上海市南模中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上海市南模中学2024-2025学年高一上学期数学期中考试试卷 （考试时间120分钟，满分150分，命题人：金振华，审题人：徐雯瑢） 一、填空题 1. “且”是“”的______条件，（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 2. 已知集合，，则______. 3. 已知，且，则的值为______． 4. 如果幂函数的图像，当时在直线的上方，则a的取值范围是________． 5. 不等式 的解集为___________ 6. 若，则的取值范围为______. 7. 已知集合，若，则实数的取值范围为______. 8. 已知幂函数的图象经过点，则__________. 9. 不等式的解集是_____________． 10. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 11. 已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合有___________个. 12. 已知满足：①；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的的个数为__________. 二、单选题 13. 满足的集合的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 14. 幂函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 15. “且”是“”（x、y、a、，且）的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件． 16. 已知， ①若，则的最小值为 ②若，则的最小值为 ③若，则的最小值为 ④的最大值为 上述列命题中，正确的命题是（ ） A. ①②④ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 三、解答题 17. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知. （1）若方程有两个实数根，，且，求实数的值； （2）若集合，，若，求的取值范围. 19. 现要在阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m）为x. （1）已知阁楼屋顶为高2m，底边长5m的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）. （i）要使窗户面积不小于2平方米，求x的取值范围； （ii）规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （2）一般认为，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. 20. 设，，已知集合，集合. （1）若，求的取值范围； （2）若时，，求的取值范围； （3）设集合，若中元素个数恰为3个，求的取值范围. 21. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 上海市南模中学2024-2025学年高一上学期数学期中考试试卷 （考试时间120分钟，满分150分，命题人：金振华，审题人：徐雯瑢） 一、填空题 【1题答案】 【答案】充分不必要 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】6 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】1008 【12题答案】 【答案】6 二、单选题 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】D 三、解答题 【17题答案】 【答案】（1），； （2）． 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）（i）；（ii）当为米或米时，窗户面积最小，为平方米； （2）变好，理由：设分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，则. 因为，所以，即， 所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1）不是，理由如下： 因为，所以不是“一集合”． （2）； （3），其中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $