小升初典型奥数：牛吃草问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学 人教版

牛吃草问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量﹣﹣每天（每周）新长出的草的数量． 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量． 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量． 基本公式： 生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）； 原有草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量； 牛吃草问题常用到四个基本公式： 牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的．典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天．由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化．解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是： （1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数﹣相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数﹣吃的较少天数）； （2）原有草量＝牛头数×吃的天数﹣草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数﹣草的生长速度）； （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数+草的生长速度． 这四个公式是解决消长问题的基础． 由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的．正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式． 这类问题的基本数量关系是： 1、（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）＝草地每天新长草量． 2、牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数＝草地原有的草． 第二部分 典型例题 例题1：在辽阔的内蒙古大草原上，深秋之后，天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可以供多少头牛吃10天？ 【答案】5头。 【分析】首先设每头牛每天吃草1份，根据题意，20头牛5天可将草吃完，15头牛6天可将草吃完，据此求出每天减少的草量，列式为：（20×5﹣15×6）÷（6﹣5）＝10（份）；再求出牛吃草前牧场的草：100+10×5＝150（份）；再求出150份草吃10天可供多少头牛，但因每天减少10份草，相当于10头牛吃掉；最后进一步解答。 【解答】解：①青草每天减少： （20×5﹣90）÷（6﹣5） ＝10÷1 ＝10（份） ②牛吃草前牧场有草： 10×5+20×5 ＝50+100 ＝150（份） ③150÷10﹣10 ＝15﹣10 ＝5（头） 答：可以供5头牛吃10天。 【点评】此题属于牛吃草问题，这类题目有一定难度。对于本题而言，关键是要求出青草每天减少的数量。 例题2：某车站在检票前若干分钟就开始排队，设每分钟来的旅客人数一样多，开始检票到等候的队伍消失，若同时开4个检票口需30分钟；同时开5个检票口需20分钟，为了使15分钟内检票队伍消失，需至少开多少检票口？ 【答案】6个。 【分析】等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。 【解答】解：设1个检票口1分钟检票的人数为1份； 因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份， 说明在（30﹣20）分钟内新来旅客（4×30﹣5×20）份， 所以每分钟新来旅客： （4×30﹣5×20）÷（30﹣20） ＝20÷10 ＝2（份） 原有旅客为： （4﹣2）×30＝60（份）或（5﹣2）×20＝60（份） 要使队伍15分钟消失，需要开： （60+15×2）÷15 ＝90÷15 ＝6（个） 答：需要同时打开6个检票口。 【点评】此题重点要理清题中的数量关系，弄清旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。 例题3：某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后平均每分钟有10人来排队等候检票．一个检票口平均每分钟能让25人检票进站．如果只开一个检票口，那么检票开始后8分钟就暂时无人排队了．如果开两个检票口，那么检票开始后多少分钟就暂时无人排队了？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为每分钟有10人前来排队，所以从开始检票到没人排队的8分钟内来了10×8＝80人，8分钟一共检票人数是25×8＝200人，所以原来有200﹣80＝120人排队，两个窗口同时检票，每分钟可检票50人，除去每分钟来的10人，还可以检已经在排队的50﹣10＝40人，120÷40＝3分钟，所以3分钟就没人排队了． 【解答】解：（25×8﹣10×8）÷（50﹣10） ＝（200﹣80）÷40 ＝120÷40 ＝3（分钟） 答：检票开始后，3分钟就没有人排队了． 【点评】对于这类题目，一定要认真审题，理清题里数量间的关系，找到解决问题的中间问题就简单了． 例题4：有一块均匀生长的草地，若放养20头牛，则60天刚好将草全部吃完；若放养30头牛，则35天刚好将草全部吃完．那么请问：最多养多少头牛，可以使这些牛永远有草吃？ 【答案】见试题解答内容 【分析】假设每头牛每天吃青草1份，若放养20头牛，则60天刚好将草全部吃完；可知吃草的总份数，即20×60份；同理，若放养30头牛，则35天刚好将草全部吃完，可知吃草的总份数，即30×35份；然后用两者的份数差除以时间差，可以求出青草的生长速度：（20×60﹣30×35）÷（60﹣35）＝6（份）；就是最多养牛的头数；因为要使这些牛永远有草吃，那么只能吃青草每天生长的草． 【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份， （20×60﹣30×35）÷（60﹣35） ＝150÷25 ＝6份 6÷1＝6（头） 答：最多养6头牛．可以使这些牛永远有草吃． 【点评】解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，进而解答题中所求的问题． 第三部分 高频真题 1．某生态农场，每天都生长出等量的草．为了使每天草场原有的草不会减少．最多能放牧80只羊．寒潮来袭，草场每天新产的草量减少了，20天后草场的草就被吃完了，为了保护草场．农场主决定卖掉30只羊．那么几天后草场就能恢复到原来样子？ 2．进入冬季后，有一片牧场的草开始枯萎，因此草会均匀地减少，现在开始在这片牧场上放羊．如果放38只羊，需要25天把草吃完；如果放30只羊，需要30天把草吃完． （1）要放养多少只羊，12天才能把草吃完？ （2）如果放养20只羊，这片牧场可以吃多少天？ 3．第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快．有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草吃完，在这7天里，第2群牛刚好将三号牧场的草吃完．如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？ 4．三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周。问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周？ 5．牧场上有一片青草地，每天匀速生长，这片草地可供24头牛吃6周，或可供18头牛吃10周，问可供19头牛吃多少周？ 6．地球上的资源可供100亿人用100年，可供80亿人用300年．