小升初典型奥数：方阵问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

方阵问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题． 数量关系： （1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数＝（每边人数﹣1）×4 每边人数＝四周人数÷4+1 （2）方阵总人数的求法： 实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数 空心方阵：总人数＝（外边人数）2﹣（内边人数）2 内边人数＝外边人数﹣层数×2 （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数＝（每边人数﹣层数）×层数×4． 第二部分 典型例题 例题1：在一个大型广场上，某部队战士正排着整齐的队伍认真训练着．指导员告诉我们：这个方队的每排人数和排数均为两位数．请你回答下列问题： （1）方队最少有多少人？ （2）这个方队最多有多少人？ （3）这个方队可能有12596人吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）这个方队的每排人数和排数均为两位数，要求最少人数，则每排人数和排数均为10； （2）要求最多人数，则每排人数和排数均为99； （3）用这个方队最多的人数与12596比较即可得解． 【解答】解：（1）10×10＝100（人） 答：方队最少有100人． （2）99×99＝9801（人） 答：这个方队最多有9801人． （3）9801＜12596 答：这个方队不可能有12596人． 【点评】此题考查了最大最小数的求法，明确两位数中最大数和最小数是关键． 例题2：学校舞蹈队64人排成方阵，最外层的队员都要手持鲜花，一共要准备多少束鲜花？后来队形变换成长方形，每排16人，这时要准备多少束鲜花？ 【答案】28，36。 【分析】一共共有64人，排成方阵，由乘法口诀，可知，排成8行8列，要求需要准备多少束鲜花，就是求方阵最外层有多少人，根据四周人数＝（每边人数﹣1）×4，代入数值计算即可；队形变成长方形，先求出一共有多少排，用除法计算，然后将四边的人数相加，减去重复计算的四个角上的人数即可。 【解答】解：64÷8＝8（人） （8﹣1）×4 ＝7×4 ＝28（束） 答：一共要准备28束鲜花。 变换阵型后， 64÷16＝4（排） 16×2+4×2﹣4 ＝32+8﹣4 ＝40﹣4 ＝36（束） 答：这时要准备36束鲜花。 【点评】本题主要考查了方阵问题，能够熟记方阵问题中公式，并灵活运用，是本题解题的关键。 例题3：四年级团体操队员排成了一个正方形的方阵进行训练，后因服装不够，正式表演时横排、竖排各去掉一排，一共去掉了25人。原来一共有多少名队员参加训练？ 【答案】169名。 【分析】根据题干，去掉一行一列共去掉了25人，那么原来的方阵的每边人数是（25+1）÷2＝13（名），据此利用每边人数×每边人数＝总人数解答即可。 【解答】解：（25+1）÷2 ＝26÷2 ＝13（名） 13×13＝169（名） 答：原来一共有169名队员参加训练。 【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数。 例题3：庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵中，空降兵方队、武警方队、预备役方队和女民兵方队各有350名队员和两名领队。这四个方队一共有多少人？ 【答案】1408人。 【分析】用每个方队的队员人数乘方队个数，求出队员总人数；用每个方队领队的人数乘方队个数，求出领队总人数；再相加求出总人数。 【解答】解：350×4＝1400（人） 2×4＝8（人） 1400+8＝1408（人） 答：这四个方队一共有1408人。 【点评】本题主要考查三位数乘一位数和万以内加法的计算及应用。 第三部分 高频真题 1．琳琳做课间操时观察自己班级队伍，恰好是一个长方形。每横排有8位同学，而自己站在一竖列的最后一个，她前面有5个同学，你知道她的班级一共有多少位同学吗？ 答：玲玲的班级一共有 　 　位同学。 2．操场上，同学们排成一个正方形队列。欢欢的南面有4人，北面也有4人，西面有4人，东面也有4人。这个队列一共有多少人？ 3．五一前夕，街心喷水池的周围用216盆鲜花围成一个每边三层的空心方阵，问最外面一层每边有鲜花多少盆？ 4．在学校举办的运动会上，四年级一班的同学排成一个方队走过主席台。每个方队排成6行，每行6人。最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿白色运动服，一共要准备两种颜色的运动服各多少套？ 5．学校举行队列表演，一共有12个方队，每个方队排成6行，每行6人，最外圈的同学持花束，其余同学手持彩旗．手持花束和手持彩旗的同学各有多少人？ 6．二（1）班小朋友排成长方形的方队参加体操表演。小红站在从左看是第6名，从右看是第2名，从前看是第4名，从后看是第3名的位置上。二（1）班一共有多少名小朋友参加体操表演？ 7．同学们参加学校团体操比赛，四年级的队伍正好排成正方形，每边25人，最外层共多少人？ 8．“六一节”红星小学举行“阳光大舞台，秀出我风采”班级队列表演，每个班级一个方队，每个方队排成6行，每行6人。 （1）四年1班方队最外圈的学生每人手拿一束花，需要准备几束花？ （2）学生之间需保持1米的安全距离。每个方队的占地面积是多少平方米？ 9．红星小学五年级同学排成一个方阵参加学校运动会开幕式表演。外层每边都是9人，外层一共有多少人？整个方阵一共有多少人？ 