3.2.1 第1课时 双曲线及其标准方程 同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

3.2.1　第1课时　双曲线及其标准方程（同步练习） 一、选择题 1.已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为(　　) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 2.已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.双曲线的一支 3.若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　) A.1 B.1或－2 C.1或 D. 4.已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A.|PF1|－|PF2|＝±3 B.|PF1|－|PF2|＝±4 C.|PF1|－|PF2|＝±5 D.|PF1|2－|PF2|2＝±4 5.双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 6.已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　) A.3或7 B.6或14 C.3 D.7 7.(多选)已知曲线C：mx2－ny2＝1，下列说法正确的是(　　) A.若mn>0，则C为双曲线 B.若m>0且m＋n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆 C.若m>0，n<0，则C不可能表示圆 D.若m>0，n>0，则C为两条直线 8.(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为，则双曲线C的方程可以为(　　) A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 二、填空题 9.满足a＝3，c＝4，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为______________ 10.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为___________________ 11.已知圆C：(x＋3)2＋y2＝4及点A(3,0)，Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为_______________ 12.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为_______________ 三、解答题 13.给出曲线方程＋＝1. (1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围； (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围． 14.根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； （2）过点P，Q，且焦点在坐标轴上． 15.在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程． 参考答案及解析： 一、选择题 1.D 解析：当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)． 当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线． 2.B 解析：设A(1,0)，B(－1,0)，则由已知得||PA－|PB||＝，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数，又|AB|＝2，且<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线． 3.A 解析：由题意知解得a＝1. 4.A 解析：当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以选项A中P点的轨迹是双曲线． 5.B 解析：2a＝|－|＝4，所以a＝2， 又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为－＝1. 6.A　解析：连接ON(图略)，则ON是△PF1F2的中位线，∴|ON|＝|PF2|， ∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，∴|ON|＝|PF2|＝7或3． 7.AB 解析：若mn>0，则C为双曲线，所以A正确；若m>0且m＋n<0，则n<0，|n|>m>0，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确；若m>0，n<0，当m＝1，n＝－1时，C是单位圆，所以C不正确；若m>0，n>0，则C为双曲线，所以D不正确． 8.AB 解析：∵四边形A1PA2Q的面积为2，∴×2a×2b＝2，得ab＝. 记四边形A1PA2Q内切圆的半径为r，则2πr＝，解得r＝， 又4×cr＝2，∴c＝. 又∵c2＝a2＋b2＝3，得或∴双曲线C的方程为－y2＝1或x2－＝1. 二、填空题 9.答案：－＝1 解析：由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2 得b2＝c2－a2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 10.答案：－＝1 解析：设焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，则由QF1⊥QF2，得＝－1， ∴·＝－1，∴c＝5. 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， ∵双曲线过点P(4，－3)，∴－＝1， 又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9. ∴双曲线的标准方程为－＝1. 11.答案：x2－＝1 解析：由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，得|MA|＝|MQ|，又圆的半径为2， 所以||MC|－|MA||＝2<|AC|＝6，故点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线， 所以2a＝2,2c＝6，所以a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8. 又焦点在x轴上，故动点M的轨迹方程为x2－＝1. 12.答案：x2－＝1　 解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 由题意得B(2,0)，C(2,3)，所以解得 所以双曲线的标准方程为x2－＝1． 三、解答题 13.解：(1)若方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0，即(k＋4)(k－1)>0， 解得k<－4或k>1，因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)． (2)若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k<－4， 因此实数k的取值范围是(－∞，－4)． 14.解：（1）设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)． 因为双曲线经过点(3，2)，所以－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． 所以双曲线的标准方程为－＝1. （2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 因为点P，Q在双曲线上，所以此方程组无解； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 因为点P，Q在双曲线上，所以解得 所以双曲线的标准方程为－＝1. 15.解：因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝， 所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k. 由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4. 所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20. 若焦点在x轴上，以MN所在直线为x轴，以MN的中点O为原点建立直角坐标系，如图所示． 设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． 由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4. 由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，所以b2＝c2－a2＝100－4＝96， 故所求方程为－＝1； 若焦点在y轴上，同理可得双曲线方程为－＝1. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$