小升初典型奥数：追及问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

追及问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、追及问题的概念： 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题． 二、追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差＝速度差×追及时间 追及时间＝距离差÷速度差 速度差＝距离差÷追及时间 速度差＝快速﹣慢速 三、解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 第二部分 典型例题 例题1：一个环形跑道长400米，两人同时从同一地点同一方向比赛跑步，甲每分钟跑220米，乙每分钟跑200米。多少分钟后甲能第一次追上乙？这时，甲跑了多少米？ 【答案】20分钟，4400米。 【分析】甲第一次追上乙时，甲比乙多跑一圈，用甲比乙多跑的路程除以两人的速度差，就是甲追上乙所用的时间，再用这个时间乘甲的速度，就是追上乙时甲跑了多少米。 【解答】解：400÷（220﹣200） ＝400÷20 ＝20（分钟） 220×20＝4400（米） 答：20分钟后甲能第一次追上乙，这时甲跑了4400米。 【点评】解答此题的关键是掌握并灵活运用追及问题的基本数量关系：速度差×追及时间＝追及路程。 例题2：星期天，东东从家去少年宫学画画。刚走5分钟，妈妈发现东东忘带油画棒，于是立即去追。东东速度是50米/分，妈妈速度是75米/分，妈妈追上东东要走多少分钟？ 【答案】10分钟。 【分析】根据“路程＝速度×时间”求出追击路程，根据“追及时间＝追及路程÷速度差”即可求解。 【解答】解：50×5÷（75﹣50） ＝250÷25 ＝10（分钟） 答：妈妈追上东东要走10分钟。 【点评】本题考查了简单的追及问题。 例题3：小丽和爸爸准备从琅球山大门向欧阳修纪念馆方向进行跑步比赛，为公平起见，爸爸让小丽先跑3分钟，然后再去追。已知爸爸跑步的平均速度为90米/分，小丽跑步的平均速度为60米/分。 （1）小丽先跑了多少米？ （2）爸爸出发后，经过几分钟能追上小丽？ 【答案】（1）180米。 （2）6分钟。 【分析】（1）根据路程＝速度×时间直接计算。 （2）根据间隔距离÷速度差＝追及时间直接计算。 【解答】解：（1）60×3＝180（米） 答：小丽先跑了180米。 （2）180÷（90﹣60） ＝180÷30 ＝6（分钟） 答：爸爸出发后，经过6分钟能追上小丽。 【点评】解答本题的关键是熟记并理解：间隔距离÷速度差＝追及时间。 例题4：两辆汽车从同一起点出发，沿同一路线同向而行，第一辆汽车每小时行驶80千米，出发1小时后第二辆汽车出发。第二辆汽车每小时行驶120千米，几小时能追上第一辆汽车？ 【答案】2小时。 【分析】由题意可知，两辆汽车的路程差为80千米，也就是追及路程为80千米，根据“追及路程÷速度差＝追及时间”。代入数据即可解答。 【解答】解：80÷（120﹣80） ＝80÷40 ＝2（小时） 答：2小时能追上第一辆汽车。 【点评】此题属于简单的追及应用题，此类题的解答方法是根据“追及路程÷速度差＝追及时间”，代入数值，计算即可。 第三部分 高频真题 1．甲、乙两个学生从学校到少年活动中心去，甲每分钟走60m，乙每分钟走50m。乙走了4分钟后甲才开始走。甲要走多少分钟才能追上乙？ 2．甲、乙、丙三人从同一地点A地前往B地，甲、乙二人早上8点一起从A地出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，丙上午11点才从A地出发．晚上8点，甲、丙同时到达B地．求：丙在几点钟追上了乙？ 3．龟兔赛跑，全程1800米。乌龟每分爬15米，兔子每分跑400米。发令枪响后，兔子一会儿就把乌龟远远地甩在后面，骄傲的兔子自以为跑得快，在途中美美地睡了一觉，结果乌龟到达终点时，兔子离终点还有200米。兔子在途中睡了多少分？ 4．已知A、B两地相距7200米，甲、乙两人均骑车同时从A地出发，向B地匀速行驶，甲每分钟走300米，乙每分钟走400米，乙到达B地后立即将速度提高100米/分掉头返回A地，而甲也立即将速度提高100米/分进续向B地行驶，当甲到达B地时，两人同时停止运动，若两人距离超过1000米时视为处于信息“闭塞状态，求整个过程中两人处于信息闭塞状态的时间共有多少分钟？ 5．在一个490米长的圆形跑道上，甲、乙两人从相距50米的A、B两地，同时相背出发，相遇后，乙返回，甲方向不变，继续前进，甲的速度提高五分之一，乙的速度提高四分之一，当乙回到B地时，甲刚好回到A地，此时他们都按现有速度与方向前进，请问：当甲再次追上乙时，甲一共走了多少米？ 6．甲乙两人驾车同时从A地出发，同向而行，甲先出发，半小时后乙以每小时80千米的速度追甲，若乙进行了3.5小时后追上甲，则甲的速度为每小时为多少？ 7．A、B两地之间的距离是50千米，甲、乙两车同时从A出发向B地行驶，在A、B之间不断往返．已知甲车的速度是每小时87千米，乙车的速度是每小时57千米，请问：第6次甲追上乙时的地点距A地多少千米？ 8．小明骑车以每分钟300米的速度从1路车的始发站出发，沿1路车线路前进，小明离开出发地2800米时，一辆1路车开出了始发站．这辆车每分钟行500米，行5分钟到达一站并停车1分钟．这辆车追上小明需要多少分钟？ 9．小俊走路去上学，他的速度为60米/分钟。妈妈在收拾东西的时候，发现小俊没有带数学书，此时小俊已经出发了7分钟。于是妈妈立刻骑自行车从家出发去追小俊，妈妈骑自行车的速度为200米/分钟。问妈妈从家出发算起到追上小俊，一共用了多久？ 10．甲、乙两人同时从B地出发，乙朝A地前进，甲以15千米/时的速度反方向朝C地前进，一小时后甲、乙两人正好分别到达A地和C地，乙继续前进，甲从C地返回追乙，经14小时甲在D地追上乙，乙的速度是多少？ 11．小力和妈妈在小区里一条环形小路上跑步．他们同时从同一地点出发，同向而行，小力的速度是5米/秒，妈妈的速度是3米/秒．经过2分钟，小力追上妈妈．这条环形小路长多少米？ 12．甲、乙两港相距215千米，客、货两船都从甲港开往乙港，货船每时行28千米，客船每时行36千米，货船先行1时后，客船才出发．客船出发几时后能追上货船？ 13．小丁丁和小巧先后沿同一条马路从学校出发去电影院观看电影。小巧先行40米后小丁丁再出发，小巧平均每分钟走72米，小丁丁出发10分钟在途中追上小巧。小丁丁平均每分钟走多少米？ 14．甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是320米/分，乙的速度是280米/分，经过几分钟甲第二次追上乙？ 15．一只野兔逃出80步后猎狗才追它，野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步，猎狗跑4步的时间兔子能跑9步．猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？ 16．小甬从家到相距12千米的外婆家，当他走了2千米时，发现少带了一件东西，于是打电话给家中的爸爸，爸爸立即以每小时7千米的速度去追他。当爸爸追上小甬后，又立即以原速返回家，当小甬到外婆家时，爸爸也恰好回到家，小甬每小时行多少千米？ 17．小明出去旅游，突然忘记了一样重要的物品没带，于是回家去取，回来时旅游车已经出发，小明拦下一辆出租车。司机说如果每小时行80千米，1小时30分钟就可以追上了，如果每小时行90千米，42分钟就能追上了。求旅游车的速度？ 18．一辆轿车和一辆货车都从甲城开往乙城，轿车平均每时行90km，货车平均每时行60km。货车开出2时后，轿车才出发。轿车开出几时后才能追上货车？ 19．乙的速度是甲速度的，两人分别由A、B两地同时出发，如果相向而行1小时可以相遇；如果同向而行甲需要多少小时才能追上乙？ 20．已知甲车速度为每小时60千米，乙车速度为每小时40千米。甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到30分钟，第二天，甲、乙分别从B、A两地出发以各自原来的速度同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1.5小时。求第二天乙车返回B地花了多长时间。 21．一天，妈妈发现小红上学时忘记带语文书，此时小红离家320米，小红继续往学校走，小红每分钟走60米，妈妈从家里出发每分钟走80米．15分钟妈妈能追上小红吗？锦资妙计，先求出妈妈每分钟比小红多走的米数． 22．和平小学的师生步行去春游．队伍走出10.5千米时，王东骑自行车去追，经过1.5时追上．已知王东骑自行车的速度是师生步行速度的3.5倍．王东和师生每时各行多少千米？ 23．曲妍和曲婷从学校出发去市图书馆。曲妍每分钟走70m，曲婷每分钟走60m。曲婷走了4分钟后曲妍才出发，且曲妍在中途能追上曲婷。曲妍需要多少分钟才能追上曲婷？ 24．甲乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是190米/分，乙的速度是150米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？ 25．弟弟和哥哥跑步，如果弟弟先跑20米，哥哥跑10秒可以追上，如果弟弟先跑4秒，那么哥哥8秒可以追上．求弟弟和哥哥的速度． 26．甲骑车，乙跑步，两人同时从一点出发沿着4千米的环形公路同方向进行晨练。出发10分钟后，甲便从乙身后追上了乙，已知两人的速度和是每分钟行700米，求甲、乙两人的速度各是多少。 27．甲、乙、丙三人汽车同时从同一地点出发，沿着同一公路追赶前面的一个行人．这三个骑车人分别用6分钟，10分钟，12分钟追上行人．已知甲每小时行96千米，乙每小时行63千米，那么丙每小时行多少千米？ 28．A、B两地相距600千米，甲行完全程要25小时，乙行完全程要20小时，甲从A地出发，4小时后乙也从A地出发．乙要行多少路才能追上甲？ 29．汽车和自行车分别从A、B两地同时出发相向而行，汽车每小时行60千米，自行车每小时行12千米，两车相遇后，各自仍按原方向行驶，汽车到达B地后立即返回，当追上自行车时，距A地还有45千米，A、B两地相距多少千米？ 30．甲车沿直线行驶，速度为每小时55千米，1.5小时后乙车从相同地点出发，速度为每小时65千米，乙车追上甲车需要多长时间？ 31．甲、乙两车同时从黔江南站沿同一高速路开往重庆，甲车每小时行80千米，乙车的速度是甲车的1.5倍，行了2.8小时后，两车相距多少千米？ 32．（行程问题）甲、乙、丙同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，不断往返运动。已知山坡长360米，甲、乙、丙的速度比为6：5：4，并且甲、乙、丙的下山速度都是各自上山速度的1.5倍。经过一段时间后，甲到达山顶时，看见乙正在下山，此时乙距离山脚不到180米（乙不在山脚）。求此时丙离山顶的距离。 33．轿车每小时行80千米，货车每小时行60千米．如果两车同时从甲乙两地相对开出，3小时可以相遇．如果两车同时同向而行，轿车追上货车需要多少小时？ 34．甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，第一次在距中点100米处相遇，甲继续按原速度向B行驶，乙也继续以原速度向A行驶，当甲到达B地后立刻返回，结果又在距中点300米处追上了乙，则A、B两地之间的距离是多少米？ 35．邮政投递站C位于A村与B村之间（A、B、C在同一直线上）。投递员甲去A村送信，出发8分钟后，投递员乙去B村送另一封信。乙出发后8分钟，站长发现甲、乙刚好把两封信拿错了，于是站长从投递站出发骑车去追赶甲和乙，以便把信拿回邮政投递站。已知甲和乙的速度相等，站长的速度是甲、乙速度的3倍，站长从出发到把信调过来后返回投递站至少要用多少时间？ 36．甲、乙两人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙；若乙比甲先跑2秒，则甲跑4秒能追上乙。问：两人每秒各跑多少米？ 37．小钱和小塘是同班同学且住在同一幢楼。早上7：40分，小钱出发骑车去学校，7：46分时追上一直匀速步行的小塘，这时想起未带马克笔，立即将速度提高到原来的2倍返回，到家拿好笔之后继续出发去学校，结果两人在8：00同时到达学校，已知小钱在家找笔花了6分钟，那么小塘是几时从家出发的？ 38．甲、乙、丙兄弟三人骑自行车旅行，约好到某地集合，甲、乙二人早上6时一起从家中出发，甲每小时行15km，乙每小时行12km，丙因有事，到早上8时才从家中出发，下午6时，甲、丙同时到达该地，丙何时追上乙？ 39．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲先行2小时后，乙才出发，甲每小时行60千米，乙每小时行80千米，当乙追上甲时，行了多少千米？ 40．小东和小明是两兄弟，小东从家步行去学校，每分钟走80米．走了8分钟后，小明从家骑自行车去追小东，结果在距家960米的地方追上小东．小明骑自行车每分钟行驶多少米？ 41．一支队伍长50米，以每秒2米的速度前进，一人以每秒3米的速度从队尾赶到队头，然后再返回队尾，一共要用几分钟？ 42．小巧和小亚从学校出发去少年宫，小巧每分钟走64米，她先走338米后小亚才出发．小亚每分钟走77米，小亚几分钟后在途中追上小巧？ 43．小明8：00从A地骑车出发，11：00到达B地，小华开车从A地出发，速度是小明的3倍；追上小明后，速度增加为小明的4倍。如果小华9：30到达B地，那么小华是在什么时候出发的？ 44．小巧以65米/分的速度，步行从家里出发去少年宫．出发16分钟后，妈妈发现小巧把垃圾分类资料忘了，于是骑车以195米/分的速度去追．已知小巧家与少年宫之间的路程是2100米．妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她吗？ 45．小明和小军两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。20分钟后小明第一次追上了小军。小明的速度是230米/分，小军的速度是多少米/分？ 46．一辆客车从A城开出，以50千米/时的速度行了2小时后，一辆小轿车从A城开出，沿同一条路紧紧追赶，速度为80千米/时。轿车几小时后可追上客车？ 47．小明上学10分钟后，爸爸发现他的数学书没带，就以小明步行6倍的速度骑车去追，追上把书给小明后立即返回，当爸爸回到家时，小明刚好也走到学校，小明从家走到学校一共要多少分钟？ 48．大客车和小轿车同时从甲地开往乙地。大客车平均每小时行65km，经过6小时后，小轿车领先大客车150km。小轿车平均每小时行多少千米？（先写出等量关系式，再列方程解答） 49．在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米.甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按照逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米.那么，甲追上乙需要的时间是多少秒？ 50．小江家刚好在学校和妈妈单位的正中间，一天早上，小江和妈妈一起从家出发，小江向东去学校，妈妈向西去单位上班，妈妈的速度是小江的2.5倍。出发10分钟后妈妈距单位还有500米，此时发现小江的眼镜在包里，妈妈立即掉头加速20%去追小江，在离学校250米处追上小江后，又以原速度返回单位上班，当小江到学校时，妈妈离单位还有多远？ 51．淘淘和爷爷每天早上在操场上锻炼．淘淘跑一圈需要4分钟，爷爷走一圈需要20分钟，如果两人同时同地出发，同向而行，多少分钟后，淘淘第一次追上爷爷？ 52．甲、乙两船从相距64千米的A、B两港同时出发相向而行，2小时相遇；若两船同时同向而行，则甲用16小时赶上乙．问：甲、乙两船的速度各是多少？ 参考答案与试题解析 1．甲、乙两个学生从学校到少年活动中心去，甲每分钟走60m，乙每分钟走50m。乙走了4分钟后甲才开始走。甲要走多少分钟才能追上乙？ 【答案】20分钟。 【分析】追及时间＝距离差÷速度差，由题意可知，距离差等于乙4分钟走的路程，可根据路程＝速度÷时间，求出距离差，然后再除以甲、乙两人的速度差即可。 