假设地球新生资源的新生速度是一定的，如果让地球人可以一直活下去，问地球最多能有多少人？ 7．牧场有一片青草，每天生长速度相同，要供27头牛吃6天，或供69只羊吃9天，如果1头牛的吃草量等于3只羊的吃草量，那么这片青草可供11头牛和30只羊吃几天？ 8．一个水池一边进水一边放水，且每分钟的进水量相同．如果开3个同样大的水管放水，40分钟可以放完，开6个同样大的水管放水，16分钟可以放完．求放完后，只开进水管，多少分钟后又有了与原来同样多的一池水？ 9．一片牧场，每天生长草的速度相同．这片牧场可供14头牛吃30天，或者可供70只羊吃16天．如果4头羊的吃草量相当于1头牛的吃草量．那么17头牛和20只羊一起吃这片牧场上的草，可以吃多少天？ 10．用一块蓄电池给一盏白炽灯供电，白炽灯可以持续照明22小时，用这款蓄电池给一盏同等亮度的LED灯供电，LED灯可以持续照明220小时。若用这个蓄电池给两盏灯同时供电，可以持续照明多少小时？ 11．一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场。三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快。农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草。问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？ 12．春运高峰，售票窗口早早地排好了队，陆续还有人均匀的来购票，假如开设5个售票窗口，30分钟可缓解排队现象，如果开设6个售票窗口，那么20分钟才能缓解排队现象。现在要求1分钟缓解排队现象。问：应该开设几个售票窗口？ 13．牧场上有一片青草，每天匀速减少，这片草地可供12头牛吃10周，或可供8头牛吃12周。问：可供18头牛吃多少周？ 14．一片匀速生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完．如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了两天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？ 15．一片牧草，每天在匀速生长，现在这片牧草可供120只羊吃20天或36头牛吃15天。如果一头牛吃的草量相当于4只羊吃的草量，那么这片牧场可供40头牛和32只羊吃多少天？ 16．假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，按照这样计算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年．为使人类不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人？ 17．某菜牛公司利用草场放牧菜牛代替圈养，公司有两处草场，草场甲的面积为1公顷，草场乙的面积为2公顷，两草场的草长得一样高，一样密，生长速度也相同，如果草场甲可供30头牛吃36天，草场乙可供80头牛吃24天（草刚好吃完），若两处的草场合起来可供110头牛吃多少天？ 18．乐乐妈妈手机通常一直开着。如果她手机开着而不通话，电池可维持24小时，如果她连续使用手机通话，电池只能持续3小时，从她最后一次充满电算起，她手机已经持续开机9小时，在这段期间内，她通话用了60分钟。如果她不再使用手机通话，而让手机持续开着，该手机还能再持续待机多少小时？ 19．两个调皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，从扶梯的一端到达另一端，男孩走了100秒，女孩走了300 秒，已知在电梯静止时，男孩每秒走3米，女孩每秒走2米。则该扶梯有多长？ 20．有一片牧场，每天都在均匀地生长草，每头牛每天吃1份草．如果在牧场上放养18头牛，那么10天能把草吃完；如果只放养13头牛，那么15天能把草吃完．那么草地原有几份草？ 21．两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在20秒里，男孩可走27级梯级，女孩可走24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端，问：该扶梯共多少级？ 22．一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供27头牛吃6天，23头牛吃9天，那么可供24头牛吃几天？ 23．牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．这片牧场每天新生的草可供几头牛吃？这片牧场可供30头牛吃几天？ 24．两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，已知男孩子每分钟走45级楼梯，女孩子每分钟走40级楼梯，结果男孩子用6分钟到达另一端，女孩子用9分钟到达另一端，该扶梯共有多少级？ 25．一个水池不断往外漏水，且每天漏水量相同．如果这池水9头牛5天可饮光，6头牛7天也可以饮完，那么没有牛去饮，几天可以漏完？ 26．12头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，21头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？ 27．两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在15秒钟里，男孩可走12级梯级，女孩可走10级梯级，结果男孩走了3分钟到达另一端，女孩走了4分钟到达另一端，该扶梯共多少级？ 28．4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部牧草？（每公顷牧场上原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等） 29．一个牧场上的青草每天都匀速生长，这片青草可供15头牛吃24天，或供20头牛吃14天，现有一群牛吃了6天后卖掉1头，余下的牛又吃了3天将草吃完，这群牛原有多少头？ 30．有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天．假设草每天的生长速度不变，现有羊若干只．吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，原有羊多少只？ 31．牧场上长满草，每天牧草都匀速生长，这片牧场的草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？ 32．某火车站在检票前若干分钟就有人排队，假设每分钟新增的旅客一样多，若同时开放4个检票口，则30分钟检票完毕，若同时开放5个检票口，则20分钟可检票完毕，若同时开放7个检票口，需要检票多少分钟？ 33．4头牛28天可吃完10公顷的草，7头牛63天可吃完30公顷的草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部的草？（每公顷原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等） 34．一片匀速生长的牧草，可供9头牛吃12天，或可供8头牛吃16天．问可供13头牛吃多少天？要使这片牧草永远吃不完，至多可以放牧多少头牛？ 35．有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的3倍，30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地上的草．问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？ 36．一个牧场上的青草每天都匀速生长，这边青草可供15头吃24天，或共20头牛吃14天．现在有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原有多少头？ 37．有一块草地，草一直在匀速生长．这片草地的原有草量为72份，每周新生长15份的草量．已知一头牛一周吃3份的草量． 求： （1）这块草地可供9头牛吃几周？ （2）这块草地可供多少头牛吃6周？ 38．西安美术馆举办画展，美术馆9时开门，但早有人来等候．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众数一样多．