热点03 函数概念及其表示-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

热点03 函数概念及其表示 考点一、函数 1.函数的定义域、值域 在函数中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. 注意：相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． （1）两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． （2）函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如均表示相等函数. 3.函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 考点二、区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 考点三、常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 考点四、分段函数 分段函数的概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 注意：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 热点一 函数的定义域问题 例1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式1-3．已知函数的定义域为，求函数的定义域为 . 热点二 相同函数的判断 例3．下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 例4．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（多选）下列函数与函数不是同一函数的是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．下列四组函数中，是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．下列函数与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 热点三 常见函数的值域 例5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例6．函数，的值域是 ． 变式3-1．函数f(x)=1-的值域为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．下列函数中，定义域和值域不相同的是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．求值域(用区间表示)： (1)，①；②； (2)； (3). 热点四 复杂函数的值域 例7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例8．函数的值域是 ． 变式4-1．已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．表示不超过的最大整数，例如，.则函数的值域为 . 热点五 已知值域求定义域 例9．若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例10．已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 变式5-1．已知函数 的值域为，则的定义域可以是 变式5-2．已知函数的值域是，则它的定义域可能是 ． 变式5-3．为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为 ． 热点六 已知函数类型、函数方程组求解析式 例11．已知是二次函数，若，且． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值与最小值． 例12．已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知函数满足：，则 ； . 变式6-2．已知二次函数满足，且．求的解析式； 变式6-3．已知一次函数满足，. (1)求这个函数的解析式； (2)若函数，求函数值域. 热点七 换元法求解析式 例13．（多选）已知，则（    ） A． B． C．的定义域为 D．的定义域为 例14．已知是一次函数，且，求的解析式 ． 变式7-1．已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 变式7-3．已知函数，则的解析式为 . 热点八 分段函数求值或求参 例15．已知函数，若，则的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或 例16．（多选）已知函数，若，则的取值可以是（    ） A．3 B．20 C． D．5 变式8-1．已知函数，则 (1)求，，的值； (2)若，则的值是多少？ 变式8-2．已知函数 ； ． 变式8-3．已知函数. (1)求； (2)画出函数的图象； (3)若，求的值. 热点九 求分段函数的值域 例17．（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则的值是2 例18．已知函数，则的最小值为 ． 变式9-1．已知，则最小值是 . 变式9-2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为 . 变式9-3．求函数的值域． 热点十 由分段函数的值域求参数 例19．设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 例20．已知函数，若的值域为，则实数的值是 . 变式10-1．已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式10-2．若函数存在最小值，则实数的取值范围为 . 变式10-3．已知函数，的值域为，则的取值范围是 ． 一、单选题 1．（2023-24高一上·山东潍坊·期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24高一上·甘肃武威·期中）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2023-24高一上·广东湛江·期末）已知函数那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．（2023-24高二下·黑龙江·期末）向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高三上·福建莆田·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023-24高一上·江西九江·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．1 B．11 C．12 D．1024 7．（2023-24高一上·上海浦东新·期末）下列函数中，值域是的是 A． B． C． D． 8．（2023-24高一上·上海长宁·阶段练习）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①；②对任意，恒有成立； ③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立； ④存在三个点、、，使得为等边三角形； 其中真命题的序号为（    ） A．①②③④ B．②④ C．②③④ D．①②③ 二、多选题 9．（2023-24高一上·山东济南·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（2023-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示的图象表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 11．（2023-24高三上·江苏常州·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2023-24高一上·河南·期中）已知下列表格表示的是函数，则 . 13．（2023-24高二下·江苏南京·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 14．（2023-24高一上·福建福州·期中）已知函数，若，则的值域是 ． 四、解答题 15．（2023-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数. (1)求； (2)判断是否为定值，并求出的值. 16．（2023-24高一上·辽宁大连·期中）求下列函数的定义域： (1)； (2)已知函数的定义域为，则函数的定义域. 17．（2023-24高一上·甘肃金昌·期末）（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求函数的解析式； 18．（2023-24高一上·浙江温州·期中）已知 (1)若 求的值． (2)若 求的值． 19．（2023-24高一上·重庆渝中·期中）已知函数的定义域是，值域是，，，的定义域和值域分别为，，的定义域为. (1)求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点03 函数概念及其表示 考点一、函数 1.函数的定义域、值域 在函数中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. 注意：相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． （1）两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． （2）函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如均表示相等函数. 3.函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 考点二、区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 考点三、常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 考点四、分段函数 分段函数的概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 注意：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 热点一 函数的定义域问题 例1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，则， 所以的定义域为． 故选：B 例2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为. 故选：A. 变式1-1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 变式1-2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足： ，解得或， 故定义域为： 故选：D 变式1-3．已知函数的定义域为，求函数的定义域为 . 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，所以， 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 热点二 相同函数的判断 例3．下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】A选项，函数与的定义域均为， ，，对应关系不同， 所以和不是同一个函数； B选项，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，所以和不是同一个函数； C选项，与， 定义域和对应关系均相同，所以是同一个函数； D选项，函数中，需满足， 解得，所以函数的定义域为， 而中，需满足， 解得或，所以函数的定义域为， 函数和的定义域不同，所以和不是同一个函数. 故选：C. 例4．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，没有意义，有意义，这表明两个函数的定义域不同，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为全体实数，故B错误； 对于C，的定义域为，且对应法则一样，故C正确； 对于D，，所以它们的对应法则不一样，故D错误. 故选：C. 变式2-1．（多选）下列函数与函数不是同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为的定义域为，而的定义域为，所以与函数不是同一函数，故A正确； 对于B，定义域为，，对应该系不一致，故B正确； 对于C，，对应关系和定义域均相同，是同一函数，故C错误； 对于D，定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故D正确； 故选：ABD. 变式2-2．下列四组函数中，是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，的定义域为的定义域为，定义域不同， 故不是同一个函数； 对于B选项，的定义域为的定义域为，定义域不同， 故不是同一个函数； 对于C选项，的定义域为的定义域为，且， 对应关系相同，故是同一个函数； 对于D选项，的定义域为的定义域为，定义域不同， 故不是同一个函数. 故选：C. 变式2-3．下列函数与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同， 故两函数不是同一函数，A错误； B选项， ，定义域为R，故与定义域和对应法则均相同，B正确； C选项，，与的对应法则不同，C错误； D选项，的定义域为，故与的定义域不同， 故两函数不是同一函数，D错误. 故选：B 热点三 常见函数的值域 例5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 故函数的值域为， 故选： 例6．函数，的值域是 ． 【答案】 【详解】由， 可知，函数单调递减，当时，函数单调递增， 故时，，时，，即. 故答案为： 变式3-1．函数f(x)=1-的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：函数f(x)=1-的定义域为， 所以，则， 所以函数f(x)=1-的值域为， 故选：A 变式3-2．下列函数中，定义域和值域不相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，的定义域和值域都为，该函数的定义域与值域相同. 对于B，的定义域为，值域为，该函数的定义域与值域相同. 对于C，的定义域为，值域为，该函数的定义域与值域相同. 对于D，的定义域为，值域为，该函数的定义域与值域不相同. 故选：D 变式3-3．求值域(用区间表示)： (1)，①；②； (2)； (3). 【答案】(1)①[7，28]；②[3，12] (2) (3)(∞，1)∪(1，+∞) 【详解】（1）， ①当时，， ∴值域为[7，28]； ②当时，， ∴值域为[3，12]． （2）令，则， 因为，所以，即， 所以函数的值域为； （3）， 因为，所以 所以函数的值域为(∞，1)∪(1，+∞). 热点四 复杂函数的值域 例7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意知函数定义域为，令， 所以， 当时，，所以函数的值域为. 故选：C. 例8．函数的值域是 ． 【答案】 【详解】函数有意义，则，解得且， 显然，则，由，得， 所以函数的值域是． 故答案为： 变式4-1．已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， 令，则， 则转化为， 开口向下，对称轴为， 所以的最大值为，最小值为， 所以的值域为. 故选：C 变式4-2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得或，则函数定义域为， 由，得， 所以，得， 显然，所以， 所以， 由，得， 所以，所以， ，解得或， 由，得，，解得， 由，得，，解得， 综上，或， 所以函数的值域为， 故选：D 变式4-3．表示不超过的最大整数，例如，.则函数的值域为 . 【答案】 【详解】∵， 又，故， 则， 故答案为： 热点五 已知值域求定义域 例9．若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D 例10．已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 【答案】/ 【详解】由函数的值域为，可得，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 变式5-1．已知函数 的值域为，则的定义域可以是 【答案】（答案不唯一） 【详解】令，解得或， 则的定义域可以是， 故答案为：（答案不唯一）. 变式5-2．已知函数的值域是，则它的定义域可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】令，解得；令，解得； 由二次函数的图像与性质可得，若要使函数的值域是， 则它的定义域是可能是． 故答案为：（答案不唯一）． 变式5-3．为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为 ． 【答案】4 【详解】因为函数，，的值域为， 所以最大取到3，最小取到， 所以的最大值为， 故答案为：4 热点六 已知函数类型、函数方程组求解析式 例11．已知是二次函数，若，且． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 由，得， 所以， 由， 得， 即，即， 所以，解得， 所以； （2）函数的对称轴为， 所以. 例12．已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由①， 可得②， ①②得：，即. 故选：. 变式6-1．已知函数满足：，则 ； . 【答案】 【详解】由已知可得，，解得， 则. 故答案为：；. 变式6-2．已知二次函数满足，且．求的解析式； 【答案】 【详解】由，设， 由，则， 整理得，则，解得． 所以． 变式6-3．已知一次函数满足，. (1)求这个函数的解析式； (2)若函数，求函数值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设 由条件得：，解得， 故. （2）由（1）知， 即， 所以值域为. 热点七 换元法求解析式 例13．（多选）已知，则（    ） A． B． C．的定义域为 D．的定义域为 【答案】BC 【详解】对于A，令，则， 则， 即，因此A错误； 对于B，由，则，因此B正确； 对于C，的定义域为，则中，即， 故的定义域为，因此C正确； 对于D，的定义域为，则中，即， 故的定义域为，因此D错误； 故选：BC. 