【解答】解：50×4÷（60﹣50） ＝200÷10 ＝20（分钟） 答：甲要走20分钟才能追上乙。 【点评】此题既需要根据关系式而且还要更加深刻的理解题意，求出距离差是关键。 2．甲、乙、丙三人从同一地点A地前往B地，甲、乙二人早上8点一起从A地出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，丙上午11点才从A地出发．晚上8点，甲、丙同时到达B地．求：丙在几点钟追上了乙？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据甲的速度和所行时间求AB两地的距离为：晚上8点即20点，6×（20﹣8）＝72（千米），然后根据丙行的路程和所用时间，求丙的速度：72÷（20﹣11）＝8（千米/小时）．根据追及问题公式：追及时间＝路程差÷速度差，求丙追乙所需时间为：4×（11﹣8）÷（8﹣4）＝3（小时），11+3＝14（时），即下午2时． 【解答】解：晚上8点即20点 6×（20﹣8） ＝6×12 ＝72（千米） 72÷（20﹣11） ＝72÷9 ＝8（千米/小时） 4×（11﹣8）÷（8﹣4） ＝4×3÷4 ＝3（小时） 11+3＝14（时） 14时即下午2时 答：丙在下午2点钟追上了乙． 【点评】本题主要考查追及问题，关键利用路程、速度和时间之间的关系做题． 3．龟兔赛跑，全程1800米。乌龟每分爬15米，兔子每分跑400米。发令枪响后，兔子一会儿就把乌龟远远地甩在后面，骄傲的兔子自以为跑得快，在途中美美地睡了一觉，结果乌龟到达终点时，兔子离终点还有200米。兔子在途中睡了多少分？ 【答案】116分钟。 【分析】根据路程÷速度＝时间，计算出乌龟跑完全程需要多长时间，再计算出兔子跑到距离终点200米处需要多长时间，再与乌龟跑完全程需要的时间求差，即可算出兔子在途中睡了多久。 【解答】解：1800÷15＝120（分钟） 1800﹣200＝1600（米） 1600÷400＝4（分钟） 120﹣4＝116（分钟） 答：兔子在途中睡了116分钟。 【点评】本题考查的是追及问题的应用。 4．已知A、B两地相距7200米，甲、乙两人均骑车同时从A地出发，向B地匀速行驶，甲每分钟走300米，乙每分钟走400米，乙到达B地后立即将速度提高100米/分掉头返回A地，而甲也立即将速度提高100米/分进续向B地行驶，当甲到达B地时，两人同时停止运动，若两人距离超过1000米时视为处于信息“闭塞状态，求整个过程中两人处于信息闭塞状态的时间共有多少分钟？ 【答案】。 【分析】第一阶段，甲乙从A地向B地行驶时，乙的速度比甲的速度每分钟多100米，10分钟多1000米，乙到达B地用18分钟，10分钟后的8分钟是信息闭塞状态；第二阶段乙从B地返往甲地，甲继续想B地行驶，两人相距1800米，800米后，两人相距1000米，信息不闭塞，一直到两人相遇又相距1000米后处于信息闭塞状态。甲行驶1800米后到达B地，用时4.5分钟，从4.5分钟里减去信息不闭塞的时间，就是第二阶段的信息闭塞时间；闭塞总时间可求。 【解答】解：7200÷400﹣1000÷（400﹣300） ＝18﹣10 ＝8（分钟） （7200﹣300×18）÷（300+100） ＝（7200﹣5400）÷400 ＝1800÷400 ＝4.5（分钟） 1000×2÷（300+100+400+100） ＝2000÷900 （分钟） 8+（4.5） ＝8 （分钟） 答：整个过程中两人处于信息闭塞状态的时间共有分钟。 【点评】弄清楚追及问题数量间的关系是解决本题的关键。 5．在一个490米长的圆形跑道上，甲、乙两人从相距50米的A、B两地，同时相背出发，相遇后，乙返回，甲方向不变，继续前进，甲的速度提高五分之一，乙的速度提高四分之一，当乙回到B地时，甲刚好回到A地，此时他们都按现有速度与方向前进，请问：当甲再次追上乙时，甲一共走了多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】从相遇点到B点这段路程，已知乙的速度提高，可知乙从相遇点返回B点的时间是从B点到相遇点的，而这段时间中甲是从相遇点返回到A点，并且速度提高，所以甲前后两段的路程比为1：（）＝25：24；而圆形跑道总长是490米，按照逆时针方向，A点到相遇点250米，相遇点到B点190米，B点到A点50米，即甲和乙的速度之比是24：19，所以当甲跑圈的时候，乙跑圈，甲第一次追上乙，此时甲共跑（米）． 【解答】解：1 1：（）＝25：24 490250（米） 490﹣250＝240（米） 490﹣250﹣50＝190（米） 240：190＝24：19 （米） 答：当甲再次追上乙时，甲一共走了2602米． 【点评】本题考查追及问题，找到甲和乙速度的比例关系是解决本题的关键． 6．甲乙两人驾车同时从A地出发，同向而行，甲先出发，半小时后乙以每小时80千米的速度追甲，若乙进行了3.5小时后追上甲，则甲的速度为每小时为多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，先求乙所行的路程：80×3.5＝280（千米），这也是甲一共走的路程，而甲行这段路程用时：3.5+0.5＝4（小时），所以，甲的速度为：280÷4＝70（千米/小时）． 【解答】解：半小时＝0.5小时 80×3.5÷（3.5+0.5） ＝280÷4 ＝70（千米/小时） 答：甲的速度为每小时70千米． 【点评】本题主要考查追及问题，关键利用路程、速度和时间之间的关系做题． 7．A、B两地之间的距离是50千米，甲、乙两车同时从A出发向B地行驶，在A、B之间不断往返．已知甲车的速度是每小时87千米，乙车的速度是每小时57千米，请问：第6次甲追上乙时的地点距A地多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知：甲乙两车第一次相遇，甲车需要追及的路程为：（50×2）÷87×57千米；之后的每次相遇需追及路程都为50×2＝100千米；这样我们可根据追及公式便可求出甲第6次追上乙的用时为：（87﹣57）+100÷（87﹣57）×5小时，之后便可求出甲在这段时间内的行程（即甲第2次从A地出发共走的路程），进而根据这个路程便可求出问题答案． 【解答】解：（50×2）÷87×57（千米） （87﹣57）（小时） 100÷（87﹣57）×5（小时） （）×87＝1640（千米） 1640÷（50×2）＝16……40 50×2﹣40＝60（千米） 答：第6次甲追上乙时的地点距A地60千米． 【点评】解此题的关键是明白：甲乙两车第一次相遇，甲车需要追及的路程和从第2次之后相遇需追及路程是不一样的． 8．小明骑车以每分钟300米的速度从1路车的始发站出发，沿1路车线路前进，小明离开出发地2800米时，一辆1路车开出了始发站．这辆车每分钟行500米，行5分钟到达一站并停车1分钟．这辆车追上小明需要多少分钟？ 【答案】见试题解答内容 【分析】汽车在行驶过程中每行5分钟停靠一站，停车时间为1分钟，所以汽车6分钟为一周期，行500×5＝2500米，小明6分钟行300×6＝1800米，一个周期这辆车追上2500﹣1800＝700米，4个周期（也就是24分钟）追上2800米，实际3个周期还剩2800﹣2100＝700米，而这700米这辆车不用停车1分钟；只需要700÷（500﹣300）＝3.5（分钟），再加上18分钟即可． 【解答】解：5+1＝6（分钟） 汽车6分钟为一周期行：500×5＝2500（米） 小明骑车行：300×6＝1800（米） 2500﹣1800＝700（米） 3个周期追了：700×3＝2100（米） 还剩下：2800﹣2100＝700（米） 还需要：700÷（500﹣300）＝3.5（分钟） 所以这辆汽车追上小明一共需要： 6×3+3.5＝21.5（分钟） 答：这辆车追上小明需要21.5分钟． 【点评】解决本题关键是找出一个周期内可以追上的路程，再进一步求解． 9．小俊走路去上学，他的速度为60米/分钟。妈妈在收拾东西的时候，发现小俊没有带数学书，此时小俊已经出发了7分钟。于是妈妈立刻骑自行车从家出发去追小俊，妈妈骑自行车的速度为200米/分钟。问妈妈从家出发算起到追上小俊，一共用了多久？ 