如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就不再有人排队．那么，第一个观众到达时是8时几分？ 参考答案与试题解析 1．某生态农场，每天都生长出等量的草．为了使每天草场原有的草不会减少．最多能放牧80只羊．寒潮来袭，草场每天新产的草量减少了，20天后草场的草就被吃完了，为了保护草场．农场主决定卖掉30只羊．那么几天后草场就能恢复到原来样子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）；原有草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量； 在此题中，每天都生长出等量的草．为了使每天草场原有的草不会减少．最多能放牧80只羊，说明80×每只羊的吃草速度＝草生长速度； 寒潮来袭，草场每天新产的草量减少了，即60×每只羊的吃草速度，20天后草场的草就被吃完了，说明多吃的20头×每只羊的吃草速度×20天，就是原有草的总量． 假设每只羊每天的吃草速度为1，则原有草量为400，草生长速度为80，农场主卖掉30只羊后，羊的总吃草速度变为80×1﹣30×1＝50，要求几天后恢复到草量为400，每天草的净生长量为60﹣50＝10，400÷10＝40天，据此解答即可． 【解答】解：假设每只羊每天的吃草速度为1， 每天草场原有的草不会减少，此时有80头羊，则草生长速度： 80×1＝80 寒潮来袭，草场每天新产的草量为80×（1）＝60 草的总量：（80×1﹣60×1）×1×20 ＝20×1×10 ＝400 卖掉30头羊后每天的总吃草速度为：（80﹣30）×1＝50 恢复到原来状态需要的天数： 400÷（60﹣50） ＝400÷10 ＝40（天） 答：40天后草场就能恢复到原来样子． 【点评】此题考查了牛吃草问题的解决方法，关键是要仔细解读题中给的条件，抓住不变量，即草生长速度和原有草总量． 2．进入冬季后，有一片牧场的草开始枯萎，因此草会均匀地减少，现在开始在这片牧场上放羊．如果放38只羊，需要25天把草吃完；如果放30只羊，需要30天把草吃完． （1）要放养多少只羊，12天才能把草吃完？ （2）如果放养20只羊，这片牧场可以吃多少天？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设每只羊每天吃1份草；草的减少速度即每天长的份数为：（38×25﹣30×30）÷（30﹣25）＝10（份），原来草的份数为：30×30+10×30＝1200（份），这些草12天吃完，需放羊的只数：（1200﹣12×10）÷12＝90（只）那么草地每天减少的草够10羊吃一天．如果放20只羊，那么每天减少20+10＝30份这样可以吃的天数为：1200÷30＝40（天）． 【解答】解：设每只羊每天吃1份草； 草的减少速度为： （38×25﹣30×30）÷（30﹣25） ＝（950﹣900）÷5 ＝50÷5 ＝10（份） 原来草的份数为： 30×30+10×30＝1200（份） （1）（1200﹣12×10）÷12 ＝（1200﹣120）÷12 ＝1080÷12 ＝90（只） 答：放90只羊12天可以吃完这些草． （2）那么草地每天减少的草够10羊吃一天． 如果放20只羊，那么每天减少20+10＝30份 这样可以吃的天数为： 1200÷30＝40（天） 答：放养20只羊，这片牧场可以吃40天． 【点评】本题主要考查牛吃草问题，关键根据两次放羊的只数和草吃的天数，算出原来有多少草． 3．第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快．有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草吃完，在这7天里，第2群牛刚好将三号牧场的草吃完．如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？ 【答案】见试题解答内容 【分析】15头牛，2天吃完1号牧场也就是3公顷，15头牛，5天吃完2号牧场也就是5公顷；因为要计算草的生长速度，所以，设每头牛吃草速度为每天X公顷，每公顷草的生长速度为每天Y公顷，可得方程：2（15X）＝2（3Y）+3，5（15X）＝7（5Y）+5 求解得，X＝0.125，Y＝0.125；所以列第2群牛的方程，就是要设这群牛有n头，则方程为：7（0.125n）＝7（7×0.125）+7 求解，n＝15 所以第2群也是15头牛．据此解答即可． 【解答】设每头牛吃草速度为每天X公顷，每公顷草的生长速度为每天Y公顷 可得方程： 2×15X＝2×3Y+3， 30X＝6Y+3 30X÷3＝（6Y+3）÷3 10X＝2Y+1① 5×15X＝7×5Y+5 75X＝35Y+5 75X÷5＝（35Y+5）÷5 15X＝7Y+1② 由①得：10X×1.5＝（2Y+1）×1.5 即为：15X＝3Y+1.5代入②得： 3Y+1.5＝7Y+1 3Y+1.5﹣3Y﹣1＝7Y+1﹣1﹣3Y 0.5＝4Y 4Y÷4＝0.5÷4 Y＝0.125 把Y＝0.125代入①得： 10X＝2×0.125+1 10X÷10＝1.25÷10 X＝0.125 设第2群牛有n头，可得方程 7×0.125n＝7×7×0.125+7 7×0.125n÷7÷0.125＝（7×7×0.125+7）÷7÷0.125 n＝15 答：第二群牛有15头． 【点评】本题属于典型的牛吃草问题，解答时认真分析所给的条件，根据条件列方程解答即可解决． 4．三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周。问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周？ 【答案】40头。 【分析】首先设每头牛每周吃草1份，第一块牧场每公顷原有的草量与4周新长的草量的和为：12×4÷3＝16（份），第二块牧场每公顷原有的草量与8周新长的草量的和为：25×8÷10＝20（份），求出每公顷牧场每周增加的草量，列式为：（20﹣16）÷（8﹣4）＝1（份），每公顷牧场原有的草量为：16﹣1×4＝12（份）；然后求出第三块牧场原有的草量为：24×12＝288（份），每周新增加的草量为：1×24＝24（份），每周新增加的草量够24头牛吃，求第三块牧场可供多少头牛吃18周，列式为：24+288÷18＝40（头），据此求解即可。 【解答】解：设每头牛每周吃草1份。 12×4÷3＝16（份） 25×8÷10＝20（份） （20﹣16）÷（8﹣4） ＝4÷4 ＝1（份） 16﹣1×4＝12（份） 24×12＝288（份） 1×24＝24（份） 24+288÷18 ＝24+16 ＝40（头） 答：第三块牧场上饲养40头牛恰好可以维持18周。 【点评】此题主要考查了牛吃草问题，要熟练掌握，解答此题的关键是求出每公顷牧场每周增加的草量和每公顷牧场原有的草量。 5．牧场上有一片青草地，每天匀速生长，这片草地可供24头牛吃6周，或可供18头牛吃10周，问可供19头牛吃多少周？ 【答案】9周。 【分析】假设每头牛每周吃草1份，牧场原有草量和每天增加的草量是不变的，根据公式：增加量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）求出每周增加的量，然后求出草地原有的草的份数，再根据牛的数量算出每周增加的草量即可求出可以吃多少周。 【解答】解：假设每头牛每周吃青草1份， 青草增加的速度： （18×10﹣24×6）÷（10﹣6） ＝36÷4 ＝9（份/周） 草地原有的草的份数： 24×6﹣9×6 ＝144﹣54 ＝90（份） 19头牛每周吃19份，每周青草自然增加9份，则： 90÷（19﹣9） ＝90÷10 ＝9（周） 答：可供19头牛吃9周。 【点评】本题主要考查了牛吃草问题，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每周增加草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题中所求的问题。 6．地球上的资源可供100亿人用100年，可供80亿人用300年．假设地球新生资源的新生速度是一定的，如果让地球人可以一直活下去，问地球最多能有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据”100亿人用100年，”知道一共有资源100×100＝1万亿人每年，再根据“80亿人用300年，“知道一共有资源80×300＝2.4万亿人每年，即相差的1.4万亿人每年就是300﹣100＝200年增长的，所以1.4÷200＝0.7即100年增长0.7万亿人每年，1年增长70亿人每年，当增长量等于消耗量时，可以永远生活，所以最多70亿人．