10．大合唱时，五年级（1）班的同学组成了一个方队，王亮的位置是（6，6），他的左面和后面都没有人，请问这个方队一共有多少人？ 11．庆祝元旦的会场前摆放了一个每边有12盆鲜花的方阵，只有最外层摆放的是黄花． （1）一共摆放了多少盆花？ （2）黄花摆放了多少盆？ 12．实验小学四年级的同学参加广播操比赛，他们原准备排成一个正方形队列，如果横竖各减少一排，这样共需去掉25人。四年级原来准备队列的有多少人？ 13．红星小学四年级学生排成一个方阵进行团体操表演，最外一层的人数为60人。方阵外层每边有多少人？这个方阵共有多少人？ 14．五年级学生排成一个正方形的体操队形，最外层每边16人．最外层一共有多少人？这个体操队形里一共有多少人？ 15．为推动阳光体育运动，营造积极向上、健康文明的校园体育氛围，实验小学举行了春季阳光体育运动会。四年级同学参加了运动会开幕式表演，共排成4个方队，每个方队排成6行，每行6人。最外圈的同学举彩旗，其余同学举花束。举彩旗的同学一共有多少人？举花束的呢？ 16．9月30日，学校进行“迎国庆”汇操展演，四年级体操队站成了一个正方形方阵，最外层一共有24人，四年级体操队一共有多少人？ 17．国庆节到了，园丁叔叔用菊花摆成了3个“7×7”的方阵来布置人民广场。最外圈用红色的菊花，其余用黄色的菊花。两种颜色的菊花各需要准备多少盆？（先画图表示1个菊花方阵的队列，再解答） 18．参加“抖空竹”“舞花棒”联合表演的同学排成了一个正方形方阵，参加“抖空竹”的24名同学正好站满最外一层，参加表演的同学一共有多少人？ 19．新明小学举行团体操表演，同学们组成了4个方阵，每个方阵都是18列，每列都是25人。参加团体操表演的一共有多少人？ 20．四年级同学排成5个方阵进行团体操表演，每个方阵排成6行，每行6人．最外圈的同学穿蓝色运动服，其余同学穿黄色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？ 21．学校“阳光大课间”展示时，将学生排成了一个有52排，每排35人的方阵，这个方阵一共有多少人？ 22．五年级学生排成一个正方形的体操队形，最外层每边有18名学生。最外层一共有多少名学生？这个体操队形里一共有多少名学生？ 23．学校举行艺术节队列表演，共4个方队，每个方队排成6行，每行6人．最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿蓝色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？（先画图表示一个方队的队列，再计算） 24．某小学举行小学生广播体操比赛，五年级同学站成了一个10列10行的方阵，最外层站了多少名同学？这个方阵共有多少名同学？ 25．红星小学举行队列比赛时，五年级四个班排成了一个大型的方阵，最外层一周的人数为64人，方阵外层每边有多少人？这个方阵队列一共有多少人？ 26．一个正方形花坛四周均匀地栽了416株牡丹花，4个角上各栽了一株，正方形花坛的每条边上栽了多少株牡丹花？ 27．在英才小学运动会上的团体操表演中，高年级的参演学生排成了一个方阵，方阵最外面一层共有28名同学，整个方阵一共有多少名学生？ 28．参加武术操表演的运动员站成一个正方形队列。如果使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少31人。这个正方形队列最外层共有多少名运动员？参加武术操表演的运动员共有多少名？ 29．三（1）班同学站方阵队列，横行、竖行都是6人，队伍前面还有旗手3人，这个队伍一共有多少人？ 30．学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗，四个角都插一面，每边插7面，一共要准备多少面旗子？ 31．同学们排队跳舞，排成一个方阵，每行、每列的人数同样多。小莉同学无论从前数还是从后数，从左数还是从右数，她都是排在第4个，那么，这个方阵一共有多少人？ 32．一个正方形广场，沿四周等距离栽树．四个顶点各栽一棵，每边栽了28棵，四周共栽了多少棵树？ 33．五年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？ 34．同学们排成一个长方形的队伍做操，小丽站在从右数第3列，从左数第4列，从前数第7排，从后数第2排。这个队伍一共有多少人？ 35．64名鼓号队员排成一个正方形方阵表演节目。表演完一个节目后，最外一圈的队员退场，剩下的队员不动。你知道还剩下多少名队员吗？ 36．在一个正方形的操场周围插彩旗，如果四个角都插上一面，要使每边有7面彩旗．一共要插多少面彩旗？ 37．运动会上，四年级同学组成了四个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人。每个方阵最外面一圈的同学穿黄色表演服，其余同学穿红色表演服，这两种颜色的表演服各多少件？ 38．为了庆祝国庆，在广场上摆花，共摆成6个方阵，每个方阵摆成8行，每行摆8盆花。最外圈的是黄花，其余的是红花。要准备两种颜色的花各多少盆？ 39．小红用1元的硬币摆了一个正方形方阵，最外层每边都有6枚硬币．最外层一共有多少枚硬币？ 40．团体操表演，排成5个方队。每个方队排成5行，每行有5人。如果每个方队最外圈的同学穿红衣服，其余同学穿黄衣服。一共要准备这两种颜色的衣服各多少套？ 41．一个正方形的活动场地，在它的四周插上彩旗（四个角都插）．每条边上插8面．一共要插多少面？（先画一画，再算一算） 42．运动会开幕式，五年级代表队站成一个方阵，这个方阵的外层每边是9人．最外层共站了多少人？这个方阵共有多少人？ 43．