精品解析：上海市浦东新区民办欣竹中学2024-2025学年九年级上学期期中模拟数学试卷

初三期中模拟试卷（1） 一、选择题（每题4分，满分24分） 1. 已知线段，，，满足，则下列比例式不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，分别是上的点，下列比例式中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，如果AC=m，，那么AB的长为（　　） A. B. C. D. 5. 已知，是非零向量，下列判断错误的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果为单位向量，且，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么或 6. 如图，在梯形中，、，对角线相交于点，是梯形的中位线，与相交于点，如果的面积为1，那么的面积为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 二、填空题（每题4分，满分48分） 7. 如果线段，那么它们的比例中项是______． 8. 计算：_________． 9. 在中，，，，则的余弦值为______. 10. 如图，在梯形中，，，是梯形中位线，设，，那么向量用向量，表示为______． 11. 如图，，若，则______． 12. 小明在楼上点处行到楼下点处的小丽的俯角是，那么点处的小丽看点处的小明的仰角是_______________度． 13. 如图，在中，，点G是的重心，如果，那么______． 14. 如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是___________． 15. 如图，在梯形中，，分别在的延长线上，，如果，，，那么的长为______． 16. 构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在中，，，延长线段到点，使，连接，可得，所以．利用此图形可以得出．通过类比这种方法，可以得出__________． 17. 如图，在中，，，垂足为D，，垂足为E，若，则____________ 18. 如图，在中，是的角平分线，将绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接ED，那么的正切值为_______________________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图：，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG、FG的长． 21. 如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． （1）求的长． （2）求的值． 22. 地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为，求电梯的坡度与长度． 参考数据：． 23. 已知：如图，在中，点、分别在边、上，，与相交于点，． 求证：（1）； （2）． 24. 已知在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，将向下平移个单位后交轴于点． （1）求的余切值； （2）点C在平移后的直线上，其纵坐标为，联结，其中与y轴交于点，求的值； （3）点M在直线上且位于第一象限，联结，当时，求点的坐标． 25. 如图，在直角图形中，，，对角线交于点，已知，，点是射线上任意一点，过点作，垂足为点，交射线于点M，射线于点H． （1）当点是线段中点时，求线段的长． （2）当点在线段上时（不与重合），设，，求关于x的函数解析式及定义域． （3）联结，如果线段与直角梯形中的一条边（除外）垂直时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三期中模拟试卷（1） 一、选择题（每题4分，满分24分） 1. 已知线段，，，满足，则下列比例式不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，由题意得出是解题的关键．根据，得出，再逐一判断即可． 【详解】解：线段，满足， ∴，，， 故A、B正确； 若， 则， ∴， 由已知无法得出，故C不一定正确； 若， 则， ∴， 故D正确， 故选：C． 2. 如图，在中，分别是上的点，下列比例式中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的判定，对于A可证明得到，进而可证明；对于B可设，则，，进而得到，同理可证明；对于C设，则，，则，同理可证明；对于D由不能证明． 【详解】解：根据，结合可证明，则，则，故A不符合题意； 设，则，，则，同理可证明，则，故B不符合题意； 设，则，，则，同理可证明，则，故C不符合题意； 由不能证明，故D符合题意； 故选：D． 3. 已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念得到比例式，据此逐项分析即可解答． 【详解】解：∵P是线段的黄金分割点，且， ∴，即A选项正确，不符合题意； ∵P是线段的黄金分割点， ∴，即，则B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴整理得：，即D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 4. 在中，，如果AC=m，，那么AB的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和三角函数得，根据AC=m即可得． 【详解】解：如图所示， 在直角三角形ABC中，， ∴； 又∵AC=m， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是理解题意掌握三角函数． 5. 已知，是非零向量，下列判断错误的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果为单位向量，且，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，根据单位向量、平行向量以及模的定义进行判断即可，熟记单位向量、平行向量以及模的定义是解题的关键． 【详解】解：、如果，那么，故本选项正确； 、如果为单位向量，且，那么，故本选项正确； 、如果，那么，故本选项正确； 、如果，没法判断与之间的关系，故本选项错误． 故选：D． 6. 如图，在梯形中，、，对角线相交于点，是梯形的中位线，与相交于点，如果的面积为1，那么的面积为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据梯形中位线定理可得，，根据，设，则，根据相似三角形的判定和性质求出 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得，根据两个三角形高相等，面积比等于底与底的比可得，进而可得结论． 