小升初典型奥数：方阵问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

方阵问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题． 数量关系： （1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数＝（每边人数﹣1）×4 每边人数＝四周人数÷4+1 （2）方阵总人数的求法： 实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数 空心方阵：总人数＝（外边人数）2﹣（内边人数）2 内边人数＝外边人数﹣层数×2 （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数＝（每边人数﹣层数）×层数×4． 第二部分 典型例题 例题1：在区运会中，有18个单位参加了开幕式方阵展示活动。每个单位一个方阵，每个方阵长8m，前后两个方阵间隔5m。方阵展示队伍一共有多长？ 【答案】229米。 【分析】有18个单位参加了开幕式方阵展示活动，先计算出18个方阵的总长度；前后两个方阵间隔5m，有这样的17个间隔长度，用17乘5求出17个间隔的长度，再加上18个方阵的总长度，据此解答。 【解答】解：18×8＝144（米） 5×（18﹣1） ＝5×17 ＝85（米） 144+85＝229（米） 答：方阵展示队伍一共有229米长。 【点评】掌握方阵问题的解决方法是解题的关键。 例题2：琳琳做课间操时观察自己班级队伍，恰好是一个长方形。每横排有8位同学，而自己站在一竖列的最后一个，她前面有5个同学，你知道她的班级一共有多少位同学吗？ 答：玲玲的班级一共有 　48　位同学。 【答案】48。 【分析】自己站在一竖列的最后一个，她前面有5个同学，一共有6排，每横排有8位同学，据此用乘法解答即可。 【解答】解：8×（5+1） ＝8×6 ＝48（位） 答：玲玲的班级一共有48位同学。 故答案为：48。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。 例题3：笑笑所在的体操队的同学刚好排成6行的长方形队伍，每行的人数相同，其中笑笑的左边有3人，右边有5人。这个体操队有多少人？ 【答案】54人。 【分析】先求一行共有多少人，用笑笑左边的人数加上笑笑右边的人数，再加上笑笑1人就是每行的人数；然后再乘行数即可。 【解答】解：3+5+1＝9（人） 6×9＝54（人） 答：这个体操队有54人。 【点评】解答本题关键是确定三部分的人数之间的关系；注意不要漏了笑笑自己。 例题4：在学校举办的运动会上，四年级一班的同学排成一个方队走过主席台。每个方队排成6行，每行6人。最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿白色运动服，一共要准备两种颜色的运动服各多少套？ 【答案】红色：20套；白色：16套。 【分析】每个方队的最外层一共有4个边，每边有6人，根据乘法的意义求出一共多少人，由于顶点的人数都被重复计算了一次，所以需要减去重复计算的4个顶点的人数，也就是每个方队穿红色运动服的人数，也就是红色运动服需要准备的套数；根据乘法的意义，求出每个方队一共有多少人，再减去最外层的人数，就是需要穿白色运动服的人数，也就是白色运动服需要准备的套数。 【解答】解：6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（人） 6×6＝36（人） 36﹣20＝16（人） 答：一共要准备红色运动服20套，白色运动服16套。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 第三部分 高频真题 1．在一次列队训练中，乐乐的东面有4个人，南面有3个人，西面有4个人，北面有5个人。这个方阵一共有多少人？ 2．同学们做早操，小刚站在左起第6列，右起第12列；从前面数是第7个，从后面数是第13个．如果每列的人数同样多，每行的人数也同样多，则一共有多少个同学在做早操？ 3．刘叔叔在正方形鱼塘边上栽树，每边等距离栽树10棵（四个角都有栽树），每相邻两棵树之间相距5m．这个正方形鱼塘的周长是多少米？ 4．庆祝节日，工人叔叔把两种颜色的鲜花摆成了3个6×6的方阵．最外圈用红色的鲜花，其余用黄色的鲜花．一共要准备两种颜色的鲜花各多少盆？（先画图表示一个方阵，再解答．） 5．在英才小学运动会上的团体操表演中，高年级的参演学生排成了一个方阵，方阵最外面一层共有28名同学，整个方阵一共有多少名学生？ 6．小红用1元的硬币摆了一个正方形方阵，最外层每边都有6枚硬币．最外层一共有多少枚硬币？ 7．小猪家周围有一个正方形果树园，每条边种36棵果树（顶点不种），小兔家周围有一个六边形果树园，将小猪家的这些果树种到小兔家果园，每条边（顶点不种）要种多少棵果树？ 8．新明小学举行团体操表演，同学们组成了4个方阵，每个方阵都是18列，每列都是25人。参加团体操表演的一共有多少人？ 9．同学们做早餐，排成一个长方形的矩阵，从前、后数，小明都是第8个，从左、右数，小明都是第5个，这个长方形的矩阵共有多少人？ 10．同学们排成了一个方阵进行体操表演，最外层每边各有10人，最外层一共有多少人？ 11．为推动阳光体育运动，营造积极向上、健康文明的校园体育氛围，实验小学举行了春季阳光体育运动会。四年级同学参加了运动会开幕式表演，共排成4个方队，每个方队排成6行，每行6人。最外圈的同学举彩旗，其余同学举花束。举彩旗的同学一共有多少人？举花束的呢？ 12．四年级学生排成一个正方形的体操队形，最外层每边18人．最外层一共有多少人？这个体操队形里一共有学生多少人？ 13．希望小学五年级同学进行体操表演，排成一个方阵后，最外一层有80人，这个方阵一共有多少人？ 14．晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个．这个方阵最外层共用围棋子多少个？ 15．四年级同学举行体操表演，共组成6个方队，每个方队排成5行，每行5人。最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿蓝色运动服。要准备两种颜色的运动服各多少套？（先画图表示1个方队的队列，再计算） 16．五年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？ 17．有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？ 18．丘珊用围棋子摆了一个方阵，摆这个方阵一行一列共用17颗棋子．她摆这个方阵共用了多少颗棋子？ 19．为迎接“六一”儿童节，学校举行团体操表演。五年级学生排成下面的方阵，最外层每边站15名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 20．在2019年举行的庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵中，空降兵方队、武警方队、预备役方队和女民兵方队各有350名队员和两名领队。这四个方队一共有多少人？ 21．阳光小学全部学生排成方阵表演团体操，最外层每边站21名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 22．四年级某班参加运动会人场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问方阵最外层每边的人数是多少？这个方阵共有多少人？ 23．四年级团体操队员排成了一个正方形的方阵进行训练，后因服装不够，正式表演时横排、竖排各去掉一排，一共去掉了25人。原来一共有多少名队员参加训练？ 24．在学校教学楼前用若干盆花摆放3个方阵，每个方阵摆成6排，每排6盆。最外层摆红花，其余为黄花。一共要准备两种颜色的花各多少盆？（先画图表示出1个方阵的排列，再计算） 25．一个正方形花坛四周均匀地栽了416株牡丹花，4个角上各栽了一株，正方形花坛的每条边上栽了多少株牡丹花？ 26．五年级学生排成一个正方形的体操队形，最外层每边16人．最外层一共有多少人？这个体操队形里一共有多少人？ 27．同学们参加学校团体操比赛，四年级的队伍正好排成正方形，每边25人，最外层共多少人？ 28．庆祝元旦的会场前摆放了一个每边有12盆鲜花的方阵，只有最外层摆放的是黄花． （1）一共摆放了多少盆花？ （2）黄花摆放了多少盆？ 29．在一个大型广场上，某部队战士正排着整齐的队伍认真训练着．指导员告诉我们：这个方队的每排人数和排数均为两位数．请你回答下列问题： （1）方队最少有多少人？ （2）这个方队最多有多少人？ （3）这个方队可能有12596人吗？ 30．一个正方形的活动场地，在它的四周插上彩旗（四个角都插）．每条边上插8面．一共要插多少面？（先画一画，再算一算） 31．一个正方形花坛四周均匀地栽了424棵牡丹，4个角上各栽了1棵，每边有多少棵牡丹？ 32．运动会上，四年级同学组成了四个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人。每个方阵最外面一圈的同学穿黄色表演服，其余同学穿红色表演服，这两种颜色的表演服各多少件？ 33．二年级同学参加合唱表演，现在有55个同学参加表演，至少增加几个同学就能排成正方形的队形？（简单的方阵问题） 34．王大爷承包了一个边长为120m的正方形鱼塘．他决定在鱼塘四周每隔6m种1棵杨树（四个角上各种1棵）．他买来了84棵树苗，够吗？（用计算说明） 35．学校举行艺术节队列表演，共4个方队，每个方队排成6行，每行6人．最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿蓝色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？（先画图表示一个方队的队列，再计算） 36．红星小学举行队列比赛时，五年级四个班排成了一个大型的方阵，最外层一周的人数为64人，方阵外层每边有多少人？这个方阵队列一共有多少人？ 37．同学们排队跳舞，排成一个方阵，每行、每列的人数同样多。小莉同学无论从前数还是从后数，从左数还是从右数，她都是排在第4个，那么，这个方阵一共有多少人？ 38．五年级同学参加田径运动会开幕式演出，表演方阵最外层每排16人，这个方阵最外层一共有多少人？ 39．学校举行队列表演，一共有12个方队，每个方队排成6行，每行6人，最外圈的同学持花束，其余同学手持彩旗．手持花束和手持彩旗的同学各有多少人？ 40．实验小学六一儿童节彩排节目时，一共安排了6个同样的方队进行队列表演，赵阳同学站在其中一个方队的最中间一列，最中间一行，他的位置在这个方队中用数对表示是（5，5）。现在每个方队最外圈的同学穿红色T恤，其余同学穿黄色T恤。学校一共要准备两种颜色的T恤各多少套？ 41．学校舞蹈队64人排成方阵，最外层的队员都要手持鲜花，一共要准备多少束鲜花？后来队形变换成长方形，每排16人，这时要准备多少束鲜花？ 42．“六一儿童节”前夕，实验小学校园里用144盆鲜花摆成一个方阵花坛。最外层一共有多少盆鲜花？ 43．体育老师在正方形的场地四周共放36个足球，已知四个顶点都放了1个足球，且每边上足球的个数相同．求这个场地每边放足球的个数． 44．学校运动会的开幕式上，小龙班上的同学组成了一个方阵．在方阵中，小龙的东、南、西、北四个方向各有3个人．你知道这个方阵有多少人吗？算一算吧！ 45．阳光公园有一块正方形的花坛，工人在四周种上树，每边种20棵，且四个顶点各种一棵，每相邻两棵树之间的距离是4米，这个正方形花坛的周长是多少米？ 46．