江苏省无锡市宜兴市2023-2024学年九年级数学中考模拟考试卷（6）

中考数学模拟卷6 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．实数4的平方根是　　 A． B． C．4 D． 2．要使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1 B．x≠1 C．x≠±1 D．x≠0 3．下列各组解是二元一次方程的解的是　　 A． B． C． D． 4．下列整式计算正确的是　　 A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，函数的图象经过一系列的平移得到一次函数的图象，且经过点，则的值为　　 A．4 B． C．3 D． 6．北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 7．下列命题是真命题的是（　　） A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B．两边和一角分别相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的一个内角角平分线必垂直平分这个角的对边 D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 8．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是　　 A． B．8 C．10 D．34 （第8题） （第9题） （第10题） 9．如图，中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，若点的对应点恰好落在边上，连接，则的值为　　 A． B． C． D． 10．如图，已知在四边形中，为对角线，，，，在边上取一点，连接、．若，现有下列五个结论：①；②与互余；③平分；④，⑤，其中正确的命题个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．分解因式：　　． 12．截至2022年底，我国高速公路通车里程177000公里，稳居世界第一．177000用科学记数法可以表示成为 　　． 13．已知关于的分式方程，则该分式方程的解为 　　． 14．若一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则该圆锥的表面积（侧面加底面）是 　　．（结果保留 15．请写出一个图象过点的函数表达式：　　． 16．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．则该店有客房　　间． 17．如图，动点在函数的图象上运动，轴于，轴于，线段、分别与直线交于点、，则的值等于 　　． 18．在平面直角坐标系中，直线为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接，．有以下说法： ①； ②当时，的值随的增大而增大； ③当时，； ④面积的最小值为． 其中正确的是 　　．（写出所有正确说法的序号） 三．解答题（共10小题，共96分 ） 19．（本题满分8分） （1）化简：（3a2）2•（﹣a）3÷a﹣（﹣2a3）2．（2）计算：． 20．（本题满分8分） （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21．（本题满分10分）已知，如图，为的高，在上，且，，延长交于 （1）找出图中一对全等三角形，并证明你的结论． （2）若，且，求的面积． 22．（本题满分10分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们标号为1、2、3、4，从中随机摸出两个小球． （1）用列表或树状图法求摸出的小球标号的和等于5的概率； （2）直接写出摸出的小球标号的和不大于6的概率是 　　． 23．（本题满分10分）2023年9月，为了更好地落实“双减”政策，增强课后服务的时效性，某中学定于每周二、周四下午进行兴趣社团课“走班制”，开设了5类兴趣社团课（每位学生均只选其一）．音乐；．体育；．美术；．信息技术；．演讲．为了了解该校学生的参与情况，现随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查的学生人数为 　　人，并补全条形统计图； （2）求“”类兴趣社团课所对应扇形的圆心角的度数； （3）该校现有学生1800人，请你估算该校参加“”类兴趣社团课的学生有多少人？ 24．（本题满分10分）【数学认识】数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系． 【构造模型】（1）如图①，已知，在直线上用直尺与圆规作点，使得：．（不写作法，保留作图痕迹） 【应用模型】已知是的内接三角形． （2）如图②，若的半径，，求的最大值并说明理由． （3）如图③，已知线段，为的弦，用直尺与圆规作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 25．（本题满分10分）如图，在三角形中，，以为直径的圆经过点，过点作圆的切线交延长线于点，点是圆上一点，点是劣弧的中点，弦的延长线交切线于点． （1）判断与的数量关系并证明； （2）若，求圆的半径． 26．（本题满分10分）中国最重要的传统节日之一春节，除了有热烈的庆祝活动和丰盛的美食外，长辈发压岁钱给晚辈表达美好的祝福也是春节习俗的重要组成部分．为迎接2024年龙年春节的到来，某工厂计划安排甲车间生产16000个龙年布艺红包袋．