3.2.2 奇偶性（第二课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2 奇 偶 性（2） 3.2 函数的基本性质 应用1—利用函数的奇偶性求解析式 应用1—利用函数的奇偶性求解析式 规律方法 思考1: 反比例函数 的奇偶性如何？ 二次函数 是偶函数的条件？ 一次函数 是奇函数的条件是？ 思考2: 若f(x)是定义在R上的奇函数，那么f(0)的值如何？ 偶函数呢？ f(0)=0 思考 应用4—利用函数的奇偶性求值 7 思考2 已知奇函数 f(x)在(a,b)是增函数，试问它在(-b,-a) 上 是增函数还是减函数？ 思考1 已知偶函数 f(x)在(a,b)是增函数，试问它在(-b,-a) 上 是增函数还是减函数？ 偶函数在对称的区间上单调性相反. 奇函数在对称的区间上单调性相同. 思考 例5 定义在R上的偶函数f(x)满足：∀x1，x2∈(-∞,0] (x1≠x2)，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，则当n∈N*时，有( ) A. f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B. f(n+1)<f(-n)<f(n-1) C. f(n-1)<f(-n)<f(n+1) D. f(n+1)<f(n-1)<f(-n) 应用5—函数的奇偶性与单调性的综合问题 角度1：比大小问题 B 规律方法 应用5—函数的奇偶性与单调性的综合问题 角度2：解不等式 应用5—函数的奇偶性与单调性的综合问题 角度2：解不等式 规律方法 练习 规律方法 14 巩固练习 15 巩固练习 16 巩固练习 17 例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1， 求f(x)的解析式. 例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1， 求f(x)的解析式. 解 当x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， ∵函数f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，f(x)＝－x－1. 当x＝0时，f(0)＝0， 所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－1，x<0，,0，x＝0，,－x＋1，x>0.)) 利用函数奇偶性求解析式的方法 1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设. 2转化到已知区间上，代入已知区间的解析式. 3利用fx的奇偶性得到fx. 提醒：若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0＝0. 例4 (1) 若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]， 则a＝______，b＝______； (2) 已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3， 则f(3)＝______. (1) eq \f(1,3)　0　 (2) 7　　 (1)eq \f(1,3)　0　(2)7　　 (1) 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝eq \f(1,3). 又函数f(x)＝eq \f(1,3)x2＋bx＋b＋1为二次函数，易得b＝0. 令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数， ∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5. 又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7. 比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上. 1 在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； 2不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 例6已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数， 若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 例6已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数， 若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 解 ∵f(x)在区间[－2,2]上为奇函数，且在区间[0,2]上是减函数， ∴f(x)在[－2,2]上为减函数． 又f(1－m)<f(m)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,1－m>m，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m<\f(1,2).)) 解得－1≤m<eq \f(1,2)，∴m的取值范围是－1≤m<eq \f(1,2). 解有关奇函数fx的不等式fa＋fb<0 先将fa＋fb<0变形为fa<－fb＝f－b， 再利用fx的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式. 另外，要特别注意函数的定义域. 函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数， f(a)<f(a＋1)，则a的取值范围是_______. 偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)， 它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论. 1．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则(　　) A．f(1)>f(2)　　 B．f(1)<f(2) C．f(1)＝f(2) D．以上都有可能 A 定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 若f(a)<f(b)，则一定可得(　　) A．a<b B．a>b C．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0 C　 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2， 求f(x)，g(x)的表达式． 解 f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得， f(x)－g(x)＝x2－x－2， 又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2， 两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x. $$