进而解决问题． 【解答】解：100×100＝10000（份）， 80×300＝24000（份）， 24000﹣10000＝14000（份）， 14000÷200＝70（亿人）， 答：地球最多能养活70亿人． 【点评】解决此题的关键是应用牛吃草问题求出100亿人用100年和80亿人用300年求出地球新生资源的新生速度． 7．牧场有一片青草，每天生长速度相同，要供27头牛吃6天，或供69只羊吃9天，如果1头牛的吃草量等于3只羊的吃草量，那么这片青草可供11头牛和30只羊吃几天？ 【答案】这片青草可供11头牛和30只羊吃12天。 【分析】本题是一道有关牛吃草问题的题目；牛吃草的难点在于草每天都在不断生长，把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，可以找到另一个不变量：每天新长出的草的数量。假设1头羊一天吃一份草，那么1头牛一天吃3份，根据条件先求出每天新长出的草的数量，再求出原有的草的数量。再解决最终的问题。 【解答】解：根据题意，如果1头牛的吃草量等于3只羊的吃草量；假设1头羊一天吃一份草，那么1头牛一天吃3份， 27头牛吃6天，共吃了27×3×6＝486（份） 69只羊吃9天，共吃了69×9＝621（份） 所以9﹣6＝3天共生成了621﹣496＝135（份），每天生成135÷3＝45（份）草； 原来只有27×3×6﹣45×6＝216（份） 11头牛和12只羊一天吃11×3+1×12＝45（份）草，正好是草每天生成的量； 剩下的就是原来的草，30﹣12＝18只羊吃，吃216÷18＝12（天）。 答：这片青草可供11头牛和30只羊吃12天。 【点评】本题侧重考查的知识点是牛吃草的问题，难点在于草每天都在不断生长，我们就把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。先求出这两个量就容易解决最终的问题了。 8．一个水池一边进水一边放水，且每分钟的进水量相同．如果开3个同样大的水管放水，40分钟可以放完，开6个同样大的水管放水，16分钟可以放完．求放完后，只开进水管，多少分钟后又有了与原来同样多的一池水？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设每分钟每根水管排1份水，则40分钟3根水管共排出：40×3＝120份水，同理：16×6＝96份水，则每分钟注水管注水：（120﹣96）÷（40﹣16）＝1份，则120﹣40×1＝80份，求出水池原有水的量，用原有的水量除以每分钟的注水量，即为注入和原来一样多的水所用时间：80÷1＝80（分钟）． 【解答】解：设每分钟每根水管排1份水， 则40分钟3根水管共排出：40×3＝120份水 同理，16分钟6根水管共排出：16×6＝96份水 则每分钟注水管注水：（120﹣96）÷（40﹣16）＝1份 则水池原有水的量：120﹣40×1＝80份 注入和原来一样多的水所用时间：80÷1＝80（分钟） 答：放完后，只开进水管，80分钟后又有了与原来同样多的一池水． 【点评】本题主要考查牛吃草问题，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答． 9．一片牧场，每天生长草的速度相同．这片牧场可供14头牛吃30天，或者可供70只羊吃16天．如果4头羊的吃草量相当于1头牛的吃草量．那么17头牛和20只羊一起吃这片牧场上的草，可以吃多少天？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先转化，都转化成羊，有一片草地，草每天的生长速度相同，若14×4＝56只羊30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完那么，17×4+20＝88只羊多少天可将草吃完？根据牛吃草问题的基本公式：生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）；总草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量，再解答即可． 【解答】解：假设一只羊一天吃1份草； （14×4×30﹣70×16）÷（30﹣16） ＝（1680﹣1120）÷14 ＝560÷14 ＝40（份） （14×4﹣40）×30÷（17×4+20﹣40） ＝16×30÷48 ＝480÷48 ＝10（天） 答：可以吃10天． 【点评】牛吃草问题的基本公式有：基本公式：生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）；总草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量．注意都转化为羊． 10．用一块蓄电池给一盏白炽灯供电，白炽灯可以持续照明22小时，用这款蓄电池给一盏同等亮度的LED灯供电，LED灯可以持续照明220小时。若用这个蓄电池给两盏灯同时供电，可以持续照明多少小时？ 【答案】20小时。 【分析】假设蓄电池总共能提供的能量为“1”，则白炽灯的功率为，LED灯的功率为。所以当用这个蓄电池给两盏灯同时供电时，电路的总功率等于两者之和；则同时供电时可以持续照明的时间为1除以功率之和。据此解答即可。 【解答】解：1÷（） ＝1 ＝20（小时） 答：若用这个蓄电池给两盏灯同时供电，可以持续照明20小时。 【点评】解答本题的关键是将题目转换成工程问题的解题方法思考问题。 11．一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场。三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快。农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草。问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？ 【答案】45天。 【分析】本题中3块牧场面积不同，要解决这个问题，可以将3块牧场的面积统一起来：2公顷、4公顷和6公顷统一为12公顷后按一般的牛吃草问题考虑即可解答。 【解答】解：设1头牛1天吃草量为“1“。 将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草，相当于12公顷的牧场可供48头牛吃5天； 将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草，相当于12公顷的牧场可供24头牛吃15天； 所以12公顷的牧场每天新生长的草量为： （24×15﹣48×5）÷（15﹣5） ＝（360﹣240）÷10 ＝120÷10 ＝12（份/天） 12公顷牧场原有草量为： （48﹣12）×5 ＝36×5 ＝180（份） 那么12公顷牧场可供16头牛吃： 180÷（16﹣12） ＝180÷4 ＝45（天） 即6公顷牧场可供8头牛吃45天。 答：6公顷的牧场可供8头牛吃45天。 【点评】本题考查牛吃草问题，理解题意，弄清题目中的数量关系式解题的关键。 12．春运高峰，售票窗口早早地排好了队，陆续还有人均匀的来购票，假如开设5个售票窗口，30分钟可缓解排队现象，如果开设6个售票窗口，那么20分钟才能缓解排队现象。现在要求1分钟缓解排队现象。问：应该开设几个售票窗口？ 【答案】63个。 【分析】设每个窗口每分钟购票的人数为1份，根据开设5个售票窗口，30分钟可缓解排队现象，用乘法求出30分钟售票份数，根据开设6个售票窗口，20分钟才能缓解排队现象，用乘法求出20分钟售票份数，再利用份数差除以时间差求出每分钟增加的购票人份数；然后用5个窗口30分钟售票份数减30分钟增加的购票人份数就是原有购票人份数，最后用（原有购票人份数+1分钟增加的购票人份数）÷1分钟，可以求出1分钟缓解排队现象需要同时开设的窗口数。 【解答】解：30×5＝150 20×6＝120 30﹣20＝10（分钟） （150﹣120）÷10＝3 150﹣30×3＝60 （60+3×1）÷1＝63（个） 答：1分钟缓解排队现象，应该开设63个窗口。 【点评】解答本题的关键是利用两种情况的份数差除以时间差求出每分钟增加的份数。 13．牧场上有一片青草，每天匀速减少，这片草地可供12头牛吃10周，或可供8头牛吃12周。问：可供18头牛吃多少周？ 【答案】8周。 【分析】假设每头牛每周吃草1份，牧场原有草量和每天减少的草量是不变的，根据公式：减少量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）求出每天减少的量，然后求出草地原有的草的份数，再根据牛的数量算出每周减少的草量即可求出可以吃多少草。 【解答】解：假设每头牛每周吃青草1份， 青草减少的速度： （12×10﹣8×12）÷（12﹣10） ＝（120﹣96）÷2 ＝24÷2 ＝12（份/周） 草地原有的草的份数： 12×10+12×10 ＝120+120 ＝240（份） 18头牛每周吃18份，每周青草自然减少12份，则： 240÷（18+12） ＝240÷30 ＝8（周） 答：可供18头牛吃8周。 【点评】本题主要考查了牛吃草问题，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每周减少草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题中所求的问题。 14．一片匀速生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完．如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了两天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设每头牛每天吃“1”份草，则15头牛8天吃：15×8＝120（份），15头牛吃了2天，又来了2头牛总共7天共吃，2×15+17×5＝115（份），那么8﹣7＝1（天）共长草5份，原来有草：120﹣5×8＝80（份），15头牛2天吃草：15×2＝30（份），还剩80+5×2﹣30＝60（份）．那么又来了5头牛，20头牛可吃：60÷（20﹣5），计算即可． 【解答】解：设每头牛每天吃“1”份草． 则15头牛8天吃：15×8＝120（份）， 15头牛吃了2天，又来了2头牛总共7天共吃：2×15+17×5＝115（份）， 那么8﹣7＝1（天）共长草120﹣115＝5（份）， 原来有草：120﹣5×8＝80（份）， 15头牛2天吃草：15×2＝30（份），还剩80+5×2﹣30＝60（份）． 那么又来了5头牛，20头牛可吃：60÷（20﹣5）＝4（天）， 答：再过4天可以把草吃完． 【点评】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口． 15．一片牧草，每天在匀速生长，现在这片牧草可供120只羊吃20天或36头牛吃15天。如果一头牛吃的草量相当于4只羊吃的草量，那么这片牧场可供40头牛和32只羊吃多少天？ 【答案】10天。 【分析】假设1只羊一天吃1份草，则1头牛一天吃4份草，利用生长量＝（较长时间×长时间牛、羊一天吃草的份数﹣较短时间×短时间牛、羊一天吃草的份数）÷（长时间﹣短时间）及总草量＝较长时间×长时间牛、羊一天吃草的份数﹣较长时间×生长量，可求出生长量及总草量，再利用时间＝总草量÷（40头牛和32只羊一天吃草的份数﹣生长量），据此解答。 【解答】解：假设1只羊一天吃1份草，则1头牛一天吃4份草，生长量为： （120×20﹣36×4×15）÷（20﹣15） ＝（2400﹣2160）÷5 ＝240÷5 ＝48（份） 总草量为：120×20﹣48×20 ＝2400﹣960 ＝1440（份） 这片牧场可供40头牛和32只羊吃的时间为： 1440÷（40×4+32﹣48） ＝1440÷（160+32﹣48） ＝1440÷144 ＝10（天） 答：这片牧场可供40头牛和32只羊吃10天。 【点评】本题考查了牛吃草的问题，根据各数量之间的关系，求出牧场的总草量及生长量是解题的关键。 16．假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，按照这样计算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年．为使人类不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，假设每亿人每年消耗的资源是“1”份．110亿人90年，消耗的资源是110×90＝9900份；90亿人210年，消耗的资源是90×210＝18900份；中间的差18900﹣9900＝9000份是因为210年与90年之间资源还在增长，每年增长的资源是：9000÷（210﹣90）＝75份，能养活75÷1＝75亿人． 【解答】解：（90×210﹣110×90）÷（210﹣90）÷1 ＝（18900﹣9900）÷120÷1 ＝9000÷120÷1 ＝75÷1 ＝75（亿） 答：为使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活75亿人． 【点评】对于这类题目，可用假设法来进行分析解答，同时要考虑到资源在消耗的同时，也在增长，在计算的时候注意这点就不会出错了． 17．某菜牛公司利用草场放牧菜牛代替圈养，公司有两处草场，草场甲的面积为1公顷，草场乙的面积为2公顷，两草场的草长得一样高，一样密，生长速度也相同，如果草场甲可供30头牛吃36天，草场乙可供80头牛吃24天（草刚好吃完），若两处的草场合起来可供110头牛吃多少天？ 【答案】27天。 【分析】把每头牛每天吃的草看作1份，因为第一块草场1公顷面积原有草量+1公顷面积36天长的草＝30×36＝1080（份），所以每公顷面积原有草量和每公顷面积36天长的草是：1080（份）；因为第二块草场2公顷面积原有草量+2公顷面积24天长的草＝80×24＝1920（份），所以每公顷面积原有草量和每公顷面积24天长的草是：1920÷2＝960（份），所以36﹣24＝12（天），每公顷面积长：1080﹣960＝120（份）；则每公顷面积每天长：120÷12＝10（份）。所以，每公顷原有草量：1080﹣36×10＝720（份），两处的草场合起来面积是3公顷，所以每天要长：10×3＝30（份），原有草量是：720×3＝2160（份），新生长的每天就要用30头牛去吃，其余的110﹣30＝80（头）牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃：2160÷80＝27（天），由此解答即可。 【解答】解：设每头牛每天的吃草量为1份，则第一块草场每公顷面积原有草量和每公顷面积36天长的草是：30×36÷1＝1080（份） 第二块草场每公顷面积原有草量和每公顷面积24天长的草是：80×24÷2＝960（份） 那么每公顷每天的新生长草量为（1080﹣960）÷（36﹣24）＝10（份） 每公顷原有草量为：1080﹣36×10＝720（份） 那么两处的草场合起来面积是3公顷原有草量为：720×3＝2160（份） 3公顷每天要长草量：10×3＝30（份） 3公顷的草地可供110头牛吃的天数：2160÷（110﹣30）＝27（天） 答：若两处的草场合起来可供110头牛吃27天。 【点评】本题为典型的牛吃草问题，要根据“牛吃的草量﹣生长的草量＝消耗原有草量”这个关系式认真分析解决。 18．乐乐妈妈手机通常一直开着。如果她手机开着而不通话，电池可维持24小时，如果她连续使用手机通话，电池只能持续3小时，从她最后一次充满电算起，她手机已经持续开机9小时，在这段期间内，她通话用了60分钟。如果她不再使用手机通话，而让手机持续开着，该手机还能再持续待机多少小时？ 【答案】8小时。 【分析】“手机只要是开着，无论是否通话都要耗电”。所以设手机每小时耗电1份，电池存电量为24×1＝24（份），纯通话1小时的耗电量为（24﹣1×3）÷3＝7（份），当然这段时间，即1小时手机耗电1份；故9小时里面就包括了通话1小时手机耗电的那1份了。综上可知：她手机已经持续开机9小时，在这段期间内，她已经用了60分钟来通话，电池还储存的电量为24﹣7﹣9＝8（份），这样便可求出手机还能维持的时间为（8÷1）小时。 【解答】解：设手机每小时耗电为1份，则： 24×1﹣3×1 ＝24﹣3 ＝21（份） 21÷3＝7（份） 24﹣7﹣9 ＝17﹣9 ＝8（份） 8÷1＝8（小时） 答：该手机还能再持续待机8个小时。 【点评】此题解答的关键就是要明白：通话时的耗电量由2部分组成；9小时的耗电量中包括了通话1小时的耗电量。 19．两个调皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，从扶梯的一端到达另一端，男孩走了100秒，女孩走了300 秒，已知在电梯静止时，男孩每秒走3米，女孩每秒走2米。则该扶梯有多长？ 【答案】150m。 【分析】男孩走了300米，走了扶梯的长度加上扶梯100秒行驶的长度； 女孩走了600米，走了扶梯的长度加上扶梯300秒行驶的长度； 由此可以求出扶梯行驶的速度，进而求出扶梯的长度。 【解答】解：（300×2﹣100×3）÷（300﹣100） ＝（600﹣300）÷200 ＝300÷200 ＝1.5（m） 300﹣100×1.5 ＝300﹣150 ＝150（m） 答：则该扶梯长150m。 【点评】本题的关键是分析男孩、女孩各自走的总路程的组成部分，进而求出扶梯的行驶速度。 20．有一片牧场，每天都在均匀地生长草，每头牛每天吃1份草．如果在牧场上放养18头牛，那么10天能把草吃完；如果只放养13头牛，那么15天能把草吃完．那么草地原有几份草？ 【答案】见试题解答内容 【分析】每头牛每天吃青草1份，根据两种吃法的数量差和时间差可以先求出青草的生长速度：（15×13﹣18×10）÷（15﹣10）＝3（份）；然后求出草地原有的草的份数18×10﹣3×10＝150（份）；据此解答即可． 【解答】解：每头牛每天吃青草1份 青草的生长速度： （15×13﹣18×10）÷（15﹣10） ＝15÷5 ＝3（份） 草地原有的草的份数： 18×10﹣3×10 ＝180﹣30 ＝150（份） 答：草地原有150份草． 【点评】牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数． 21．两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在20秒里，男孩可走27级梯级，女孩可走24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端，问：该扶梯共多少级？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可知，男孩2分钟即120秒走了（120÷20）×27＝162（级），女孩3分钟即180秒走了（180÷20）×24＝216（级），女孩比男孩多走了216﹣162＝54（级），多用了1分钟，说明扶梯每分钟自动下降：54（级）；男孩共走了162级，这162级包含扶梯的级数和2分钟扶梯自动降下的级数．女孩共走了216级，这216级包含扶梯的级数和3分钟扶梯自动降下的级数．扶梯的级数是：162﹣54×2＝54（级）． 【解答】解：2分钟＝120秒 3分钟＝180秒 电动扶梯每分钟走： [（180÷20）×24﹣（120÷20）×27]÷（3﹣2） ＝216﹣162 ＝54（级） 电动扶梯共有：（120÷20）×27﹣54×2＝54（级）； 答：该扶梯共54级． 【点评】根据两人所走的级数及所用时间，求出扶梯每秒自动下降的级数是完成本题的关键． 22．一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供27头牛吃6天，23头牛吃9天，那么可供24头牛吃几天？ 【答案】8。 【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的生长速度：（23×9﹣27×6）÷（9﹣6）＝15份；然后求出草地原有的草的份数27×6﹣15×6＝72份；再让24头牛中的15头吃生长的草，剩下的9头牛吃草地原有的72份草，可吃：72÷9＝8（天）。 【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份， 青草的生长速度： （23×9﹣27×6）÷（9﹣6） ＝45÷3 ＝15份 草地原有的草的份数： 27×6﹣15×6 ＝162﹣90 ＝72份 每天生长的15份草可供15头牛去吃，那么剩下的24﹣15＝9头牛吃72份草： 72÷9＝8（天） 答：这片草地可供24头牛吃8天。 【点评】牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数。 23．牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．这片牧场每天新生的草可供几头牛吃？这片牧场可供30头牛吃几天？ 【答案】见试题解答内容 【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的生长速度：（10×20﹣15×10）÷（20﹣10）＝5（份），那么这片牧场每天新生的草可供5÷1＝5头牛吃；然后再求出草地原有的草的份数：10×20﹣5×20＝100（份）；再让30头牛中的5头吃生长的草，剩下的25头牛吃草地原有的100份草，可吃：100÷25＝4（天）． 【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份； 青草的生长速度： （10×20﹣15×10）÷（20﹣10） ＝50÷10 ＝5（份）； 每天新生的草可供牛吃的头数：5÷1＝5（头）； 草地原有的草的份数： 10×20﹣5×20 ＝200﹣100 ＝100（份）； 每天新生的5份草可供5头牛去吃，那么剩下的30﹣5＝25头牛吃100份草： 100÷（30﹣5） ＝100÷25 ＝4（天）． 答：这片牧场每天新生的草可供5头牛吃，这片牧场可供30头牛吃4天． 【点评】牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数． 24．两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，已知男孩子每分钟走45级楼梯，女孩子每分钟走40级楼梯，结果男孩子用6分钟到达另一端，女孩子用9分钟到达另一端，该扶梯共有多少级？ 【答案】90级。 【分析】在下楼的过程中，自动扶梯也在以均匀的速度行驶着，所以可以根据男孩和女孩下楼的时间求出自动扶梯每分钟走多少级，然后利用男孩或女孩下楼的时间求出自动扶梯的级数。 【解答】解：自动扶梯每分钟走： （40×9﹣45×6）÷（9﹣6） ＝（360﹣270）÷3 ＝90÷3 ＝30（级） 自动扶梯共有级： 40×9﹣30×9 ＝360﹣270 ＝90（级） 答：该扶梯共有90级。 【点评】本题考查了牛吃草问题，解题关键是求出自动扶梯每分钟走的级数。 25．一个水池不断往外漏水，且每天漏水量相同．如果这池水9头牛5天可饮光，6头牛7天也可以饮完，那么没有牛去饮，几天可以漏完？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，设每头牛每天饮“1”份的水，如果这池水9头牛5天可饮光，那么总分数是5×9＝45份；如果6头牛7天也可以饮完，那么总分数是6×7＝42份；两者的差45﹣42＝3份就是水池7﹣5＝2天的漏水量，所以先求出每天漏水的数量，即3÷2＝1.5份；然后再求出这池水原有的数量，即5×9+5×1.5＝52.5份；由此再除以每天漏水的数量即可解决问题． 【解答】解：设每头牛每天饮“1”份的水， 每天漏水的数量为： （5×9﹣6×7）÷（7﹣5） ＝3÷2 ＝1.5份 原有水的数量为： 5×9+5×1.5 ＝45+7.5 ＝52.5份 没有牛去饮，漏完的天数是： 52.5÷1.5＝35（天） 答：没有牛去饮，35天可以漏完． 【点评】此题属于典型的牛吃草问题，这种类型的题目，只要设出每头牛每天饮“1”份的水，求出每天漏水的数量和原有水的数量，问题即可解决． 26．12头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，21头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，我们可设1头牛1天吃1份牧草，那么就可求出每公倾牧场上的牧草每天的生长量为（21×63÷30﹣12×28÷10）÷（63﹣28）＝0.3份，进而求得每公亩牧场上的原有草量为21×63÷30﹣0.3×63＝25.2份，则72公亩的牧场126天可提供牧草就为（25.2+0.3×126）×72＝4536份，即可供养牛的头数为4536÷126＝36头． 【解答】解：设1头牛1天吃1份牧草，则得 （21×63÷30﹣12×28÷10）÷（63﹣28）＝0.3（份） 21×63÷30﹣0.3×63＝25.2（份） （25.2+0.3×126）×72＝4536（份） 4536÷126＝36（头） 答：36头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草． 【点评】解答此题的关键是据已知条件求得“每公倾牧场上的牧草每天的生长量”，之后再求解就轻松了． 27．