《小升初典型奥数：多次相遇问题 》(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

多次相遇问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 多次相遇的基本公式和方法计算： 距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离＝速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量． 还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲＝V甲×T甲，S乙＝V乙×T乙，有如下关系： （1）当时间相同即T甲＝T乙时，有S甲：S乙＝V甲：V乙； （2）当速度相同即V甲＝V乙时，有S甲：S乙＝T甲：T乙； （3）当路程相同即S甲＝S乙时，有V甲：V乙＝T乙：T甲． 在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果． 第二部分 典型例题 例题1：A、B两地相距950米，甲、乙两人同时从A地出发，往返A、B两地跑步90分钟，甲跑步的速度是每分钟40米，乙跑步的速度是每分钟150米，在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离B点的距离最近？ 【答案】第7次。 【分析】甲、乙走完A、B间的两个单程才第一次相遇，需时间950×2÷（40+150）＝10（分钟），90分钟内，所以总共相遇90÷10＝9（次），甲每10分钟走40×10＝400（米），并且与乙相遇一次，因为950×3﹣400×7＝50（米），差最小；也就是当甲、乙两人第7次相遇时甲离B地50米为最小，在第7次相遇时他们离B点距离最近。 【解答】解：950×2÷（40+150） ＝1900÷190 ＝10（分钟） 90÷10＝9（次） 40×10＝400（米） 因为950×3﹣400×7＝50米，差最小； 也就是当甲、乙两人第7次相遇时甲离B地50米为最小。 答：在第7次相遇时他们离B点的距离最近。 【点评】此题重点考查学生分析问题以及推理能力。本题解答的关键是要求出两人多少时间相遇一次。 例题2：甲从A地到B地需要5小时，乙从B地到A地，速度是甲的，现在甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在途中相遇后继续前进，甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又相遇一次，如果两次相遇点相距36千米，A、B两地间的距离是多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可知，甲乙速度比为8：5，第一次相遇，甲乙共行1个全程，甲行全程的，第二次相遇，甲乙共行3个全程，甲行全程的3，第一次相遇点与A的距离为全程的，第二次相遇点与A的距离为全程的2，两次相遇点之间的距离为全程的，所以全程为：3678千米． 【解答】解：第一次相遇，甲行全程的，即相遇点与A的距离为全程的， 二次相遇，甲行全程的3， 则全程为： 36÷[（2）] ＝36÷[]， ＝36， ＝78（千米）． 答：AB两地间的距离为78千米． 【点评】根据两人的速度比求出每次相遇时甲行的占全程的分率，进而求出两次相遇地点的距离占全程的分率是完成本题的关键． 例题3：甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇，相遇后继续前行到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇。A、B两地间的距离是多少千米？ 【答案】280千米。 【分析】甲、乙两车相遇两次共行了3个全程，甲车在甲、乙两车相遇一次的时候，行了95千米，也就是每行一个全程甲车行95千米。现在行了3个全程，甲车一共行了95×3＝285（千米），比一个全程长多25千米，然后进一步解答即可。 【解答】解：95×3﹣25 ＝285﹣25 ＝260（千米） 答：A、B两地间的距离是280千米。 【点评】本题主要考查相遇问题，关键根据甲车两次相遇所行路程来求全程。 例题4：两个机器人在一条直线跑道上测试，机器人叮叮的速度是12米/秒，机器人咚咚的速度是18米/秒。它们从跑道的两端同时出发，往返于直线跑道的两端之间。20秒后两个机器人第二次相遇。这条跑道长多少米？ 【答案】200米. 