国庆阅兵展现了国家力量，某连队排成一个正方形的队伍．方队中，新兵王明无论从前数，从后数，还是从左数，从右数，都在第5个，这个方队一共有多少人？ 47．有一批正方形的地砖，排成一个大正方形后余下32块，如果将它改排成每边比原来多一块的大正方形后，就要差49块，问这批砖原来有多少块？ 48．为了庆祝国庆，在广场上摆花，共摆成6个方阵，每个方阵摆成8行，每行摆8盆花。最外圈的是黄花，其余的是红花。要准备两种颜色的花各多少盆？ 参考答案与试题解析 1．在一次列队训练中，乐乐的东面有4个人，南面有3个人，西面有4个人，北面有5个人。这个方阵一共有多少人？ 【答案】81人。 【分析】根据题意可知，乐乐东面的人数加上西面的人数，再加上1，就是每行的人数，同样可以求出每列的人数；然后每行与每列的人数相乘即可得出答案。 【解答】解：每行的人数：4+4+1＝9（人） 每列的人数：3+5+1＝9（人） 总人数：9×9＝81（人） 答：这个方阵一共有81人。 【点评】解题的关键是找到每行和每列的人数，求每行和每列的人数时，因为乐乐自己没加上，所以还要加1，才能准确求出结果。 2．同学们做早操，小刚站在左起第6列，右起第12列；从前面数是第7个，从后面数是第13个．如果每列的人数同样多，每行的人数也同样多，则一共有多少个同学在做早操？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，左数的人数加上右数的人数，这样就把小刚多数了一次，再减去1就是每行的人数，同样可以求出每列的人数；然后每行与每列的人数相乘即可得出答案． 【解答】解：每行的人数：6+12﹣1＝17（人）， 每列的人数：7+13﹣1＝19（人）， 所以总人数：17×19＝323（人）； 答：一共有323个同学在做早操． 【点评】解题的关键是找到每行和每列的人数，求每行和每列的人数时，把数重的人数减去，才能准确求出结果． 3．刘叔叔在正方形鱼塘边上栽树，每边等距离栽树10棵（四个角都有栽树），每相邻两棵树之间相距5m．这个正方形鱼塘的周长是多少米？ 【答案】180米. 【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”求出鱼塘四周的间隔数，植树的棵数＝间隔数，然后再乘间距就是这个正方形鱼塘的周长是多少米. 【解答】解：10×4﹣4 ＝40﹣4 ＝36（个） 36×5＝180（米） 答：这个正方形鱼塘的周长是180米. 【点评】此题考查了方阵问题中最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 4．庆祝节日，工人叔叔把两种颜色的鲜花摆成了3个6×6的方阵．最外圈用红色的鲜花，其余用黄色的鲜花．一共要准备两种颜色的鲜花各多少盆？（先画图表示一个方阵，再解答．） 【答案】见试题解答内容 【分析】用6乘6求出每个方阵的总盆数，然后用6×4减去4求出最外圈红色鲜花的盆数，再和每个方阵的总盆数相减求出黄色鲜花的盆数．最后再求3个方阵中两种颜色的盆数；据此画图解答即可． 【解答】解：画图如下， 6×6＝36（盆） 4×6﹣4＝20（盆） 36﹣20＝16（盆） 20×3＝60（盆） 16×3＝48（盆） 答：一共要准备红色鲜花60盆，黄色鲜花48盆． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 5．在英才小学运动会上的团体操表演中，高年级的参演学生排成了一个方阵，方阵最外面一层共有28名同学，整个方阵一共有多少名学生？ 【答案】64名。 【分析】根据题意，方阵最外层共有28名同学，最外层每条边上4个点上的人员是重复的，即最外层人数＝每边人数×4﹣4，代入数据先求出每边的人数，再根据实心方阵总人数＝每边人数×每边人数，代入数据求解即可。 【解答】解：（28+4）÷4 ＝32÷4 ＝8（名） 8×8＝64（名） 答：整个方阵一共有64名学生。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 6．小红用1元的硬币摆了一个正方形方阵，最外层每边都有6枚硬币．最外层一共有多少枚硬币？ 【答案】见试题解答内容 【分析】最外层每边都有6枚硬币，要求最外层一共有多少枚硬币，根据最外层点数＝每边点数×4﹣4；代入数据即可解答． 【解答】解：6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（枚） 答：最外层一共有20枚硬币． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 7．小猪家周围有一个正方形果树园，每条边种36棵果树（顶点不种），小兔家周围有一个六边形果树园，将小猪家的这些果树种到小兔家果园，每条边（顶点不种）要种多少棵果树？ 【答案】24棵。 【分析】根据题意，正方形果树园，每条边种36棵果树（顶点不种），则4条边共有（36×4）棵树，将这些树种在六边形果树园，每条边（顶点不种）要种几棵，即将树平均分为6份，再除以6即可解答。 【解答】解：36×4＝144（棵） 144÷6＝24（棵） 答：每条边（顶点不种）要种24棵果树。 【点评】解答本题的关键是理解题意，根据题意先求出树的总棵数，再进一步解答，注意掌握正方形和六边形的特点。 8．新明小学举行团体操表演，同学们组成了4个方阵，每个方阵都是18列，每列都是25人。参加团体操表演的一共有多少人？ 【答案】1800人。 【分析】每个方阵都排成了18列25行，则每个方阵有25×18＝450（人），4个方阵有4个450人，即450×4；据此解答即可。 【解答】解：25×18×4 ＝450×4 ＝1800（人） 答：参加团体操表演的一共有1800人。 【点评】解答此题关键是明确“有18列25行”，求几个相同加数的和是多少，用乘法进行解答。 9．