两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在15秒钟里，男孩可走12级梯级，女孩可走10级梯级，结果男孩走了3分钟到达另一端，女孩走了4分钟到达另一端，该扶梯共多少级？ 【答案】96级。 【分析】由题意可知，男孩3分钟即180秒走了（180÷15）×12＝144（级），女孩4分钟即240秒走了（240÷15）×10＝160（级），女孩比男孩多走了160﹣144＝16（级），多用了1分钟，说明扶梯每分钟自动下降16级。男孩共走了144级，这144级包含扶梯的级数和3分钟扶梯自动降下的级数。女孩共走了160级，这160级包含扶梯的级数和4分钟扶梯自动降下的级数．扶梯的级数是：144﹣16×3＝96（级）。 【解答】解：4分钟＝240秒 3分钟＝180秒 电动扶梯每分钟走： [（240÷15）×10﹣（180÷15）×12]÷（4﹣3） ＝160﹣144 ＝16（级） 电动扶梯共有： （180÷15）×12﹣16×3 ＝144﹣48 ＝96（级） 答：该扶梯共96级。 【点评】根据两人所走的级数及所用时间，求出扶梯每秒自动下降的级数是完成本题的关键。 28．4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部牧草？（每公顷牧场上原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等） 【答案】见试题解答内容 【分析】设每头牛每天吃草量为1份，每公顷原有草量为x份，每天每公顷新长草量为y份，根据“4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，”可列方程为：28×（4﹣10y）＝10x，①；再根据“7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，”可列方程为：63×（7﹣30y）＝30x，②，然后解①②两个方程得y＝0.1，x＝8.4；那么可以求出40公顷可供60头牛吃：40×8.4÷（60﹣40×0.1）＝6天；据此解答． 【解答】解：每头牛每天吃草量为1份，每亩原有草量为x份，每天每亩新长草量为y份， 28×（4﹣10y）＝10x，① 63×（7﹣30y）＝30x，② 把方程①②联立，解得：y＝0.1，x＝8.4； 那么：40×8.4÷（60﹣40×0.1） ＝336÷56， ＝6（天）； 答：60头牛6天可以吃完40公顷牧场上全部牧草． 【点评】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有的草的份数；知识点：（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）＝草地每天新长草的量；牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数＝草地原有的草量． 29．一个牧场上的青草每天都匀速生长，这片青草可供15头牛吃24天，或供20头牛吃14天，现有一群牛吃了6天后卖掉1头，余下的牛又吃了3天将草吃完，这群牛原有多少头？ 【答案】见试题解答内容 【分析】假设每头牛每天吃草量是“1”，牧场原有青草量+生长的青草量＝牛吃掉的青草量，把已知条件代入，求出原有青草量和每天生长青草量；设这群牛有x头，根据题意列方程求解，即可求解． 【解答】解：根据牧场原有青草量+生长的青草量＝牛吃掉的青草量，可列式： 原有青草量+每天生长量×24＝1×15×24 原有青草量+每天生长量×14＝1×20×14 每天生长量： （15×24﹣20×14）÷（24﹣14） ＝（360﹣280）÷10 ＝80÷10 ＝8 原有青草量： 1×15×24﹣8×24 ＝360﹣192 ＝168 设这群牛原有x头，列方程： 168+8×（6+3）＝6x+3×（x﹣1） 168+8×9＝6x+3x﹣3 168+72＝9x﹣3 240＝9x﹣3 240+3＝9x﹣3+3 243＝9x 243÷9＝9x÷9 x＝27 答：这群牛原有27头． 【点评】本题主要考查了牛吃草问题，需要学生准确把握牛吃草问题中不变的量，以及数量之间的等量关系． 30．有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天．假设草每天的生长速度不变，现有羊若干只．吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，原有羊多少只？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据牛吃草问题的基本公式：生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）； 总草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量，再解答即可． 【解答】解：设一只羊吃一天的草量为一份． （1）每天新长的草量： （8×20﹣14×10）÷（20﹣10） ＝（160﹣140）÷10 ＝20÷10 ＝2（份） （2）原有的草量： 8×20﹣2×20 ＝160﹣40 ＝120（份） （3）若不增加6只羊，这若干只羊吃6天的草量，等于原有草量加上4+2＝6天新长草量再减去6只羊2天吃的草量： 120+2×（4+2）﹣1×2×6 ＝120+12﹣12 ＝120（份） （4）羊的只数： 120÷6＝20（只） 答：原有羊20只． 【点评】解答这类问题，一定要理清题里存在的数量关系，灵活选用合适的方法进行计算即可． 31．牧场上长满草，每天牧草都匀速生长，这片牧场的草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，由这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，设每头牛一天的吃草量为一份，求出草的生长速度，然后再进一步解答即可． 【解答】解：设每头牛一天的吃草量为一份， 这片牧场可供10头牛吃20天， 那么这片牧场20天的供草量为：10×20＝200（份）； 可供15头牛吃10天， 那么这片牧场10天的供草量为：15×10＝150（份）； 那么这片牧场的草每天的生长量为：（200﹣150）÷（20﹣10）＝5（份）； 这片牧场原有的草量为：200﹣5×20＝100（份）， 25头牛每天的吃草量为：25份， 那么可以吃：100÷（25﹣5）＝5（天）． 答：这片牧场可供25头牛吃5天． 【点评】本题是一道典型的牛吃草问题，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题中所求的问题． 32．某火车站在检票前若干分钟就有人排队，假设每分钟新增的旅客一样多，若同时开放4个检票口，则30分钟检票完毕，若同时开放5个检票口，则20分钟可检票完毕，若同时开放7个检票口，需要检票多少分钟？ 【答案】见试题解答内容 【分析】等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解． 【解答】解：设1个检票口1分钟检票的人数为1份．因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30﹣20）分钟内新来旅客（4×30﹣5×20）份， 所以每分钟新来旅客： （4×30﹣5×20）÷（30﹣20） ＝（120﹣100）÷10 ＝2（份）． 假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为： （4﹣2）×30＝60（份）或（5﹣2）×20＝60（份）． 同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要： 60÷（7﹣2）＝12（分钟）． 答：若同时开放7个检票口，需要检票12分钟后． 【点评】此题重点要理清题中的数量关系，弄清旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客． 33．4头牛28天可吃完10公顷的草，7头牛63天可吃完30公顷的草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部的草？