阳光公园有一块正方形的花坛，工人在四周种上树，每边种20棵，且四个顶点各种一棵，每相邻两棵树之间的距离是4米，这个正方形花坛的周长是多少米？ 44．四年级同学参加学校运动会开幕式表演，共排成4个方队，每个方队排成6行，每行6人．最外圈的同学举彩旗，其余同学举花束．举彩旗的同学一共有多少人？举花束的呢？ 45．四年级同学举行体操表演，共组成6个方队，每个方队排成5行，每行5人。最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿蓝色运动服。要准备两种颜色的运动服各多少套？（先画图表示1个方队的队列，再计算） 46．同学们排成一个方阵进行广播操表演，红红的前、后、左、右各有2名同学，这个方阵一共有多少名同学？ 47．庆祝元旦的会场前摆设了一个正方形的鲜花方阵，最外层每边摆12盆黄花，其余部分都是红花，黄花一共有多少盆？红花一共有多少盆？ 参考答案与试题解析 1．琳琳做课间操时观察自己班级队伍，恰好是一个长方形。每横排有8位同学，而自己站在一竖列的最后一个，她前面有5个同学，你知道她的班级一共有多少位同学吗？ 答：玲玲的班级一共有 　48　位同学。 【答案】48。 【分析】自己站在一竖列的最后一个，她前面有5个同学，一共有6排，每横排有8位同学，据此用乘法解答即可。 【解答】解：8×（5+1） ＝8×6 ＝48（位） 答：玲玲的班级一共有48位同学。 故答案为：48。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。 2．操场上，同学们排成一个正方形队列。欢欢的南面有4人，北面也有4人，西面有4人，东面也有4人。这个队列一共有多少人？ 【答案】81人。 【分析】根据题意可知，欢欢的东面的人数加上西面的人数，再加上1，就是每行的人数，同样可以求出每列的人数；然后每行与每列的人数相乘即可得出答案。 【解答】解：每行的人数：4+4+1＝9（人） 每列的人数：4+4+1＝9（人） 所以总人数：9×9＝81（人） 答：这个队列一共有81人。 【点评】解题的关键是找到每行和每列的人数，求每行和每列的人数时，因为欢欢自己没加上，所以还要加1。 3．五一前夕，街心喷水池的周围用216盆鲜花围成一个每边三层的空心方阵，问最外面一层每边有鲜花多少盆？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出最外层每边人数＝空心方阵总人数÷4÷空心方阵的层数+空心方阵的层数，据此求出最外层每边花盆数即可． 【解答】解：216÷4÷3+3 ＝18+3 ＝21（盆） 答：最外面一层每边有鲜花21盆． 【点评】此题考查了方阵问题中的数量关系：最外层每边人数＝空心方阵总人数÷4÷空心方阵的层数+空心方阵的层数． 4．在学校举办的运动会上，四年级一班的同学排成一个方队走过主席台。每个方队排成6行，每行6人。最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿白色运动服，一共要准备两种颜色的运动服各多少套？ 【答案】红色：20套；白色：16套。 【分析】每个方队的最外层一共有4个边，每边有6人，根据乘法的意义求出一共多少人，由于顶点的人数都被重复计算了一次，所以需要减去重复计算的4个顶点的人数，也就是每个方队穿红色运动服的人数，也就是红色运动服需要准备的套数；根据乘法的意义，求出每个方队一共有多少人，再减去最外层的人数，就是需要穿白色运动服的人数，也就是白色运动服需要准备的套数。 【解答】解：6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（人） 6×6＝36（人） 36﹣20＝16（人） 答：一共要准备红色运动服20套，白色运动服16套。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 5．学校举行队列表演，一共有12个方队，每个方队排成6行，每行6人，最外圈的同学持花束，其余同学手持彩旗．手持花束和手持彩旗的同学各有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈持花束的人数，再和每个方队的总人数相减求出持彩旗的人数．最后再求12个方队中手持花束和手持彩旗的同学人数；据此解答即可． 【解答】解：6×6＝36（人） 4×6﹣4＝20（人） 36﹣20＝16（人） 20×12＝240（人） 16×12＝192（人） 答：手持花束的有240人，手持彩旗的有192人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 6．二（1）班小朋友排成长方形的方队参加体操表演。小红站在从左看是第6名，从右看是第2名，从前看是第4名，从后看是第3名的位置上。二（1）班一共有多少名小朋友参加体操表演？ 【答案】42名。 【分析】小红从左看是第6名，从右看是第2名，这一行的人数就是（6+2﹣1）名，从前看是第4名，从后看是第3名，这一列的人数就是（4+3﹣1）名，然后根据方阵问题的解答方法计算即可。 【解答】解：（6+2﹣1）×（4+3﹣1） ＝7×6 ＝42（名） 答：二（1）班一共有42名小朋友参加体操表演。 【点评】本题的关键是先求出每行和每列的人数，再根据“总点数＝每边点数×每边点数”列式解答。 7．同学们参加学校团体操比赛，四年级的队伍正好排成正方形，每边25人，最外层共多少人？ 【答案】96人。 【分析】根据最外层人数＝每边人数×4﹣4，代入数据即可解答即可。 【解答】解：25×4﹣4 ＝100﹣4 ＝96（人） 答：最外层一共有96人。 【点评】此题考查了方阵问题中“最外层点数＝每边点数×4﹣4”计算公式的灵活应用。 8．