根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产360个布艺红包袋，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产680个布艺红包袋． （1）从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要多少天？ （2）由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的布艺红包袋数量之比为，且改进工艺后两个车间完成剩下生产任务的天数之和为10天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺红包袋？ 27．（本题满分10分）如图1，在菱形中，，，点为边上的动点． （1）求菱形的面积； （2）为边上一点，连接，将沿进行翻折，点恰好落在边的中点处，求的长； （3）如图2，延长到，使，连接与，且与交于点，当点从点沿方向运动到点时，求点运动路径的长． 28．（本题满分10分）已知：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴正半轴上的一个动点，过点的直线与二次函数的图象交于、两点． （1）若、两点的横坐标分别为、4，求直线的函数关系式； （2）若，为的中点，且点，，求的值； （3）连接、，若，的面积为1，求点的坐标． 中考数学模拟卷6 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．实数4的平方根是　　 A． B． C．4 D． 【解答】解：， 的平方根为， 故选：． 2．要使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣1 B．x≠1 C．x≠±1 D．x≠0 【解答】解：根据题意得，x﹣1≠0， 解得x≠1． 故选：B． 3．下列各组解是二元一次方程的解的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：当时， 左边右边， 选项不是原方程的解； 当时， 左边右边， 选项不是原方程的解； 当时， 左边右边， 选项是原方程的解； 当时， 左边右边， 选项不是原方程的解． 综上，是二元一次方程的解． 故选：． 4．下列整式计算正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，故错误，不符合题意； ，，故正确，符合题意； ，故错误，不符合题意； ，故错误，不符合题意； 故选：． 5．在平面直角坐标系中，函数的图象经过一系列的平移得到一次函数的图象，且经过点，则的值为　　 A．4 B． C．3 D． 【解答】解：把点代入，得． 解得． 故选：． 6．北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：依题意得， 故选：． 7．下列命题是真命题的是（　　） A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B．两边和一角分别相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的一个内角角平分线必垂直平分这个角的对边 D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 【解答】解：A．两腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，故A选项不符合题意； B．两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等，故B选项不符合题意； C．等腰三角形的顶角角平分线必垂直平分这个角的对边，故C选项不符合题意； D．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故D选项符合题意． 故选：D． 8．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是　　 A． B．8 C．10 D．34 【解答】解：， ， 和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和5的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角三角形和，并使直角边和在同一直线上向右平移直角三角形使点和重合，这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”，根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 当、、共线时，最小， 在中，， 的最小值是10． 故选：． 9．如图，中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，若点的对应点恰好落在边上，连接，则的值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图：设，交于点，， 在中，， ， ， 由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 由旋转可知：， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 10．如图，已知在四边形中，为对角线，，，，在边上取一点，连接、．