（每公顷原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等） 【答案】见试题解答内容 【分析】设每头牛每天吃草量为1份，每公顷原有草量为x份，每天每公顷新长草量为y份，根据“4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，”可列方程为：28×（4﹣10y）＝10x，①；再根据“7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，”可列方程为：63×（7﹣30y）＝30x，②，然后解①②两个方程得y＝0.1，x＝8.4；那么可以求出40公顷可供60头牛吃：40×8.4÷（60﹣40×0.1）＝6天；据此解答． 【解答】解：每头牛每天吃草量为1份，每亩原有草量为x份，每天每亩新长草量为y份， 28×（4﹣10y）＝10x，① 63×（7﹣30y）＝30x，② 把方程①②联立，解得：y＝0.1，x＝8.4； 那么：40×8.4÷（60﹣40×0.1） ＝336÷56 ＝6（天） 答：60头牛6天可以吃完40公顷牧场上全部牧草． 【点评】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有的草的份数；知识点：（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）＝草地每天新长草的量；牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数＝草地原有的草量． 34．一片匀速生长的牧草，可供9头牛吃12天，或可供8头牛吃16天．问可供13头牛吃多少天？要使这片牧草永远吃不完，至多可以放牧多少头牛？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设每头牛每天吃一份的草，根据“可供9头牛吃12天，可供8头牛吃16天”，草的生长速度为：（16×8﹣12×9）÷（16﹣12）＝5份，原有草的份数为：12×9﹣5×12＝48份， 求可供13头牛吃多少天，就相当于求48里面有几个（13﹣5）；要使这片牧草永远吃不完，放牧牛的头数应等于每天草生长的份数，据此解答即可． 【解答】解：（16×8﹣12×9）÷（16﹣12） ＝20÷4 ＝5份 12×9﹣5×12 ＝108﹣60 ＝48份 48÷（13﹣5） ＝48÷8 ＝6（天） 要使这片牧草永远吃不完，放牧牛的头数应等于每天草生长的份数，即至多可以放牧5头牛． 答：可供13头牛吃6天，要使这片牧草永远吃不完，至多可以放牧5头牛． 【点评】本题是一道复杂的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度和原有草的份数． 35．有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的3倍，30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地上的草．问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？ 【答案】见试题解答内容 【分析】这是一道比较复杂的牛吃草问题．把每头牛每天吃的草看作1份，甲草地的面积是乙草地面积的3倍，设乙草地面积是1亩，则甲草地的面积是3亩；因为甲草地3亩原有草量+3亩面积12天长的草＝30×12＝360份，所以每亩面积原有草量和每亩面积12天长的草是360÷3＝120份；因为乙草地1亩面积原有草量+1亩面积4天长的草＝20×4＝80份，所以每亩面积原有草量和每亩面积4天长的草是80÷1＝80份；因为12﹣4＝8天，每亩面积长120﹣80＝40份；则每亩面积每天长40÷8＝5份；所以，每亩原有草量80﹣4×5＝60份，也就是乙草地面积原有草量是60份，甲草地面积原有草量是60×3＝180份，甲乙原有草量共有60+180＝240份；所以甲乙每天要长5×（1+3）＝20份，新生长的每天就要用20头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃10天，因此240÷10＝24头牛所以，一共需要24+20＝44头牛来吃． 【解答】解：设每头牛每天的吃草量为1，乙草地面积是1亩，则甲草地的面积是3亩； 则每亩12天的总草量为：30×12÷3＝120份； 每亩4天的总草量为：20×4÷1＝80份； 那么每亩每天的新生长草量为（120﹣80）÷（12﹣4）＝5份； 每亩原有草量为：80﹣4×5＝60份； 那么甲乙原有草量为：60+60×3＝240份； 甲乙10天新长草量为4×5×10＝200份； 甲乙10天共有草量200+240＝440份； 所以有440÷10＝44（头）． 答：44头牛10天能同时吃完两块草地上的草． 【点评】本题为典型的牛吃草问题，要根据“牛吃的草量﹣﹣生长的草量＝消耗原有草量”这个关系式认真分析解决． 36．一个牧场上的青草每天都匀速生长，这边青草可供15头吃24天，或共20头牛吃14天．现在有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原有多少头？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设每头牛每天吃“1”份草，则15头牛24天吃：15×24＝360份，或供20头牛吃14天，则吃：20×14＝280份，每天增加的份数是（360﹣280）÷（24﹣14）＝8份，原有草量是280﹣8×14＝168份；卖掉的4头2天能吃了：4×2＝8份，则原有的草相当于168+8＝176份，有176÷（6+2）＝22头，然后再加上8头（即每天增加的8份草，正好需要8头牛吃）；据此解答即可． 【解答】解：设每头牛每天吃“1”份草． 则15头牛24天吃：15×24＝360份， 20头牛吃14天吃：20×14＝280份 每天增加的份数是：（360﹣280）÷（24﹣14） ＝80÷10 ＝8份 原有草量：280﹣8×14＝168份 （168+2×4）÷（6+2） ＝176÷8 ＝22（头） 22+8＝30（头） 答：这群牛原有30头． 【点评】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口． 37．有一块草地，草一直在匀速生长．这片草地的原有草量为72份，每周新生长15份的草量．已知一头牛一周吃3份的草量． 求： （1）这块草地可供9头牛吃几周？ （2）这块草地可供多少头牛吃6周？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用9头牛一周吃的份数减每周新生长的份数，得出9头牛1周吃得原有草量，再用这片草地的原有草量除以9头牛1周吃得原有草量，即可得这块草地可供9头牛吃几周； （2）用每周新生长的草的份数乘6，得出6周新生长的草的份数，加这片草地的原有草量，再除以1头牛6周吃的草量，即可得这块草地可供多少头牛吃6周． 【解答】解：（1）72÷（3×9﹣15） ＝72÷12 ＝6（周）， 答：这块草地可供9头牛吃6周； （2）（72+15×6）÷（3×6） ＝162÷18 ＝9（头）， 答：这块草地可供9头牛吃6周． 【点评】本题主要考查了牛吃草问题，牛吃草问题的基本公式有：生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）； 总草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量． 38．西安美术馆举办画展，美术馆9时开门，但早有人来等候．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众数一样多．如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就不再有人排队．那么，第一个观众到达时是8时几分？ 【答案】见试题解答内容 【分析】9时开门，开3个入场口，9时9分就不再有人排队，开5个入场口，9时5分就没有人排队，由此可得来人的速度为（9×3﹣5×5）÷（9﹣5）＝0.5，开门之前来人为3×9﹣0.5×9＝22.5，第一个观众来的时间距开门时间：22.5÷0.5＝45分，再用9时减去45分即可求出答案． 【解答】解：（9×3﹣5×5）÷（9﹣5） ＝（27﹣25）÷4 ＝2÷4 ＝0.5 3×9﹣0.5×9 ＝27﹣4.5 ＝22.5 22.5÷0.5＝45（分） 9时﹣45分＝8时15分 答：第一个观众到达的时间是8时15分． 【点评】这是“牛吃草”问题，关键利用前两次开口不同过人的差除以时间得到来人的速度，然后利用速度解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$