“六一节”红星小学举行“阳光大舞台，秀出我风采”班级队列表演，每个班级一个方队，每个方队排成6行，每行6人。 （1）四年1班方队最外圈的学生每人手拿一束花，需要准备几束花？ （2）学生之间需保持1米的安全距离。每个方队的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）20束；（2）25平方米。 【分析】（1）根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”解答即可。 （2）根据每行6人，有6﹣1＝5（个）间隔，然后乘间距，求出正方形方阵的边长，再根据正方形的面积公式解答即可。 【解答】解：（1）6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（束） 答：需要准备20束花。 （2）1×（6﹣1）＝5（米） 5×5＝25（平方米） 答：每个方队的占地面积是25平方米。 【点评】此题考查了方阵问题和植树问题的综合运用。 9．红星小学五年级同学排成一个方阵参加学校运动会开幕式表演。外层每边都是9人，外层一共有多少人？整个方阵一共有多少人？ 【答案】32人，整个方阵一共有81人。 【分析】最外层人数＝每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数；代入数据即可解答。 【解答】解：9×4﹣4 ＝36﹣4 ＝32（人） 9×9＝81（人） 答：外层一共有32人，整个方阵一共有81人。 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。 10．大合唱时，五年级（1）班的同学组成了一个方队，王亮的位置是（6，6），他的左面和后面都没有人，请问这个方队一共有多少人？ 【答案】36。 【分析】王亮的位置是第6列第六行。这是个6×6的方队，总人数即可求。 【解答】解：6×6＝36（人） 答：这个方队一共有36人。 【点评】熟悉用数对表示位置的方法及方队的意义是解决本题的关键。 11．庆祝元旦的会场前摆放了一个每边有12盆鲜花的方阵，只有最外层摆放的是黄花． （1）一共摆放了多少盆花？ （2）黄花摆放了多少盆？ 【答案】（1）144盆；（2）44盆． 【分析】（1）求一共摆放了多少盆花，根据方阵总点数＝每边点数×每边点数解答即可； （2）求黄花摆放了多少盆，根据最外层四周点数＝每边点数×4﹣4解答即可． 【解答】解：（1）12×12＝144（盆） 答：一共摆放了144盆花． （2）12×4﹣4 ＝48﹣4 ＝44（盆） 答：黄花摆放了44盆． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 12．实验小学四年级的同学参加广播操比赛，他们原准备排成一个正方形队列，如果横竖各减少一排，这样共需去掉25人。四年级原来准备队列的有多少人？ 【答案】169人。 【分析】根据题干，去掉一行一列共去掉了25人，那么原来的方阵的每边人数是（25+1）÷2＝13（人），据此利用每边人数乘每边人数即可求出总人数。 【解答】解：（25+1）÷2 ＝26÷2 ＝13（人） 13×13＝169（人） 答：四年级原来准备队列的有169人。 【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数。 13．红星小学四年级学生排成一个方阵进行团体操表演，最外一层的人数为60人。方阵外层每边有多少人？这个方阵共有多少人？ 【答案】16人，256人。 【分析】先根据每边的人数＝四周的人数÷4+1求出方阵外层每边有多少人，再根据方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数解答即可。 【解答】解：60÷4+1 ＝15+1 ＝16（人） 16×16＝256（人） 答：方阵外层每边有16人，这个方阵共有256人。 【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数。 14．五年级学生排成一个正方形的体操队形，最外层每边16人．最外层一共有多少人？这个体操队形里一共有多少人？ 【答案】60，256. 【分析】一个正方形的体操队形，最外层每边16人，一共4个边，用乘法计算，四个角上的学生重复计算了，需要减去；一共有16行，每行有16人，求一共多少人，用乘法计算。 【解答】解：16×4﹣4 ＝64﹣4 ＝60（人） 16×16＝256（人） 答：最外层一共有60人。这个体操队形里一共有256人。 【点评】本题主要考查了方阵问题，注意重复计数的部分需要减去。 15．为推动阳光体育运动，营造积极向上、健康文明的校园体育氛围，实验小学举行了春季阳光体育运动会。四年级同学参加了运动会开幕式表演，共排成4个方队，每个方队排成6行，每行6人。最外圈的同学举彩旗，其余同学举花束。举彩旗的同学一共有多少人？举花束的呢？ 【答案】举彩旗的同学一共有80人，举花束的有64人。 【分析】如解答中图，用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈举彩旗的人数，然后再乘4，就是举彩旗的同学一共有多少人；再用每个方队的总人数相减求出举彩旗的人数，求出每个方阵中举花束的人数，再乘4，就是举花束的一共有多少人；据此求解即可。 【解答】解：如图： 1个方阵人数为：6×6＝36（人） 1个方阵举彩旗的人数为： 6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（人） 4个方阵举彩旗的人数为：20×4＝80（人） 4个方阵举花束的人数为： （36﹣20）×4 ＝16×4 ＝64（人） 答：举彩旗的同学一共有80人，举花束的有64人。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 16．9月30日，学校进行“迎国庆”汇操展演，四年级体操队站成了一个正方形方阵，最外层一共有24人，四年级体操队一共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据最外层人数＝每边人数×4﹣4，先求出这个方阵的每边人数，再利用实心方阵总点数＝每边点数×每边点数即可计算这个体操方阵的总人数． 【解答】解：最外层每边人数：（24+4）÷4 ＝28÷4 ＝7（人） 7×7＝49（人） 答：四年级体操队一共有49人． 【点评】此题考查了最外层点数＝每边点数×4﹣4，以及实心方阵总点数＝每边点数×每边点数这两个计算公式的灵活应用． 17．国庆节到了，园丁叔叔用菊花摆成了3个“7×7”的方阵来布置人民广场。最外圈用红色的菊花，其余用黄色的菊花。两种颜色的菊花各需要准备多少盆？（先画图表示1个菊花方阵的队列，再解答） 【答案】72盆，75盆。 【分析】用7乘7求出每个方阵的总盆数，然后用7×4减去4求出最外圈红色菊花的盆数，再和每个方阵的总盆数相减求出黄色菊花的盆数。最后再求3个方阵中两种颜色的盆数；据此画图解答即可。 【解答】解：画图如下： 7×7＝49（盆） 4×7﹣4 ＝28﹣4 ＝24（盆） 49﹣24＝25（盆） 24×3＝72（盆） 25×3＝75（盆） 答：一共要准备红色菊花72盆，黄色菊花75盆。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 18．参加“抖空竹”“舞花棒”联合表演的同学排成了一个正方形方阵，参加“抖空竹”的24名同学正好站满最外一层，参加表演的同学一共有多少人？ 【答案】49人。 【分析】先根据“最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4”，求出这个方阵的每边人数，再利用“方阵总人数＝每边人数×每边人数”计算出参加表演的同学一共有多少人即可。 【解答】解：24÷4+1 ＝6+1 ＝7（人） 7×7＝49（人） 答：参加表演的同学一共有49人。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4的灵活应用。 19．新明小学举行团体操表演，同学们组成了4个方阵，每个方阵都是18列，每列都是25人。参加团体操表演的一共有多少人？ 【答案】1800人。 【分析】每个方阵都排成了18列25行，则每个方阵有25×18＝450（人），4个方阵有4个450人，即450×4；据此解答即可。 【解答】解：25×18×4 ＝450×4 ＝1800（人） 答：参加团体操表演的一共有1800人。 【点评】解答此题关键是明确“有18列25行”，求几个相同加数的和是多少，用乘法进行解答。 20．四年级同学排成5个方阵进行团体操表演，每个方阵排成6行，每行6人．最外圈的同学穿蓝色运动服，其余同学穿黄色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？ 【答案】见试题解答内容 【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈穿蓝色运动服的人数；再和每个方队的总人数相减求出穿蓝色运动服的人数就是穿黄衣服的人数． 最后再用每个方队中蓝、黄的衣服人数分别乘5，求出5个方队中两种颜色的运动服的套数即可． 【解答】解：每个方队的总人数：6×6＝36（人） 一个方队穿蓝衣服的人有：6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（人） 一个方队穿黄衣服的人有： 36﹣20＝16（人） 所以5个方队蓝衣服需要：20×5＝100（套） 黄衣服需要：16×5＝80（套） 答：蓝衣服需要100套，黄衣服需要80套． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 21．学校“阳光大课间”展示时，将学生排成了一个有52排，每排35人的方阵，这个方阵一共有多少人？ 【答案】1820人。 【分析】求这个方阵一共有多少人，就相当于求52个35是多少，用乘法计算即可。 【解答】解：35×52＝1820（人） 答：这个方阵一共有1820人。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。 22．五年级学生排成一个正方形的体操队形，最外层每边有18名学生。最外层一共有多少名学生？这个体操队形里一共有多少名学生？ 【答案】68名；324名。 【分析】最外层人数＝每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数；代入数据即可解答。 【解答】解：18×4﹣4 ＝72﹣4 ＝68（名） 18×18＝324（名） 答：最外层一共有68名学生；这个体操队形里一共有324名学生。 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。 23．学校举行艺术节队列表演，共4个方队，每个方队排成6行，每行6人．最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿蓝色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？（先画图表示一个方队的队列，再计算） 【答案】见试题解答内容 【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈穿红色运动服的人数，再和每个方队的总人数相减求出穿蓝色运动服的人数．