精品解析：内蒙古通辽市开鲁县蒙古族中学 2024-2025学年上学年九年级期中考试数学试卷

九年级上册期中考试 一、选择题（本大题共8道小题，每道小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（ ） A. 图象开口向下 B. 当时，有最大值 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象的顶点坐标为 3. 要得到抛物线，需将抛物线（ ） A. 先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 B. 先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 C. 先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 4. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 若函数的图象上有两点、，则（ ） A. B. C. D. 、的大小不确定 6. 若抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 二、填空题（本大题共6道小题，每道小题3分，共18分） 9. 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则－mn＋=_______． 10. 若二次函数图象经过原点，则m的值为____． 11. 如图，已知矩形的长为，宽为，则图中阴影部分的面积为________． 12. 某涵洞是抛物线形，截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点O到水面的距离为，在图中所示的平面直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数表达式是________． 13. 已知抛物线与轴的交点坐标分别是，则关于的一元二次方程的根是_______． 14. 如图，与轴交于，两点（在左边）与轴交于点，是线段上的一点，连结交轴于点，连结，当和的面积之和与的面积相等时，点的坐标为______． 三、解答题（本大题共6道小题，共58分） 15. 解下列一元二次方程： （1） （2） 16. 去年某大型商场在“十月黄金周”期间开展促销活动，前6天的营业额合计为7920万元，第七天的营业额是前6天营业额的10%． （1）求该商场去年“十月黄金周”七天的营业总额； （2）该商场去年7月份的营业额为7200万，7至9月份营业额的增长率相同，“十月黄金周”七天的营业额与9月份的营业额相等，求该商场去年7至9月份营业额的月平均增长率． 17. 在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点A的坐标，请解答下列问题： （1）画出关于原点O对称的图形； （2）将绕点C逆时针旋转，画出旋转后的 . 18. 为提高学生的综合素质，丰富学生的校园生活，某学校的师生们要在一块一边高墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形劳动教育基地，劳动教育基地的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设劳动教育基地的边长为x米，面积为y平方米． （1）判断该劳动教育基地的面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． （2）当x是多少时，劳动教育基地面积y最大？最大面积是多少？ 19. 如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M，试判断的形状； （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 某产品每件成本28元，在试销阶段产品的日销售量y（件）与每件产品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示．为维持市场物价平衡，最高售价不得高出83元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上册期中考试 一、选择题（本大题共8道小题，每道小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 2. 关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（ ） A. 图象开口向下 B. 当时，有最大值 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象的顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得二次函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，则在对称轴右侧随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为 ，， ∴二次函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故A结论正确，不符合题意，D结论错误，符合题意； ∴当时，有最大值，当时，随的增大而减小，故B、C结论正确，不符合题意； 故选：D． 3. 要得到抛物线，需将抛物线（ ） A. 先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 B. 先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 C. 先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度可得抛物线， 故选；B． 4. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0， 解得a＜1且a≠0． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 5. 若函数的图象上有两点、，则（ ） A. B. C. D. 、的大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．先判定二次函数的对称轴与开口方向，再利用二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：函数的对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴函数的图象开口向上， ∴时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 6. 若抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用顶点式写出顶点坐标，再根据第一象限点的特征列不等式即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 又∵顶点在第一象限， ∴，解得：， 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数顶点式的应用，能依据解析式写出顶点坐标并通过第一象限点的特征列不等式求解是解题关键． 7. 若方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，则，，再把变形为，最后代值计算即可． 【详解】解：∵方程的一个根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：A． 8. 已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形性质，会代入一些特殊值进行计算．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①抛物线的开口向上， 与轴的交点为在轴的负半轴上， 对称轴为， 同号，即， 故①错误； ②当时，函数值为2， 故②正确； ④当时，， 又， 故④正确； ③对称轴， 解得：， 由④得 故③错误； 综上所述，其中正确的结论是②④； 故选：D． 二、填空题（本大题共6道小题，每道小题3分，共18分） 9. 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则－mn＋=_______． 【答案】25 【解析】 【详解】试题分析：由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n=4，mn=﹣3，将所求式子利用完全平方公式变形后，即﹣mn+=﹣3mn=16+9=25． 故答案为25． 考点：根与系数的关系． 10. 若二次函数图象经过原点，则m的值为____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 整理得， 解得或， ， ． 故答案为：3． 11. 如图，已知矩形的长为，宽为，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称．根据中心对称的性质可知，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：根据题意观察图形可知，长方形的面积， 再根据中心对称的性质得： 图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半， 则图中阴影部分的面积． 故答案为：． 12. 某涵洞是抛物线形，截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点O到水面的距离为，在图中所示的平面直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为，根据，涵洞顶点O到水面的距离为，那么A点坐标应该是，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设此抛物线所对应的函数表达式为：， ∵，涵洞顶点到水面的距离为， ∴点坐标应该是， 把点代入得：， 解得：， 故涵洞所在抛物线的函数表达式． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，注意结合题意列出式子求出解析式是解题关键． 13. 已知抛物线与轴的交点坐标分别是，则关于的一元二次方程的根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的解，据此可得答案． 【详解】解；∵抛物线与轴的交点坐标分别是， ∴关于的一元二次方程的根是， 故答案为：． 14. 如图，与轴交于，两点（在左边）与轴交于点，是线段上的一点，连结交轴于点，连结，当和的面积之和与的面积相等时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出线段AC一次函数为、过的一次函数解析式为，求出，根据面积相等列出等式求出P点坐标． 【详解】∵与x轴交于A，B两点（A在左边）与y轴交于C点， ∴ 设过线段一次函数解析式为， 把坐标代入解析式可得∶ ， ∴， 设，过的一次函数解析式为， 把坐标代入解析式可得∶ ∴， ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了二次函数的面积与交点坐标的问题，解题的关键是求出交点坐标，把三角形面积表示出来． 三、解答题（本大题共6道小题，共58分） 15. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）首先找出，求得，利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 开平方得， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴，． 16. 去年某大型商场在“十月黄金周”期间开展促销活动，前6天的营业额合计为7920万元，第七天的营业额是前6天营业额的10%． （1）求该商场去年“十月黄金周”七天的营业总额； （2）该商场去年7月份的营业额为7200万，7至9月份营业额的增长率相同，“十月黄金周”七天的营业额与9月份的营业额相等，求该商场去年7至9月份营业额的月平均增长率． 【答案】（1）8712 （2）20% 【解析】 【分析】（1）用前6天的营业额乘以10%加上前6天的营业额即可； （2）设该商场去年7至9月份营业额的月平均增长率为x，列方程，求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：（元）， 答：该商场去年“十月黄金周”七天的营业总额为8712元； 【小问2详解】 解：设该商场去年7至9月份营业额的月平均增长率为x， ， 解得x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）， 答：该商场去年7至9月份营业额的月平均增长率为10%． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，有理数的混合运算，正确掌握增长率问题的一元二次方程的解决方法是解题的关键． 17. 在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点A的坐标，请解答下列问题： （1）画出关于原点O对称的图形； （2）将绕点C逆时针旋转，画出旋转后的 . 【答案】 （1）如图所示： （2） 如图所示. 【解析】 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A2、B2即可得到△A2B2C． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 18. 为提高学生的综合素质，丰富学生的校园生活，某学校的师生们要在一块一边高墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形劳动教育基地，劳动教育基地的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设劳动教育基地的边长为x米，面积为y平方米． （1）判断该劳动教育基地的面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． （2）当x是多少时，劳动教育基地面积y最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）能， （2）当是15时，劳动教育基地面积最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意利用墙长20米判定是否符合题意． （1）根据为x米，得到米，再结合长方形的面积列方程，即可解答； （3）利用面积计算方法列出二次函数，用配方法求最大值解答问题． 【小问1详解】 解：由题意可知为米，则米， ∵矩形的面积， ∴， 整理得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴当时，劳动教育基地面积能达到150平方米； 【小问2详解】 解：由（1）可知 ，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取最大值，最大值为， 答：当是15时，劳动教育基地面积最大，最大面积是平方米． 19. 如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M，试判断的形状； （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）是直角三角形 （3）存在，点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）由抛物线与x轴交于，两点，得，将代入可得抛物线的解析式为； （2）由，得抛物线的顶点，即知，故是直角三角形； （3）设点P的横坐标为t，则由三角形的面积公式可表达的面积，建立关于t的方程，求出t即可． 【小问1详解】 解：由抛物线与x轴交于两点， 则函数关系式为：， ∴， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 是直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 存在，理由如下： ∵， ∴， 设点P的横坐标为t，则， ∴的面积为：， ∴， 解得， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，坐标与图形的性质，勾股定理逆定理，三角形的面积，一元二次方程的解法等知识点，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． 20. 某产品每件成本28元，在试销阶段产品的日销售量y（件）与每件产品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示．为维持市场物价平衡，最高售价不得高出83元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）每件产品的日销售价应定为70元，此时每日销售利润是882元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）根据函数图象可知该函数分为三段，然后分别设出相应的函数解析式，根据图象提供的信息求出相应的函数解析式即可解答本题； （2）根据第（1）问中的函数解析式可以求出所对应的利润，然后求出各段的最大利润然后进行比较即可解答本题． 【小问1详解】 解：当时，设此段的函数解析式为：， 则，解得，， ∴当时，函数的解析式为：； 当时，设此段函数的解析式为：， 则解得， ，， ∴当时，函数的解析式为： ； 当时，； 由上可得，y与x之间的函数关系式是： ； 【小问2详解】 当时， ， ∴当时取得最大值，最大值为元； 当时， = = ∴当时，取得最大值，最大值为元； 当时， ∴当时，取得最大值，最大值为元； 由上可得，当时，每日点的销售利润最大，最大为元， 即要使每日的销售利润w最大，每件产品的日销售价应定为70元，此时每日销售利润是882元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $