3.2.2 奇偶性（第一课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2 奇 偶 性 (1) 3.2 函数的基本性质 图片欣赏 图片欣赏 问题1：在初中学习了轴对称图形和中心对称图形，你能说出什么叫轴对称(中心对称)图形吗？ 中心对称图形 绕一个 点 旋转180o 轴对称图形 一个图形 沿一条直线翻折180o 与原图形重合 知识探究（一） 问题2：在我们从函数图象的升降变化引发了函数的单调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的最值，如果从函数图象的对称性出发又能获得函数的什么性质呢？ 知识探究（一） 诚信 专业 有为 画出函数f(x)=x2和g(x)=2-|x|的图像: 知识探究（二） 考察下列函数图像: 问题1: 这两个函数的图象有什么共同特征？ 图像关于y轴对称(几何特征) 问题2：观察列表，你能得出这个函数的代数特点吗？ x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f(x) … 9 4 1 0 －1 －4 －9 … g(x) … －1 0 1 2 1 0 －1 … 知识探究（二） 考察下列函数图像: 问题2：观察列表，你能得出这个函数的代数特点吗？ x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f(x) … 9 4 1 0 －1 －4 －9 … g(x) … －1 0 1 2 1 0 －1 … 知识探究（二） 发现：当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同. 猜想：对∀x∈R， 是否都有f(－x)=f(x)？ 偶函数的定义 设函数f(x)的定义域为 D， 若Ɐx∈ D，都有-x∈D，且f(－x)=f(x)， 则称函数f(x)为偶函数.（代数定义） 偶函数的图象关于y轴对称.（几何特征） f(－x)－f(x)=0 诚信 专业 有为 例如函数 , ,等都是偶函数. 诚信 专业 有为 考察下列函数图像: 问题1: 这两个函数的图象有什么共同特征？ 图像关于原点中心对称(几何特征) 问题2：观察列表，你能得出这个函数的代数特点吗？ x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f(x) … -3 -2 -1 0 1 2 3 … g(x) … －1 / 1 … 知识探究（二） 考察下列函数图像: 问题2：观察列表，你能得出这个函数的代数特点吗？ 知识探究（二） 发现：当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数. 猜想：对∀x∈R， 是否都有f(－x)=－f(x)？ x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f(x) … -3 -2 -1 0 1 2 3 … g(x) … －1 / 1 … 奇函数的定义 设函数f(x)的定义域为 D， 若Ɐx∈ D，都有-x∈D，且f(－x)=－f(x)， 则称函数f(x)为奇函数.（代数定义） 奇函数的图象关于原点对称.（几何特征） f(－x)+f(x)=0 0 诚信 专业 有为 奇偶性 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性. 规律： 偶函数的f(x)与f(-x)值相同 奇函数的f(x)与f(-x)值相反 思考：如何判断一个函数的奇偶性？ 理解2：偶函数(奇函数)的定义域关于原点对称. -1 2 x y 1 4 0 语文课代表说:如果函数y=f(x)满足：f(-1)=f(1)＝0，f(-2)=f(2)＝1， 那么y=f(x)是偶函数. y 理解1：奇偶性的定义是对定义域内的任意x都要成立. 英语课代表说：因为函数f(x)=x2， x∈[-1,2]，满足f(-x)=(-x)2=x2=f(x) ，所以f(x)=x2是偶函数. -2 -1 2 1 1 x 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 练习 16 应用1—判断函数的奇偶性 17 练习 20 判断函数奇偶性 （1）定义法： 规律方法 若 ； 若 ． Ɐx∈D，-x∈D？ 21 判断函数奇偶性 （2）图像法： 规律方法 22 应用2—奇、偶函数的图像问题 (1)如图所示 (2) 由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)． 变式 将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解. (－5，－2)∪(2,5) 课堂小结 24 若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)=_______. 若f(x)为偶函数呢？ 若f(x)为偶函数，无法求出f(0)的值． 函数y＝f(x)，x∈[－1，a] (a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1　　 B．0 C．1 D．无法确定 C ∵奇函数的定义域关于原点对称， ∴a－1＝0，即a＝1. 【例1】　判断下列函数的奇偶性： f(x)＝x3＋x； f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)； f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1)； f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,0，x＝0，,x＋1，x>0.)) 解　(1)函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)， 因此函数f(x)是奇函数． (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0))得x2＝1，即x＝±1. 因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． f(－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－1，－x<0，,0，－x＝0，,－x＋1，－x>0，)) 即f(－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x＋1，x>0，,0，x＝0，,－x－1，x<0.)) 于是有f(－x)＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数． 2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) A　 　B　 　C　 　D B　 B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性． 例2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图． 画出在区间[－5,0]上的图象； 写出使f(x)<0的x的取值集合． 奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f(x)定义域内的每一个值x， 都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能判断f(x)是奇函数(或偶函数)． 2．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用． $$