【分析】机器人叮叮的速度加上机器人咚咚的速度算出两个机器人每秒共走的米数，再乘行走的时间算出行走的总路程；往返于直线跑道的两端指机器人到达终点返回，第二次相遇说明两个机器人再次相遇，那么行走的距离相当于跑道长度的3倍，用总路程除以3即可。 【解答】解：（12+18）×20÷3 ＝30×20÷3 ＝600÷3 ＝200（米） 答：这条跑道长200米。 【点评】明确速度乘时间等于路程、理解第二次相遇表示的意义是解决本题关键。 第三部分 高频真题 1．A、B两地相距40千米，下午1时整，甲、乙两人骑车分别从A、B两地出发，相向而行，双方到达对方出发地点后立即返回，下午3时整他们第二次相遇，此时甲比乙多行了12千米，甲每小时行多少千米？ 2．甲、乙两车分别从相距450米的A、B两地同时出发，相向而行，在直道A、B之间往返跑，甲每分钟走15米。乙每分钟走30米，甲、乙两人第二次相遇距离B地多远？ 3．客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，在途中相遇后继续前进，各自到达对方出发地后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇地点相距120千米。客车每小时行60千米，货车每小时行48千米。求甲、乙两地的距离。 4．甲从A地到B地需要5小时，乙的速度是甲的。现在甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距72千米，求A、B两地的距离。 5．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，则A、B两地相距多少千米？ 6．甲、乙两车同时从厦门和福州两地相对开出，两车速度比为6：5。途中相遇后，两车继续前行，到达后立即返回，在距厦门96千米处第二次相遇，福州到厦门全程多少千米？ 7．晚饭后，妈妈在一条长400米的小路上匀速散步，龙一鸣骑着自行车以均匀的速度和妈妈同时同地出发，当龙一鸣到达小路的另一端时，妈妈才走了这条小路的．然后龙一鸣返回与妈妈相向而行，遇到妈妈后再调转车头向小路另一端骑行，到达小路的另一端后再与妈妈相向而行……直到妈妈到达小路的另一端，龙一鸣从出发开始，一共骑了多少米？ 8．一辆卡车和一钢摩托车同时从A、B两地相向开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇，则A、B两地之间的距离为多少千米？ 9．小刚和他的小狗一起分别以均匀的速度从外婆家回到自己家，已知外婆家离小刚家300m．当小刚走了总路程的时，小狗已经到达小刚家．然后小狗返回与小刚相向而行，遇到小刚后再跑回终点，到达终点后再与小刚相向而行……直到小刚也到达．小狗从出发开始，一共跑了多少米？ 10．货车和轿车从相距270千米的南京、盐城两地同时相对开出，货车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行120千米，几小时后两车第一次相遇？相遇后继续行驶，两辆车到达各自目的地后立即返回，第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇？ 11．在一条公路上，甲、乙两地相距600米，小甬和小真进行竞走训练，小甬每小时走4千米，小真每小时走5千米。8时整，他们二人同时从甲、乙两地出发相向而行，1分钟后二人掉头反向而行，又过3分钟，二人又都掉头相向而行，依次按照1、3、5，7……（连续奇数）分钟数掉头行走，那么二人相遇时是几时几分？ 12．甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒甲比乙多跑0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是多少米？ 13．在300米环形跑道甲乙并头起跑，甲的平均速度是每秒5米，乙的平均速度是每秒4.4米，按平均速度计算，两人第二次相遇在起跑线前面多少米？ 14．美美和丽丽两人从学校、文具店同时出发，相向而行，在距离学校500米处两人第一次相遇，相遇后两人继续以原速前进，各自到达文具店和学校后，立即沿原路返回；在距离文具店200米处两人第二次相遇，学校与文具店相距多远？ 15．小红和小明同时从相距3km的甲、乙两地面对面比赛跑步，小红到达乙地后立即返回继续跑，小明到达甲地后也立即返回继续跑，从开始跑到两人第二次相遇用了24分钟。已知小红每分钟跑200m，求小明每分钟跑多少米？ 16．甲、乙两人分别从一个圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇，则这个圆形场地的周长为多少米？ 17．甲、乙两辆客车分别从A、B两城同时开出，相向而行．甲车每小时行60千米，乙车每小时比甲车多行30千米．两车相遇后都继续往前行驶，都到达后立即按原路返回并再次相遇．两车从出发到第二次相遇共用了5小时，求AB两城相距多少千米？ 18．甲、乙、丙三人，甲每分钟走20米，乙每分钟走22米，丙每分钟走25米，甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相对出发，丙遇到乙后，十分钟再遇到甲，求两镇的距离是多少米？ 19．甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时相对开出，甲、乙两车速度的比是9：7．第一次相遇后两车继续向前行驶，甲车到达B地、乙车到达A地后立即掉头向回行驶，两车第二次相遇点和第一次相遇点之间相距32千米，求A、B两地之间的距离． 20．甲、乙两车分别从相距50千米的A、B两地同时出发相向而行，在A、B之间不断往返．已知甲车的速度是每小时26千米，乙车的速度是每小时24千米．请问：第3次迎面相遇地点与第4次迎面相遇地点相距多少千米？ 21．童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人，每天早上童童和乐乐“唱着歌”穿梭在104米长的病区走廊上，童童负贡配送药物，只要护士下单。它就能准确的送达。乐乐负责卫生，保证病区干干净净，不留卫生死角。童童与乐乐分别从东、西两地向时相向出发。规定：童童从东边A点出发，跑到西边B点马上返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去，当乐乐从西边B点打扫到东边A点时，它们同时停止运动。已知童童每秒跑10.2米，乐乐每秒跑0.2米。问： （1）第三次相遇距离B点多远？ （2）若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了多少次？ 22．三个人自A地到B地，两地相距36千米，三个人只有一辆自行车，这辆车只能坐两人，自行车的速度比步行速度快两倍。 他们三人决定：第一个人和第二个人同乘自行车，第三个人步行。这三个人同时出发，当骑车的二人到达某点C时，骑车人放下第二个人，立即沿原路返回去接第三个人，到某处D与第三个人相遇，然后两人同乘自行车前往B；第二个人在C处下车后继续步行前往B地。结果三个人同时到达B地。那么，C距A处多少千米？D距A处多少千米？ 23．A、B两地相距950米。甲、乙两人同时由A地出发，两地往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟跑150米。甲、乙两人第几次迎面相遇时距B地最近？ 24．甲、乙两车在一条全长10千米的环行公路上，从同一地点沿相反方向同时开出，甲车行了4千米时两车相遇，相遇后两车各增加原速度的，继续前进，按此规律，以后每次相遇都各自增加速度的，第三次相遇时，甲车离出发点多少千米？ 25．小潮、小汐从400米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第一次相遇时，小潮转身往回跑；再次相遇时，小汐转身往回跑；以后的每次相遇分别是小潮和小汐两人交替调转方向，小潮的速度为3米/秒，小汐的速度为5米/秒，则两人在第30次相遇时小潮一共跑了多少米？ 26．甲、乙两艘船分别从A、B两港口同时出发，往返于两港口之间。甲船的速度是42千米/时，乙船的速度是36千米/时，经过4小时两船第二次相遇。A、B两港口相距多少千米？ 27．小明在河的东岸，小刚在河的西岸，他们分别向河对岸直线游去．两人第一次在河中相遇时距西岸80米，相遇后各自继续向对岸游去，当游抵对岸后又立即返回．他俩在河中第二次相遇时距东岸60米，相遇后再继续往前游，到达对岸后又立即返回．当他俩在河中第三次相遇时，距东岸多少米？距西岸多少米？ 28．A、B两地相距236千米．两辆汽车同时从两地出发，相向而行．分别到达A、B两地后又立即返回，经过6小时后两辆汽车第二次在途中相遇．已知甲每小时行56千米．乙车每小时行多少千米？ 29．A、B两地相距1000m，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步。两人第一次相遇时距A、B的中点100m。那么，两人第二次相遇的地点距A、B的中点多少米？ 30．