【答案】3分钟。 【分析】由题意可知，妈妈和小俊的路程差为60×7＝420（米），即追及路程为420米，根据追及问题中“追及路程÷速度差＝追及时间”，代入数据计算即可。 【解答】解：60×7＝420（米） 420÷（200﹣60） ＝420÷140 ＝3（分钟） 答：问妈妈从家出发算起到追上小俊，一共用了3分钟。 【点评】此题属于简单的追及应用题，此类题的解答方法是根据“追及路程÷速度差＝追及时间”。 10．甲、乙两人同时从B地出发，乙朝A地前进，甲以15千米/时的速度反方向朝C地前进，一小时后甲、乙两人正好分别到达A地和C地，乙继续前进，甲从C地返回追乙，经14小时甲在D地追上乙，乙的速度是多少？ 【答案】13。 【分析】本题可列方程求解，设乙每小时行x千米，乙行AB的路程用了1小时，所以AB的路程为x千米，则追及路程为（x+15）千米，速度差为（15﹣x）千米/时，因为经14小时甲在D地追上乙，所以CD的路程为（15﹣x）×14，根据追及路程等于CD间的路程列方程解答即可。 【解答】解：设乙每小时走x千米，则甲、乙速度差为（15﹣x）千米。 x+15＝（15﹣x）×14 x+15＝210﹣14x 15x＝195 x＝13 答：乙的速度是13千米/时。 【点评】本题考查的是追及问题，可列方程解答，关键是找到等量关系。 11．小力和妈妈在小区里一条环形小路上跑步．他们同时从同一地点出发，同向而行，小力的速度是5米/秒，妈妈的速度是3米/秒．经过2分钟，小力追上妈妈．这条环形小路长多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】小力追上妈妈，要比妈妈多行一圈，用速度差乘追及时间就是追及距离，即这条环形小路的长度． 【解答】解：2分钟＝120秒 （5﹣3）×120 ＝2×120 ＝240（米） 答：这条环形小路长240米． 【点评】解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 12．甲、乙两港相距215千米，客、货两船都从甲港开往乙港，货船每时行28千米，客船每时行36千米，货船先行1时后，客船才出发．客船出发几时后能追上货船？ 【答案】见试题解答内容 【分析】货船先行1时后，两船相距28千米；客船追上货船，在相同的时间内，客船比货船多行28千米，由题意可知客船每时比货船多行36﹣28＝8千米，然后再用多行的路程除以每时多行的，就是追及时间，即28÷8． 【解答】解：28÷（36﹣28） ＝28÷8 ＝3.5（小时） 答：客船出发3.5小时后能追上货船． 【点评】考查了追及问题的运用，根据追及路程÷速度差＝追及时间进行解答． 13．小丁丁和小巧先后沿同一条马路从学校出发去电影院观看电影。小巧先行40米后小丁丁再出发，小巧平均每分钟走72米，小丁丁出发10分钟在途中追上小巧。小丁丁平均每分钟走多少米？ 【答案】76米。 【分析】有题意可知，小丁丁10分钟走的路程＝小巧先走的40米+小巧10分钟走的路程。据此列式计算出小丁丁10分钟走的路程，然后再除以10即可解答。 【解答】解：小丁丁10分钟走： 40+72×10 ＝40+720 ＝760（米） 760÷10＝76（米/分） 答：小丁丁平均每分钟走76米。 【点评】解答本题的关键是先求出小丁丁10分钟走的路程。 14．甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是320米/分，乙的速度是280米/分，经过几分钟甲第二次追上乙？ 【答案】20分钟。 【分析】经过1分钟后，甲与乙的距离数以速度差就是甲第一次追上乙的时间。同理，甲第二次追乙还是经过1分钟后再追。都用追及时间＝距离差÷速度差这一关系。 【解答】解：经过1分钟后，甲与乙相距400﹣320+280＝360（米）， 360÷（320﹣280） ＝360÷40 ＝9（分钟） 第二次甲追乙同样。那么第二次追上一共是： （1+9）×2 ＝10×2 ＝20（分钟） 答：经过20分钟甲第二次追上乙。 【点评】本题也可以根据第二次甲追上乙，比乙多跑2圈，用路程差÷速度差＝追及时间计算。 15．一只野兔逃出80步后猎狗才追它，野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步，猎狗跑4步的时间兔子能跑9步．猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？ 【答案】见试题解答内容 【分析】野兔跑9步的时间猎狗只能跑4步，设都等于一秒．野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步，设兔子一步3米，狗一步8米，则狗速度为32米每秒，兔速度为27米每秒，距离为80×3＝240米，追上的时间为240÷（32﹣27）＝48秒，狗一秒跑4步，所以总共跑了4×48＝192步． 【解答】解：设野兔跑9步和猎狗跑4步的时间为1秒， 则：野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步，设兔子一步3米，狗一步8米， 则狗速度每秒为：8×4＝32（米）， 兔速度每秒为9×3＝27（米）； 距离为：80×3＝240（米）， 追上的时间为240÷（32﹣27）＝48（秒）， 狗一秒跑4步，所以总共跑了4×48＝192（步）． 答：猎狗至少要跑192步才能追上野兔． 【点评】此题解答的关键在于“两次设数法”：①设单位时间，得出每秒几步；②设步长，从而得出各自速度． 16．小甬从家到相距12千米的外婆家，当他走了2千米时，发现少带了一件东西，于是打电话给家中的爸爸，爸爸立即以每小时7千米的速度去追他。当爸爸追上小甬后，又立即以原速返回家，当小甬到外婆家时，爸爸也恰好回到家，小甬每小时行多少千米？ 【答案】5。 【分析】如图所示： 由题意可知：爸爸走AC段路的时间等于小甬走BC段路的时间，也等于小甬走CD段路的时间，据此可以求出BC的路程，也是CD的路程，进而可求出AC的路程，即AC＝BC+2，又知道爸爸的速度，所以爸爸走AC的时间就可以求出来了，也就是小甬走CD的时间，再用CD的路程除以小甬走CD的时间即为小甬的速度。 【解答】解： 根据题意：爸爸走AC段路的时间等于小甬走BC段路的时间，也等于小甬走CD段路的时间 所以BC＝CD＝（12﹣2）÷2＝5（千米） AC＝2+5＝7（千米） 7÷7＝1（时） 所以5÷1＝5（千米/时） 答：小甬每小时行5千米。 【点评】解决本题的关键是弄清爸爸走AC段路的时间等于小甬走BC段路的时间，也等于小甬走CD段路的时间。 17．小明出去旅游，突然忘记了一样重要的物品没带，于是回家去取，回来时旅游车已经出发，小明拦下一辆出租车。司机说如果每小时行80千米，1小时30分钟就可以追上了，如果每小时行90千米，42分钟就能追上了。求旅游车的速度？ 【答案】71.25。 【分析】由每小时行80千米，需1小时30分钟才能追上，可知小明应行80×1.5＝120（千米）才能追上旅游车，由每小时行90千米，42分钟就能追上，可知小明应行9063（千米）才能追上旅游车，由关系式：路程差÷时间差＝校车速度，解决即可。 【解答】解：1小时30分钟＝1.5小时 42分钟＝0.7小时 （80×1.5﹣90×0.7）÷（1.5﹣0.7） ＝57÷0.8 ＝71.25（千米/小时） 答：旅游车的速度是71.25千米/小时。 【点评】此题也可用方程解答，依据追及路程相等，设旅游车的速度为每小时x千米，得：90×（80﹣x）＝42×（90﹣x），解方程即可。 18．一辆轿车和一辆货车都从甲城开往乙城，轿车平均每时行90km，货车平均每时行60km。货车开出2时后，轿车才出发。轿车开出几时后才能追上货车？ 【答案】4时。 【分析】依据题意可知，货车2小时行驶的路程+货车行驶速度×两车共同行驶时间＝轿车速度×两车共同行驶时间，由此计算两车共同行驶时间，两车共同行驶时间就是轿车追上货车的时间。 【解答】解：60×2÷（90﹣60） ＝120÷30 ＝4（时） 答：轿车开出4时后才能追上货车。 【点评】本题考查的是追及问题的应用。 19．乙的速度是甲速度的，两人分别由A、B两地同时出发，如果相向而行1小时可以相遇；如果同向而行甲需要多少小时才能追上乙？ 