【详解】解：∵，是梯形的中位线， ，， ， 设，则， ， ， ∴， ∴， 且E为的中点， ∴， ∴， ， 同理可得：， ， ， ， ， 的面积为1， ， ∵， ∴， ， ∴， ， ， 故选：C． 二、填空题（每题4分，满分48分） 7. 如果线段，那么它们的比例中项是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主考查比例的基本性质，运用方程思想解决问题，根据比例中项的概念结合比例的基本性质得，比例中项的平方等于两条线段的乘积，由此即可求解． 【详解】解：设比例中项为， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用实数与向量相乘及平面向量的加减运算法则去括号求解即可求得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的键． 9. 在中，，，，则的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用勾股定理求得斜边的长，再根据余弦函数的定义求解可得． 【详解】解：如图所示， 在中，∵，， ∴， 则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及余弦函数的定义． 10. 如图，在梯形中，，，是梯形中位线，设，，那么向量用向量，表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，平面向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键，本题还考查了梯形的中位线等于上底与下底和的一半． 根据梯形的中位线等于上底与下底和的一半表示出，然后根据向量的三角形法则解答即可． 【详解】解：∵是梯形中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 由三角形法则得，． 故答案为：． 11. 如图，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，得到，先求出的长度，再求的长度． 【详解】解： ， ， 又， ， ． 故答案为：． 12. 小明在楼上点处行到楼下点处的小丽的俯角是，那么点处的小丽看点处的小明的仰角是_______________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，然后根据平行线的性质可以求得点B处的小丽看点A处的小明的仰角的度数，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ∠BAC＝32°， ∵AC∥BO， ∴∠ABO＝∠BAC， ∴∠ABO＝32°， 即点B处的小丽看点A处的小明的仰角等于32度， 故答案为32． 【点睛】本题利用平行线间角的关系求仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 13. 如图，在中，，点G是的重心，如果，那么______． 【答案】1 【解析】 【分析】首先延长BG交AC于点E，取AD的中点F，连接EF，由点G是△ABC的重心，易得BG：BE＝2：3，EF是△ABC的中位线，即可求得EF的长，证得△BDG∽△BFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DG的长． 【详解】解：延长BG交AC于点E，取AB的中点F，连接EF， ∵点G是△ABC的重心， ∴AE＝CE，BG：BE＝2：3， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，EF＝BC＝， ∵DG∥BC， ∴DG∥EF， ∴△BDG∽△BFE， ∴DG：EF＝BG：BE＝2：3， ∴DG＝EF＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心的性质以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 14. 如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据DE∥BC，即可求得△ADE∽△ABC，得出，求出AF＝4，即可得出答案． 【详解】在梯形BCED中，作AG⊥BC于G，交DE于F，如图所示：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 解得：AF＝4， ∴AG＝AF＋GF＝4＋2＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中根据DE、BC的比值求AF的值是解题的关键． 15. 如图，在梯形中，，分别在的延长线上，，如果，，，那么的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．延长，交于点H，首先证明出，得到，然后代数值得到，，求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：如图所示，延长，交于点H ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∵在梯形中， ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故答案为：9． 16. 构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在中，，，延长线段到点，使，连接，可得，所以．利用此图形可以得出．通过类比这种方法，可以得出__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正切函数等，能熟练利用勾股定理，正切函数进行求解是解题的关键．在中，，，延长到点，使，连接，结合等腰三角形的性质得，设，由正切函数得，即可求解． 【详解】解：如图，在中，，，延长到点，使，连接， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在中，，，垂足为D，，垂足为E，若，则____________ 【答案】4 【解析】 【分析】利用，，可判断，则，利用比例性质得，加上，根据三角形相似的判定方法即可得；据此求解即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 18. 如图，在中，是的角平分线，将绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接ED，那么的正切值为_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点D作DG⊥AC于G，可得DG//BC，即可证明△AGD∽△ACB，可得，由CD是角平分线可得∠ACD=45°，可得CG=DG，进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD的长，根据旋转的性质可得AC′=AC，AE=AB，根据等腰三角形的性质可得∠CC′A=45°，可得∠CAC′=90°，可得旋转角为90°，可得∠DAE=90°，利用勾股定理可求出AB的长，根据正切的定义即可得答案． 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于G， ∵∠ACB=90°， ∴DG//BC， ∴△AGD∽△ACB，可得， ∵CD是角平分线， ∴∠ACD=45°， ∴CG=DG， ∵AC=3，AC=AG+CG， ∴+CG=3，即=3， 解得：DG=， ∴AG=， ∴AD==， ∵将绕点旋转，如果点落在射线上， ∴AC′=AC，AE=AB， ∴∠CC′A=∠ACD=45°， ∴∠CAC′=90°， ∴旋转角为90°， ∴∠DAE=90°， ∵AC=3，BC=4， ∴AB=5， =． 故答案为： 【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90°并熟练掌握相关性质及定义是解题关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，分母有理化，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解，然后分母有理化计算即可． 【详解】解： ． 20. 如图：，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG、FG的长． 【答案】 【解析】 【分析】在△ABC中，先证明利用相似三角形的性质求解EG，在△BAD中，证明，利用相似三角形的性质求解EF，即可求出FG=EG-EF． 【详解】解：∵△ABC中，， ∴ ∴ ， ∵BC=10，AE=3，AB=5， ∴， ∴EG=6， ∵△BAD中，， ∴ ∴， ∵AD=6，AE=3，AB=5， ∴， ∴EF= ． ∴FG=EG-EF=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的两个三角形相似”是解本题的关键． 21. 如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 【小问1详解】 解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 22. 地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为，求电梯的坡度与长度． 参考数据：． 【答案】电梯的坡度，长度是19.5米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题和坡度问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答． 过A，Q分别作水平线交过点B的铅垂线于点C ，D，如图，则，，根据题意求得和．在中，，求得．即可求得．利用勾股定理求得即可． 【详解】解：过A，Q分别作水平线交过点B的铅垂线于点C ，D，如图， 则， 根据题意得． ∵， ∴． 在中，， ∴．解得． ∴． ∴． 电梯的坡度为． 答：电梯的坡度，长度是19.5米． 23. 已知：如图，在中，点、分别在边、上，，与相交于点，． 求证：（1）； （2）． 【答案】 （1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明，由相似三角形的性质可得∠BAF=∠E CA，最后由等量代换和角的和差即可证明； （2）由相似三角形的性质可得，进而证明，由相似三角形的性质可得，即，最后结合即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，灵活应用相似三角形的判定和性质成为解答本题的关键． 24. 已知在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，将向下平移个单位后交轴于点． （1）求的余切值； （2）点C在平移后的直线上，其纵坐标为，联结，其中与y轴交于点，求的值； （3）点M在直线上且位于第一象限，联结，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知点，可得平移后的直线表达式，即可得出B坐标，即可得出的值； （2）利用平移后的抛物线可得出点的坐标，根据三角形面积公式求解即可； （3）取点，联结，设与轴交于点，则，根据可得在上，即可求解． 【小问1详解】 解：直线：与x轴交于点，令，解得， ∴， 将向下平移个单位后得到，交轴于点，令，得， ∴， ∵， ∴. 【小问2详解】 解：∵点C在平移后的直线上，其纵坐标为， 令，解得， ∴， ∵， ∴. 【小问3详解】 解：如图，取点，联结，设与轴交于点，则， ∵， ∴， 即点关于轴对称， ∴， ∴， 以为圆心为半径的圆经过， ∵， ∴， ∴点在上， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了求余切，一次函数的应用，同弧所对的圆周角相等，综合运用以上知识是解题的关键． 25. 如图，在直角图形中，，，对角线交于点，已知，，点是射线上任意一点，过点作，垂足为点，交射线于点M，射线于点H． （1）当点是线段中点时，求线段的长． （2）当点在线段上时（不与重合），设，，求关于x的函数解析式及定义域． （3）联结，如果线段与直角梯形中的一条边（除外）垂直时，求的值． 【答案】（1） （2），定义域为 （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到，再利用平行线的性质求得 ，然后解直角三角形求得，进而可求解； （2）先根据三角形的内角和定理求得，过M作交延长线于N，则，即，证明是等腰直角三角形得到，，设，则，进而求得，即可求解； （3）分两种情况：当时和当时，分别画出图形，利用相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例求解即可． 【小问1详解】 解：∵点是线段中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，又， ∴， 过M作交延长线于N， 则，即， ∵，， ∴，又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 设，则， ∵点在线段上时（不与重合），且， ∴,， ∴， 解得，即， ∴， 即，定义域为； 【小问3详解】 解：当时，则， ∴， ∴，即， 由（2）知，，又， ∴， ∴， ∴ ，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵ ， ∴， 解得：，（舍）； 当时，如上图，则，又， ∴，， ∴，，，即， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 整理得：，即， 解得，（舍）， 综上，或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定、三角形的内角和定理、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $