精品解析：江苏省淮安市盱眙县第二中学2024-2025学年九年级上学期 数学练习二

2024-2025学年盱眙第二中学九年级上学期数学练习二ZX 时间∶120分钟 分值∶150分 一．选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分) 1. 将一元二次方程化成一般形式后，其一次项系数是（ ） A. －4 B. 2 C. －2 D. 4 2. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ） 劳动时间(小时) 3 4 人 数 1 1 2 1 A. 中位数是4 B. 众数是2 C. 极差是1 D. 中位数是 3. 如图， 的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（ ）． A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心把缩小到原来的则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 如图，为的直径，点C、D在上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 若二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是15名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这15名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 8. 已知二次函数的部分图象如图，图象经过点，其对称轴为直线，下列结论∶①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分) 9. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，请问落在该游戏板上的第一滴雨点正好打中阴影部分的概率是______． 10. 已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为_____． 11. 如图， 在矩形中，若，，则的长为_____． 12. 如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是_____． 13. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________ 14. 把抛物线向上平移1个单位长度后得到函数关系式为_____． 15. 定义：若点A在某一个函数图象上，且点A的横纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”．若关于x的二次函数，当时有两个“美丽点”，则t的取值范围为_____． 16. 如图，在中，，D为上一动点，，点E在直线上，，若，则的长为_____． 三．解答题(本大题共有11小题，共102分) 17. 计算 （1）； （2）解方程：． 18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 19. 某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如图的统计图． (说明∶A级：90分分；B级：75分分；C级：60分分；D级：60分以下：A级成绩为优秀，B级成绩为良好，C级成绩为合格，D级成绩为不合格) 其中B级成绩（单位：分）为：89，88，87，87，86，84，83，83，82，82，81，81，80，80，79，79，79，78，78，77，76，75，75． 请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）请把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是_____； （3）九年级（1）班学生的体育测试成绩的中位数是_____； （4）若该校九年级有500名学生，请用此样本估计体育测试中达到良好及良好以上学生人数约为多少人？ 20. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 21. 如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度米，拱高米，其中C为的中点，D为弧的中点．（参考数据：，结果保留） （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）求弧的长． 22. 项目式学习，为了测量学校教学楼的高度，方案如下： 课题 测量教学楼的高度 测量工具 测倾器．皮尺 测量方法 在阳光下，小华站在楼影子的顶端F处，此刻量出小华的影长；然后在楼落在地面的影子上的点D处，安装测倾器，测出楼顶端A的仰角． 测量数据 小华的影长，小华身高，用测倾器测得顶端A的仰角为，测倾器高，， 说明 点B、D、F、G在同一水平直线上，均垂直于．参考数据∶． 请你根据上述信息，求学校教学楼的高度（结果精确到1米）． 23. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，两条网格线的交点叫格点，的顶点A、B、C都在格点上，仅用无刻度的直尺，在网格中完成画图． （1）在边上画出点D，使； （2）在（1）条件下，△ACD面积是____． 24. 如图，为的外接圆，为的直径，为的切线，过点B作于D． （1）求证：； （2）如果 ，求的半径． 25. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件，现在他采取提高售价，减少销售量的办法增加利润，已知这种商品每件售价提高1元，其销售量就要减少10件 （1）如果他想每天所赚利润为320元，且让顾客得到实惠，则商品的售价应定为多少元？ （2）如果物价部门规定这种商品每件涨价不超过3元，若他想每天获得最大利润，则商品的售价应定为多少元？此时这种商品的最大利润为多少元？ 26. 我们学习了二次函数后，掌握了二次函数的图象和性质，为了方便进一步研究，我们定义：二次函数的增减性和对称性合起来叫增对性，利用增对性可以解决很多二次函数问题，请利用增对性研究有关二次函数的一些问题． 【特例探究】 （1）若点，是该二次函数图象上两点，则该二次函数的对称轴为_____． （2）当，时， 若，则x的取值范围为_____． 【拓展探究】 （3）①若当时，，则该二次函数的开口向_____（填“上或下”），对称轴为____． ②在①的条件下，点，为二次函数图象上的两点，设，当时均满足，则t的取值范围_____． ③在①的条件下，已知，，该二次函数的图像与线段只有一个公共点，求a的取值范围． 27. 综合与实践 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，交于点E，交于点F，且， 则下面是小明、小红的部分思路和方法， 小明的思路和方法：如图2，延长到点G，使，连接，构造…． 小红的思路和方法：如图3，过点B作交延长线于点G，于是得到…； 根据小明或小红的方法，可以得到线段与的数量关系是______． 【变式拓展】 （2）如图4，在中，，交于点E，交于点F，且，判断线段与的数量关系，请说明理由 【迁移应用】 （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图5的线段上作一点P，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【综合提升】 （4）如图，平面直角坐标系中，，，，过B、C点分别作平行线，交x轴于E、F两点，若，直线、之间距离的最大值为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年盱眙第二中学九年级上学期数学练习二ZX 时间∶120分钟 分值∶150分 一．选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分) 1. 将一元二次方程化成一般形式后，其一次项系数是（ ） A. －4 B. 2 C. －2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，b为一次项系数，据此即可求解． 【详解】解：∵原方程，移项得， ∴ 一次项系数为． 故选：A． 2. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ） 劳动时间(小时) 3 4 人 数 1 1 2 1 A. 中位数是4 B. 众数是2 C. 极差是1 D. 中位数是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、极差，解答本题的关键是掌握各知识点的概念． 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做极差，根据定义计算判断即可． 【详解】解：数据按照从小到大排列为3、、4、4、，中位数是第3个数据， 中位数为4，故A选项正确，符合题意，D选项错误，不符合题意； 数据中4出现2次，所以众数为4，故B选项错误，不符合题意； 最大值为，最小值为3， 极差为，故C选项错误，不符合题意； 故选：A． 3. 如图， 的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，延长到，连接，根据题意和图形，可以得到和长，然后即可求得的值． 【详解】解：延长到，连接，如图： 由题意可得，，， ∴． 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心把缩小到原来的则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质，把的横纵坐标乘以或，计算即可． 【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，点B的坐标为， ∴点B的对应点的坐标为或， 即或． 故选：D． 5. 如图，为的直径，点C、D在上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据为的直径，可得，从而得到，再根据圆内接四边形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的圆内接四边形， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质是解题的关键． 6. 若二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称轴计算公式，熟记二次函数的性质是解题的关键． 首先根据已知抛物线的解析式确定对称轴和开口方向，然后结合对称轴和开口方向确定抛物线的增减性，由此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y 值会随着 x 的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 故选：C． 7. 如图是15名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这15名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大， 由图可知，课程成绩的波动大，课程成绩的波动小， ； 故选：A 8. 已知二次函数的部分图象如图，图象经过点，其对称轴为直线，下列结论∶①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．依据题意，由图象可得抛物线的对称轴是直线，与轴的交点为，当时，，然后逐个选项判断即可得解． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴是直线， ． ． 故①错误． 抛物线的对称轴是直线， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 抛物线开口向下， ，故②正确． 由题意，令， 抛物线与直线有两个不同的交点． 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误． 当时，， 又抛物线的对称轴是直线， 当时，． 又抛物线开口向下， 满足的的取值范围为，故④正确． 故选：B 二．填空题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分) 9. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，请问落在该游戏板上的第一滴雨点正好打中阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为9−2××2×2−2××1×1＝4， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 10. 已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是掌握坡度和坡角的概念．根据坡度等于坡角的正切即可求解． 【详解】解：设坡角为， 由题意得，， ． 故答案为：． 11. 如图， 在矩形中，若，，则的长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，进而证明，根据相似三角形的性质得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 12. 如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是_____． 【答案】15π． 【解析】 【详解】利用勾股定理可求得圆锥底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 解：底面圆的直径为6，则底面半径=3，底面周长=6π．由勾股定理得：母线长=5， ∴圆锥的侧面积=×6π×5=15π 13. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示， 设小路宽为x米， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键． 14. 把抛物线向上平移1个单位长度后得到函数关系式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，正确运用二次函数平移规律是解题关键．直接利用二次函数平移规律“上加下减，左加右减”得出平移后解析式． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度后得到函数关系式为．即． 故答案为：． 15. 定义：若点A在某一个函数图象上，且点A的横纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”．若关于x的二次函数，当时有两个“美丽点”，则t的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是根的判别式的灵活运用． 根据点A的横、纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”，得，然后根据判别式判断和根据区间列出不等式求解即可． 【详解】∵点A的横、纵坐标相等，称点A为这个函数的“美丽点”， ∴点A在直线上， ∵关于x的二次函数当时有两个“美丽点”， ∴与有两个根， 即， 整理，得：， ∴， ∴， 令二次函数， ∵当时，当时有两个“美丽点”， 在这个区间内函数z与x轴有两个交点，函数z开口向上，对称轴为直线， 当时，代入方程得：， 解得：， 当时，代入得：， ． 综合以上所有条件， t 的取值范围为． 16. 如图，在中，，D为上一动点，，点E在直线上，，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．过点作的垂线交延长线于点，从而可证，再由全等三角形性质可得，最后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，作交的延长线于． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 三．解答题(本大题共有11小题，共102分) 17. 计算 （1）； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，求特殊角三角函数值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂等等，熟知相关计算法则是解题的关键． 18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． 【小问1详解】 解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 19. 某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如图的统计图． (说明∶A级：90分分；B级：75分分；C级：60分分；D级：60分以下：A级成绩为优秀，B级成绩为良好，C级成绩为合格，D级成绩为不合格) 其中B级成绩（单位：分）为：89，88，87，87，86，84，83，83，82，82，81，81，80，80，79，79，79，78，78，77，76，75，75． 请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）请把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是_____； （3）九年级（1）班学生的体育测试成绩的中位数是_____； （4）若该校九年级有500名学生，请用此样本估计体育测试中达到良好及良好以上学生人数约为多少人？ 【答案】（1） 补全条形图，如下： （2） （3）79 （4）330人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识，解答本题的关键是注重数形结合思想，并联合条形统计图和扇形统计图得出有用信息． （1）B级的人数除以其所占比例求出总样本数，进而求出D级的人数，据此补全图形即可； （2）用乘以A级所占比例，即可求解； （3）先判断出中位数落在B级的范围内，再在B级中找到第25、26个数，进而即可求出中位数； （4）用九年级总人数乘以样本中良好及良好以上人数所占比例即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， D级的人数为：（人）； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：C级和D级的人数为：（人）， B级有23人， 则可知50名学生的成绩的中位数为从小到大排列的第25、26个数的平均值为所求的中位数， 即：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）， 答：九年级全体育测试中达到良好及良好以上的学生人数约为人． 20. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解 【小问1详解】 解：共有四个开关，，，， 当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮， ∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是； 【小问2详解】 解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示， 共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种， ∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是． 21. 如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度米，拱高米，其中C为的中点，D为弧的中点．（参考数据：，结果保留） （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）求弧的长． 【答案】（1）20米 （2）米 【解析】 【分析】（1）设该圆弧的圆心为O，连接，根据垂径定理得到，则三点共线，设该圆弧所在圆的半径为r米，则米，米，米，据此在中利用勾股定理求解即可； （2）解得到，则，进而得到，则，据此利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：设该圆弧的圆心为O，连接， ∵C为的中点，D为弧的中点， ∴， ∴三点共线， 设该圆弧所在圆的半径为r米，则米， ∵跨度米，拱高米， ∴米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴该圆弧所在圆的半径为20米； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为米． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求弧长，三角形内角和定理，熟知垂径定理是解题的关键． 22. 项目式学习，为了测量学校教学楼的高度，方案如下： 课题 测量教学楼的高度 测量工具 测倾器．皮尺 测量方法 在阳光下，小华站在楼影子的顶端F处，此刻量出小华的影长；然后在楼落在地面的影子上的点D处，安装测倾器，测出楼顶端A的仰角． 测量数据 小华的影长，小华身高，用测倾器测得顶端A的仰角为，测倾器高，， 说明 点B、D、F、G在同一水平直线上，均垂直于．参考数据∶． 请你根据上述信息，求学校教学楼的高度（结果精确到1米）． 【答案】教学楼的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据同一时刻物高与影长是成正比例的，可得：，从而进行计算可求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， ， ， 在中，， ， ， 由题意得：， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， ， 教学楼的高度约为． 23. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，两条网格线的交点叫格点，的顶点A、B、C都在格点上，仅用无刻度的直尺，在网格中完成画图． （1）在边上画出点D，使； （2）在（1）条件下，△ACD面积是____． 【答案】（1） 点D即为所求，如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰直角三角形，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 （1）取格点T，P，Q，连接，交于点O，连接交于点D，点D即为所求（由，推出，推出； （2）利用平行线等分线段定理解决问题即可． 【小问1详解】 取格点T，P，Q，连接，交于点O，连接交于点D， ，，， ， ，， ，， ． ， ， ， ， 【小问2详解】 解：由图可知：， ， ， ． 24. 