3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用同步检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

3.1.2 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用（同步检测） 一、选择题 1.直线y＝kx－k与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 2.直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1有公共点，则k的取值范围是(　　) A.k<－或k> B.k≤－或k≥ C.－<k< D.－≤k≤ 3.德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 4.已知过圆锥曲线＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为(　　) A.x－y－3＝0 B.x＋y－2＝0 C.2x＋3y－3＝0 D.3x－y－10＝0 5.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 6.如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为(　　) A. B. C. D. 7.(多选)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　) A.　　　 B.－　　　 C.－　　　 D. 8.(多选)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是(　　) A.a1＋c1＞2(a2＋c2) B.a1－c1＝a2－c2 C.e1＝ D.椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁 二、填空题 9.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米． 10.过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________ 11.若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________________ 12.罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为________平方米(保留小数点后两位)． 三、解答题 13.已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离． 14.已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2. (1)求动点M的轨迹方程； (2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程． 15.如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0)组成，其中a>b>9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点)． (1)求“挞圆”的方程； (2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0,15))，求该网箱所占水面面积的最大值． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A 解析：由消去y得(4＋9k2)x2－18k2x＋9k2－36＝0， Δ＝(－18k2)2－4(4＋9k2)(9k2－36)＝576(2k2＋1)，易知Δ>0恒成立， ∴直线y＝kx－k与椭圆＋＝1的位置关系为相交． 2.B 解析：将y＝kx＋2代入椭圆方程＋＝1，消去y，可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0， ∴Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48， ∵直线和椭圆有公共点，∴72k2－48≥0，∴k≤－或k≥. 3.A 解析：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由题意可得＝， 整理得a＝59c，即＝. ∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是. 4.B 解析：过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)的切线l的方程为＋＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1.与直线l垂直的直线的斜率为－1，故过点A且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0. 5.C 解析：设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，由“切面”所在平面与底面成60°角， 可得＝cos 60°，即a＝2b，所以e＝＝＝. 6.B 解析：如图，l1，l2 是两条与球相切的直线，分别切于点A，C，与底面交于点B，D，设篮球的半径为R， ∴AC＝2R＝22，R＝11， 过点C作CE∥BD 交l1于点E，则CE＝BD， 在△ACE 中，CE＝，∴CE＝22×＝2a，∴a＝＝，b＝R， ∴c＝＝R，∴e＝＝＝. 7.AB　解析：由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0， 解得k＝±． 8.ABC　解析：对A，由题可知a1＝2a2，c1＝a2＋c2＞2c2，所以a1＋c1＞2(a2＋c2)，所以选项A正确；对B，由a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，得a1－c1＝a2－c2，所以选项B正确；对C，由a1＝2a2，c1＝a2＋c2，得＝＝，即e1＝，所以选项C正确；对D，根据选项C知，2e1＝e2＋1＞2e2，所以e1＞e2，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以选项D错误．故选ABC． 二、填空题 9.答案：32 解析：设椭圆方程为＋＝1，当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1，解得a＝16， ∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米． 10.答案： 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，① ＋＝1.② ∵M是线段AB的中点，∴＝1，＝1. ∵直线AB的方程是y＝－(x－1)＋1，∴y1－y2＝－(x1－x2)． 由①②两式相减可得＋＝0，即＋·＝0.∴a＝b，∴c＝b，∴e＝＝. 11.答案：(1,3)∪(3，＋∞) 解析：∵＋＝1表示椭圆，∴m>0且m≠3. 由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0， ∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0.∴m>1且m≠3， ∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)． 12.答案：0.22 解析：由条件可得，竞技场的总面积为π××＝7 332π(平方米)，表演区的面积为π××＝1 161π(平方米)，故观众区的面积为7 332π－1 161π＝6 171π(平方米)，故观众区每个座位所占面积为≈≈0.22(平方米)． 三、解答题 13.解：设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0(a≠4)， 由消x得9y2－2ay＋a2－8＝0， 由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3， ∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，两条直线之间的距离即为所求最短距离， 且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P. 故所求最短距离d＝＝. 由得即P. 14.解：(1)设M(x，y)． 因为kAM·kBM＝－2，所以·＝－2(x≠±1)，化简得2x2＋y2＝2(x≠±1)． 即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)． (2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)． 当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意． 当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y－1＝k，将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2＋y2＝2(x≠±1)，得2x＋y＝2，① 2x＋y＝2，② ①－②整理得k＝＝－＝－＝－1， 故直线l的方程为y－1＝－，即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0. 15.解：(1)由题意知b＝15，a＋9＝34，解得a＝25，b＝15. 所以“挞圆”方程为＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0)． (2)设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形在第二象限内的顶点， 则＋＝1，＋＝1，可得x1＝－x0. 所以内接矩形的面积S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34＝510， 当且仅当＝时，S取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$