2024-2025学年 江西省九年级上学期期中专题复习 图形的相似部分

2024-2025学年度江西省九年级上学期期中专题复习 图形的相似部分 本资料以2023年江西省各大市期中考试题目汇编而成，旨在为学生期中复习理清方向！ 一、单选题 1．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰直角三角形 B．两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个锐角三角形 2．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（    ） A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9 3．（23-24九年级上·江西九江·期中）如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ）    A． B． C．D． 二、填空题 4．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）已知，则 ． 5．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 6．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ． 7．（23-24九年级上·江西吉安·期中）如图，线段，点C是线段的黄金分割点，且，设以为边的正方形的面积为，以为一边，长为另一边的矩形的面积为 （填：“”、“”或“”）．    8．（23-24九年级上·江西萍乡·期中）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，，且C，D都是的黄金分割点，则的长为 ． 9．（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，，，，，，点在上移动，当与相似时，的值为 ． 三、解答题 10．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 11．（23-24九年级上·江西九江·期中）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：______，______； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 12．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    13．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）杭州第届亚洲运动会开幕式在杭州奥体中心主体育场举行，奥运会游泳冠军汪顺和代表火炬线上传递参与者的“虚拟数字火炬手”一同点燃了杭州亚运会的主火炬台．某校社会实践小组为了测量这座主火炬台顶端距离地面的高度，如图，小明先在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，火炬台的顶端正好在同一直线上，测得米；小明再从点出发沿着方向前进米，到达点．在点处放置一平面镜，小刚站在处时，恰好在平面镜中看到火炬顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离为米，米．已知点与火炬台的底端在同一直线上，，，．（平面镜大小忽略不计） (1)求与的等量关系； (2)请你根据以上数据，计算该火炬台的高度． 14．（23-24九年级上·江西九江·期中）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．    (1)如图1，在边上找一点P，使得． (2)如图2，在边上找一点Q，使得． 15．（23-24九年级上·江西吉安·期中）已知，如图所示的四边形ABCD为菱形，AC、BD交于O，AF⊥BC于F，交于点E． (1)求证： (2)求证：； (3)过点E作，若，交于点G，若菱形ABCD的面积为，求的长． 16．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，=． （1）如果AD=4，求BD的长度； （2）如果S△ADE=2，求S四边形DBCE的值． 17．（23-24九年级上·江西九江·期中）如图1，在纸片中，，，，D，E分别是，边上的动点，且，连接，将沿翻折，点B落在点F的位置，连接． (1)如图2，当点F在边上时，求的长． (2)如图3，点在运动过程中，当时，求的长． 18．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 19．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当时， ；② 当时， （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决 当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.    20．（23-24九年级上·江西萍乡·期中）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：． 应用拓展： （2）如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长．    21．（23-24九年级上·江西吉安·期中）如图，在四边形ABCD中，G是DC上的点，连接BG，点F是BG上的点，在BC上取点H，使，连接HF，CF，AF． (1)①如图1，点F为正方形ABCD中对角线AC上一点，求证：； ②如图2，在正方形ABCD中，若于F，求证：． (2)如图3，若四边形ABCD为菱形， ①直接写出与之间的数量关系； ②若，．，，求AH的长； 22．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F． （1）证明与推断： ①求证：四边形CEGF是正方形； ②推断：的值为　 　： （2）探究与证明： 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用： 正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　 　． 参考答案： 1．A 【详解】解：、任意两个等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，两腰分别相等，它们两边的比值成比例，夹角为直角相等，根据相似三角形的判定定理可得任意两个等腰直角三角形相似，故符合题意； 、任意两个直角三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个直角三角形相似，故不符合题意； 、任意两个等腰三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个等腰三角形相似，故不符合题意； 、任意两个锐角三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个锐角三角形相似，故不符合题意； 故选：． 2．A 【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心． ∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2， ∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2． 故选：A． 3．C 【详解】解：A、∵， ∴，故本选项不符合题意； B、∵， ∴，故本选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故本选项符合题意； D、∵， ∴，故本选项不符合题意； 故选：C． 4． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．/ 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴， 故答案为：． 6． 【详解】解：由相似多边形的性质可知，， ∴，解得，， 故答案为：． 7． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．1 【详解】解：∵C，D两点都是的黄金分割点， ∴， ，， ∴， 将，代入， 得：， ∴， 整理得：， ， 故答案为：1． 9．2或或12 【详解】解：与，，， 当与为对应边， ， ，，， ， ， ， 当与为对应边， ， ，，， ， ， 或12， 综上所述：当的值为2或或12时相似． 故答案为：2或8.4或12． 10．