如图，为的外接圆，为的直径，为的切线，过点B作于D． （1）求证：； （2）如果 ，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为的切线，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形. （1）如图，连接，由为的切线，得到，于是得到，推出，由于，得到，即可得到结论； （2）根据三角函数的知识可求出，从而根据勾股定理求出的长，根据三角函数的知识即可得出的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． ∴的半径为． 25. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件，现在他采取提高售价，减少销售量的办法增加利润，已知这种商品每件售价提高1元，其销售量就要减少10件 （1）如果他想每天所赚利润为320元，且让顾客得到实惠，则商品的售价应定为多少元？ （2）如果物价部门规定这种商品每件涨价不超过3元，若他想每天获得最大利润，则商品的售价应定为多少元？此时这种商品的最大利润为多少元？ 【答案】（1）他想每天所赚利润为320元，则商品的售价应定为12元 （2）商品的售价应定为13元，此时这种商品的最大利润为350元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设商品售价提高x元，则每件商品的利润为元，销售量为件，再根据总利润每件商品利润销售量列出方程求解即可； （2）设商品售价提高m元，每天的利润为w元，则每件商品的利润为元，销售量为件，再根据总利润每件商品利润销售量列出w关于m的二次函数关系式，并利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设商品售价提高x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵让顾客得到实惠， ∴， ∴， ∴他想每天所赚利润为320元，则商品的售价应定为12元； 【小问2详解】 解：设商品售价提高m元，每天的利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w随m增大而增大， ∵物价部门规定这种商品每件涨价不超过3元， ∴， ∴当时，w最大，最大值为， ∴， ∴商品的售价应定为13元，此时这种商品的最大利润为350元． 26. 我们学习了二次函数后，掌握了二次函数的图象和性质，为了方便进一步研究，我们定义：二次函数的增减性和对称性合起来叫增对性，利用增对性可以解决很多二次函数问题，请利用增对性研究有关二次函数的一些问题． 【特例探究】 （1）若点，是该二次函数图象上两点，则该二次函数的对称轴为_____． （2）当，时， 若，则x的取值范围为_____． 【拓展探究】 （3）①若当时，，则该二次函数的开口向_____（填“上或下”），对称轴为____． ②在①的条件下，点，为二次函数图象上的两点，设，当时均满足，则t的取值范围_____． ③在①的条件下，已知，，该二次函数的图像与线段只有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】（1）直线；（2）或；（3）①下，直线；②；③当时，该二次函数的图象与线段只有一个公共点． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，二次函数的增减性，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）根据点，直接可得抛物线的对称轴； （2）先求解抛物线为：，可得当时，，当时，，再结合图象可得答案； （3）①由当，，可得抛物线的开口向下与对称轴；②由①得：对称轴为直线，可得与时的函数值相等，再结合图象解答即可；③如图，当抛物线过时，可得：，如图，当抛物线过时，可得：，再结合图象可得答案． 【详解】解：（1）∵点，是该二次函数图像上两点， ∴抛物线的对称轴为直线， （2）当，时， ∴抛物线为：， ∵， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 如图， ∴当时，或； （3）①当时，，如图， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线； ②由①得：对称轴为直线， ∴与时的函数值相等； 如图， 当时，随的增大而减小， ∵，当时均满足， ∴，解得：； ③在①的条件下，，对称轴为直线：， 如图，当抛物线过时， ∴， ∵对称轴为直线：， 解得：， 如图，当抛物线过时， ∴，而， 解得：， 综上：当时，该二次函数的图象与线段只有一个公共点． 27. 综合与实践 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，交于点E，交于点F，且， 则下面是小明、小红的部分思路和方法， 小明的思路和方法：如图2，延长到点G，使，连接，构造…． 小红的思路和方法：如图3，过点B作交延长线于点G，于是得到…； 根据小明或小红的方法，可以得到线段与的数量关系是______． 【变式拓展】 （2）如图4，在中，，交于点E，交于点F，且，判断线段与的数量关系，请说明理由 【迁移应用】 （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图5的线段上作一点P，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【综合提升】 （4）如图，平面直角坐标系中，，，，过B、C点分别作平行线，交x轴于E、F两点，若，直线、之间距离的最大值为_____． 【答案】（1）； （2），理由如下： 延长，过点B作，交的延长线于点G，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）点P即为所求作的点，如图所示： （4） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，得出，根据等腰三角形判定得出，求出结果即可； （2）延长，过点B作，交的延长线于点G，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，根据，得出，即可得出答案； （3）过点E作任意一条线段，作线段的垂直平分线，交于点B，作，在上截取，连接，交于点P，即可得出答案； （4）过点C作延长线的垂线，垂足为点M，过点C作于点M，根据，，得出与间距离为， 与间距离为，从而得出与间的距离为，设，，证明，得出，求出，，求出，得出，证明，得出，即可得出，求出的最大值为，得出的最大值为，从而得出与间的距离最大值． 【详解】解：（1）小明的方法：延长到点G，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小红的方法：过点B作交延长线于点G，如图所示： 则， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）过点E作任意一条线段，作线段的垂直平分线，交于点B，作，在上截取，连接，交于点P，即可得出答案， 根据作图可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴； （4）过点C作延长线的垂线，垂足为点M，过点C作于点M，如图所示： 则， ∵，， ∴与间距离为，与间距离为， ∴与间的距离为， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， ∵， ∴的最大值为， ∴的最大值为， ∵， ∴的最大值为， ∴与间的距离最大为： ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，尺规作角和垂直平分线，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $