精品解析：上海市闵行区多校2024-2025学年九年级上学期期中联考数学试题

2024学年第一学期期中素质调研 九年级数学试卷 （考试时间：100分钟 满分150分） ★考生注意： 1．本试卷含五个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 3．本次考试不能使用计算器． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. A、B两地的实际距离米，如果画在地图上的距离厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比的性质，根据题意，先将单位化为一致，再根据比的性质求解即可． 【详解】解：米厘米， 地图上的距离与实际距离的比为， 故选：D． 2. 在中，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 根据锐角三角函数的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴可设， ∴， A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 3. 下列两个三角形不一定相似的是（　　） A. 有一个内角是的两个等腰三角形 B. 有一个内角是的两个等腰三角形 C. 有一个内角是的两个等腰三角形 D. 有一个内角是的两个等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：A、有一个内角是的两个等腰三角形，因为是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意； B、有一个内角是的两个等腰三角形都是等边三角形，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意； C、有一个内角是的两个等腰三角形是等腰直角三角形，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意； D、有一个内角是的两个等腰三角形，则底角均为，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的最常用的方法判断方法是解题的关键． 4. 下列说法中，正确的是（　　） A. 如果和是相反向量，那么 B. 如果和是平行向量，那么 C. 如果，那么 D. 如果（为非零向量），那么 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义与性质，逐一对选项判断即可． 【详解】解：A、相反向量的和为零向量，而不是数字0，故本选项不符合题意； B、平行向量为方向相同或相反，模不一定相等，故本选项不符合题意； C、两个向量的模相等，不能保证方向相同，故本选项不符合题意； D、两个向量方向相同，所以是平行向量，故本选项符合题意； 答案：D． 【点睛】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解本题的关键． 5. 已知点D、E分别在边、的延长线上，下列条件一定能判断的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，根据相似三角形的判定证明，根据相似三角形的对应角相等与平行线的判定可求解． 【详解】解：如图， 当，时，， ∴， ∴， 根据选项，选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意， 故选：B． 6. 如图，在中，点D、E分别在边上，点F、G在边上，四边形是平行四边形，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时：；②．那么下列说法中，正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①、②皆正确 D. ①、②皆错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．由平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得，，，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，先根据得到，再代入中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 已知线段，，线段b是线段a和c的比例中项，则线段____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题是一道有关比例中项的题目，关键是掌握比例的基本性质． b是a，c的比例中项线段，根据比例中项线段的性质可知，即，代入数据即可． 【详解】解∶根据已知可得， ，即， 解得，或 (舍去) 故答案为：6． 9. 已知点P是线段的黄金分割点，，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵点P是线段的黄金分割点，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如果两个相似三角形对应边之比是，且较小的三角形的周长是6，那么较大三角形的周长是____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形周长比等于相似比． 根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边之比是，且较小的三角形的周长是6， ∴较大三角形的周长是． 故答案为：9 11. 在中，，，，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，先根据余弦定义求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，已知，，，，那么___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 13. 若某人沿斜坡向上行走了17米，上升高度为8米，则此斜坡的坡度____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，先利用勾股定理求得水平距离，再根据铅垂距离水平距离求解即可． 【详解】解：如图，在中，， 由题意，米，米， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知点是的重心，过点作，分别交边、于点、，那么的值是___________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】延长交于H．由点是的重心，推出，则，由，推出，，可得，得到，，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于H． ∵点是的重心， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查三角形的重心，平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15. 如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、梯形的面积，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．先根据正方形的性质得到阴影部分是直角梯形，再证明，，利用相似三角形的性质求得，，进而求得，，然后利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，，，， ，， ∴阴影部分是直角梯形， 又∵， ∴，， ∴，， 即，， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知在中，，，，正方形的顶点F、G分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、锐角三角函数、三角形的内角和定理，得到是解答的关键．先根据正方形的性质得到，，再根据三角形的内角和定理得到，进而利用锐角三角函数定义得到，设，，则，，进而列方程求解x值即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 设，，则，， ∴， 解得，经检验，符合所列方程， ∴，即正方形的边长为． 故答案为：． 17. 新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“智慧线”．已知一个直角梯形的“智慧线”等于2，它的面积是____________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理、平行线的性质、二次根式的运算，理解题中定义，分类讨论是解答的关键．根据题意，画出图形，根据等腰直角三角形的性质，结合梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图1，为等腰直角三角形，， ∴， ∴； 如图2，为等腰直角三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 综上，这个直角梯形的面积为3或． 18. 如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点C落在射线上，点B落在点E处，连接，那么的正切值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的性质是解答的关键．设，，先利用勾股定理和角平分线的定义，，再由旋转性质得，，，进而利用等腰三角形的性质得到， ，证明，求得，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵在中，，是的角平分线， ∴，， 如图，由旋转性质得，，， ∴，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 三、简答题（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，23、24每题12分，25题14分，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的混合运算：先化简各个特殊角的函数值，再进行分母有理化，最后进行加减混合运算，即可作答． 【详解】解： ． 20. 如图，在梯形中，，，点E是边的中点，，． （1）填空：____________，____________（用向量、表示） （2）先化简，再求作： 【答案】（1）， （2），如图所示，即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查平面向量的线性运算、平行四边形的判定与性质、基本尺规作图，注意向量的方向是解答的关键． （1）先由已知求得，再根据线段的中点定义求得，进而求得，根据平面向量的线性加法运算求解即可； （2）根据平面向量的线性运算化简，再作图即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵点E是边的中点， ∴，则， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ， 如图，作的垂直平分线得到的中点F，在上截取，连接，， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴，又， ∴， 21. 已知：如图，在中，，，垂足为点D，E是的中点，连接并延长，交边于点F． （1）求的正切值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】对于（1），在中，根据求出，再根据勾股定理求出，即可求出，然后根据得出答案； 对于（2），过点D作，交于点G，根据“角角边”证明可得，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案． 【小问1详解】 在中，， ∴， 解得． 根据勾股定理，得． ∵点E是的中点， ∴． 在中，； 【小问2详解】 如图所示，过点D作，交于点G， ∴. ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了余弦的应用，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22. 如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图③是图②的示意图．已知，，．当与形成的为时，求的长．（参考数据：，，；，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过作于， 在中，，， ，， 在中，， ， ， ， ， 答：的长为． 23. 已知：如图，菱形，点E是的中点，点F，连接、、，交于点G，且． （1）求证： （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∵中，点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，即． （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和直角三角形的性质得到，即可得到，结论可得； （2）先证，则，再证，则可得，由，结论得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 已知：如图，各顶点的坐标分别是． （1）求的余切值； （2）若点在轴的正半轴，且与相似，请直接写出点的坐标； （3）已知点在轴上，如果，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由两点距离公式可求，，由直角三角形的性质可求的长，即可求解； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （3）根据题意可得，再由，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 如图1，过点B作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点P在y轴正半轴上， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述：当点P的坐标为或时，与相似； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 此时点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 25. 在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）． （1）如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； （2）如图2，当时，求四边形的面积； （3）如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】（1） （2） （3），（） 【解析】 【分析】（1）由题意，可求得，由勾股定理求，再由可得，即，则可求的长度； （2）证明可求得，由可知，则，解得，,四边形的面积为解得四边形的面积为． （3）分别证明和，故可得由相似分别得到，．再由可证，代入得到，则问题可证． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形，，， ，，． 又， ． 在中，，，， ． ∵， ． ． ． 【小问2详解】 ∵，， ． ． ∵，， ． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴, 四边形的面积为 四边形的面积为． 【小问3详解】 过点作交于点，则． ∵四边形是矩形， ． ∵，， ． ． ． ． ∵，， ，． ∵， ． ∵，，， ． ． ∵，， ． ． 即． 整理得，（）． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，解答过程中要根据各问中的条件，利用相似三角的性质形构造方程或等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期中素质调研 九年级数学试卷 （考试时间：100分钟 满分150分） ★考生注意： 1．本试卷含五个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 3．本次考试不能使用计算器． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. A、B两地的实际距离米，如果画在地图上的距离厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列两个三角形不一定相似的是（　　） A. 有一个内角是的两个等腰三角形 B. 有一个内角是的两个等腰三角形 C. 有一个内角是的两个等腰三角形 D. 有一个内角是的两个等腰三角形 4. 下列说法中，正确的是（　　） A. 如果和是相反向量，那么 B. 如果和是平行向量，那么 C. 如果，那么 D. 如果（为非零向量），那么 5. 已知点D、E分别在边、的延长线上，下列条件一定能判断的（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D、E分别在边上，点F、G在边上，四边形是平行四边形，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时：；②．那么下列说法中，正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①、②皆正确 D. ①、②皆错误 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么____________． 8. 已知线段，，线段b是线段a和c的比例中项，则线段____________． 9. 已知点P是线段的黄金分割点，，若，则____________． 10. 如果两个相似三角形对应边之比是，且较小的三角形的周长是6，那么较大三角形的周长是____________． 11. 在中，，，，那么____________． 12. 如图，已知，，，，那么___________． 13. 若某人沿斜坡向上行走了17米，上升高度为8米，则此斜坡的坡度____________． 14. 已知点是的重心，过点作，分别交边、于点、，那么的值是___________． 15. 如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为____________． 16. 如图，已知在中，，，，正方形的顶点F、G分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为____________． 17. 新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“智慧线”．已知一个直角梯形的“智慧线”等于2，它的面积是____________． 18. 如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点C落在射线上，点B落在点E处，连接，那么的正切值为____________． 三、简答题（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，23、24每题12分，25题14分，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，在梯形中，，，点E是边的中点，，． （1）填空：____________，____________（用向量、表示） （2）先化简，再求作： 21. 已知：如图，在中，，，垂足为点D，E是的中点，连接并延长，交边于点F． （1）求的正切值； （2）求的值． 22. 如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图③是图②的示意图．已知，，．当与形成的为时，求的长．（参考数据：，，；，，） 23. 已知：如图，菱形，点E是的中点，点F，连接、、，交于点G，且． （1）求证： （2）求证：． 24. 已知：如图，各顶点的坐标分别是． （1）求的余切值； （2）若点在轴的正半轴，且与相似，请直接写出点的坐标； （3）已知点在轴上，如果，求点的坐标． 25. 在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）． （1）如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； （2）如图2，当时，求四边形的面积； （3）如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $