精品解析：广东省汕头市2023-2024学年八年级下学期期中学业质量监测数学试卷

2023-2024学年度第二学期期中质检 八年级数学科试题 注意：试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1. 下列各式中，二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 3. 下列计算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. （）2＝2 4. 平行四边形对角线交于点O，若，则平行四边形的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 在中，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知P、R分别是长方形的边、上的点，E、F分别是、的中点，点P在上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（　　） A. 线段的长不变 B. 线段的长逐渐变小 C. 线段的长逐渐增大 D. 无法确定 7. 如图，在数轴上，O点为原点，点A在数轴上表示的数是2，AB＝1，AB⊥OA于点A，OB为半径画弧交数轴于点C，C点在O点左侧，则点C表示的数是（　　） A B. 2 C. D. ﹣2 8. 如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为的长方体盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ） A 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，△ABC中，AC＝BC＝3，AB=2，将它沿AB翻折180°得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB上动点，则PE+PF的最小值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 12. 如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____． 13. 如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有四尺（绳索比木柱长4尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，则木柱长为_______尺． 14. 如图，圆柱体的高为，底面周长为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面B处的食物，已知B处距上底，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是_______． 15. 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作分别交AB，BC于E，F两点，，则EF的长为__________． 16. 阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是_______． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18题各4分，第19,20题各6分，共20分. 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F． 求证：四边形AECF平行四边形． 20. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，，CD＝8，求∠ADC的度数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21题8分，第22、23题各10分，共28分. 21. 已知，，．求值： （1）； （2）． 22. 我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”． （1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形； （2）当时，求菱形的“神似度”． 23. 如图，在和中，，E是的中点． （1）求证：； （2）若，求． 五．解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24. 如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＝12，点E、F分别在边CD、AB上． （1）若DE＝BF，求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长． 25. （1）【操作发现】：如图一，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC的数量关系是　 　． （2）【类比探究】：如图二，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． （3）【应用】：如图三，将（1）中的矩形ABCD改为正方形，边长AB＝4，其它条件不变，求线段GC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期中质检 八年级数学科试题 注意：试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1. 下列各式中，二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，概念：式子叫做二次根式，熟记定义是解题的关键．根据二次根式的定义分别判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、三次根式，故此选项不符合题意； C、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数有可能小于0，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理判定三角形的形状．根据勾股定理的逆定理分别计算较小两边的平方和，与较大边的平方相等时，该三角形是直角三角形，否则不是，据此解答，即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 3. 下列计算正确的是（　　） A. 3 B. C. D. （）2＝2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，从而得出答案； 【详解】解：，选项A错误； 与不是同类二次根式，不能合并，选项B错误； ，选项C错误； （）2＝2，选项D正确； 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 4. 平行四边形的对角线交于点O，若，则平行四边形的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，从而得出，，根据，计算即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， 故选：B． 5. 在中，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了由特殊三角函数值求角度，根据题意画出图形，进而利用特殊角的三角函数值代入求出即可． 【详解】解：如图， ，，， ， ， 故选：D． 6. 如图，已知P、R分别是长方形的边、上的点，E、F分别是、的中点，点P在上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（　　） A. 线段的长不变 B. 线段的长逐渐变小 C. 线段的长逐渐增大 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，连接．由三角形中位线定理得出，即可得出答案，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵、分别是、的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∵不动， ∴的长度不变， ∴线段的长不变． 故选：A． 7. 如图，在数轴上，O点为原点，点A在数轴上表示的数是2，AB＝1，AB⊥OA于点A，OB为半径画弧交数轴于点C，C点在O点左侧，则点C表示的数是（　　） A. B. 2 C. D. ﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出OB，结合数轴即可得出结论． 【详解】解：∵在Rt△AOB中，OA＝2，AB＝1， ∴OB＝＝． ∵以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C， ∴OC＝OB＝，C点在O点左侧， ∴点C表示的实数是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，实数与数轴以及作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系, 求出OB是解答此题的关键． 8. 如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为的长方体盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候，露在外面的长度最短，然后利用勾股定理求出对角线的长度即可得． 【详解】由题意得：盒子底面对角长为 盒子的对角线长为 则细木棒露在外面的最短长度为 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理在长方体中的应用，理解题意，求出长方体中的最长线段是解题关键． 9. 如图，在中，分别是的中点，，是线段上一点，连接，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理，由直角三角形的性质得出，结合得出，再由三角形中位线定理即可得出． 【详解】解：，点是的中点，， ， ， ， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 10. 如图，△ABC中，AC＝BC＝3，AB=2，将它沿AB翻折180°得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的动点，则PE+PF的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明四边形是菱形，得，作出关于的对称点，再过作，交于点，此时最小，求出即可． 【详解】解：作出关于的对称点，再过作，交于点，此时最小，此时，过点A作，于， 沿翻折得到， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 由勾股定理可得，， ， 可得， ， 最小为． 故选C． 【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是将利用“将军饮马”模型对线段和转化为平行线间的线段长． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 12. 如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____． 【答案】（﹣5，4） 【解析】 【分析】首先由A、B两点坐标，求出AB的长，根据菱形的性质可得AD=CD=AB，从而可得到点C的横坐标；接下来在△AOD中，利用勾股定理求出DO的长，结合上面的结果，即可确定出C点的坐标. 【详解】解：由题知A（3,0），B（-2,0），D在y轴上， ∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2 由菱形邻边相等可得AD=AB=5 在Rt△AOD中，由勾股定理得： OD==4 由菱形对边相等且平行得CD=BA=5 所以C（-5,4）． 故答案为：（﹣5，4）． 【点睛】本题考查了菱形的性质及坐标与图形的性质，解题的关键是运用勾股定理求出OD的长． 13. 如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有四尺（绳索比木柱长4尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，则木柱长为_______尺． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 设木柱长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：如图所示， 设木柱长为尺， ∵ 则 解得． 故答案为：6． 14. 如图，圆柱体高为，底面周长为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面B处的食物，已知B处距上底，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平面展开﹣最短路径问题，勾股定理的应用；先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则，所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接，的线段长，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，     连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，C、H分别是、的中点， ∵底面周长是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是， 故答案为：5． 15. 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作分别交AB，BC于E，F两点，，则EF的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可知，，，．由题意可得出，即得出，从而可证明(ASA)，得出，进而得出，最后由勾股定理即可求出EF的长． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴，，，, ∴． ∵， ∴, ∴， ∴在和中 ∴(ASA)， ∴， ∴，即， ∴在Rt中，． 故答案为：. 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理．根据正方形的性质找出使三角形全等的条件是解题关键． 16. 阅读下列材料：我们知道，因此将分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，代数式的求值，观察代数式的特点拆分代入是解题的关键． 首先对m这个式子进行分母有理化，然后观察要求值的代数式进行拆分代入运算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：2025． 三、解答题（一）：本大题共4小题，第17、18题各4分，第19,20题各6分，共20分. 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，根据平方差公式和二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 19. 已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F． 求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】求证四边形AECF是平行四边形，只要求证OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证，依据△AOE≌△COF即可证明OE=OF． 【详解】证明：∵平行四边形ABCD中AB∥CD， ∴∠OAE=∠OCF， 又∵OA=OC，∠COF=∠AOE， ∴△AOE≌△COF(ASA)， ∴OE=OF， 又∵OA=OC ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键． 20. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，，CD＝8，求∠ADC的度数． 