最后再求4个方队中两种颜色的运动服的套数；据此画图即可． 【解答】解：画图如下， 6×6＝36（套） 4×6﹣4＝20（套） 36﹣20＝16（套） 20×4＝80（套） 16×4＝64（套） 答：一共要准备红色运动服80套，蓝色运动服64套． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 24．某小学举行小学生广播体操比赛，五年级同学站成了一个10列10行的方阵，最外层站了多少名同学？这个方阵共有多少名同学？ 【答案】36，100。 【分析】最外层每边有10人，有4个边，用乘法计算，每个角上的人都重复计算了，需要减去；一列有10人，一共有10列，用乘法计算。 【解答】解：4×10﹣4 ＝40﹣4 ＝36（人） 10×10＝100（人） 答：最外层站了36名同学；这个方阵共有100名同学。 【点评】本题主要考查了方阵问题，注意重复计数的数量需要减去。 25．红星小学举行队列比赛时，五年级四个班排成了一个大型的方阵，最外层一周的人数为64人，方阵外层每边有多少人？这个方阵队列一共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】方阵问题中，最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4，则最外层每边点数＝最外层四周点数÷4+1，再根据实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数，由此代入数据即可解答． 【解答】解：64÷4+1＝17（人） 17×17＝289（人） 答：方阵外层每边有17人．这个方阵队列一共有289人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 26．一个正方形花坛四周均匀地栽了416株牡丹花，4个角上各栽了一株，正方形花坛的每条边上栽了多少株牡丹花？ 【答案】105株。 【分析】每边株数＝四周株数÷4+1，据此解答。 【解答】解：416÷4+1 ＝104+1 ＝105（株） 答：正方形花坛的每条边上栽了105株牡丹花。 【点评】本题考查了方阵问题的应用。 27．在英才小学运动会上的团体操表演中，高年级的参演学生排成了一个方阵，方阵最外面一层共有28名同学，整个方阵一共有多少名学生？ 【答案】64名。 【分析】根据题意，方阵最外层共有28名同学，最外层每条边上4个点上的人员是重复的，即最外层人数＝每边人数×4﹣4，代入数据先求出每边的人数，再根据实心方阵总人数＝每边人数×每边人数，代入数据求解即可。 【解答】解：（28+4）÷4 ＝32÷4 ＝8（名） 8×8＝64（名） 答：整个方阵一共有64名学生。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 28．参加武术操表演的运动员站成一个正方形队列。如果使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少31人。这个正方形队列最外层共有多少名运动员？参加武术操表演的运动员共有多少名？ 【答案】60名；256名。 【分析】由题意可知，每行人数和每列人数相等，减少的人数加上1刚好是每列人数的2倍，先求出正方形队列每列的人数，正方形队列最外层每边人数按照一端栽一端不栽的植树问题计算，正方形队列最外层人数＝（实际每边的人数﹣1）×边数，参加武术操表演的总人数＝每行人数×每列人数，据此解答。 【解答】解：每列人数：（31+1）÷2 ＝32÷2 ＝16（名） 最外层人数：（16﹣1）×4 ＝15×4 ＝60（名） 总人数：16×16＝256（名） 答：这个正方形队列最外层共有60名运动员，参加武术操表演的运动员共有256名。 【点评】本题主要考查方阵问题，计算最外层人数时，也可以先求出4条边的总人数，再减去顶点处重复计算的人数。 29．三（1）班同学站方阵队列，横行、竖行都是6人，队伍前面还有旗手3人，这个队伍一共有多少人？ 【答案】39人． 【分析】先根据方阵总人数＝每行人数×每列人数，求出这个方阵的总人数，再加队伍前面的旗手3人即可． 【解答】解：6×6+3 ＝36+3 ＝39（人） 答：这个队伍一共有39人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用． 30．学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗，四个角都插一面，每边插7面，一共要准备多少面旗子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】此题可以看做是一个空心方阵问题，已知每边点数是7，求四周的点数，利用四周点数＝每边点数×4﹣4即可解决问题． 【解答】解：7×4﹣4 ＝28﹣4 ＝24（面）； 答：一共要准备24面旗子． 【点评】此类问题可归属到求空心方阵的四周点数问题，利用四周点数计算公式即可解决． 31．同学们排队跳舞，排成一个方阵，每行、每列的人数同样多。小莉同学无论从前数还是从后数，从左数还是从右数，她都是排在第4个，那么，这个方阵一共有多少人？ 【答案】49人。 【分析】小莉同学无论从前数还是从后数，从左数还是从右数，她都是排在第4个，由此可得小莉所在的行有4+4﹣1＝7（人），小莉所在的列有4+4﹣1＝7（人），这是一个7行、7列的方阵，方阵总人数＝方阵行数×方阵列数；据此解答即可。 【解答】解：（4+4﹣1）×（4+4﹣1） ＝7×7 ＝49（人） 答：这个方阵一共有49人。 【点评】小莉所在列的人数就是这个方阵的行数，小莉所在行的人数就是这个方阵的列数，求出小莉所在行和列的总人数是解答本题的关键。 32．一个正方形广场，沿四周等距离栽树．四个顶点各栽一棵，每边栽了28棵，四周共栽了多少棵树？ 【答案】108． 【分析】求四周共栽了多少棵树，利用方阵最外层四周的点数＝每边的点数×4﹣4计算出最外层四周植树的棵数即可． 【解答】解：28×4﹣4 ＝112﹣4 ＝108（棵） 答：四周共栽了108棵树． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 33．五年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？ 【答案】64人。 【分析】先求出现在最外层每边的人数：（17+1）÷2＝9（人），然后根据“中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数”，求出原来准备参加健美操表演的人数即可。 【解答】解：（17+1）÷2 ＝18÷2 ＝9（人） （9﹣1）×（9﹣1） ＝8×8 ＝64（人） 答：原来准备参加健美操表演的有64人。 【点评】本题关键是求出现在每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。 34．同学们排成一个长方形的队伍做操，小丽站在从右数第3列，从左数第4列，从前数第7排，从后数第2排。这个队伍一共有多少人？ 【答案】48人。 【分析】根据题意可知，从前数第7排，从后数第2排，这样就把小丽多数了一次，再减去1就是每列的人数，即7+2﹣1＝8人；同样可以求出共有的列数，即3+4﹣1＝6列；然后列数与每列的人数相乘即可得出答案。 【解答】解：每列的人数：7+2﹣1＝8（人） 列数：3+4﹣1＝6（列） 所以总人数：8×6＝48（人） 答：这个队伍一共有48人。 【点评】解题的关键是找到列数和每列的人数，求列数和每列的人数时，把数重的人数减去，才能准确求出结果。 35．64名鼓号队员排成一个正方形方阵表演节目。表演完一个节目后，最外一圈的队员退场，剩下的队员不动。你知道还剩下多少名队员吗？ 【答案】36名。 【分析】64名鼓号队员排成一个正方形方阵表演节目，64＝8×8，所以每边有8人，最外一圈的队员退场，剩下的队员不动，那么每边就有8﹣2＝6人，然后再进一步解答即可。 【解答】解：64＝8×8，所以每边有8人， （8﹣2）×（8﹣2） ＝6×6 ＝36（名） 答：还剩下36名队员。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。 36．在一个正方形的操场周围插彩旗，如果四个角都插上一面，要使每边有7面彩旗．一共要插多少面彩旗？ 【答案】24面． 【分析】此题可以看做是一个空心方阵问题，已知每边点数是7，求四周的点数，利用四周点数＝每边点数×4﹣4即可解决问题． 【解答】解：7×4﹣4 ＝20﹣4 ＝24（面） 如图： 答：要准备24面彩旗． 【点评】此类问题可归属到求空心方阵的四周点数问题，利用四周点数计算公式即可解决． 37．运动会上，四年级同学组成了四个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人。每个方阵最外面一圈的同学穿黄色表演服，其余同学穿红色表演服，这两种颜色的表演服各多少件？ 【答案】黄色表演服80件，红色表演服64件。 【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈穿黄色表演服的人数；再和每个方队的总人数相减求出穿红色表演服的人数。 最后再用每个方队中红、黄的衣服人数分别乘4，求出4个方队中两种颜色的表演服的件数即可。 【解答】解：每个方队的总人数：6×6＝36（人） 6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（人） 36﹣20＝16（人） 20×4＝80（件） 16×4＝64（件） 答：黄色表演服80件，红色表演服64件。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 38．为了庆祝国庆，在广场上摆花，共摆成6个方阵，每个方阵摆成8行，每行摆8盆花。最外圈的是黄花，其余的是红花。要准备两种颜色的花各多少盆？ 【答案】黄花需要168盆，红花需要216盆。 【分析】用8乘8求出每个方阵的总盆数，然后用8×4减去4求出最外圈黄花的盆数；再和每个方阵的总盆数相减求出红花的盆数。最后再用每个方阵中两种花的盆数分别乘6即可。 【解答】解：8×8＝64（盆） 黄花：8×4﹣4 ＝32﹣4 ＝28（盆） 28×6＝168（盆） 红花：64﹣28＝36（盆） 36×6＝216（盆） 答：黄花需要168盆，红花需要216盆。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 39．小红用1元的硬币摆了一个正方形方阵，最外层每边都有6枚硬币．最外层一共有多少枚硬币？ 【答案】见试题解答内容 【分析】最外层每边都有6枚硬币，要求最外层一共有多少枚硬币，根据最外层点数＝每边点数×4﹣4；代入数据即可解答． 【解答】解：6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（枚） 答：最外层一共有20枚硬币． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 40．团体操表演，排成5个方队。每个方队排成5行，每行有5人。如果每个方队最外圈的同学穿红衣服，其余同学穿黄衣服。一共要准备这两种颜色的衣服各多少套？ 