同学们做早餐，排成一个长方形的矩阵，从前、后数，小明都是第8个，从左、右数，小明都是第5个，这个长方形的矩阵共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，从前、后数，小明都是第8个，这样就把小明多数了一次，用8加8再减去1就是每列的人数，同样根据“从左、右数，小明都是第5个，”可以求出共有的列数；然后列数与每列的人数相乘即可得出答案． 【解答】解：（8+8﹣1）×（5+5﹣1） ＝15×9 ＝135（人） 答：这个长方形的矩阵共有135人． 【点评】解题的关键是找到列数和每列的人数，求列数和每列的人数时，把数重的人数减去，才能准确求出结果． 10．同学们排成了一个方阵进行体操表演，最外层每边各有10人，最外层一共有多少人？ 【答案】36人。 【分析】利用方阵最外层四周人数＝每边人数×4﹣4计算出最外层四周人数即可。 【解答】解：10×4﹣4 ＝40﹣4 ＝36（人） 答：最外层一共有36人。 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 11．为推动阳光体育运动，营造积极向上、健康文明的校园体育氛围，实验小学举行了春季阳光体育运动会。四年级同学参加了运动会开幕式表演，共排成4个方队，每个方队排成6行，每行6人。最外圈的同学举彩旗，其余同学举花束。举彩旗的同学一共有多少人？举花束的呢？ 【答案】举彩旗的同学一共有80人，举花束的有64人。 【分析】如解答中图，用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈举彩旗的人数，然后再乘4，就是举彩旗的同学一共有多少人；再用每个方队的总人数相减求出举彩旗的人数，求出每个方阵中举花束的人数，再乘4，就是举花束的一共有多少人；据此求解即可。 【解答】解：如图： 1个方阵人数为：6×6＝36（人） 1个方阵举彩旗的人数为： 6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（人） 4个方阵举彩旗的人数为：20×4＝80（人） 4个方阵举花束的人数为： （36﹣20）×4 ＝16×4 ＝64（人） 答：举彩旗的同学一共有80人，举花束的有64人。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 12．四年级学生排成一个正方形的体操队形，最外层每边18人．最外层一共有多少人？这个体操队形里一共有学生多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】最外层人数＝每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数；代入数据即可解答． 【解答】解：18×4﹣4 ＝72﹣4 ＝68（人） 18×18＝324（人） 答：最外层一共有68人，这个体操队形里一共有学生324人． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用． 13．希望小学五年级同学进行体操表演，排成一个方阵后，最外一层有80人，这个方阵一共有多少人？ 【答案】441人。 【分析】先根据每边的人数＝四周的人数÷4+1求出方阵外层每边有多少人，再根据方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数解答即可。 【解答】解：80÷4+1 ＝20+1 ＝21（人） 21×21＝441（人） 答：这个方阵一共有441人。 【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数。 14．晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个．这个方阵最外层共用围棋子多少个？ 【答案】52个． 【分析】利用方阵最外层四周点数＝每边点数×4﹣4计算出最外层四周人数即可． 【解答】解：14×4﹣4 ＝56﹣5 ＝52（个） 答：这个方阵最外层共用围棋子52个． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 15．四年级同学举行体操表演，共组成6个方队，每个方队排成5行，每行5人。最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿蓝色运动服。要准备两种颜色的运动服各多少套？（先画图表示1个方队的队列，再计算） 【答案】 红色运动服96套，蓝色运动服54套。 【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”求出每个方队穿红色运动服的套数，再乘6即可；然后再根据“总点数＝每边点数×每边点数”进一步解答即可。 【解答】解： 5×4﹣4 ＝20﹣4 ＝16（人） 16×6＝96（套） （5×5﹣16）×6 ＝9×6 ＝54（套） 答：要准备红色运动服96套，蓝色运动服54套。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 16．五年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？ 【答案】64人。 【分析】先求出现在最外层每边的人数：（17+1）÷2＝9（人），然后根据“中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数”，求出原来准备参加健美操表演的人数即可。 【解答】解：（17+1）÷2 ＝18÷2 ＝9（人） （9﹣1）×（9﹣1） ＝8×8 ＝64（人） 答：原来准备参加健美操表演的有64人。 【点评】本题关键是求出现在每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。 