(1)证明见详解； (2)； 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为4，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 11．(1)； (2)，理由见解析 【详解】（1）解：， ； 故答案为； ； （2）解：． 证明：在的正方形方格中， ，， ． ，， ， ，． ∴ ． 12．这双高跟鞋的高度偏高 【详解】解：设这双高跟鞋的高度为时，人体上半身长和下半身长成黄金比例， 由题意得：， 解得：， ， 这双高跟鞋的高度偏高． 13．(1)，理由见解析； (2)该火炬台的高度米． 【详解】（1）解：，理由： ∵点与火炬台的底端在同一直线上，，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴； （2）解：由题意得：米， ∴（米）， ∵点与火炬台的底端在同一直线上，，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴，即， 由（）得：， ∴， ∴（米）， 答：该火炬台的高度为米． 14．(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）如图所示，点P即为所求．    证明：由网格的特点可得，，， ∴ 又∵ ∴； （2）如图所示，确定点M，然后连接连接交于点Q，点Q即为所求．    证明：由网格的特点可得， 是横4竖2的长方形的对角线，是横2竖4的长方形的对角线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； 15．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵对顶角相等 ∴ ∵菱形 ∴且平分与（菱形两对角线互相垂直平分） ∵     ∴ ∵     ∴ ∴（两角对应相等的两三角形相似） （2）由（1）得，       ∴ ∵菱形    ∴，BD=2OD ∴即 ∴，    ∴（两角对应相等的两三角形相似） ∴ ∴ ∴． （3）∵菱形面积为， ∴ ∵D     ∴ ∴ 设，则,BD=3m 由（2）得： ∴ 在中，， ∴ 此时    （舍去负值） 则 ∵， ∴ ∴    ∴． 16．（1）BD=6；（2）S四边形DBCE=． 【详解】（1）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=， ∵=，AD=4， ∴=， ∴BD=6； （2）∵△ADE∽△ABC，=， ∴=（）2， ∵S△ADE=2， ∴=（）2， 解得：S四边形DBCE=． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：由翻折的性质可得： ， ∵ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∴ ∴ 设 ，则: ∵ ∴ 解得： ∴； （2）解：如图，作，交于点； ∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ， ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ， ∴ ， ∴ 在中 在中 ． 18．（1）见解析；（2）；（3）见解析 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC， 在△EAF和△DAB， ， ∴△EAF≌△DAB(SAS)， ∴∠E=∠BDA， ∵∠BDA+∠ABD=90º， ∴∠E+∠ABD=90º， ∴∠EGB=90º， ∴BG⊥EC； （2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x， ∵AF∥BC，∠E=∠E， ∴△EAF∽△EBC， ∴，又AF=AB=1， ∴即， 解得：，（舍去） 即AE=； （3）在EG上截取EH=DG，连接AH， 在△EAH和△DAG， ， ∴△EAH≌△DAG(SAS)， ∴∠EAH=∠DAG，AH=AG， ∵∠EAH+∠DAH=90º， ∴∠DAG+∠DAH=90º， ∴∠HAG=90º， ∴△GAH是等腰直角三角形， ∴即， ∴GH=AG， ∵GH=EG-EH=EG-DG， ∴． 19．（1）①,②.（2）无变化；理由参见解析.（3），. 【详解】（1）①当α=0°时， ∵Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AC=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴,BD=8÷2=4， ∴． ②如图1，   ， 当α=180°时， 可得AB∥DE， ∵， ∴ （2）如图2，   ， 当0°≤α＜360°时，的大小没有变化， ∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB， 又∵， ∴△ECA∽△DCB， ∴． （3）①如图3，   ， ∵AC=4，CD=4，CD⊥AD， ∴AD= ∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=． ②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，   ， ∵AC=，CD=4，CD⊥AD， ∴AD=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE==2， ∴AE=AD-DE=8-2=6， 由（2），可得 ， ∴BD=． 综上所述，BD的长为或． 20．（1）见解析（2） 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）∵将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处， ∴，， 由（1）可知，， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∴． 21．(1)①见解析；②见解析 (2)①＋＝180°；② 【详解】（1）①∵点F为正方形ABCD中对角线AC上一点， ∴AC平分， ∴∠GCF=∠HCF 又∵，    ∴， ∴； ②∵由，，， 可得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①＋＝180°, 理由:∵∠CFB=∠BCD，∠FBC=∠FBC， ∴△BFC∽ △BCG， ∴，， 又∵CG=CH，AB=BC， ∴， ∵∠ABF=∠FCB， ∴△CFH ∽△BFA， ∴∠CHF=∠FAB， ∵∠CHF＋∠BHF＝180°， ∴＋＝180°； ②由，， 得， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，得， ∵∠CHF＋∠BHF＝180°， ∴＋＝180°， ∵， ∴，与互补， 将AH绕着点H逆时针旋转120度至，可得， 连接，可得， ∴，， ∴点A、B、共线， ∵． ∴是以120°为顶点的等腰三角形， 易得，即， ∴． 22．（1）①四边形CEGF是正方形；②；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）3 【详解】（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE⊥BC、GF⊥CD， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°， ∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC， ∴四边形CEGF是正方形； ②由①知四边形CEGF是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°， ∴，GE∥AB， ∴， 故答案为； （2）连接CG， 由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α， 在Rt△CEG和Rt△CBA中， =、=， ∴=， ∴△ACG∽△BCE， ∴， ∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE； （3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG∽△BCE， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG， ∴△AHG∽△CHA， ∴， 设BC=CD=AD=a，则AC=a， 则由得， ∴AH=a， 则DH=AD﹣AH=a，CH==a， ∴由得， 解得：a=3，即BC=3， 故答案为3 学科网（北京）股份有限公司 $$