【答案】需要准备黄色衣服45套，红色衣服80套。 【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”求出5个方队穿红衣服的人数；然后根据“总点数＝每边点数×每边点数”求出5个方队的总人数，再作差即可。 【解答】解：5×4﹣4 ＝20﹣4 ＝16（人） 16×5＝80（套） 5×5×5﹣80 ＝125﹣80 ＝45（套） 答：需要准备黄色衣服45套，红色衣服80套。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 41．一个正方形的活动场地，在它的四周插上彩旗（四个角都插）．每条边上插8面．一共要插多少面？（先画一画，再算一算） 【答案】见试题解答内容 【分析】利用方阵最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4计算出最外层四周的面数即可．画图时，先在每条边上画8面，去掉顶点上的一面，每7面一组即可． 【解答】解： （8﹣1）×4 ＝7×4 ＝28（面） 答：每条边上插8面．一共要插28面． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4的灵活应用． 42．运动会开幕式，五年级代表队站成一个方阵，这个方阵的外层每边是9人．最外层共站了多少人？这个方阵共有多少人？ 【答案】32，81． 【分析】最外层的人数就等于外层每边的人数乘4，其中四个角上的人计算了两次，需要减去；方阵的总人数等于外层每边人数的平方． 【解答】解：最外层的人数： 4×9﹣4 ＝36﹣4 ＝32（人） 方阵总人数： 9×9＝81（人） 答：最外层共站了32人．这个方阵共有81人． 【点评】本题主要考查了方阵问题，需要学生熟记方阵问题中方阵每边人数与四周人数的关系以及方阵的总人数的关系，并能灵活运用． 43．阳光公园有一块正方形的花坛，工人在四周种上树，每边种20棵，且四个顶点各种一棵，每相邻两棵树之间的距离是4米，这个正方形花坛的周长是多少米？ 【答案】304米。 【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”求出四周的间隔数，植树的棵数＝间隔数，然后再乘间距就是这个正方形鱼花坛的周长是多少米。 【解答】解：20×4﹣4 ＝80﹣4 ＝76（个） 76×4＝304（米） 答：这个正方形花坛的周长是304米。 【点评】此题属于封闭图形植树问题，公式是：植树棵数＝间隔数，间隔数＝间隔总长÷间隔距离。 44．四年级同学参加学校运动会开幕式表演，共排成4个方队，每个方队排成6行，每行6人．最外圈的同学举彩旗，其余同学举花束．举彩旗的同学一共有多少人？举花束的呢？ 【答案】见试题解答内容 【分析】如图是每个方阵的情况，用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈举彩旗的人数，然后再乘4，就是举彩旗的同学一共有多少人；再用每个方队的总人数相减求出举彩旗的人数，求出每个方阵中举花束的人数，再乘4，就是举花束的一共有多少人． 【解答】解： 6×6＝36（人） 6×4﹣4＝20（人） 20×4＝80（人） （36﹣20）×4 ＝16×4 ＝64（人） 答：举彩旗的同学一共有80人，举花束的有64人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 45．四年级同学举行体操表演，共组成6个方队，每个方队排成5行，每行5人。最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿蓝色运动服。要准备两种颜色的运动服各多少套？（先画图表示1个方队的队列，再计算） 【答案】 红色运动服96套，蓝色运动服54套。 【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”求出每个方队穿红色运动服的套数，再乘6即可；然后再根据“总点数＝每边点数×每边点数”进一步解答即可。 【解答】解： 5×4﹣4 ＝20﹣4 ＝16（人） 16×6＝96（套） （5×5﹣16）×6 ＝9×6 ＝54（套） 答：要准备红色运动服96套，蓝色运动服54套。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 46．同学们排成一个方阵进行广播操表演，红红的前、后、左、右各有2名同学，这个方阵一共有多少名同学？ 【答案】25名。 【分析】根据红红的前、后、左、右各有2名同学，说明红红处在方队的中心，也就是说此方阵每行每列都有：2+2+1＝5（名），然后即可求出总人数。 【解答】解：2+2+1＝5（名） 5×5＝25（名） 答：这个方阵一共有25名同学。 【点评】此题考查了方阵问题中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用，关键是根据行、列排列特点求出每边人数。 47．庆祝元旦的会场前摆设了一个正方形的鲜花方阵，最外层每边摆12盆黄花，其余部分都是红花，黄花一共有多少盆？红花一共有多少盆？ 【答案】44盆，100盆。 【分析】方阵中每行、每列的数量都相等，最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4，由此求出最外层的盆数，再根据“总点数＝每边点数×每边点数”解答即可。 【解答】解：12×4﹣4 ＝48﹣4 ＝44（盆） 12×12﹣44 ＝144﹣44 ＝100（盆） 答：黄花一共有44盆，红花一共有100盆。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$