河南省郑州外国语学校2025届高三上学期调研考试（五）数学试卷

第 1页，共 4页 郑州外国语学校 2025 届高三调研考试试卷（五） 数 学 （120 分钟 150 分） 一、单选题（本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合    0,1,2,3 , 2 2 ,xA B y y x x A     ，则 A B  （ ） A． 1,2 B． 0,1,3 C． 1,2,3 D． 0,1,2 2.已知复数    2 4 2i i 1 i z a a    R 是实数，则 a （ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 3．设 a  ，b  为非零向量，则“ a b a b      ”是“ a  与b  共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知 6 π 5π3sin cos , 5 3 6       ，则 cos （ ） A． 3 4 3 10  B． 3 4 3 10  C． 3 3 4 10  D． 3 3 4 10  5．已知函数    3 2lg 1f x x x x    ，若当 0, 2      时，    2sin 4 sin 0f t f t    恒成 立，则实数 t的取值范围是（ ） A． 10, 4       B． 1, 5      C． 1 , 4      D． 1 , 5      6.定义在R 上的奇函数  f x ，且对任意实数 x 都有   3 0 2 f x f x        ，   12024 e f  ．若     0f x f x   ，则不等式   11 ex f x  的解集是（ ） A.  3, B.  ,3 C.  1, D.  ,1 第 2页，共 4页 7已知 0,a b R ，若关于 x的不等式    22 8 0ax x bx    在  0,  上恒成立，则 4b a  的最小值是（ ） A. 4 B. 4 2 C. 8 D. 8 2 8.已知  1 1,A x y ，  2 2,B x y 是圆 2 2 9x y  上的两个动点，且 1 2 1 2 9 2 x x y y   ，若点M 满足 2AM MB   ，点 P在直线 3 4 3 0x y   上，则 MP 的最小值为（ ） A. 4 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 3 二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，．在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求的．全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0分） 9.已知向量 (3, 4)a    ， (2,1)b   ，则（ ） A. 2 ( 1, 6)a b     B. | | 34a b   C.与向量 a平行的单位向量为 3 4, 5 5 a        D.向量 a在向量 b  上的投影向量为 2 5 b  10．已知函数   πsin ( 0) 3 f x x        在区间 0,π 上有且仅有 3个对称中心，则下列说 法不正确的是（ ） A．  f x 在区间  0,π 上至多有 3条对称轴 B． 的取值范围是 11 14, 3 3     C．  f x 在区间 π0, 22       上单调递增 D．  f x 的最小正周期可能为 π 2 11．如图，点 P是棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的表面上一个动 点， F是线段 1 1AB 的中点，则（ ） A．若点 P满足 1AP BC ，则动点 P的轨迹长度为 4 2 B．三棱锥 1 1A PB D 体积的最大值为 16 3 C．当直线 AP与 AB所成的角为 45时，点 P的轨迹长度为 π 4 2 第 3页，共 4页 D．当 P在底面 ABCD上运动，且满足 / /PF 平面 1 1BCD 时，线段 PF长度最大值为 2 2 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.已知函数 e ( ) 1x mxf x x   是偶函数，则m  __________． 13.在 ABC 中，已知 · 9AB AC    ， sin cos sinB A C ， 6ABCS  ， P为线段 AB上的点， 且 CA CBCP x y CA CB       ，则 2 1 4 2 y x y   的最小值为________. 14．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 M 在双曲线 C 的 右支上， 1 2MF MF ，若 1MF 与 C 的一条渐近线垂直，垂足为 N，且 1 2NF ON  ，其中 O 为坐标原点，则双曲线 C 的标准方程为 . 四.解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤．） 15.（13分）已知公差 d 不为 0 的等差数列 �� 的前 n 项和为 6 3 9 7, 6, 15n SS a S   . （1）求 �� 的通项公式； （2）令 2 12nanb   ，记 nT 为数列 �� 的前 n 项和，求 nT 16.（15分）已知函数    2πsin sin sin 0 3 f x x x x           的最小正周期为 π . （1）求的值及函数  f x 的对称中心； （2）设   22 sin cosh x a x x a   ，若对任意的 1 2 π π π, , 0, 2 2 12 x x            都有    1 22 1h x f x  ，求实数 a的取值范围. 17.（15分）“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、 造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的 课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用  2 1 2,n n n   N 局n胜的 单败淘汰制，即先赢下 n局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰 第 4页，共 4页 后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为  0 1p p  ，乙获 胜的概率为1 p . （1）若 2n  ， 2 3 p  ，设比赛结束时比赛的局数为 X ，求 X 的分布列与数学期望； （2）设采用3局2胜制时乙获胜的概率为 2P ，采用5局3胜制时乙获胜的概率为 3P ，若 3 2P P ， 求 p的取值范围. 18（17分）.已知椭圆 E的焦点在 x轴上，离心率为 5 3 ，对称轴为坐标轴，且经过点 22 2, 3       . （1）求椭圆 E的方程； （2）若过  0,1P 的直线交椭圆 E于C D､ 两点，求 CP DP 的取值范围. 19.（17分）若函数  f x 的定义域为 I ，有 0x I ，使  0 0f x  且  0 0f x  ，称函数  y f x 为恒切函数. （1）判断函数   sinf x x x  是否为恒切函数，并说明理由； （2）若函数   e 2 xag x x pa   为恒切函数  ,a pR . （i）求实数 p的取值范围； （ii）当 p取最大值时，若函数     1e 2xh x g x m   为恒切函数，记 3e ,0 32 A      ，证明： m A .（参考数据： 3e 20 ） 郑州外国语学校2025届高三调研考试试卷（五） 数学参考答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) DDAB DCBD 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.ABD.10.ABD 11.CD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.2. 13.6 3 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 6(a+a6) 15【小何1#】由题受-0a名a+1,=74 2 1 So 2 所以13a,+50d=7a+56d→a,=d,而a=a+2d=6→a1=d=2,所以an=2n 【小问2详解】由题设b。=2+12=4"+12, 则7=(4+4+4++4）+12n=4-4 1-4 +12=4 +12m-4 3 3 1 16.f(x)=sinox sinoxcos+cosoxsin 3 -sin'or=5 cosaxsinx- sin'ox 3 Csin2ox-(1-cos2ox)=sin 2ox+ 64 因为f(日)的最小正周期为元，所以20=2江=2，故0=1. 6 212 所以∫(x)的对称中心为 经kez kTπ 【小问2详解】因为对任意的x 都有h(x)<2f(x2)+1, 所a4s<2rs+l[哥周 因为h(x)=2 asinx-cos'x+a=sinx+2 asinx+a-1, 第1页，共4页 1=,当x[引时，1d得数0=f+2+-训 则ce-g0a=es(明：当x0时.2x+名[G引，则f以-f}-0, 所以max{g(),g(-1)}<1,即 g()<1, g(-1)<1, 3a<1解得-1<a<:故实数a的取值范围是 -a<1, 3 17.【小问1详解】 因为=2，所以比赛采用3局2胜制，X的所有可能取值为2,3， P(X=2)= 3)+周号P(x=)-c×c周- X的分布列为 X 9 所以E(x)=2x5+3x4 4_22 9 99 【小问2详解】由题意知B=(1-p'+C(1-pp=(1-p广1+2p), B=(1-p'+C1-p)'p+C1-p)'p2=(1-p)'(6p+3p2+2p+1) 由B>B,得(1-p)'(6p'+3p2+2p+1)>(1-p)(1+2p): 且0<p<1,则(1-p)>0,可得6p3+3p2+2p+1>1+2p, 整理得1-2p>0,解得0<p<2 所以P的取值范围为 02) 1设解依意，可设桶圆E的方程为后+芳=a>6>0,。 曲5得a=35c,又调为=+e,所以6=25 -35 x2 -=1 a 3 ,则9+ 5 因为椭圆经过点 代入上述方程解得c2=5,则a2=9,b2=4, 第2页，共4页 所以椭圆E的方程为二+ -=1. 94 B (2)由(1)可知：A(0,2),B(0,-2),①当斜率不存在时，若点C与A重合，D与B重合.此时 CPAP1 DPBP 3 CPBP 若点D与A重合，B与C重合，则 =3 DP AP ②当直线斜率存在时，设直线CD:y=c+1,C(:,),D(:,2), 则 CP_ y=k+1, 国=-联立得 2,y2,消去y可得(4+9k2)x2+18x-27=0,显然△>0， + =1, 94 18k 1=4g·可用 18k 27 则x+x2= 4+9k2 12k2 xx2 27 4+9%2 4+9k2 整理可得点+2+占=-12 因为4+9k2≥4，可得- 4e 令经=0<0.则-1+中42≤0，解特-31<即克气3引 品 袋，品的双魔为非] 19.(17分)解：(1)设函数f(x)=x·sinr为恒切函数，则有x。∈I, 使∫'(x)=0且f(x)=0,即{ sinto +xocosxo =0 Xosino =0 解得x,=0,故函数∫(x)=x·sinr是恒切函数 第3页，共4页 (2)(①)由函数g()=C-x-pm为恒切函数可知， 2 存在x,使得g'(x)=0且g(x)=0, ae --xo-pa=0 即 2 ae .p-0 解得a=2 2 --1=0 2 设00，Q=号 2 当x∈(-D,0)时，Q(x)递增：当x∈(0，+oo)时，Q(x)递减. ÷QsQ0)-片即实数p的取值范调足（一引 ()当p=之时，a=2,函数A()=(e-x-e+2m为恒切函数 又(x)=(2e-x-2)e,所以存在x,使得h(x)=0,即2e-。-2=0. 令T(x)=2e-x-2,则T'(x)=2e-1, 当x∈(-o,-lh2)时，T(x)递减；当x∈(-ln2,+oo)时，T(x)递增. 所以当re(%h2t-2小-2e>0.7引2+22-2店分0.放(2-引 存在唯一x, 使得206-，-2=0，即e5=+2 2 又由h(x)=(e--1)e*H+2m=0, 得-2m=(e-x-小e*=-6+2), 由%2引xk+2刘(0所u贺<m<0 又T(0)=0,所以当x∈(-ln2,+o)时，有唯一零点x=0, 故由h(x)=0得2m=0,即m=0..m∈A. 第4顷，共4页