精品解析：广西壮族自治区南宁市第三中学2024-2025学年高二上学期月考（二）（期中）数学试题

南宁三中2024~2025学年度上学期高二月考（二） 数学试题 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求，再求交集. 【详解】，， 所以. 故选：B 2. 复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简复数，进而可求虚部. 【详解】， 故的虚部为， 故选：B 3. 已知空间向量，，且与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值. 【详解】因为空间向量，，且与垂直， 则，解得. 故选：A. 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 若实数m满足，则曲线与曲线的（ ） A. 离心率相等 B. 焦距相等 C. 实轴长相等 D. 虚轴长相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可. 【详解】因为，所以， 所以曲线与曲线都是焦点在轴上的双曲线， ， 所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确； 因为，所以离心率不相等，故A错误； 因为，所以实轴长不相等，故C错误； 因为，所以虚轴长不相等，故D错误. 故选：B. 6. 已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先得，进一步得焦距，由椭圆定义结合得，由此即可进一步求解. 【详解】由题意，所以， 因为，所以， 而，所以， 所以的面积为. 故选：C. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标. 【详解】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为，由可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点在上，结合两点之间的距离公式和椭圆的定义求出，， 即，再利用内切圆的性质得到，即可求出的离心率. 【详解】 设，则，； 由点在上，则有，即， 所以； 又，所以，，则； 如图1，由焦点的内切圆可得：，，， 所以； 又，所以，即， 故选：A． 【点睛】关键点点睛： 本题的关键点是推理出二级结论：点在椭圆上，则，，再结合内切圆的性质，建立关于的等量关系. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若，则直线的倾斜角为 C. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 D. 直线的纵截距为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据每一个选项具体直线，以及直线的性质判断每一个选项即可. 【详解】倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错； 由于的横坐标相等，即直线与轴垂直，故倾斜角为，故B对； 由题设，直线方程为，显然在直线上，故C对； 直线在轴上的截距为，故D对. 故选：BCD 10. 已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点F的坐标为 C. 直线AQ与抛物线相切 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】将代入抛物线可得，即可判断ABD,根据直线与抛物线联立后判别式为0，即可求解. 【详解】将代入中可得，故，,A正确，B错误， ,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确， 由于轴，所以不成立，故D错误， 故选：AC 11. 已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ） A. 无论M，N在何位置，为异面直线 B. 若M是棱中点，则点P的轨迹长度为 C. M，N存在唯一的位置，使平面 D. AP与平面所成角的正弦最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线的概念即可判断A，建立空间直角坐标系，利用坐标运算可判断P的轨迹长度为半径为的圆的，即可判断B，根据法向量与方向向量垂直即可判断C,根据线面角的向量法，结合基本不等式即可求解. 【详解】由于点M到平面的距离为且，所以点P一定在平面外，因此为异面直线，A正确， 当M是棱中点，建立如图所示的空间直角坐标系，设, 故， 且， 由于，故，化简得， 由于，所以点P的轨迹长度为半径为的圆的，故长度为，B正确， 设,则，且， ，, 设平面的法向量为，则 ，令，则, ，故， 由于，故，化简得， 联立，故解不唯一，比如取，则或取，故C错误， 由于平面，平面，故, 又四边形为正方形，所以, 平面， 所以平面， 故平面的法向量为 ， 设AP与平面所成角为，则， 则，当且仅当时取等号， ， 时，令，则， 故， 由于，当且仅当，即时等号成立，此时， 由且可得 因此， 由于，，故的最大值为，故D正确，、 故选：ABD 【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线与之间的距离是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】借助两平行线间的距离公式计算即可得. 【详解】平行直线与之间的距离为. 故答案为：. 13. 若圆与圆相内切，则______ . 【答案】-23 【解析】 【分析】求出两圆的圆心，确定在圆外部，所以圆内切于圆，由圆心距得到方程，计算即可. 【详解】由， 显然， 圆相内切， 将点坐标代入圆方程知，即在圆外部， 所以圆内切于圆， 则有， 解之得. 故答案为： 14. 已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设，先利用余弦定理得，然后根据，两边同时平方得，进而计算可得答案. 【详解】由双曲线的对称性，不妨设在第一象限， 设，又， 所以 ，所以， 因为为的中点，所以，即， 所以两边平方得 ， 所以，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 分别求出适合下列条件的方程： （1）已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）已知圆C的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在抛物线上，根据抛物线定义，确定值，即可求解. （2）由已知, 设出圆C方程，代入原点和，可得的值,即可求得圆C的方程. 【小问1详解】 因为抛物线上一点到焦点的距离为5，准线为， 故，则， 故抛物线标准方程为. 【小问2详解】 因为圆C的圆心在轴上， 则设圆C方程为， 由已知，圆C过原点和， 由已知，解得， 所以圆C方程为. 16. 记的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化，即可求解， （2）根据面积公式可得的值，结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，所以. 根据正弦定理，得， 因为，所以. 又，所以. 【小问2详解】 在中，由已知， 因为 由余弦定理可得，即7， 即，又,所以. 所以的周长周长为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：是等边三角形，是的中点，， 又平面平面， 又平面平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，再由线面垂直的判定定理得到结果即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入空间二面角公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，连接，建立以为原点， 以所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系， 如图所示，底面是边长为4的正方形， 则， ， 则，设平面的法向量为， 则 取，则平面的法向量为， 又平面的法向量为， 平面与平面的夹角的余弦值为 . 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 【答案】（1） （2）证明：如图所示，设， 联立直线与椭圆的方程得， . ， 又 ， 因为点到直线的距离，且， 所以， 综上，的面积为定值. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合三角形面积公式计算可得，即可得； （2）联立直线与椭圆方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，结合面积公式与所给等式计算即可得解. 【小问1详解】 根据题意，， 在椭圆上顶点，此时. 所以，则求椭圆的方程； 【小问2详解】 略 19. 已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. （1）若的离心率为2，求. （2）若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. （3）连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【答案】（1）； （2）当时，； （3）的最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. 【小问1详解】 由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. 【小问2详解】 当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. 【小问3详解】 由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2024~2025学年度上学期高二月考（二） 数学试题 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，且与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若实数m满足，则曲线与曲线的（ ） A. 离心率相等 B. 焦距相等 C. 实轴长相等 D. 虚轴长相等 6. 已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若，则直线的倾斜角为 C. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 D. 直线的纵截距为 10. 已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点F的坐标为 C. 直线AQ与抛物线相切 D. 11. 已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ） A. 无论M，N在何位置，为异面直线 B. 若M是棱中点，则点P的轨迹长度为 C. M，N存在唯一的位置，使平面 D. AP与平面所成角的正弦最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线与之间的距离是__________. 13. 若圆与圆相内切，则______ . 14. 已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 分别求出适合下列条件的方程： （1）已知抛物线的焦点为，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）已知圆C的圆心在轴上，并且过原点和，求圆C的方程. 16. 记的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积为，求的周长. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 19. 已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. （1）若的离心率为2，求. （2）若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. （3）连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $