福建省厦门市2024-2025学年 八年级上学期期中数学复习（轴对称章节重难点近三年组题汇编）

福建省厦门市2024-2025学年度八年级上学期期中数学复习（轴对称章节重难点近三年组题汇编） 一、单选题 1．（22-23八年级上·福建厦门·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为（　　） A． B． C．或 D．或 2．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，，平分交于点D，的垂直平分线交于点 E，连接，则的周长为（   ）    A．23 B．26 C．18 D．15 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 4．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，等边中，为边上的高，点分别在上，且，连，当最小时，则（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图所示的图形中，，，那么（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．平分 D． 6．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知等腰三角形有一个角是，则下列结论中，正确的是（    ） A．这个三角形可以是直角三角形 B．这个三角形可以是钝角三角形 C．这个三角形一定是锐角三角形 D．这个三角形可以是等边三角形 7．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，，点P是边上一点，则当点P到的距离与点P到点B的距离之和取得最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在中，，则下列说法正确的是（    ） A．边上的高线平分 B．边上的中垂线经过点 C．边上的中线与垂直 D．的平分线与垂直 9．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知和关于直线对称，连接，与的延长线交于点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．直线垂直平分 D．直线不经过点 10．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．2 D． 11．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 12．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，，P是它内部一点，，，分别是，上的两个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（23-24八年级上·福建厦门·期中）等腰三角形的一个底角是，则顶角度数为 ． 14．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，，则的长为 ． 15．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知，若线段的垂直平分线与线段交于点P，线段的垂直平分线与线段交于点Q，的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点M，连接，请探究与的数量关系 ． 16．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在中，，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为 ． 17．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，于D，点F在上，E在内部，且满足，交于G，若，则的长为 ．（用含字母的代数式表示）    18．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，中，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则 ． 19．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如右图，和都是等边三角形，，F为中点，若点D在直线上运动，连接，则在D点运动过程中，线段的最小值为 ． 20．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 21．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知中，如果存在过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这个三角形为“等直三角形”． 如图1，为“等直三角形”．在图2中，为“等直三角形”，，则的度数为 ． 22．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，．其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 23．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，． (1)作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接．若，求的度数． 24．（22-23八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中点位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)将向右平移6个单位长度，作出平移后的，并写出的坐标； (3)观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴． 25．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，垂足为E，，F是的中点，连接，， (1)若，求的度数； (2)若， ①求证：； ②求的面积． 26．（23-24八年级上·福建厦门·期中）按要求作图： (1)如图1，在平面直角坐标系中，与关于轴对称． ①画出； ②若点在内，则其对称点的坐标为 ； (2)如图2，已知锐角和直角，在内部求作射线，使与互余． (3)近年来，把公园装进“口袋”，将绿色拥入怀里，正成为城市生活的一种新风尚．如图3所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、的距离相等，且到公园出入口、的距离也相等．请在图中求作点的位置． 27．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知（其中），且． (1)的形状是______ (2)如图，若，C为中点，连接，过点A向右作，且，连接．过点作直线垂直于x轴，交于点N，求证：． 28．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，点在上，连接，，的垂直平分线与交于点，连接交于点．以为腰，在的右侧作等腰直角三角形，，连接． (1)试探究：与的数量关系，并说明理由； (2)若，用含、的代数式表示的面积． 29．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，且，点是线段上的一点，以为边向下作等边． (1)如图2，当点落在轴上时，求证： 是等腰三角形； (2)如图3，当时，求证：平分； (3)利用图1探究并说理：点在轴上从点向点滑动的过程中，点也会在一条直线上滑动；并直接写出点运动路径的长度． 30．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系 参考答案： 1．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况． 【详解】①当为锐角三角形时，如图1，    ∵， ∴， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为， 故选：C． 2．C 【分析】先根据三线合一定理得到，再由线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长公式可得的周长． 【详解】解：∵中，，，平分交于点D， ∴， ∵的垂直平分线交于点 E， ∴， ∴的周长， 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一定理，线段垂直平分线的性质，熟知三线合一定理是解题的关键． 3．C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：． 4．B 【分析】如图1中，作，使得，连接，．