例14．已知是一次函数，且，求的解析式 ． 【答案】或 【详解】设，则， 故，所以， 解得或， 故或. 故答案为：或. 变式7-1．已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， 所以， 所以， 故选：D． 变式7-2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 变式7-3．已知函数，则的解析式为 . 【答案】 【详解】令,因，故，且可得 故 所以. 故答案为：. 热点八 分段函数求值或求参 例15．已知函数，若，则的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或 【答案】B 【详解】依题意，或或， 无解， 由解得，则. 由解得，则. 故选：B 例16．（多选）已知函数，若，则的取值可以是（    ） A．3 B．20 C． D．5 【答案】CD 【详解】当时，，解得； 当时，，解得. 故选：CD 变式8-1．已知函数，则 (1)求，，的值； (2)若，则的值是多少？ 【答案】(1)，， (2)或 【详解】（1），， . （2）若， 则或， 解得或. 变式8-2．已知函数 ； ． 【答案】 3 1 【详解】，. 故答案为：3；1. 变式8-3．已知函数. (1)求； (2)画出函数的图象； (3)若，求的值. 【答案】(1)35 (2)图象见解析 (3)-1或3 【详解】（1）∵，∴， 又∵，∴， （2）当时，函数图象为射线，其中， 当时，，图象为抛物线的一部分，其中， 图象如图所示： （3）当时，有，解得，符合； 当时，有，解得或， 但，故舍去，所以的值为3， 综上所述：的值为或3． 热点九 求分段函数的值域 例17．（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则的值是2 【答案】BCD 【详解】对A：由题意知函数的定义域为，故A错误； 对B：当时，；当时，； 则的值域为，故B正确； 对C：当时，，故C正确； 对D：当时，，解得，不合题意； 当时，，解得或（舍去）； 综上所述：若，则的值是2，故D正确； 故选：BCD． 例18．已知函数，则的最小值为 ． 【答案】1 【详解】的图象如图所示， 故的最小值为1， 故答案为：1. 变式9-1．已知，则最小值是 . 【答案】/ 【详解】   由可得，， 若，等价为，即，解得； 若，等价为，即， 解得或（舍）； 即当时，， 当时，， 当时，， 画出函数的大致图像，如图所示， 由图像可知，当时，取得最小值. 故答案为： 变式9-2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为 . 【答案】 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 由图象知的值域为. 故答案为： 变式9-3．求函数的值域． 【答案】 【详解】当时，，图象为以为对称轴的抛物线； 当时，，图象为以为对称轴的抛物线； 作出函数的图象如图所示， 因为，，（取不到）， 所以函数的最小值为，无最大值， 结合图象知：函数的值域为. 热点十 由分段函数的值域求参数 例19．设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【答案】A 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 例20．已知函数，若的值域为，则实数的值是 . 【答案】/ 【详解】因为， 当时，当时，，不合题意； 当时，当时，，不合题意； 所以， 当时，，即， 当时，开口向下，对称轴为， 当时，， 令，即，解得或（舍去）， 令，即，解得或， 作出的大致图象，如图， 因为的值域为，所以，解得，经检验，满足题意. 故答案为：. 变式10-1．已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 值域为当时，由，得， 由，得，解得或， 作出的图象如下图所示， 由图象可得：，即实数的取值范围是. 故选：C. 变式10-2．若函数存在最小值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，， 显然，故只需，则. 故答案为： 变式10-3．已知函数，的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由， 可得分段函数， 画出对应函数图象：   的值域为，且，, 所以的值能使得取得； 由图可知：. 故答案为：. 一、单选题 1．（2023-24高一上·山东潍坊·期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A，定义域符合、值域也相符，故A正确； 选项B，定义域为，值域为，不满足定义域和值域，故B错误； 选项C，定义域为，值域为，不满足定义域，故C错误； 选项D，根据函数定义知，对于每一个都有唯一确定的对应，故D中图象不是函数的图象，故D错误． 故选：A． 2．（2023-24高一上·甘肃武威·期中）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得解得：且. 所以定义域为 故选：B 3．（2023-24高一上·广东湛江·期末）已知函数那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】解：函数， ， . 故选：A. 4．（2023-24高二下·黑龙江·期末）向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快，所以随着水的高度的增长，体积先缓慢增长，再剧烈增长，再缓慢增长. 故选：A. 5．（2023-24高三上·福建莆田·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得，解得， 又，所以. 故选：C. 6．（2023-24高一上·江西九江·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．1 B．11 C．12 D．1024 【答案】C 【详解】根据题中的条件，令，则， 所以，令， 则，又， 所以, 则， 故选:C. 7．（2023-24高一上·上海浦东新·期末）下列函数中，值域是的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求解四个选项对应函数的定义域，再根据定义域求解值域，即可. 