若，现有下列五个结论：①；②与互余；③平分；④，⑤，其中正确的命题个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：①设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点、、、共圆， ， 故①正确； ②由①得：， ， ， 故②正确； ③由①得：点、、、共圆， ，， ， ， 故③正确； ④如图1， 作于， 由③得：平分， ， ， 点、、、共圆， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故④正确； ⑤如图， ，，， ， ， ， ， ， ， 故⑤不正确， 故选：． 二．填空题（共8小题） 11．分解因式：　　． 【解答】解：原式， 故答案为：． 12．截至2022年底，我国高速公路通车里程177000公里，稳居世界第一．177000用科学记数法可以表示成为 　　． 【解答】解：177000用科学记数法可以表示成为． 故答案为：． 13．已知关于的分式方程，则该分式方程的解为 　　． 【解答】解：方程两边都乘以得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解， 故答案为：． 14．若一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则该圆锥的表面积（侧面加底面）是 　　．（结果保留 【解答】解：由题意知底面圆的直径为，母线上为， 所以圆锥的侧面积， 圆锥的底面积为， 故该圆锥的表面积 故答案为：． 15．请写出一个图象过点的函数表达式：　（答案不唯一）　． 【解答】解：函数经过点． 故答案为：（答案不唯一）． 16．列方程（组解应用题：某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．则该店有客房　8　间． 【解答】解：设该店有客房间，根据题意得 ， 解得， 答：该店有客房8间． 故答案为：8． 17．如图，动点在函数的图象上运动，轴于，轴于，线段、分别与直线交于点、，则的值等于 　1　． 【解答】解：如图，过点、分别作、， ，， 两式相乘，得， 直线交坐标轴与，，两点， ，， 在的图象上， ，代入中， 得， 解得． 故答案为：1． 18．在平面直角坐标系中，直线为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接，．有以下说法： ①； ②当时，的值随的增大而增大； ③当时，； ④面积的最小值为． 其中正确的是 　③④　．（写出所有正确说法的序号） 【解答】解：设，，其中，． 联立与得：，即， ，． 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得，， ． 令，得， 直线与轴的交点坐标为，． 同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点坐标为，． ， 直线、与轴的交点关于轴对称，即直线、关于轴对称． （1）说法①错误．理由如下： 如答图1所示，、关于轴对称， 点关于轴的对称点落在上． 连接，则，． 假设结论：成立，即， ， 又， ， ， ． 而是的外角， ，矛盾， 说法①错误． （2）说法②错误．理由如下： 易知：， ． 由对称可知，为的角平分线， ， ． ． 如答图2所示，过点作轴于点，则，． ， ，， ． ． 即：为定值，所以说法②错误． （3）说法③正确．理由如下： 当时，联立方程组：，得，，，， ，， ，故说法③正确． （4）说法④正确．理由如下： ， 当时，面积有最小值，最小值为． 故说法④正确． 综上所述，正确的说法是：③④． 故答案为：③④． 三．解答题（共10小题） 19．计算 （1）（3a2）2•（﹣a）3÷a﹣（﹣2a3）2． （2）． 【解答】解：（1）原式＝9a4•（﹣a3）÷a﹣4a6 ＝﹣9a6﹣4a6 ＝﹣13a6； （2）原式＝﹣1×5+1+9 ＝﹣5+1+9 ＝5． 20．（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【解答】解：（1）， ， 或， 解得，； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 21．已知，如图，为的高，在上，且，，延长交于 （1）找出图中一对全等三角形，并证明你的结论． （2）若，且，求的面积． 【解答】解：（1）， ， ， 在与中， ， ； （2）， ，， ， ， ， ， ， ， ． 22．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们标号为1、2、3、4，从中随机摸出两个小球． （1）用列表或树状图法求摸出的小球标号的和等于5的概率； （2）直接写出摸出的小球标号的和不大于6的概率是 　　． 【解答】解：（1）列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 共有12种等可能的结果，其中摸出的小球标号的和等于5的结果有：，，，，共4种， 摸出的小球标号的和等于5的概率为． （2）由表格可知，摸出的小球标号的和不大于6的结果有：，，，，，，，，，，共10种， 摸出的小球标号的和不大于6的概率为． 故答案为：． 23．2023年9月，为了更好地落实“双减”政策，增强课后服务的时效性，某中学定于每周二、周四下午进行兴趣社团课“走班制”，开设了5类兴趣社团课（每位学生均只选其一）．音乐；．体育；．美术；．信息技术；．演讲．为了了解该校学生的参与情况，现随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查的学生人数为 　40　人，并补全条形统计图； （2）求“”类兴趣社团课所对应扇形的圆心角的度数； （3）该校现有学生1800人，请你估算该校参加“”类兴趣社团课的学生有多少人？ 【解答】解：（1）此次调查的学生人数为：（人， 类人数为（人， 补全条形统计图如下： 故答案为：40； （2）， 答：“”类兴趣社团课所对应扇形的圆心角的度数为； （3）（人， 答：估算该校参加“”类兴趣社团课的学生有405人． 24．【数学认识】 数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系． 【构造模型】 （1）如图①，已知，在直线上用直尺与圆规作点，使得：．（不写作法，保留作图痕迹） 【应用模型】 已知是的内接三角形． （2）如图②，若的半径，，求的最大值并说明理由． （3）如图③，已知线段，为的弦，用直尺与圆规作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【解答】解：（1）如图①，延长至，使，连接，过点作，延长，使，连接； 则和即为所求； （2）如图②，连接并延长至，使得，连接， ， 为定角， 为定角， 当最长时，即时，最长， ，， ，， ， 的最大值为； （3）如图③， 第1步：作的垂直平分线交于点； 第2步：以点为圆心，为半径作； 第3步：以为圆心，的长为半径画弧交于点； 第4步：连接交于点． 则． 25．如图，在三角形中，，以为直径的圆经过点，过点作圆的切线交延长线于点，点是圆上一点，点是劣弧的中点，弦的延长线交切线于点． （1）判断与的数量关系并证明； （2）若，求圆的半径． 【解答】解：（1），理由如下： 如图，连接． 过点作圆的切线交延长线于点， ， ， 以为直径的圆经过点， ， ，， ， ， ， ； （2）由（1）可知，，， ， 点是劣弧的中点， ， ， ， 在中，设， 由勾股定理，得：， 解得： （不合题意，舍去），， ， 在直角三角形中，同理可求， 的半径为2． 26．列方程解应用题 中国最重要的传统节日之一春节，除了有热烈的庆祝活动和丰盛的美食外，长辈发压岁钱给晚辈表达美好的祝福也是春节习俗的重要组成部分．为迎接2024年龙年春节的到来，某工厂计划安排甲车间生产16000个龙年布艺红包袋．根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产360个布艺红包袋，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产680个布艺红包袋． （1）从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要多少天？ （2）由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的布艺红包袋数量之比为，且改进工艺后两个车间完成剩下生产任务的天数之和为10天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺红包袋？ 【解答】解：（1）设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要天， 则， 解得：， 答：从开始加工到完成这批布艺红包袋．一共需要18天． （2）设甲车间每天生产个，乙车间每天生产个布艺红包袋． 4天后还剩：（个， 由题意得：， 解得： 经检验：是原分式方程的解，且符合题意． 改进后甲每天产量：（个． 答：改进工艺后，甲车间每天生产1120个布艺红包袋． 27．如图1，在菱形中，，，点为边上的动点． （1）求菱形的面积； （2）为边上一点，连接，将沿进行翻折，点恰好落在边的中点处，求的长； （3）如图2，延长到，使，连接与，且与交于点，当点从点沿方向运动到点时，求点运动路径的长． 【解答】解：（1）连接，过点作于点， 四边形是菱形，且， 为等边三角形，， 为的中点，且， ； （2）将沿进行翻折，使点落在中点处， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， （3）如图，延长至点，使，连接交于点，连接并延长交于点，设与交于点，连接并延长交于点． 四边形是菱形， ， ， ， 点为中点， ， 又， ，， ， ， 点运动路径为线段， 过点作交延长线于， 在中，，，， ，． 在中，，，， ， ， ， 点运动路径的长为． 28．已知：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴正半轴上的一个动点，过点的直线与二次函数的图象交于、两点． （1）若、两点的横坐标分别为、4，求直线的函数关系式； （2）若，为的中点，且点，，求的值； （3）连接、，若，的面积为1，求点的坐标． 【解答】解：（1）由、两点的横坐标分别为、4，代入数求得，， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为； （2）过作轴于，过作轴于，如图 轴，轴， ， ， ， ， ，， 设，则， 、两点在二次函数的图象上， ，， ，， ， 而， ，， ， 为的中点， ，， 又， ， ； （3）过作轴于，过作轴于，如图 设，， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为， 令得， ， ， 的面积为1， ， ①， ， ， 又， ， ，即， ②， 把②代入①得：， ③， 把③代入②得： ， 解得， ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/1/29 14:30:42；用户：吴义斌；邮箱：13861507362；学号：20527448 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$