【答案】甲需要5小时才能追上乙。 【分析】乙的速度是甲速度的，那么乙的速度：甲的速度＝2：3．设乙的速度为每小时行2千米，则甲的速度为每小时行3千米，求出A、B两地之间的距离，甲要追上乙，就要比乙多行A、B之间的距离这段路程，用这个路程除以两人的速度差就是它们行走的时间。 【解答】解：设乙的速度为每小时行2千米，甲的速度为每小时行3千米， 两地相距：（2+3）×1 ＝5×1 ＝5（千米） 甲追上乙需： 5÷（3﹣2） ＝5÷12 ＝5（小时） 答：甲需要5小时才能追上乙。 【点评】本题考查了相遇问题的数量关系以及追及问题的数量关系，速度和×相遇时间＝总路程，路程差÷速度差＝追及时间。 20．已知甲车速度为每小时60千米，乙车速度为每小时40千米。甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到30分钟，第二天，甲、乙分别从B、A两地出发以各自原来的速度同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1.5小时。求第二天乙车返回B地花了多长时间。 【答案】3小时。 【分析】根据题意可知，甲乙两车的速度比为60：40＝3：2，第一天，当乙车行驶到C点时（乙车行驶了BC路段），甲车行驶的距离是BC段的，那么AC路段的长度是BC60；第二天，当甲车行驶到C点时（甲车行驶了BC段），乙车行驶的距离是BC段的，那么AC段的长度是BC40×1.5．由此可设BC的长度为x千米，可得方程：x60x40×1.5，解此方程后求得BC的距离，然后计算AB的全长，根据时间＝路程÷速度，求出第二天乙车返回B地多少小时。 【解答】解：30分钟小时，设BC的长度为x千米，由题意得： x60x40×1.5 x+30x+60 xx＝60﹣30 x＝30 x＝36 366036 ＝54+30+36 ＝120（千米） 120÷40＝3（小时） 答：第二天乙车返回B地花了3小时。 【点评】此题考查的目的是理解掌握相遇问题的基本数量关系及应用，关键是明确：甲、乙两车行驶的时间相同，甲、乙所行路程的比等于速度的比。 21．一天，妈妈发现小红上学时忘记带语文书，此时小红离家320米，小红继续往学校走，小红每分钟走60米，妈妈从家里出发每分钟走80米．15分钟妈妈能追上小红吗？锦资妙计，先求出妈妈每分钟比小红多走的米数． 【答案】见试题解答内容 【分析】要想知道15分钟是否能追上，要求出追上需要多长时间，妈妈与小红的路程差为320米，速度差为80﹣60＝20（米/分钟），根据追及时间等于路程差÷速度差可求得追及时间，与15分钟比较即可． 【解答】解：80﹣60＝20（米/分钟）， 320÷20＝16（分钟）， 16＞15， 所以妈妈15分钟追不上小红． 答：15分钟妈妈不能追上小红． 【点评】此题主要考查简单的追及问题，根据速度差、追及时间和路程差三者之间的关系解决问题． 22．和平小学的师生步行去春游．队伍走出10.5千米时，王东骑自行车去追，经过1.5时追上．已知王东骑自行车的速度是师生步行速度的3.5倍．王东和师生每时各行多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】本题为追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，利用公式：速度差＝距离差÷追及时间根据路程差和追及时间，先求出速度差，然后根据速度的倍数关系，求出一份速度，及师生的速度． 【解答】解：10.5÷1.5＝7（千米/小时）． 师生：7÷（3.5﹣1）＝2.8（千米/小时）． 王东：2.8×3.5＝9.8（千米/小时） 答：王东每小时行9.8千米，师生每小时行2.8千米． 【点评】本题关键是利用追击问题公式，求速度差． 23．曲妍和曲婷从学校出发去市图书馆。曲妍每分钟走70m，曲婷每分钟走60m。曲婷走了4分钟后曲妍才出发，且曲妍在中途能追上曲婷。曲妍需要多少分钟才能追上曲婷？ 【答案】24。 【分析】根据追及时间＝追及路程÷速度差，根据题意可知，追及路程为：60×4＝240（米），速度差为：70﹣60＝10米/分钟，据此列式解答即可。 【解答】解：60×4÷（70﹣60） ＝240÷10 ＝24（分钟） 答：曲妍需要24分钟才能追上曲婷。 【点评】本题属于比较简单的追及问题，根据追及时间等于追及路程除以速度差解答即可。 24．甲乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是190米/分，乙的速度是150米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【答案】10分钟。 【分析】两人同向而行是追及问题，追及距离为环形跑道一圈的长度，根据追及时间＝追及距离÷速度差，代入数值计算即可。 【解答】解：400÷（190﹣150） ＝400÷40 ＝10（分钟） 答：经过10分钟甲第一次追上乙。 【点评】本题主要考查了追及问题，明确追及问题的追及距离是本题解题的关键。 25．弟弟和哥哥跑步，如果弟弟先跑20米，哥哥跑10秒可以追上，如果弟弟先跑4秒，那么哥哥8秒可以追上．求弟弟和哥哥的速度． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据如果弟弟先跑4秒，那么哥哥8秒可以追上，可知同样的路程，弟弟和哥哥所用时间的比是（4+8）：8＝3：2，所以弟弟先跑20米，哥哥跑10秒可以追上，此时弟弟所用时间是10÷2×3＝15秒，也就是弟弟先跑20米，用时5秒，据此求出弟弟的速度，再求出弟弟15秒走的路程，除以哥哥所用时间，即可求出哥哥的速度，据此即可解答． 【解答】解：弟弟和哥哥所用时间的比是（4+8）：8＝3：2， 10÷2×3＝15（秒） 20÷（15﹣10） ＝20÷5 ＝4（米） 4×15÷10 ＝60÷10 ＝6（米） 答：弟弟每秒跑4米，哥哥每秒跑6米． 【点评】解答本题的关键是求出相同路程哥哥与弟弟所用的时间比是一定的． 26．甲骑车，乙跑步，两人同时从一点出发沿着4千米的环形公路同方向进行晨练。出发10分钟后，甲便从乙身后追上了乙，已知两人的速度和是每分钟行700米，求甲、乙两人的速度各是多少。 【答案】550，150。 【分析】根据甲骑车，乙跑步，两人同时从一点出发沿着4千米的环形公路同方向进行晨练。出发10分钟后，甲便从乙身后追上了乙，可以知道甲比乙10分钟多跑了4千米，即路程差，根据路程差÷时间＝速度差，求出甲、乙的速度差是：4000÷10＝400（米/分），然后根据和差问题公式：（和+差）÷2＝大数，可以求出甲的速度，根据（和﹣差）÷2＝小数，可以求出乙的速度。 【解答】解：4千米＝4000米 4000÷10＝400（米/分钟） （700+400）÷2 ＝1100÷2 ＝550（米/分钟） 700﹣550＝150（米/分钟） 答：甲的速度是550米/分钟，乙的速度是150米/分钟。 【点评】求出甲、乙的速度差是解答此题的关键。 27．甲、乙、丙三人汽车同时从同一地点出发，沿着同一公路追赶前面的一个行人．这三个骑车人分别用6分钟，10分钟，12分钟追上行人．已知甲每小时行96千米，乙每小时行63千米，那么丙每小时行多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】6分钟小时，10分钟小时，12分钟小时，根据题意，甲乙的路程之差÷甲乙分别追上行人的时间差＝行人的速度，丙与乙的时间差×行人的速度+乙追上行人时的路程，就是丙追上行人的路程，进而解除丙的速度． 【解答】解 （千米/小时）→→行人的速度， （千米）→→丙追上行人的路程． 54.75（千米） 答：丙每小时行54.75千米． 【点评】解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来解决问题． 28．A、B两地相距600千米，甲行完全程要25小时，乙行完全程要20小时，甲从A地出发，4小时后乙也从A地出发．乙要行多少路才能追上甲？ 【答案】见试题解答内容 【分析】A、B两地相距600千米，甲行完全程要25小时，乙行完全程要20小时，用路程分别除以两人的时间，可以求出它们的速度，即甲的速度是600÷25＝24千米/时，乙的速度是600÷20＝30千米/时；甲从A地出发，4小时后行了24×4＝96千米，要求乙要行多少路才能追上甲，也就是乙比甲要多走96千米，乙比甲每小时多走30﹣24＝6千米，用96除以6就可以求出追及时间，然后再乘上乙的速度就是行的路程． 【解答】解：600÷25＝24（千米/时） 600÷20＝30（千米/时） （24×4）÷（30﹣24） ＝96÷6 ＝16（小时） 30×16＝480（千米） 答：乙要行480千米才能追上甲． 【点评】本题关键是根据路程÷时间＝速度，分别求出甲乙的速度；然后再根据追及问题求出追及时间，然后再进一步解答． 29．汽车和自行车分别从A、B两地同时出发相向而行，汽车每小时行60千米，自行车每小时行12千米，两车相遇后，各自仍按原方向行驶，汽车到达B地后立即返回，当追上自行车时，距A地还有45千米，A、B两地相距多少千米？ 【答案】60千米。 【分析】在时间相等的情况下，两车的速度比等于路程比，即：60：12＝5：1，从开始出发到汽车返回并追上，把自行车走的全部路程看作1份，那么汽车走全部路程就是5份。因此，每份长：45÷（5﹣2）＝15（米）；全程长：15×（5﹣1）＝60（米）。 【解答】解：45÷（5﹣2）＝15（米） 15×（5﹣1）＝60（米） 答：A、B两地相距60千米。 【点评】本题考查了行程问题中的相遇问题，解题的关键是根据两车的速度关系得出两车行驶的路程之间的关系，然后结合路程、速度和时间之间的关系解题。 30．甲车沿直线行驶，速度为每小时55千米，1.5小时后乙车从相同地点出发，速度为每小时65千米，乙车追上甲车需要多长时间？ 【答案】8.25小时。 【分析】追及距离是（55×1.5）千米，然后除以两车的速度差即可。 【解答】解：（55×1.5）÷（65﹣55） ＝82.5÷10 ＝8.25（小时） 答：乙车追上甲车需要8.25小时。 【点评】本题考查了简单的追及问题，追及距离÷速度差＝追及时间。 31．甲、乙两车同时从黔江南站沿同一高速路开往重庆，甲车每小时行80千米，乙车的速度是甲车的1.5倍，行了2.8小时后，两车相距多少千米？ 【答案】112千米。 【分析】先求出乙车的速度，再分别求出甲、乙2.8小时所行的路程，最后用两车行驶的路程相减就是要求的答案。 【解答】解：80×1.5＝120（千米/小时） 120×2.8﹣80×2.8 ＝（120﹣80）×2.8 ＝40×2.8 ＝112（千米） 答：两车相距112千米。 【点评】解答此题的关键是，根据速度×时间＝路程，分别求出甲、乙的路程，那甲、乙的路程差，就是两车相距的路程。 32．（行程问题）甲、乙、丙同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，不断往返运动。已知山坡长360米，甲、乙、丙的速度比为6：5：4，并且甲、乙、丙的下山速度都是各自上山速度的1.5倍。经过一段时间后，甲到达山顶时，看见乙正在下山，此时乙距离山脚不到180米（乙不在山脚）。求此时丙离山顶的距离。 【答案】40米。 【分析】先用假设法表示出甲、乙、丙的上山速度和下山速度，在进行分类讨论，选出符合题意得情况进行解答。 【解答】解：设甲、乙、丙上坡速度分别为6x、5x、4x，则下坡速度分别为9x、7.5x、6x。 根据题意可知，甲达到山顶停下时，它们所用的时间相等。 假设甲两上一下，则乙应该是两上一下不合题意。 假设甲三上两下，则乙应该是两下两上，第三次正在上，不合题意。 假设甲四上三下，所用时间应该为： 43 此时乙可能三上二下，第三下中，则下时的时间为： 33 此时离山顶距离为： 7.5x＝360（米）和题意不符 假设甲五上四下，所用时间为： 54 此时乙应该是四上三下，第四下中，则四下时间为： 43 此时距离山顶距离： 7.5x＝210（米）符合题意，也就是说甲经历了五上四下，乙经历了四上，第四下中。 此时丙应该是三上三下，第四上中，第四上的时间为： 33 此时丙距离山顶的距离为： 4x＝40（米） 答：此时丙距离山顶的距离为40米。 【点评】甲达到山顶停下时，它们所用的时间相等时是关键。 33．轿车每小时行80千米，货车每小时行60千米．如果两车同时从甲乙两地相对开出，3小时可以相遇．如果两车同时同向而行，轿车追上货车需要多少小时？ 【答案】21小时。 【分析】根据速度和×相遇时间＝路程，代入数据求出甲、乙两地的路程，甲、乙两地的路程也就是轿车追上货车的路程，根据追及时间＝追及路程÷追及速度，代入数据解答即可。 【解答】解：（80+60）×3÷（80﹣60） ＝140×3÷20 ＝420÷20 ＝21（小时） 答：轿车追上货车需要21小时。 【点评】明确速度和、相遇时间、路程的关系以及追及时间、追及速度、追及路程之间的关系是解题的关键。 34．甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，第一次在距中点100米处相遇，甲继续按原速度向B行驶，乙也继续以原速度向A行驶，当甲到达B地后立刻返回，结果又在距中点300米处追上了乙，则A、B两地之间的距离是多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设A、B两地之间的距离是x米，则第一次甲走的路程是（x+100）米，乙走的路程是（x﹣100）米，他们的路程比：（x+100）：（x﹣100），第一次相遇到第二次甲追上乙，甲走的路程是（x﹣100x+300）米，乙走的路程是（300+100）米，他们的路程比（x﹣100x+300）：（300+100），这两次的路程比也就是他们的速度比，因为他们的速度比相等，所以这两次的路程比是相等的，所以可以列出一个等式，解出等式即可解答． 【解答】解：设A、B两地之间的距离是x米，由分析可得， （x+100）：（x﹣100）＝（x﹣100x+300）：（300+100） （x﹣100）×（x+200）＝（x+100）×400 x2﹣2000＝200x+40000 x2﹣400x﹣120000＝0 （x﹣600）（x+200）＝0 x＝600或x＝﹣200 其中x＝﹣200不符合题意，所以正确答案是x＝600 答：A、B两地之间的距离是600米． 【点评】本题比较难，是考查了路程问题，关键是找出；两个人两次的路程比，也就是他们的速度比，他们的速度比是不变的． 35．邮政投递站C位于A村与B村之间（A、B、C在同一直线上）。投递员甲去A村送信，出发8分钟后，投递员乙去B村送另一封信。乙出发后8分钟，站长发现甲、乙刚好把两封信拿错了，于是站长从投递站出发骑车去追赶甲和乙，以便把信拿回邮政投递站。已知甲和乙的速度相等，站长的速度是甲、乙速度的3倍，站长从出发到把信调过来后返回投递站至少要用多少时间？ 【答案】32分钟。 【分析】站长从出发到把信调过来，是3个追及过程，返回投递站是一般行程问题，假设甲和乙的速度都是a米/分钟，则站长的速度3a米/分钟，若先追甲，则追及距离为甲（8+8）分钟所走的路程，根据追及时间＝追及距离÷速度差，求出追上甲的时间，此时站长再回头追及乙，此时的追及距离是也就是甲、乙两人之间的距离，根据路程＝速度×时间，求出甲、乙两人此时走过的路程，然后根据追及时间＝追及距离÷速度差，求出站长追上乙的时间，这时站长返回投递站，路程是此时乙走过的路程，根据时间＝路程÷速度，站长返回的路程与乙走过的路程相等，速度是乙的3倍，根据路程相等，时间与速度成反比求出站长返回的时间，所有时间相加就是站长要用的时间；同理，求出站长先追乙所用的时间，两者比较，取最少即可求解。 【解答】解：设甲、乙的速度都是a米/分钟，站长的速度是3a米/分钟， 如果站长先追甲，追上甲的时间为： （8+8）×a÷（3a﹣a） ＝16a÷2a ＝8（分钟） 追上乙的时间： [（8+8+8）×a+（8+8）×a]÷（3a﹣a） ＝40a÷2a ＝20（分钟） 此时乙走了：8+8+20＝36（分钟） 站长返回投递站的时间为：36÷3＝12（分钟） 共用了：8+20+12＝40（分钟） 如果站长先追乙，追上乙的时间为： 8a÷（3a﹣a） ＝8a÷2a ＝4（分钟） 再追上甲的时间为： [（8+8+4）×a+（8+4）×a]÷（3a﹣a） ＝32a÷2a ＝16（分钟） 此时甲走了：8+8+4+16＝36（分钟） 站长返回投递站用时：36÷3＝12（分钟） 一共用了：4+16+12＝32（分钟） 答：站长从出发到把信调过来后返回投递站至少要用32分钟。 【点评】本题主要考查了追及问题，明确每次追及的距离，是本题解题的关键。 36．甲、乙两人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙；若乙比甲先跑2秒，则甲跑4秒能追上乙。问：两人每秒各跑多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，由如果甲让乙先跑10米，那么，甲跑5秒就可以追上乙，根据“路程÷时间”＝速度，可以求出追及速度（即甲、乙的速度差）；即10÷5＝2（米/秒），如果让乙先跑2秒，那么甲跑4秒可追上乙，用追及速度乘4就可以求出甲追了多少米，从而求出乙的速度，进而再求出甲的速度。 【解答】解：甲、乙的速度差：10÷5＝2（米/秒） 乙先跑2秒，甲需要追4秒，也就是追了2×4＝8（米） 则乙速度为：8÷2＝4（米/秒） 甲速度为：4+2＝6（米/秒） 答：甲每秒跑6米，乙每秒跑4米。 【点评】本题主要考查的是行程问题，属于同一地点不同时出发的追及问题的应用题。此题解答的关键是先求出追及速度，再根据路程、速度、时间三者之间的关系列式解答即可。 37．小钱和小塘是同班同学且住在同一幢楼。早上7：40分，小钱出发骑车去学校，7：46分时追上一直匀速步行的小塘，这时想起未带马克笔，立即将速度提高到原来的2倍返回，到家拿好笔之后继续出发去学校，结果两人在8：00同时到达学校，已知小钱在家找笔花了6分钟，那么小塘是几时从家出发的？ 【答案】7：25。 【分析】先求出小钱后面从家到学校需要的时间，再减去原来追上一直匀速步行的小塘的那一段路的时间，就可以得到从追上小塘那里开始到学校小钱需要花的时间，然后再求出小塘从那里开始到学校所花的时间，就可以得到同样的路程小塘用的时间是小钱的几倍，进而可以求出小塘从家到学校的时间。 【解答】解：原来小钱的速度：现在小钱的速度＝1：2 原来用的时间：现在用的时间＝2：1 （46﹣40）÷2×1 ＝6+2÷1 ＝3 （分钟） 小钱在路上的时间：60﹣40﹣6＝14 （分钟） 拿好笔回学校的时间：14﹣6﹣3＝5 （分钟） 第一次遇见小塘的地方到学校的时间：5﹣3＝2 （分钟） 小塘从第一次遇见小塘到学校的时间：60﹣46＝14（分钟） 14÷2＝7 （分钟） 5×7＝35 （分钟） 60﹣35＝25 （分钟） 小塘从家里出发的时间：7：25 答：小塘是7：25从家里出发的。 注：思考角度多样，言之有理即可。 【点评】此题需要学生读懂题意，缕清思路，逐步分析。 38．甲、乙、丙兄弟三人骑自行车旅行，约好到某地集合，甲、乙二人早上6时一起从家中出发，甲每小时行15km，乙每小时行12km，丙因有事，到早上8时才从家中出发，下午6时，甲、丙同时到达该地，丙何时追上乙？ 【答案】12时。 【分析】根据题意，甲丙同时在下午6时到达，这时甲行了12小时，丙行了10小时，由此可以求出甲行的路程（也就是全程），进而求出丙的速度；再根据追及问题的解题方法求出丙追上乙所需的的时间，依此解答即可。 【解答】解：下午6时＝18时， 15×（18﹣6）÷（18﹣8） ＝180÷10 ＝18（km） 12×（8﹣6）÷（18﹣12） ＝24÷6 ＝4（小时） 8+4＝12（时） 答：丙在12时追上乙。 【点评】本题考查了追及问题，解题关键是利用甲的速度和时间求出全程。 39．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲先行2小时后，乙才出发，甲每小时行60千米，乙每小时行80千米，当乙追上甲时，行了多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由“甲每小时行60千米，甲先行2小时”可知甲2小时行了60×2＝120（千米），即追及路程；两人的速度差为80﹣60＝20（千米/小时），那么乙追上甲的时间为120÷20＝6（小时），再乘乙的速度即可解决问题． 【解答】解：60×2÷（80﹣60） ＝120÷20 ＝6（小时） 6×80＝480（千米） 答：当乙追上甲时，行了480千米． 【点评】此题在解答时，运用了关系式：追及路程÷速度差＝追及时间． 40．小东和小明是两兄弟，小东从家步行去学校，每分钟走80米．走了8分钟后，小明从家骑自行车去追小东，结果在距家960米的地方追上小东．小明骑自行车每分钟行驶多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知：小明和小东走的路程都是960米，根据路程÷速度＝时间，可以求出小东走的总时间，即960÷80，然后减去8分钟得出小明骑自行车所用的时间，再根据关系式：路程÷时间＝速度，解决问题． 【解答】解：960÷（960÷80﹣8） ＝960÷（12﹣8） ＝960÷4 ＝240（米） 答：小明骑自行车每分钟行驶240米． 【点评】此题抓住追及问题中速度不同，所以行驶的时间不同，但是行驶的路程相同． 41．一支队伍长50米，以每秒2米的速度前进，一人以每秒3米的速度从队尾赶到队头，然后再返回队尾，一共要用几分钟？ 【答案】1分钟。 【分析】先用队伍长度除以这人与队伍的速度差，求出这人从队尾赶到队头用的时间，再用队伍长度除以这人与队伍的速度和，求出这人从队头回到队尾用的时间，最后把从队尾到队头的时间与从队头到队尾的时间加起来，改写为“分钟”作单位即可。 【解答】解：50÷（3﹣2）+50÷（3+2） ＝50÷1+50÷5 ＝50+10 ＝60（秒） 60秒＝1分钟 答：一共要用1分钟。 【点评】掌握追及问题中“追及时间＝追及路程÷速度差”和相遇问题中“相遇时间＝相遇路程÷速度和”是解答此题的关键。 42．小巧和小亚从学校出发去少年宫，小巧每分钟走64米，她先走338米后小亚才出发．小亚每分钟走77米，小亚几分钟后在途中追上小巧？ 【答案】见试题解答内容 【分析】小巧每分钟走64米，她先走338米后小亚才出发．说明追及距离是338米，然后除以速度差即可求出小亚的追及时间． 【解答】解：338÷（77﹣64） ＝338÷13 ＝26（分钟） 答：小亚26分钟后在途中追上小巧． 【点评】此题考查了下列关系式：路程差÷速度差＝追及时间，根据这一关系是列出算式，从而解决问题． 43．小明8：00从A地骑车出发，11：00到达B地，小华开车从A地出发，速度是小明的3倍；追上小明后，速度增加为小明的4倍。如果小华9：30到达B地，那么小华是在什么时候出发的？ 【答案】8：40。 【分析】小明从A地到B地用时（11时﹣8时），假设全程是180，利用速度＝路程÷时间，计算小明速度，小华的速度，设小华比小明晚2t分钟出发，计算小华追及时间，开车的时间，利用追上小明之间的路程+加速后行驶的路程＝全程列方程计算即可。 【解答】解：11时﹣8时＝3时，3时＝180分钟，9时30分﹣8时＝1时30分，1时30分即90分。 假设全程是180，小明速度：180÷180＝1，小华速度：3×1＝3，4×1＝4。 设小华比小明晚2t分钟出发，则小华追及时间为：1×2t÷（3﹣1）＝t（分），开车时间：90﹣2t﹣t＝90﹣3t（分） 3t+4×（90﹣3t）＝180 9t＝180 t＝20 20×2＝40（分） 8时+40分＝8时40分，即8：40 答：小华是在8：40出发的。 【点评】本题考查的是追及问题的应用。 44．小巧以65米/分的速度，步行从家里出发去少年宫．出发16分钟后，妈妈发现小巧把垃圾分类资料忘了，于是骑车以195米/分的速度去追．已知小巧家与少年宫之间的路程是2100米．妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，小巧行16分钟所走路程为：65×16＝1040（米），然后利用追及问题公式：追及时间＝路程差÷速度差，求出妈妈追小巧所用时间为：1040÷（195﹣65）＝8（分钟），而此时小巧所行路程为：65×（16+8）＝1560（米），与小巧家距少年宫的距离相比较，即可得出结论． 