证明，推出，由，可知，，共线时，的值最小，求出此时即可解决问题． 【详解】解：如图1中，作，使得，连接，．    是等边三角形，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 如图2中，当，，共线时，    ， ， ， ， ， 当的值最小时，， 故选：． 【点睛】本题考查轴对称、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 5．B 【分析】根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上即可判断． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分，选项B正确， 不能判断选项A、C、D是否正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，掌握“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”是解题的关键． 6．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理的应用，三角形分类，分两种情况：的角为等腰三角形的底角，的角为等腰三角形的顶角，分别求出另外两个内角的度数，然后进行判断即可． 【详解】解：当的角为等腰三角形的底角时，则等腰三角形的另外一个底角为，顶角为： ， ∴此时等腰三角形为锐角三角形； 当的角为等腰三角形的顶角时，则等腰三角形的两个底角为： ， ∴此时等腰三角形为锐角三角形， 综上分析可知：这个三角形一定是锐角三角形，故C正确． 故选：C． 7．D 【分析】延长，取，连接，过点P作，过点作于点E，交于点，证明垂直平分，得出，说明， 根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当在点处时，点P到的距离与点P到点B的距离之和最小，然后求出结果即可． 【详解】解：延长，取，连接，过点P作，过点作于点E，交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当在点处时，点P到的距离与点P到点B的距离之和最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即当点P到的距离与点P到点B的距离之和取得最小值时，等于． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 8．C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；根据等腰三角形的性质即可求解； 【详解】解：， ， 故三角形为等腰三角形， 等腰三角形顶角平分线，底边上的中线与底边上的高重合， 即边上的中线与垂直； 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了图形轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握图形轴对称的性质是解题的关键．根据图形轴对称的性质，可判断A、B、C三个选项均正确，对于选项D，根据等腰三角形的判定与性质，及线段垂直平分线的判定，即可解答． 【详解】解：和关于直线对称， ， A选项正确，不符合题意； ， ， ， B选项正确，不符合题意； 和关于直线对称， 点C和点关于直线对称， 直线垂直平分， C选项正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， 点D在线段的垂直平分线上， 直线垂直平分， 直线经过点， D选项不正确，符合题意． 故选D． 10．A 【分析】本题考查坐标与图形变化——轴对称，二元一次方程组的应用，解题关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据关于轴对称的点的坐标特征构造二元一次方程组，求出、的值，即可得出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点F的坐标为， ，解得：， ， 故选：A 11．A 【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接，   是等边三角形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ． ， ， ， ， ，； 故选：A． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形． 12．C 【分析】本题主要考查轴对称和等边三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握轴对称性质和等边三角形的判定； 先作点关于，的对称点，，连接，由轴对称确定最短路线问题，，分别与，的交点即为，，与交于点，此时的周长最小，进而求得的最小值； 【详解】解：先作点关于，的对称点，，连接， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值是 即的最小值是 故选：C 13．/40度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形两底角相等是解题关键．根据等腰三角形两个底角相等，得出等腰三角形的另外一个底角为，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：等腰三角形的一个底角是70°， 顶角度数为， 故答案为：． 14．8 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 15． 【分析】本题考查坐标与图形，垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质可得，，再由坐标证明，得到，然后设，表示出与的度数，最后求解即可． 【详解】如图： 过作于， ∵， ∴， ∴横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴线段的垂直平分线与线段交于点，， ∵线段的垂直平分线与线段交于点P， ∴点P与点是同一个点， ∵线段的垂直平分线与线段交于点Q， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点M， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．1 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键． 作，与的延长线交于点G，作，交于点F，证明，得，再证明进而可得的长． 【详解】解：如图，作，与的延长线交于点G，作，交于点F， ， ， ， ， 同理，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 17．b 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质得出，由，得出，，是等边三角形，那么，再求出．根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，那么，，从而求出． 【详解】，于， ，． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ． 在中，，， ， ， ， ． 故答案为：． 18．8 【分析】连接，根据题意，得，结合，得到，根据直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：连接，根据题意，得， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得． ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角性质，直角三角形的特征，线段的和差计算，熟练掌握性质是解题的关键． 19． 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，连接，根据题意可证，再根据垂线段最短可知，当时，有最小值即可求解，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，， 又∵F为中点， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由题意可知，点D在直线上运动，则点在所在直线上运动， ∴当时，有最小值， 在中，，， ∴， 故答案为：． 20． 【分析】连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，求出，求出的度数，再求出，求出，根据三角形的外角性质求出，再求出答案即可． 【详解】解：连接，过E作于R，交C于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 21．，，， 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，理解“等直三角形”定义是本题的关键．分四种情况进行讨论：当，时；当，时；当，时；当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示： 此时为等腰三角形，为直角三角形， ∵， 又∵， ∴； 当，时，如图， 此时为直角三角形，为等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当，时，如图所示： 此时为等腰三角形，为直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当，时，如图所示： 此时为直角三角形，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：的度数为：，，，． 故答案为：，，，． 22．①②③④ 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；证明，可判断结论③；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论④． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ，， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故结论②正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，故结论③正确； 连接，， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故结论④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的基本作图解答即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下： ， 则即为所求． （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的基本作图和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24．(1)见解析 (2)的坐标为，见解析 (3)和关于直线对称，见解析 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据平移规律，的坐标为，画图即可． （3）根据坐标的特点，解答即可． 本题考查了坐标的平移，y轴对称作图，判断三角形的直线对称，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故对称坐标为，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得，向右平移6个单位长度后的坐标分别为．画图如下： 则，且的坐标为． （3）解：∵，， ∴， 故和关于直线对称，画图如下： 25．(1) (2)①见详解；②求的面积为6． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质．四边形内角和定理、全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟悉等腰三角形和全等三角形的性质． （1）根据题意得，结合四边形内角和即可求得； （2）①根据题意知，即可利用证明，则有； ②过点E作于点M，过点C作于点N，由全等三角形的性质可得出，，由等腰三角形三线合一的性质可得出，，，等量代换可得出，证明，由全等三角形的性质得出，最后根据三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：∵，F是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2）证明：①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图，过点E作于点M，过点C作于点N，如图， 则， 由①知，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∵，F是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ， 故的面积为6． 26．(1)①见解析；② (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图、尺规作图等知识点，掌握运用尺规作图作基本图形成为解题的关键． （1）①先确定关于y轴的对称点A、B、C,然后再顺次连接即可；②根据点的对称方式和图形的对称方式相同即可解答； （2）根据尺规作图作相等的角即可解答； （3）先用尺规作图作出的角平分线,再作线段的垂直平分线，与的交点即为所求的点． 【详解】（1）解：①如图：即为所求； ②根据点的对称方式和图形的对称方式相同可知：点在内，则其对称点的坐标为． （2）解：如图：即为所求； （3）解：如图：点H即为所求． 27．(1)等腰直角三角形 (2)见解析 【分析】（1）证明，可得结论； （2）过点D作轴，垂足为H，交于点S．则．证明，推出，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形； （2）证明：过点D作轴，垂足为H，交于点S．则． ∵， ∴． ∵C为中点， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂直于x轴，轴， ∴， ∴，． ∴， 在和中 ， ∴， ∴； 【点睛】本题属于三角形综合题，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 28．(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，推出，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得到，再根据，求出，由三角形外角的性质即可得到结论； （2）过点作于点M，在上，取点，使得，连接，由（1）可得，可证是等腰三角形，推出，，由（1）可得，再根据是等腰直角三角形，得到，易证，推出，，由的面积为即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 的垂直平分线与交于点， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：过点作于点M，在上，取点，使得，连接， 由（1）可得， 是等腰三角形， ， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 由（1）可得， ， ， ， ，， 的面积为， 的面积为． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 29．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)当在上滑动时，点总在与轴夹角为的直线上滑动，点运动路径的长度为 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形内角和定理，直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，进而求解，进而证明，从而求解； （2）根据等边三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （3）在轴上取点，使，连接，证明，得到，得到答案． 【详解】（1）证明：， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：，， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 即平分； （3）如图，在轴上取点，使，连接， ， ， 在和中， ， ，， 当在上滑动时，点总在与轴夹角为的直线上滑动， ，点在轴上从点向点滑动， ， 当点运动到终点处时，，， 此时点随之到达终点，， 点运动路径的长度为； 30．(1)见解析 (2)①证明见解析；②为最小值时，与的数量关系是 【分析】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键． （1）根据，可得，再由证明，则，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证； ②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【详解】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2）①证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由： 延长至，使， ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 学科网（北京）股份有限公司 $$