17．有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，需要2+5＝7人，去掉顶点1人，那么原来最外层每边的人数：（2+5﹣1）÷2＝3（人），然后根据“实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数”，求出原来方阵的人数，再加上2人求出有学生多少人即可． 【解答】解：（2+5﹣1）÷2＝3（人） 3×3+2＝11（人） 答：有学生11人． 【点评】本题关键是求出最外层每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数． 18．丘珊用围棋子摆了一个方阵，摆这个方阵一行一列共用17颗棋子．她摆这个方阵共用了多少颗棋子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】一行一列共用17颗棋子，那么每行每列就有（17+1）÷2＝9颗；那么根据实心方阵中总点数＝每边点数×每点人数；代入数据即可解答． 【解答】解：（17+1）÷2 ＝18÷2 ＝9（颗） 9×9＝81（颗） 答：她摆这个方阵共用了81颗棋子． 【点评】此题主要考查方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的计算应用． 19．为迎接“六一”儿童节，学校举行团体操表演。五年级学生排成下面的方阵，最外层每边站15名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 【答案】56名；225名。 【分析】最外层人数＝每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数；代入数据即可解答。 【解答】解：15×4﹣4 ＝60﹣4 ＝56（名） 15×15＝225（名） 答：最外层一共有56名学生；整个方阵一共有225名学生。 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。 20．在2019年举行的庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵中，空降兵方队、武警方队、预备役方队和女民兵方队各有350名队员和两名领队。这四个方队一共有多少人？ 【答案】1408人。 【分析】用每个方队的队员人数乘方队个数，求出队员总人数；用每个方队领队的人数乘方队个数，求出领队总人数；再相加求出总人数。 【解答】解：350×4＝1400（人） 2×4＝8（人） 1400+8＝1408（人） 答：这四个方队一共有1408人。 【点评】本题主要考查三位数乘一位数和万以内加法的计算及应用。 21．阳光小学全部学生排成方阵表演团体操，最外层每边站21名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 【答案】见试题解答内容 【分析】最外层人数＝每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数；代入数据即可解答． 【解答】解：21×4﹣4 ＝84﹣4 ＝80（名） 21×21＝441（名） 答：最外层一共有80名学生，整个方阵一共有441名学生． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用． 22．四年级某班参加运动会人场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问方阵最外层每边的人数是多少？这个方阵共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据公式：每边的人数＝四周的人数÷4+1可得：20÷4+1＝6（人）；再根据公式：中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，可得，6×6＝36（人）；据此解答． 【解答】解：20÷4+1＝6（人）； 6×6＝36（人）； 答：方阵最外层，每边6人，这个方阵共有36人． 【点评】本题关键是求出每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数． 23．四年级团体操队员排成了一个正方形的方阵进行训练，后因服装不够，正式表演时横排、竖排各去掉一排，一共去掉了25人。原来一共有多少名队员参加训练？ 【答案】169名。 【分析】根据题干，去掉一行一列共去掉了25人，那么原来的方阵的每边人数是（25+1）÷2＝13（名），据此利用每边人数×每边人数＝总人数解答即可。 【解答】解：（25+1）÷2 ＝26÷2 ＝13（名） 13×13＝169（名） 答：原来一共有169名队员参加训练。 【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数。 24．在学校教学楼前用若干盆花摆放3个方阵，每个方阵摆成6排，每排6盆。最外层摆红花，其余为黄花。一共要准备两种颜色的花各多少盆？（先画图表示出1个方阵的排列，再计算） 【答案】红花60盆，黄花48盆。 【分析】画图如下，先根据方阵总点数＝每边点数×每边点数，求出每个方阵的总盆数，再利用方阵最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4计算出最外层四周红花的盆数，然后作差求出黄花的盆数，再求出3个方阵两种颜色的花各多少盆即可。 【解答】解：1个方阵排列图如下： （6﹣1）×4 ＝5×4 ＝20（盆） 6×6﹣20 ＝36﹣20 ＝16（盆） 20×3＝60（盆） 16×3＝48（盆） 答：一共要准备红花60盆，准备黄花48盆。