【解答】解：65×16÷（195﹣65） ＝1040÷30 ＝8（分钟） 65×（16+8） ＝65×24 ＝1560（米） 2100＞1560 答：妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她． 【点评】本题主要考查追及问题，关键利用公式：追及时间＝路程差÷速度差． 45．小明和小军两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。20分钟后小明第一次追上了小军。小明的速度是230米/分，小军的速度是多少米/分？ 【答案】210米/分。 【分析】根据题意可知，小明和小军两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行，相当于两人在直线上跑步，相差400米，根据速度差×追及时间＝路程差，设小军的速度是x米/分，列方程为（230﹣x）×20＝400，然后解出方程即可。 【解答】解：设小军的速度是x米/分，由题意得： （230﹣x）×20＝400 （230﹣x）×20÷20＝400÷20 230﹣x＝20 x＝210 答：小军的速度是210米/分。 【点评】本题考查了列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。 46．一辆客车从A城开出，以50千米/时的速度行了2小时后，一辆小轿车从A城开出，沿同一条路紧紧追赶，速度为80千米/时。轿车几小时后可追上客车？ 【答案】小时。 【分析】根据“路程＝速度×时间”求出小轿车开始追客车时客车已经行驶的路程，即小轿车和客车的路程差，再根据“追及时间＝路程差÷速度差”求出小轿车追上客车的时间。 【解答】解：50×2÷（80﹣50） ＝100÷30 （小时） 答：轿车小时后可追上客车。 【点评】本题考查了行程问题中的追及问题，解题关键是路程、速度和时间三者之间关系的应用。 47．小明上学10分钟后，爸爸发现他的数学书没带，就以小明步行6倍的速度骑车去追，追上把书给小明后立即返回，当爸爸回到家时，小明刚好也走到学校，小明从家走到学校一共要多少分钟？ 【答案】14分钟。 【分析】若以小明爸爸返回时开始算起，小明距离学校为1份，则爸爸回家走了6份，小明家到学校共7份。小明走10分钟共走了5份，每份用时10÷5＝2（分钟），所以小明从家到学校用时应该是2×7＝14（分钟）。 【解答】解：若以小明爸爸返回时开始算起，小明距离学校为1份，则爸爸回家走了6份，小明家到学校共7份。 10÷5＝2（分钟） 2×7＝14（分钟） 答：小明从家到学校一共要14分钟。 【点评】要求小明从家走到学校一共要多少分钟，只需要求出小明10分钟走的路程是总路程的几份。 48．大客车和小轿车同时从甲地开往乙地。大客车平均每小时行65km，经过6小时后，小轿车领先大客车150km。小轿车平均每小时行多少千米？（先写出等量关系式，再列方程解答） 【答案】90千米。 【分析】根据题意可得等量关系式：小轿车行驶的路程﹣大客车行驶的路程＝150km，设小轿车平均每小时行x千米，然后列方程解答即可。 【解答】解：小轿车行驶的路程﹣大客车行驶的路程＝150km， 设小轿车平均每小时行x千米， 6x﹣6×65＝150 6x﹣390＝150 6x＝540 x＝90 答：小轿车平均每小时行90千米。 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 49．在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米.甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按照逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米.那么，甲追上乙需要的时间是多少秒？ 【答案】300秒或100秒。 【分析】根据题意，利用追及问题：追及时间＝路程差÷速度差，有两种情况：第一种，甲在前，乙在后，则二人的路程差是400﹣100＝300（米）；第二种情况是乙在前，甲在后，则，二人路程差是100米。把数代入公式计算即可。 【解答】解：（400﹣100）÷（5﹣4） ＝300÷1 ＝300（秒） 100÷（5﹣4） ＝100÷1 ＝100（秒） 答：甲追上乙需要的时间是300秒或100秒。 【点评】本题主要考查追及问题，关键二人位置的分清不同情况解题。 50．小江家刚好在学校和妈妈单位的正中间，一天早上，小江和妈妈一起从家出发，小江向东去学校，妈妈向西去单位上班，妈妈的速度是小江的2.5倍。出发10分钟后妈妈距单位还有500米，此时发现小江的眼镜在包里，妈妈立即掉头加速20%去追小江，在离学校250米处追上小江后，又以原速度返回单位上班，当小江到学校时，妈妈离单位还有多远？ 【答案】5125米。 【分析】依据题意可设小江速度为x米/分钟，则妈妈速度是2.5x米/分，出发10分钟，妈妈走了（2.5x×10）米，妈妈单位到家的距离为（2.5x×10+500）米，妈妈立即掉头加速20%后速度为[2.5x×（1+20%）]米/分，小江和妈妈一起从家出发，两者之间的距离为[（x+2.5x）×10]米，追及时间＝两者之间的距离÷两者速度差，由此计算小江走的时间以及路程，然后计算单位和学校之间的距离，再计算妈妈追上小江走的距离，小江走剩下的250米的时间妈妈走的距离，然后计算当小江到学校时，妈妈离单位还有多远。 【解答】解：设小江速度为x米/分钟，则妈妈速度是2.5x米/分，出发10分钟，妈妈走了：2.5x×10＝25x（米），妈妈单位到家的距离为：（25x+500）米， 妈妈立即掉头加速20%后速度为：2.5x×（1+20%）＝3x（米/分） 小江和妈妈一起从家出发，两者之间的距离为：[（x+2.5x）×10＝35x（米），追及时间：35x÷（3x﹣x）＝17.5（分钟），小江所走时间：17.5+10＝27.5（分钟），所走路程：（17.5+10）x＝27.5x（米） 因为小江家刚好在学校和妈妈单位的正中间，则27.5x+250＝25x+500，解得x＝100， 单位和学校之间的距离：（25×100+500）×2 ＝3000×2 ＝6000（米） 妈妈追上小江时，距离学校250米，妈妈此时距离单位：6000﹣250＝5750（米） 剩下的路程小江要走：250÷100＝2.5（分钟），此时妈妈走了：2.5×100×2.5＝625（米），距离单位还有：5750﹣625＝5125（米） 答：当小江到学校时，妈妈离单位还有5125米。 【点评】本题考查的是追及问题的应用。 51．淘淘和爷爷每天早上在操场上锻炼．淘淘跑一圈需要4分钟，爷爷走一圈需要20分钟，如果两人同时同地出发，同向而行，多少分钟后，淘淘第一次追上爷爷？ 【答案】5分钟后，淘淘第一次追上爷爷. 【分析】由于题意可知，淘淘每分钟跑一圈的，爷爷每分钟走一圈的，淘淘每分钟比爷爷多跑一圈的，由于淘淘第一次追上爷爷时，比爷爷多跑了一圈，则需要时间：1÷（）． 【解答】解：1÷（） ＝1÷（） ＝1 ＝1 ＝5（分钟） 答：5分钟后，淘淘第一次追上爷爷. 【点评】将一周的长度当作单位“1”，求出两人速度后，根据追及问题的相关公式解答是完成本题的关键． 52．甲、乙两船从相距64千米的A、B两港同时出发相向而行，2小时相遇；若两船同时同向而行，则甲用16小时赶上乙．问：甲、乙两船的速度各是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由“甲、乙两船相向而行，2小时相遇”可得甲、乙两船的速度和为：64÷2＝32（千米）；由“若两船同时同向而行，则甲用16小时赶上乙”可得甲、乙两船的速度差为：64÷16＝4（千米），再根据和差公式求解两船的速度即可． 【解答】解：64÷2＝32（千米） 64÷16＝4（千米） （32+4）÷2＝18（千米/时） （32﹣4）÷2＝14（千米/时） 答：甲船的速度是18千米/时，乙船的速度是14千米/时． 【点评】本题考查相遇追及问题，关键在于求出甲乙两船的速度和以及速度差，然后根据和差公式解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$