精品解析：2024-2025学年北师大版数学上册九月份月考卷

2024-2025学年第一学期九年级数学科素养跟踪检测题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（　　） A. B. C. D. 2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相垂直 D. 有一个角是直角 3. 根据下列表格对应值： 0 1 2 3 判断关于的方程一个解，则的范围是（　　） A B. C. D. 4. 已知菱形的对角线的长为4，5，此时菱形的面积为（ ） A. 20 B. 10 C. 9 D. 1 5. 如图，在中，，D为中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若 是一元二次方程的一个解，则的值是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 0 7. 如图，已知直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 9. 如果是方程的一个根，那么代数式的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 2 D. 1 10. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（　　） A. 22.5° B. 45° C. 67.5° D. 75° 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的二次项系数是_____，一次项系数是______，常数项是_______． 12. 已知菱形的边长是5，则菱形的周长为_____． 13. 为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为_____． 14. 如图，矩形纸片中，，，现将其沿对折，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则的长为_______ 15. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为__________°． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 解方程∶ 18. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且，求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的方程． （1）当m为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当m为何值时，该方程是一元一次方程？ （3）若该方程有一个根是，求此时m值． 20. 如图，四边形是矩形（）． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，与相交与点E，与相交与点F（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．请你判断四边形是什么形状并给出理由． 21. 如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G． （1）求证：四边形OGCF是正方形． （2）若，AC=4，求正方形OGCF的边长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（）．过点作于点，连接． （1）求证：． （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． （3）当_______时，为直角三角形． 23. 在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转. （1）初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样数量关系?请说明理由； （2）继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2. ①求证：四边形为菱形； ②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期九年级数学科素养跟踪检测题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、未知数的最高次不是2且含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相垂直 D. 有一个角是直角 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形和一般平行四边形的性质，熟知菱形和一般平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、菱形和一般平行四边形的两组对边都相同，不符合题意； B、菱形和一般平行四边形的两组对边都平行，不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直，一般平行四边形对角线不互相垂直，符合题意； D、菱形和一般平行四边形都不一定有一个角是直角，不符合题意； 故选：C． 3. 根据下列表格对应值： 0 1 2 3 判断关于的方程一个解，则的范围是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，结合表格可得一定有一个满足时，使得，据此可得答案． 【详解】解：观察表格可知当时，，当时， ∴一定有一个满足时，使得， 故选：B． 4. 已知菱形的对角线的长为4，5，此时菱形的面积为（ ） A. 20 B. 10 C. 9 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行计算即可． 【详解】解：∵菱形的对角线的长为4，5， ∴菱形的面积为； 故选B． 5. 如图，在中，，D为中点，若，则的长为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】∵，D为中点， ∴． 故选：B． 6. 若 是一元二次方程的一个解，则的值是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入方程，得：，解得：； 故选A． 7. 如图，已知直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平角的性质求出，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】考查了命题与定理知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法错误正确，不符合题意． B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误正确，不符合题意． C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法错误正确，不符合题意． D．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，符合题意， 故选：D． 9. 如果是方程的一个根，那么代数式的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，则，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（　　） A. 22.5° B. 45° C. 67.5° D. 75° 【答案】A 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC=90°=45°，∠ACB=90°=45°， ∵BP=BC，∴∠BCP=∠BPC=（180°-∠DBC）÷2=67.5°， ∴∠ACP=∠BCP-∠ACB=22.5°，故选 A. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的二次项系数是_____，一次项系数是______，常数项是_______． 【答案】 ①. 1 ②. 2 ③. 1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：方程的二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是1， 故答案为：1；2；1． 12. 已知菱形的边长是5，则菱形的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的四条边都相等，据此结合四边形周长计算公式可得答案． 【详解】解：∵菱形的边长是5， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 13. 为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为_____． 【答案】x（x+40）=1200． 【解析】 【分析】先表示出矩形场地的长，再根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】由题意可得， x（x+40）=1200， 故答案是：x（x+40）=1200． 