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4的灵活应用。 25．一个正方形花坛四周均匀地栽了416株牡丹花，4个角上各栽了一株，正方形花坛的每条边上栽了多少株牡丹花？ 【答案】105株。 【分析】每边株数＝四周株数÷4+1，据此解答。 【解答】解：416÷4+1 ＝104+1 ＝105（株） 答：正方形花坛的每条边上栽了105株牡丹花。 【点评】本题考查了方阵问题的应用。 26．五年级学生排成一个正方形的体操队形，最外层每边16人．最外层一共有多少人？这个体操队形里一共有多少人？ 【答案】60，256. 【分析】一个正方形的体操队形，最外层每边16人，一共4个边，用乘法计算，四个角上的学生重复计算了，需要减去；一共有16行，每行有16人，求一共多少人，用乘法计算。 【解答】解：16×4﹣4 ＝64﹣4 ＝60（人） 16×16＝256（人） 答：最外层一共有60人。这个体操队形里一共有256人。 【点评】本题主要考查了方阵问题，注意重复计数的部分需要减去。 27．同学们参加学校团体操比赛，四年级的队伍正好排成正方形，每边25人，最外层共多少人？ 【答案】96人。 【分析】根据最外层人数＝每边人数×4﹣4，代入数据即可解答即可。 【解答】解：25×4﹣4 ＝100﹣4 ＝96（人） 答：最外层一共有96人。 【点评】此题考查了方阵问题中“最外层点数＝每边点数×4﹣4”计算公式的灵活应用。 28．庆祝元旦的会场前摆放了一个每边有12盆鲜花的方阵，只有最外层摆放的是黄花． （1）一共摆放了多少盆花？ （2）黄花摆放了多少盆？ 【答案】（1）144盆；（2）44盆． 【分析】（1）求一共摆放了多少盆花，根据方阵总点数＝每边点数×每边点数解答即可； （2）求黄花摆放了多少盆，根据最外层四周点数＝每边点数×4﹣4解答即可． 【解答】解：（1）12×12＝144（盆） 答：一共摆放了144盆花． （2）12×4﹣4 ＝48﹣4 ＝44（盆） 答：黄花摆放了44盆． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 29．在一个大型广场上，某部队战士正排着整齐的队伍认真训练着．指导员告诉我们：这个方队的每排人数和排数均为两位数．请你回答下列问题： （1）方队最少有多少人？ （2）这个方队最多有多少人？ （3）这个方队可能有12596人吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）这个方队的每排人数和排数均为两位数，要求最少人数，则每排人数和排数均为10； （2）要求最多人数，则每排人数和排数均为99； （3）用这个方队最多的人数与12596比较即可得解． 【解答】解：（1）10×10＝100（人） 答：方队最少有100人． （2）99×99＝9801（人） 答：这个方队最多有9801人． （3）9801＜12596 答：这个方队不可能有12596人． 【点评】此题考查了最大最小数的求法，明确两位数中最大数和最小数是关键． 30．一个正方形的活动场地，在它的四周插上彩旗（四个角都插）．每条边上插8面．一共要插多少面？（先画一画，再算一算） 【答案】见试题解答内容 【分析】利用方阵最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4计算出最外层四周的面数即可．画图时，先在每条边上画8面，去掉顶点上的一面，每7面一组即可． 【解答】解： （8﹣1）×4 ＝7×4 ＝28（面） 答：每条边上插8面．一共要插28面． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4的灵活应用． 31．一个正方形花坛四周均匀地栽了424棵牡丹，4个角上各栽了1棵，每边有多少棵牡丹？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”可得：（最外层四周点数+4）÷4＝每边点数，据此解答即可． 【解答】解：（424+4）÷4 ＝428÷4 ＝107（棵） 答：每边有107棵牡丹． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 32．运动会上，四年级同学组成了四个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人。每个方阵最外面一圈的同学穿黄色表演服，其余同学穿红色表演服，这两种颜色的表演服各多少件？ 【答案】黄色表演服80件，红色表演服64件。 【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈穿黄色表演服的人数；再和每个方队的总人数相减求出穿红色表演服的人数。 最后再用每个方队中红、黄的衣服人数分别乘4，求出4个方队中两种颜色的表演服的件数即可。 【解答】解：每个方队的总人数：6×6＝36（人） 6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（人） 36﹣20＝16（人） 20×4＝80（件） 16×4＝64（件） 答：黄色表演服80件，红色表演服64件。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 33．二年级同学参加合唱表演，现在有55个同学参加表演，至少增加几个同学就能排成正方形的队形？（简单的方阵问题） 【答案】9个． 【分析】排成正方形的队形，那么每行、每列的人数都相等，想乘积稍大于55，且两个乘数相同的乘法口诀“八八六十四”，可知方队的总人数是64人，再减去已有的55人，就是需要增加的人数． 【解答】解：8×8＝64（个） 64﹣55＝9（个） 答：至少增加9个同学就能排成正方形的队形． 【点评】解决本题先理解正方形队形的含义，根据乘法口诀求出总人数，再根据减法的意义求解． 34．