21.2.4一元二次方程的根与系数的关系　课件　2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1、探索一元二次方程的根与系数的关系（重点） 2、不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题（难点） 3、 通过探索一元二次方程根与系数的关系，培养学生观察、分析问题的能力. 学习目标 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 2.如何用判别式 b 2 - 4 ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax 2 + bx + c = 0( a ≠0) b 2 - 4 ac > 0 时 , 方程有两个不相等的实数根 . b 2 - 4 ac = 0 时 , 方程有两个相等的实数根 . b 2 - 4 ac < 0 时 , 方程无实数根 . 方程的两根 x 1 和 x 2 与系数 a,b,c 还有其它关系吗？ 想一想： 复习引入 解下列方程并完成填空： 方程 两根 两根和 X1+x2 两根积 x1x2 x1 x2 （1）x 2 +3x-4=0 (2) x 2 -5x+6=0 (3)2x 2 +3x+1=0 （1）x 2 +3x-4=0; (2) x 2 -5x+6=0; (3)2x 2 +3x+1=0 (1) 填一填，然后用语言叙述你发现的规律； (2) x 2 + px + q = 0 的两根 x 1 ， x 2 ，用式子表示你发现的规律 . 1 -4 -3 -4 2 3 5 6 -1 探究新知 4 (1) 一元二次方程 ( x - x 1 )( x - x 2 ) = 0 ( x 1 ， x 2 为已知数 ) 的两根是什么？若将此方程化为 x 2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x 1 ， x 2 与 p ， q 之间的关系吗？ ( x - x 1 )( x - x 2 ) = 0 x 2 - ( x 1 + x 2 ) x + x 1 · x 2 = 0 x 2 + px + q = 0 方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式. 重要发现： x 1 + x 2= -p，x 1 · x 2 = q 探究新知 (2) 如果方程二次项系数不为 1 ，对于一般的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) 的两根分别是 x 1 ， x 2 ，它的两根之和、积与系数又有怎样的关系呢？ ax 2 + bx + c = 0 探究新知 注： b 2 - 4 ac ≥ 0 ↗ 证一证 一元二次方程的根与系数的关系： 如果 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) 的两个根为 x 1 ， x 2 ， 那么 注意：满足上述关系的前提条件是 b 2 - 4 ac ≥ 0. （韦达定理） 总结 韦达（1540－1603） 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 典例精析 例 1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积 . (1) x 2 – 6 x – 15 = 0 ； 解： ∵ a = 1 ， b = – 6 ， c = – 15. Δ = b 2 - 4 ac = ( –6 ) 2 – 4 × 1 × (–15 ) = 96 > 0. ∴ 方程有两个实数根 . 设方程的两个实数根是 x 1 ， x 2 ，那么 x 1 + x 2 = – ( –6 ) = 6 ， x 1 x 2 = - 15. 典例精析 (2) 3 x 2 + 7 x - 9 = 0 ； 解：∵ a = 3 ， b = 7 ， c = - 9. Δ = b 2 − 4 ac = 7 2 – 4 × 3 × ( − 9 ) = 157 > 0 ， ∴ 方程有两个实数根 . 设方程的两个实数根是 x 1 ， x 2 ，那么 x 1 + x 2 = - ， x 1 x 2 = 典例精析 (3) 5 x – 1 = 4 x 2 . 解：方程可化为 4 x 2 – 5 x + 1 = 0. a = 4 ， b = – 5 ， c = 1. Δ = b 2 − 4 ac = ( – 5 ) 2 – 4 × 4 × 1 = 9 > 0. ∴ 方程有两个实数根 . 设方程的两个实数根是 x 1 ， x 2 ，那么 x 1 + x 2 = ， x 1 x 2 = . 化为一般式 → 判断 Δ ≥ 0 → 代入 a 、 b 、 c 总结 求两根之和、两根之积的步骤： 练习 一元二次方程 a b c x2－3x＝15 3x2+2＝1 －4x 5x2－1＝ 4x2 +x 2x2－x+2＝3x+1 1 -3 -15 3 4 1 1 -1 -1 2 -4 1 3 -15 4 3 － － 1 3 － 1 -1 2 1 2 － x 13 典例精析 例 2 已知方程 5 x 2 + kx -6=0 的一个根是 2 ，求它的另一个根及 k 的值. 解：设方 程 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，其中 x 1 =2. ∴ x 1 · x 2 =2 x 2 = 即： x 2 = ∵ x 1 + x 2 = 2+ = ∴ k = － 7. 答：方程的另一个根是 ， k = － 7. 想一想：还有其它方法吗？ 典例精析 例 3 不解方程，求方程 2 x 2 + 3 x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和 . 解：根据根与系数的关系可知 知识拓展 常见的求值式子如下： 基础练习 1. 如果 x= 1 是方程3x 2 - 2x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ， m = ____. 1 3 － － －1 2. 已知一元二次方程 x 2 + px + q =0 的两根分别为 -2 和 1 ，则： p = , q = . 1 -2 3 .(泸州中考)已知x1,x2是一元二次方程 x2-3x-5=0 的两个实数根，则 (x1-x2) 2+3x1x2 的值是 　　 ． 4. (泸州中考)若一个菱形的两条对角线长分别是关于x 的一元二次方程 x2-10x+m=0 的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为　　 ． 14 √ 14 课堂小结 同学们，通过今天这一节课的学习，你有哪些收获？ 前提条件 先整理成一般式 二次项系数不为0 确定a,b,c的值 △=b2-4ac ≥0 根与系数的关系 两根之和等于一次项系数b除以二次项系数a的相反数 两根之积等于常数项c除以二次项系数a 应用 作业 1.《实践与探究》第10页1题～6题. 2. 有奖作业《实践与探究》第11页第12题. $$