3） 【分析】本题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． （1）根据勾股定理分别列代数式表示即可得出结论； （2）作，过点B作，过点D作，使，，连接交于点C，设，则的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值． （3）作，垂足为H，证明，设，则，得出，根据（2）中方法得出结论 【详解】解：（1），，，，，设， 在中，， 在中，， ； （2）如右图所示，作，过点B作，过点D作，使，，连接交于点C， 设，则的长即为代数式的最小值． 过点A作交的延长线于点F，得矩形， 则， 所以， 即的最小值为13； （3）作，垂足为H， 在正方形中，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 与（2）同理得：最小值为． 18．【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型． （1）如图1，和均为等边三角形，点D为边上一个动点，，点O为边中点，连接，写出图中全等的三角形______．线段的最小值______． 【问题探索】 （2）是等腰直角三角形，，点E是上一点，，交于D． ①如图①试探究数量关系，并给予证明； ②如图②，若，点F是的中点，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，四边形中，对角线相交于点E，，，求四边形的面积． 【答案】（1），；（2）①，证明见解析；②；（3）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等： （1）连接，证明，得到，则，可得点E在射线上运动，故当时，有最小值，此时，据此求解即可； （2）①如图所示，过点C作交延长线与F，连接，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，，得到，则，由勾股定理即可得到；②如图所示，过点C作于G，则，进而得到，再求出，由勾股定理得； （3）如图所示，在延长线上截取，连接，过点A作于H证明，得到，在中，，则，可得，，再由即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动， ∴当时，有最小值， ∴此时， ∵点O为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）①，证明如下： 如图所示，过点C作交延长线与F，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得， 在中， 由勾股定理得， ∴； ②如图所示，过点C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； （3）如图所示，在延长线上截取，连接，过点A作于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．综合与实践 动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘． 如图1，△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D． 思考探索：（1）在图1中： ①CD＝ ； ②△A′BC的面积为 ； 拓展延伸：（2）如图2，若△ACB为任意直角三角形，∠ACB＝90°．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．猜想三条线段AC、CD、A′D的数量关系，并证明． （3）如图3，在△ACB中，AB＝AC＝5，BC＝6，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C． ①△A′BC的面积为 ． ②若点D是△ACB的边BC的高线上的一动点，连接A′D、DB，则A′D+DB的最小值是 ． 【答案】（1）①8；②8；（2），证明见解析；（3）①9；② 【分析】（1）①根据旋转可得，根据三角形内角和定理和等价代换可得，根据和可得，进而可得，再根据全等三角形的性质可得BD=AC=4，进而可求出CD的长度； ②根据（1）①中可得，再根据三角形面积公式求解即可； （2）根据旋转可得，根据三角形内角和定理和等价代换可得，根据和可得，进而可得，再根据全等三角形的性质可得，BD=AC，再根据等价代换思想可以得出结论； （3）①过点作交CB延长线于点F，过点A作交CB于点E，交线段于点M，根据旋转可得，根据三角形内角和定理和等价代换可得，根据等腰三角形三线合一的性质和可得，进而可得，再根据全等三角形的性质可得，最后根据三角形面积公式可求出面积； ②连接DC，根据垂直平分线的性质可得DC=DB，再根据两点之间，线段最短确定点D与点M重合时，有最小值，再根据勾股定理可依次求出BF和的长度，进而得到的最小值． 【详解】解：（1）①∵边AB绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵AC=BC=4，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴BD=AC=4． ∴CD=BC+BD=8． 故答案为：8． ②∵， ∴． ∴． 故答案为：8． （2），证明如下： ∵边AB绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，BD=AC． ∴． （3）如下图所示，过点作交CB延长线于点F，过点A作交CB于点E，交线段于点M，再连接DC． ①∵AB=AC=5，BC=6，且， ∴，． ∴． ∵边AB绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：9． ②∵，且BE=CE， ∴AE垂直平分CB． ∴DC=DB． ∴． ∵点D在AE上， ∴． ∴当点D与点M重合时，有最小值，此时最小值为． ∵，， ∴． ∵BC=6， ∴CF=BC+BF=10． ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定定理的综合应用，三角形的内角和定理，勾股定理，两点之间，线段最短，熟练掌握这些知识点是解题关键． 20．已知在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，连接AD，在直线AD右侧作等腰△ADE，AD=AE． （1）如图1，若∠BAC=∠DAE=90°，连接CE．求证：△ABD≌△ACE； （2）如图2，若∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC=2． ①当AE∥BC时，求线段BD的长； ②取AC边的中点F，连接EF．当点D从点B运动到点C过程中，求线段EF长度的最小值与最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①BD；②线段EF长度的最小值为，最大值为 【分析】（1）由“SAS”可证得； （2）①如图1，过点D作DM⊥AB于点M，连接CE，根据∠BAC=∠DAE=120°求出∠BAD=∠CAE，然后根据平行性质求出∠ABC=∠ACB=∠EAC =30°，得到是等腰三角形，然后就可以求解了． ②如图2，取AB中点G，连接DG，CG，由“SAS”可证，可得GD=EF, 当GD⊥BC时，GD有最小值．当点D与点C重合时，DG有最大值为CG，即EF也有最大值． 【详解】证明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE． ∵AB=AC，AD=AE， ∴（SAS）； （2）解：①如图1，过点D作DM⊥AB于点M，连接CE， ∵∠BAC=∠DAE=120°， ∴∠BAD=∠CAE． ∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=30°． ∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB=30°， ∴∠BAD=30°，∴AD=BD， ∴BMAB=1，∴DM，∴BD． ②如图2，取AB中点G，连接DG，CG， ∵AB=AC=2，点F是AC中点，点G是AB中点， ∴AG=BG=AF=CF=1． ∵∠BAC=∠DAE=120°， ∴∠BAD=∠CAE． ∵AD=AE，AG=AF， ∴（SAS），∴GD=EF， ∴DG有最小值，EF也有最小值，∴当GD⊥BC时，GD有最小值． ∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ABC=30°，GD⊥BC，BG=1， ∴GD，BD， 当点D与点C重合时，DG有最大值为CG，即EF也有最大值． ∵BD，BC=2，∴CD，∴CG， ∴线段EF长度的最小值为，最大值为． 故答案为：最小值是，最大值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考试利用勾股定理求最值压轴题专项训练 一、单选题 1．如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是和边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点是正半轴上一点，点是负半轴上一点，，点（在的右边）在轴上，且，点是轴上一动点，将三角形沿直线翻折，点落在点处，已知的最小值为1，则点的坐标是（    ） A．（0，2） B．（0，2.4） C．（0，2.5） D．（0，1.8） 3．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 5．已知a、b为两正数，且，则代数式最小值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 二、填空题 6．如图，在四边形中，，，，，点在上，且，点和点为边上的两个动点，且，则的最小值为 ． 7．在中，，点D是线段上的动点，连接，以线段为直角边如图所示作等腰直角三角形，则周长的最小值为 ．      8．已知为实数，则代数式的最小值为 ． 9．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝8，BC＞6，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标是，点B的坐标是，长为2的线段在y轴上移动，则的最小值是 ．    11．如图，在四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点． （1）的长是 ； （2）过点P分别作于点M，作 于点H．连接，在点P的运动过程中，的最小值为 ． 三、解答题 12．最值问题． （1）如图（1），在中，有一点P在上移动，若，，求的最小值． 　　　　　　 （2）如图（2），在中，，，点M在边上，且，，动点P在边上，连接、，能使的长度最短． ①请通过画图指出点P的位置． ②求出的最短长度． 13．如图，长方形中，，，点P在边上（不含端点B，C），直线与的延长线交于点E． (1)当点P是的中点时， 的长为 ， 的长为 ； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①在（1）的条件下，求出的长；（小陈不完整的求解过程如下，请你帮他补充完整．） （只需在答题卡对应区域写出剩余求解过程） ②连接，求周长的最小值． 14．【问题提出】 （1）如图，在中，，，，为边的中点，连接，则的长为____________． 【问题探究】 （2）如图，在四边形中，，，，，且为的中点，连接，求线段的最大值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块四边形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图，是的中点，把四边形分成了两部分，其中四边形内种植油葵，内种植豌豆，是步行通道．为方便种植，要让步行通道最长．若米，，，且，修建步行通道每米花费元，则学校修建步行通道最多需要花费多少钱？（参考数据：）    15．[问题提出]（1）如图1，与都是等边三角形，点C在边上，求的度数； [尝试探究]（2）如图2，在四边形中，，， M是边上一点，E是边上一点，且．过点E作，交AM的延长线于点F，连接．求证：； [迁移创新]（3）如图3，在中，，，D为的中点，E为线段上一点．若，直接写出的值． 16．已知为等边三角形，点D、E分别是上一点． (1)如图1，，连接交于点F，在的延长线上取点G，使得，连接，若，求的面积； (2)如图2，相交于点G，点F为延长线上一点，连接，已知，，，探究之间的数量关系并说明理由； (3)如图3，已知，过点A作于点D，点M是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连接，当取最小值时请直接写出的长． 17．我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识应用】 如图1，点为线段上的一点，分别过点作于A，于，连结． （1）若，，，设，用含的代数式表示的长； （2）参照（1）的思想方法，构图求代数式的最小值． 【能力迁移】 （3）如图2，正方形中，点在边上，点在边上，且．已知，求的最小值． 18．【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型． （1）如图1，和均为等边三角形，点D为边上一个动点，，点O为边中点，连接，写出图中全等的三角形______．线段的最小值______． 【问题探索】 （2）是等腰直角三角形，，点E是上一点，，交于D． ①如图①试探究数量关系，并给予证明； ②如图②，若，点F是的中点，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，四边形中，对角线相交于点E，，，求四边形的面积． 19．综合与实践 动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘． 如图1，△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D． 思考探索：（1）在图1中： ①CD＝ ； ②△A′BC的面积为 ； 拓展延伸：（2）如图2，若△ACB为任意直角三角形，∠ACB＝90°．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．猜想三条线段AC、CD、A′D的数量关系，并证明． （3）如图3，在△ACB中，AB＝AC＝5，BC＝6，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C． ①△A′BC的面积为 ． ②若点D是△ACB的边BC的高线上的一动点，连接A′D、DB，则A′D+DB的最小值是 ． 20．已知在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，连接AD，在直线AD右侧作等腰△ADE，AD=AE． （1）如图1，若∠BAC=∠DAE=90°，连接CE．求证：△ABD≌△ACE； （2）如图2，若∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC=2． ①当AE∥BC时，求线段BD的长； ②取AC边的中点F，连接EF．当点D从点B运动到点C过程中，求线段EF长度的最小值与最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$