王大爷承包了一个边长为120m的正方形鱼塘．他决定在鱼塘四周每隔6m种1棵杨树（四个角上各种1棵）．他买来了84棵树苗，够吗？（用计算说明） 【答案】见试题解答内容 【分析】正方形鱼塘边长为120米，每隔6米种一棵，看成两端都种的植树问题，那么每个边就可以种120÷6+1＝21棵，先用21乘4，求出4条边一共有21×4＝84棵，由于四个顶点都种有1棵，4个顶点重复计算了一次，实际上四周共栽84﹣4＝80棵树，再与84棵比较即可求解． 【解答】解：120÷6+1＝21（棵） 21×4﹣4 ＝84﹣4 ＝80（棵） 80＜84 答：他买来了84棵树苗，够了． 【点评】此题考查了方阵问题和沿封闭图形栽树问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 35．学校举行艺术节队列表演，共4个方队，每个方队排成6行，每行6人．最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿蓝色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？（先画图表示一个方队的队列，再计算） 【答案】见试题解答内容 【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈穿红色运动服的人数，再和每个方队的总人数相减求出穿蓝色运动服的人数．最后再求4个方队中两种颜色的运动服的套数；据此画图即可． 【解答】解：画图如下， 6×6＝36（套） 4×6﹣4＝20（套） 36﹣20＝16（套） 20×4＝80（套） 16×4＝64（套） 答：一共要准备红色运动服80套，蓝色运动服64套． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 36．红星小学举行队列比赛时，五年级四个班排成了一个大型的方阵，最外层一周的人数为64人，方阵外层每边有多少人？这个方阵队列一共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】方阵问题中，最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4，则最外层每边点数＝最外层四周点数÷4+1，再根据实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数，由此代入数据即可解答． 【解答】解：64÷4+1＝17（人） 17×17＝289（人） 答：方阵外层每边有17人．这个方阵队列一共有289人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 37．同学们排队跳舞，排成一个方阵，每行、每列的人数同样多。小莉同学无论从前数还是从后数，从左数还是从右数，她都是排在第4个，那么，这个方阵一共有多少人？ 【答案】49人。 【分析】小莉同学无论从前数还是从后数，从左数还是从右数，她都是排在第4个，由此可得小莉所在的行有4+4﹣1＝7（人），小莉所在的列有4+4﹣1＝7（人），这是一个7行、7列的方阵，方阵总人数＝方阵行数×方阵列数；据此解答即可。 【解答】解：（4+4﹣1）×（4+4﹣1） ＝7×7 ＝49（人） 答：这个方阵一共有49人。 【点评】小莉所在列的人数就是这个方阵的行数，小莉所在行的人数就是这个方阵的列数，求出小莉所在行和列的总人数是解答本题的关键。 38．五年级同学参加田径运动会开幕式演出，表演方阵最外层每排16人，这个方阵最外层一共有多少人？ 【答案】60人。 【分析】方阵最外层四个角上的4人是重复计数的，因此用每排的人数乘4，再减去重复计数的4人即可求出最外层的人数。 【解答】解：16×4﹣4 ＝64﹣4 ＝60（人） 答：这个方阵最外层一共60人。 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 39．学校举行队列表演，一共有12个方队，每个方队排成6行，每行6人，最外圈的同学持花束，其余同学手持彩旗．手持花束和手持彩旗的同学各有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈持花束的人数，再和每个方队的总人数相减求出持彩旗的人数．最后再求12个方队中手持花束和手持彩旗的同学人数；据此解答即可． 【解答】解：6×6＝36（人） 4×6﹣4＝20（人） 36﹣20＝16（人） 20×12＝240（人） 16×12＝192（人） 答：手持花束的有240人，手持彩旗的有192人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 40．实验小学六一儿童节彩排节目时，一共安排了6个同样的方队进行队列表演，赵阳同学站在其中一个方队的最中间一列，最中间一行，他的位置在这个方队中用数对表示是（5，5）。现在每个方队最外圈的同学穿红色T恤，其余同学穿黄色T恤。学校一共要准备两种颜色的T恤各多少套？ 【答案】红色T恤192套，黄色T恤294套。 【分析】根据下图可知，赵阳所在的方队是9行9列的方队，方队最外圈有（9﹣1）×4＝32（个）同学，里面有（9﹣2）×（9﹣2）＝49（个）同学，所以每个方队穿红色T恤的有32人，穿黄色T恤的有49人，一共有6个同样的方队，故红色T恤要准备32×6＝192（套），黄色T恤要准备49×6＝294（套），据此即可解答。 【解答】解：赵阳同学站在其中一个方队的最中间一列，最中间一行，他的位置在这个方队中用数对表示是（5，5），所以这个方队是一个9行9列的方队。 （9﹣1）×4×6 ＝32×6 ＝192（套） （9﹣2）×（9﹣2）×6 ＝49×6 ＝294（套） 答：学校要准备红色T恤192套，黄色T恤294套。 【点评】先判断出方队的行列数是解答本题的关键。 41．学校舞蹈队64人排成方阵，最外层的队员都要手持鲜花，一共要准备多少束鲜花？后来队形变换成长方形，每排16人，这时要准备多少束鲜花？ 【答案】28，36。 【分析】一共共有64人，排成方阵，由乘法口诀，可知，排成8行8列，要求需要准备多少束鲜花，就是求方阵最外层有多少人，根据四周人数＝（每边人数﹣1）×4，代入数值计算即可；队形变成长方形，先求出一共有多少排，用除法计算，然后将四边的人数相加，减去重复计算的四个角上的人数即可。 【解答】解：64÷8＝8（人） （8﹣1）×4 ＝7×4 ＝28（束） 答：一共要准备28束鲜花。 变换阵型后， 64÷16＝4（排） 16×2+4×2﹣4 ＝32+8﹣4 ＝40﹣4 ＝36（束） 答：这时要准备36束鲜花。 【点评】本题主要考查了方阵问题，能够熟记方阵问题中公式，并灵活运用，是本题解题的关键。 42．“六一儿童节”前夕，实验小学校园里用144盆鲜花摆成一个方阵花坛。最外层一共有多少盆鲜花？ 【答案】44盆。 【分析】方阵中每行、每列的数量都相等，144＝12×12，所以这个方阵的每行、每列都是12盆，最外层每边也是12盆；最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4，再由此求出最外层的盆数。 【解答】解：144＝12×12 所以最外层每边有鲜花12盆。 12×4﹣4 ＝48﹣4 ＝44（盆） 答：最外层一共有44盆鲜花。 【点评】本题考查了方阵的特点，以及最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 43．体育老师在正方形的场地四周共放36个足球，已知四个顶点都放了1个足球，且每边上足球的个数相同．求这个场地每边放足球的个数． 【答案】见试题解答内容 【分析】由于四个顶点都放了1个足球，4个顶点重复计算了一次，由此得出四周共有36+4＝40个，再除以4求得答案即可． 【解答】解：（36+4）÷4 ＝40÷4 ＝10（个） 答：这个场地每边放足球10个． 【点评】本题沿封闭图形栽树，用到的知识点是：总棵数＝每边种的棵数×4﹣4，或总棵数＝（每边种的棵数﹣1）×4． 44．学校运动会的开幕式上，小龙班上的同学组成了一个方阵．在方阵中，小龙的东、南、西、北四个方向各有3个人．你知道这个方阵有多少人吗？算一算吧！ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，小龙的东、南、西、北四个方向各有3个人．那么每行的人数和每列的人数都相等，即3+3+1＝7（人）；然后根据方阵问题中“总点数＝每边点数×每边点数”即可得出答案． 【解答】解：3+3+1＝7（人） 7×7＝49（人） 答：这个方阵有49人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用；关键是求出每行每列的人数． 45．阳光公园有一块正方形的花坛，工人在四周种上树，每边种20棵，且四个顶点各种一棵，每相邻两棵树之间的距离是4米，这个正方形花坛的周长是多少米？ 【答案】304米。 【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”求出四周的间隔数，植树的棵数＝间隔数，然后再乘间距就是这个正方形鱼花坛的周长是多少米。 【解答】解：20×4﹣4 ＝80﹣4 ＝76（个） 76×4＝304（米） 答：这个正方形花坛的周长是304米。 【点评】此题属于封闭图形植树问题，公式是：植树棵数＝间隔数，间隔数＝间隔总长÷间隔距离。 46．国庆阅兵展现了国家力量，某连队排成一个正方形的队伍．方队中，新兵王明无论从前数，从后数，还是从左数，从右数，都在第5个，这个方队一共有多少人？ 【答案】81人． 【分析】此题可以把这个方队看作一个实心方阵问题来解决：王明无论从前数，从后数，还是从左数，从右数，都在第5个（重复计算了一次），由此可知：王明所在的行与列的人数都是5+5﹣1＝9人，利用方阵的总点数＝每边点数×每边点数，即可求得方队人数． 【解答】解：5+5﹣1＝9（人） 9×9＝81（人） 答：这个方队共有81人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用． 47．有一批正方形的地砖，排成一个大正方形后余下32块，如果将它改排成每边比原来多一块的大正方形后，就要差49块，问这批砖原来有多少块？ 【答案】见试题解答内容 【分析】改拼成一个每边比原来多一块的正方形，缺49块，所以32+49＝81（块）正好拼满在首次拼成的大正方形的相邻两边周围，再减去相邻两边1个角上的地砖，等于首次拼成的大正方形边长的2倍，所以首次拼成的大正方形每边地砖数：（32+49﹣1）÷2＝40（块）．这批砖共有40×40+32，计算解决问题． 【解答】解：原大正方形每边地砖有： （32+49﹣1）÷2 ＝80÷2 ＝40（块） 这批砖原来有： 40×40+32 ＝1600+32 ＝1632（块） 答：这批砖原来有1632块． 【点评】解决此题的关键是求出首次拼成的大正方形每边地砖数，然后求出这批砖的数量． 48．为了庆祝国庆，在广场上摆花，共摆成6个方阵，每个方阵摆成8行，每行摆8盆花。最外圈的是黄花，其余的是红花。要准备两种颜色的花各多少盆？ 【答案】黄花需要168盆，红花需要216盆。 【分析】用8乘8求出每个方阵的总盆数，然后用8×4减去4求出最外圈黄花的盆数；再和每个方阵的总盆数相减求出红花的盆数。最后再用每个方阵中两种花的盆数分别乘6即可。 【解答】解：8×8＝64（盆） 黄花：8×4﹣4 ＝32﹣4 ＝28（盆） 28×6＝168（盆） 红花：64﹣28＝36（盆） 36×6＝216（盆） 答：黄花需要168盆，红花需要216盆。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$