【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 14. 如图，矩形纸片中，，，现将其沿对折，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，，证明四边形是正方形，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠性质可得：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为__________°． 【答案】60 【解析】 【详解】试题分析：根据正方形和等边三角形的性质可得：∠BAD=90°，∠DAE=60°，根据△BAE为等腰三角形可得：∠ABE=∠AEB=15°，根据正方形的性质可得：∠BCF=45°，∠CBF=90°-15°=75°，根据△BCF的内角和定理可得：∠BFC=180°-45°-75°=60°. 故答案为：60 考点：（1）、等腰三角形的性质；（2）、三角形内角和定理；（3）、等边三角形的性质 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 17. 解方程∶ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解： ， ∴． 18. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90˚，利用SAS证明△ABE≌△BCF便可得结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90˚， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE=BF． 【点睛】本题考查正方形的性质全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的方程． （1）当m为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当m为何值时，该方程是一元一次方程？ （3）若该方程有一个根是，求此时m的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解一元二次方程： （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得，解之即可得到答案； （3）把代入原方程得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵该方程有一个根是， ∴，即， 解得或． 20. 如图，四边形是矩形（）． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，与相交与点E，与相交与点F（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．请你判断四边形什么形状并给出理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由矩形的性质得到，则，再由垂直平分，，据此证明，得到，即可证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是菱形． 【小问1详解】 解；如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 设交于O， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． 21. 如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G． （1）求证：四边形OGCF是正方形． （2）若，AC=4，求正方形OGCF的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OGCF是矩形，根据角平分线的性质，可得OH与OF，OH与OG的关系，根据邻边相等的矩形是正方形，可得答案． （2）由30度直角三角形的性质和勾股定理，先求出AB和BC，然后设正方形OGCF的边长为，列出关于x的方程，即可得到答案． 【详解】解：（1）证明：如图，作OH⊥AB于H点 ∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G， ∴∠OGC=∠OFC=90°． ∵∠C=90°， ∴四边形OGCF是矩形． ∵AD平分∠BAC， ∴OH=OF． ∵BE平分∠ABC， ∴OH=OG， ∴OF=OG， ∴四边形OGCF是正方形． （2）由于，AC=4， ∴AB=8，BC=， 设正方形OGCF的边长为，则 AH=AF=4，BH=BG=， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的判定，角平分线的性质定理，勾股定理，一元一次方程等知识，利用角平分线的性质得出邻边相等是解题关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（）．过点作于点，连接． （1）求证：． （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． （3）当_______时，为直角三角形． 【答案】（1）证明见解析； （2）四边形能够成为菱形，； （3）或． 【解析】 【分析】（）利用已知用未知数表示出的长，进而得出； （）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案； （）分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别分析得出即可． 【小问1详解】 证明：在中，，，， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：四边形能够成为菱形．理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， 若使平行四边形为菱形，则需， 即， 解得， 即当时，四边形为菱形； 【小问3详解】 解：分情况讨论： 当时， 则， ∴， 即， ∴； 当时， 则， ∴， 即， ∴； 当时，此种情况不存在； 故当或时，为直角三角形， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、一元一次方程的应用、直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 23. 在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转. （1）初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由； （2）继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2. ①求证：四边形为菱形； ②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积． 【答案】（1），理由见解析 （2）①见解析；②四边形的最大面积为20，最小面积为16 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，矩形的性质，菱形的判定，勾股定理． （1）由矩形的性质可得，，从而通过“”证明，即可得到； （2）①过点Q作于点K，作于点L．由矩形和矩形得到，，因此四边形是平行四边形．通过“”证明，得到，从而得证是菱形； ②由菱形的面积公式可得，而在中，，因此当为最大值时，有最大值，当为最小值时，有最小值．而随着矩形纸片的旋转，逐渐减小，当时为最小值，然后逐渐增大．当点F与点C重合时或点E与点B重合时， 有最大值；当点N与点K重合时，，为最小值．分别求解即可解答． 【小问1详解】 ，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ 【小问2详解】 ①过点Q作于点K，作于点L． ∵四边形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ， ∴，， ∴， ∵四边形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∵矩形和的宽相等，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∵在中，， ∴当为最大值时，有最大值，当为最小值时，有最小值． ∵随着矩形纸片的旋转，逐渐减小，当时为最小值，然后逐渐增大． 如图①，当点F与点C重合时，有最大值，此时点A与点Q，点D与点K重合， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴ ∴， ∴ ， 或如图②，当点E与点B重合时，有最大值，此时点D与点G，点N重合 同理设，， 在中，，即， 解得， ∴， ∴ ∴ ， 即菱形面积的最大值为20； 如图③，当点N与点K重合时，，为最小值，此时， ∴ 即菱形面积的最小值为16； 综上所述，四边形的最大面积为20，最小面积为16． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$