【详解】因为函数的定义域为，值域为，不是 所以选项A不符合题意. 因为函数的定义域为或 所以值域为，不是，选项B不符合题意. 因为函数的定义域为关于原点对称， 所以函数为偶函数. 当时，单调递增 当时，单调递减 所以 即函数值域为，不是，所以选项C不符合题意. 因为函数的定义域为关于原点对称， 所以函数为偶函数. 当时，单调递减 当时，单调递减 即函数值域为，所以选项D符合题意. 故选：D 【点睛】本题考查求函数的值域，属于中档题. 8．（2023-24高一上·上海长宁·阶段练习）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①；②对任意，恒有成立； ③任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立； ④存在三个点、、，使得为等边三角形； 其中真命题的序号为（    ） A．①②③④ B．②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】C 【详解】对①：当为无理数时，，所以；当为有理数时，，所以，所以对任意，恒有，故①错误； 对②：当为无理数时，也为无理数，所以；当为有理数时，也为有理数，所以，故②正确； 对③：对任意实数，任取一个不为零的有理数，若为无理数时，则也为无理数，所以； 当为有理数时，则也为有理数，所以，所以任取一个不为零的有理数，，对任意实数均成立，故③正确； 对④：取，，，得，，，所以，，，此时为等边三角形，故④正确. 综上所述：②③④为真命题，故C正确. 故选：C. 二、多选题 9．（2023-24高一上·山东济南·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【详解】函数与，，，对应法则不同，不是同一个函数，A不是； 函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一个函数，B是； 函数与的定义域相同，都是， 化简函数解析式得与，对应法则也相同，所以是同一个函数，C是； 函数与，，，对应法则不同，不是同一个函数，D不是. 故选：BC 10．（2023-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示的图象表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由图可知，当时，为一次函数，可设为， 代入得：； 当时，为一次函数，可设为， 代入，得：解得：，. 所以；所以. ，所以BD正确. 故选：BD. 11．（2023-24高三上·江苏常州·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意，设， 则是方程的个根， 又， 则， 即，且， 所以， 故， 故选项A正确，B错误； 选项C，由，得，即， 故C错误，D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（2023-24高一上·河南·期中）已知下列表格表示的是函数，则 . 【答案】 【详解】由表可得，则. 故答案为：. 13．（2023-24高二下·江苏南京·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】的定义域为，是使在实数集上恒成立. 若时,要使恒成立,则有 且, 即,解得. 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以 故答案为：. 14．（2023-24高一上·福建福州·期中）已知函数，若，则的值域是 ． 【答案】 【详解】当，解得， 由， 则， 当，开口向上，对称轴为， 则当，取得最大值， 当时，取得最小值 此时， ，开口向下，对称轴为， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 综上，的值域是. 故答案为： 四、解答题 15．（2023-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数. (1)求； (2)判断是否为定值，并求出的值. 【答案】(1)3； (2)6067.5. 【详解】（1）函数，则，， 所以. （2）依题意，， 所以是定值3， . 16．（2023-24高一上·辽宁大连·期中）求下列函数的定义域： (1)； (2)已知函数的定义域为，则函数的定义域. 【答案】(1)且或； (2). 【详解】（1）要使函数有意义，只需解得:或且， 所以函数定义域为且或. （2）由题意知，所以，即的定义域为， 所以，解得. 故函数的定义域是. 17．（2023-24高一上·甘肃金昌·期末）（1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求函数的解析式； 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】（1）设，则，，即， 所以， 所以. （2）因为是二次函数，所以设. 由，得. 由，得， 整理得， 所以，所以，所以. （3）因为，① 所以，② ②①，得，所以. 18．（2023-24高一上·浙江温州·期中）已知 (1)若 求的值． (2)若 求的值． 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）若时， ， 若时， （舍）或， 综上所述或； （2）令，则, 当时，由已知条件得， 得， 当时，由得（舍去）， 当时，由得（正值舍去）， 当时，由，得（舍去），， 若，，（舍） 若，，无实数解，舍去， 综上所述. 19．（2023-24高一上·重庆渝中·期中）已知函数的定义域是，值域是，，，的定义域和值域分别为，，的定义域为. (1)求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意在函数中，定义域是，值域是 ∴， 在中， 定义域为， 设，， 设且 ∴函数单调递增 ∴， ∴的值域为 （2）由题意及（1）得，， ∴ 在中，的定义域为 ∵“”是“”的充分不必要条件 ∴“”是“”的充分不必要条件 ∴的定义域包括 当时，，，解得：，不符题意，舍去 当时，， 当时，解得：或1 当时，， ，解得：，不符题意，舍去 当且，即时，，解得：或，符合题意 当且，即时， ，解得：或，不符题意，舍去 综上，实数的取值范围为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$