【答案】150° 【解析】 【分析】根据AB=AD=4，∠A=60°，可以得到△ABD的形状，再根据勾股定理的逆定理可以判断△BDC的形状，从而可以求得∠ADC的度数． 【详解】解：∵AB=AD=4，∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=60°，BD=4， ∵BC=，CD=8． ∴BD2+CD2=42+82=16+64=80=（）2， ∴△BDC是直角三角形，∠BDC=90°， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°， 即∠ADC的度数是150°． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、等边三角形的性质，解答本题的关键是求出∠ADB和∠BDC的度数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，第21题8分，第22、23题各10分，共28分. 21. 已知，，．求值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的乘法，平方差公式．熟练掌握完全平方公式，二次根式的乘法，平方差公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式计算求解即可； （2）先通分，然后代值，利用平方差公式计算求解即可． 小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：由题意知， ． 22. 我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”． （1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形； （2）当时，求菱形的“神似度”． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质推理是解题的关键． （1）根据正方形的判定得出答案即可； （2）连接和，交于点，根据、菱形的性质，得出、，结合含角的直角三角形的性质、勾股定理，得出，，即可代入计算出菱形的“神似度”． 【小问1详解】 解：∵对角线相等的菱形是正方形， ∴当时，即时，菱形是正方形， ∴当菱形的“神似度”时，菱形就是正方形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接和，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即菱形的“神似度”为． 23. 如图，在和中，，E是的中点． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出，，进而结论得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理和等边对等角可求，的值，然后根据计算求解即可． 【小问1详解】 证明：∵在和中，，E是的中点， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵在和中，E是的中点，， ，， ∴，， ∴，， ∵， ∴为． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 五．解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24. 如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＝12，点E、F分别在边CD、AB上． （1）若DE＝BF，求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长． 【答案】（1）见解析；（2）50 【解析】 【分析】（1）首先根据矩形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，然后根据DE＝BF，可得AF＝CE，即可证明四边形AFCE是平行四边形； （2）根据四边形AFCE是菱形，可得AE＝CE，然后设AE＝CE＝x，表示出DE的长度，根据勾股定理求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴AF∥CE， ∵CE＝CD﹣DE，AF＝AB﹣BF，DE＝BF， ∴AF＝CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）∵四边形AFCE是菱形， ∴AE＝CE＝CF＝AF， ∵AB＝CD，AB＝16， ∴CD＝16， 设AE＝CE＝x，则DE＝CD﹣CE＝16﹣x， ∵四边形ABCD为矩形 ∴∠D＝90°， ∴在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2 又∵x＞0，AD＝12， ∴122+（16﹣x）2＝x2， 解得x＝12.5， ∴C菱形AFCE＝4×12.5＝50． 答：菱形AFCE周长为50． 【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是掌握矩形对边平行且相等的性质以及菱形四条边相等的性质和勾股定理． 25. （1）【操作发现】：如图一，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC的数量关系是　 　． （2）【类比探究】：如图二，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． （3）【应用】：如图三，将（1）中的矩形ABCD改为正方形，边长AB＝4，其它条件不变，求线段GC的长． 【答案】（1）点E在BC的中点时，GF＝GC，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）CG＝1 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质得出BE=EF，∠B=∠EFA，利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG，即可得出答案； （2）利用平行四边形的性质，首先得出∠C=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，进而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案． （3）设GF=GC=x，则 AG=4+x，DG=4-x，在Rt△ADG中利用勾股定理列出关于x的方程，解之可得． 【详解】（1）点E在BC的中点时，GF＝GC， 证明：如图一，连接EG， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE， ∴BE＝EF， ∴EF＝EC， ∵EG＝EG，∠C＝∠EFG＝90°， ∴△ECG≌△EFG（HL）， ∴FG＝CG， 故答案为FG＝CG； （2）（1）中的结论仍然成立． 证明：如图二，连接FC， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE， ∴BE＝EF，∠B＝∠AFE， ∴EF＝EC， ∴∠EFC＝∠ECF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵∠ECD＝180°﹣∠D，∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B＝180°﹣∠D， ∴∠ECD＝∠EFG， ∴∠GFC＝∠GFE﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF＝∠GCF， ∴∠GFC＝∠GCF， ∴FG＝CG； 即（1）中的结论仍然成立； （3）设GF＝GC＝x，则 AG＝4+x，DG＝4﹣x， 在Rt△ADG中，（4+x）2＝（4﹣x）2+42， 解得：x＝1， 即CG＝1． 【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是根据已知得出EF=EC，∠EFC=∠ECF是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$