小军和小刚分别从桥的两端同时出发，往返于桥两端之间。小军骑自行车以120米/分的速度行驶，小刚以60米/分的速度行走，经过36分钟两人第二次相遇。 （1）第二次相遇时，两人一共行了多少米？ （2）这座桥长多少米？ （3）请你简单说说解决第（2）问的理由是什么？　 　 31．环湖一周共400米，甲、乙二人同时从同一点同方向出发，甲过10分钟第一次追上乙，若二人同时从同一点反向而行，只要2分钟二人就相遇。求甲乙的速度。 32．淘气和笑笑从东西两地同时出发相向而行，第一次在距西地360米处相遇，两人相遇后继续前进，到达对方的出发地后立即掉头，原路返回，第二次在距西地120米处相遇。若整个过程中两人速度不发生改变，求东、西两地相距多少米？ 33．A、B两地之间有条公路，小王步行从A地去B地，小张骑摩托车从B地出发不停地往返于A，B两地之间．若他们同时出发，前后速度保持不变，60分钟后两人第一次相遇，70分钟后小张第一次超过小王．当小王到达B地时，小张和小王迎面相遇过几次？ 34．快车和慢车同时从东西两站相对开出，第一次在中点西侧10千米处相遇，相遇后两车以原速前进，到达对方出发地后，两车立即返回，在途中第二次相遇，这时相遇点距离东站40千米．东西两站相距多少千米？ 35．爸爸出差回来，在距离家700米时，小明和他的小狗一起出门迎接爸爸。爸爸的速度是82米/分，小明的速度是58米/分，小狗的速度是125米/分。小狗遇到爸爸后就立即回头跑向小明，遇到小明后再立即回头跑向爸爸，这样来回不停，直到小明和爸爸相遇。从出发开始，小狗一共跑了多少米？ 36．育才中学有80名学生租了一辆40座的车去海边观日出。未乘上车的学生步行，和汽车同时出发，由汽车往返接送。学校离海边48千米，汽车的速度是步行的9倍。汽车应在距离海边多少千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边？ 37．欢欢和乐乐分别从相距100千米的A、B两地同时相向而行，欢欢每小时走6千米，乐乐每小时走4千米，如果欢欢带着一只狗和自己同时出发，狗每小时跑10千米，狗在两人之间来回奔跑，直到两人相遇，狗跑了多少千米？ 38．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，并在两地间不断往返行驶，甲车的速度是15千米/时，乙车的速度是25千米/时，甲、乙两车第三次、第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离。 39．2015年的某一天，智康的两位老师杨老师和刘老师进行体能训练．跑道为一个椭圆形状，他们同时从同地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈．跑第一圈时，刘老师的速度是杨老师的三分之二，杨老师跑第二圈时速度比第一圈提高了三分之一，刘老师跑第二圈时速度提高了五分之一．已知杨老师、刘老师第二次相遇点距第一次190米，那么你知道这条椭圆形跑道长多少米吗？ 40．甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）．在出发后40分钟两人第一次相遇，小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇．问小张和小王的速度各是多少？ 41．一条马路长200m，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发．当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点．然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而行…直到小亮到达终点．小狗从出发开始，共跑了多少米？ 42．甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问这条椭圆形跑道长多少米？ 43．甲、乙两人分别从相距1000m的A、B两地同时出发，相向而行。甲每分钟走100m，乙每分钟走150m，甲带一条狗，狗每分钟跑200m。这条狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲跑，碰到甲的时候又掉头往乙跑，如此往复直到两人相遇。这条狗一共跑了多少米？ 44．A，B两地相距540千米．甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快．设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地．那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？ 45．甲、乙两车同时从A、B两城相向而行，在距离A城32千米处相遇，都到达对方城市后立即以原来速度原路返回，又在距离B城44千米处相遇．那么两城相距多少千米？ 46．甲、乙、丙三人中，甲每分钟走80米，乙每分钟走70米，丙每分钟走60米，甲从A城，乙、丙从B城，同时出发相向而行，甲和乙相遇后过20分钟有和丙相遇，求A、B两城的距离多少千米？ 47．甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，两车第一次相遇是在离A站50千米处，相遇后两车各自以原来速度继续行驶，分别到达B、A站后立即沿原路返回，第二次相遇是在离B站30千米处。问：如此下去，甲、乙两车第三次相遇在何处？（提示：三次相遇共走多少个全程？第二个全程中，甲行了多少千米） 48．甲从东村，乙、丙两人从西村同时相向而行．甲每分钟行70米，乙每分钟行60米，丙每分钟行50米，途中甲和乙相遇6分钟后，与丙相遇，甲、丙从出发到相遇用了多少分钟？ 49．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车的速度为32千米/时，乙车的速度为48千米/时，它们分别到达B地和A地后，甲车的速度提高四分之一，乙车的速度减少六分之一，如果它们第一次相遇与第二次相遇地点相距74千米，那么乙车比甲车早多少小时返回出发点？ 50．甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆车，每辆电车都是每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行，小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔6分钟遇到一辆迎面开来的电车，如果电车行驶全程需要56分钟，那么小王与小张在途中相遇时，他们已经出发了多少分？ 参考答案与试题解析 1．A、B两地相距40千米，下午1时整，甲、乙两人骑车分别从A、B两地出发，相向而行，双方到达对方出发地点后立即返回，下午3时整他们第二次相遇，此时甲比乙多行了12千米，甲每小时行多少千米？ 【答案】33。 【分析】这是一个多次相遇问题，甲、乙两人骑车分别从A、B两地出发，相向而行，第二次相遇时一起走了3个全程，也就是40乘3得120千米；下午1时整到下午3时整他们第二次相遇，所以相遇时间是2小时；已知相遇路程，相遇时间后就可以求出速度和，然后再根据甲比乙多行了12千米，求出甲乙的速度差，从而求出甲每小时行多少千米。 【解答】解：甲乙速度和：40×3÷（3﹣1） ＝120÷2 ＝60（千米/小时） 甲乙速度差：12÷（3﹣1） ＝12÷2 ＝6（千米/小时） 甲：（60+6）÷2 ＝66÷2 ＝33（千米/小时） 答：甲每小时行33千米。 【点评】本题考查二次相遇问题，关键是理解并掌握两车同时出发相向而行，第二次相遇时两车共同行使了3个路程。 2．甲、乙两车分别从相距450米的A、B两地同时出发，相向而行，在直道A、B之间往返跑，甲每分钟走15米。乙每分钟走30米，甲、乙两人第二次相遇距离B地多远？ 【答案】0米。 【分析】甲乙两人第一次相遇时，甲乙两车路程之和为A、B两地的距离；第二次相遇时，甲乙两车路程之和为A、B两地距离的3倍；即两人所走的路程和是3个全程，由此解答即可。 【解答】解：由题意得：甲、乙两车的速度比为15：30＝1：2， 第一次相遇时，甲乙两车路程之和为450米，则甲行了：450÷（1+2）＝150（米），乙行了：150×2＝300（米），即甲乙两车在相距B地300处相遇。 第二次相遇时，甲乙两车路程之和为450×2＝900（米），因为是各自跑到A、B处，然后再返回才能相遇；450×2＝900（米），900÷（1+2）＝300（米）， 则甲行了：150+300＝450（米），即甲到达B点时与乙相遇。 答：甲、乙两人第二次相遇距离B地0米。 【点评】此题考查多次相遇问题，明确距离总和是来回路程的3倍，是解题的关键。 3．客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，在途中相遇后继续前进，各自到达对方出发地后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇地点相距120千米。客车每小时行60千米，货车每小时行48千米。求甲、乙两地的距离。 【答案】540千米。 【分析】把甲、乙两地的距离看作单位“1”，客、货两车的速度比是60：48＝5：4，第二次相遇时，两辆车行的路就相当于3个全程，所以第一次相遇客车行了甲、乙两地距离的，第二次相遇时，客车行了甲、乙两地距离的3，所以120千米相当于单位“1”的（32），由此根据分数除法的意义求出甲、乙两地的距离即可。 【解答】解：60：48＝5：4 120÷（32） ＝120 ＝540（千米） 答：甲、乙两地的距离是540千米。 【点评】本题的难点在于明确相遇两次共行了3个总路程，而不是2个总路程这是本题容易出错的地方。 4．甲从A地到B地需要5小时，乙的速度是甲的。现在甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇。如果两次相遇点相距72千米，求A、B两地的距离。 【答案】156千米。 【分析】根据题意，把A、B两地的距离看作单位“1”，则甲每小时行，乙每小时行，那第一次相遇时间的时间即可求出，此时甲、乙各行了全程的几分之几也可以求出，从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了三个全程，因此甲走了全程的几分之几可以求出，这个地方离甲的出发点是全程的几分之几也可以求出，由此问题即可解决． 【解答】解：将A、B两地的距离看作单位“1”， 则甲每小时行，乙每小时行， 第一次相遇时间是：1（小时）， 此时甲行了全程：， 乙行了全程的：1， 从第一次相遇到第二次相遇，两人合走了三个全程， 所以甲走了， 这个地方离甲的出发点是全程的：2， 故两次相遇点之间的距离是全程的：， 全程的距离是：72156（千米）。 答：A、B两地的距离是156千米。 【点评】解答此题的关键是，根据题中的数量关系，求出两次相遇点之间距离是全程的几分之几，用对应的数除以对应的分数，即可求出单位“1”。 5．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，则A、B两地相距多少千米？ 【答案】210。 【分析】分别求出两车走一个全程所需要的时间，画出柳卡图，找出相遇点的规律，再根据相遇问题中，路程比等于速度比来求解即可。 【解答】解：设A、B两地相距100a千米 甲车走全程的时间： 100a÷20＝5a（小时） 乙车走全程的时间： 100a÷50＝2a（小时） 柳卡图如下： 所以，每20a小时为一个周期，每个周期内迎面相遇6次， 所以，第10次迎面相遇点与第4次迎面相遇点相同，第18次迎面相遇点与第6次迎面相遇点相同， 第4次迎面相遇，共走了9个全程， 相遇时间： 100a×9÷（20+50） ＝900a÷70 a（小时） 甲走的总路程为： a×20a（千米） 距离A地的距离为： a﹣100a×2 a﹣200a a（千米） 第6次迎面相遇，共走了13个全程， 相遇时间： 100a×13÷（20+50） ＝1300a÷70 a（小时） 乙走的总路程： a×50a（千米） 相遇点距离A地： a﹣100a×9 a﹣900a a（千米） 可得方程：aa＝60 解得：a＝2.1 100a＝100×2.1＝210 答：A、B两地相距210千米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出柳卡图从而得出相遇点之间的距离与A、B两地之间距离的关系是本题解题的关键。 6．甲、乙两车同时从厦门和福州两地相对开出，两车速度比为6：5。途中相遇后，两车继续前行，到达后立即返回，在距厦门96千米处第二次相遇，福州到厦门全程多少千米？ 【答案】264千米。 【分析】（红色表示乙走的，黑色表示甲走的）。 如图所示，两人共走了3个全程，将全程分为11份，因为甲车的速度：乙车的速度＝6：5，所以同时间条件下，甲乙的路程比是6：5，3个全程就是33份，33÷11＝3（份）乙走了3×5＝15（份），乙折返回来走了15﹣11＝4（份），乙折返回来走多远则距厦门多远即15﹣11＝4（份），即算出一份的距离为：96÷4＝24（千米），据此解答。 【解答】解：6+5＝11（份） 11×3＝33（份） 33÷11＝3（份） 3×5＝15（份） 15﹣11＝4（份） 96÷4＝24（千米） 24×11＝264（千米） 答：福州到厦门264多少千米。 【点评】明确两次相遇，两车共行走了3个全程，这是解决这道题目的关键。 7．晚饭后，妈妈在一条长400米的小路上匀速散步，龙一鸣骑着自行车以均匀的速度和妈妈同时同地出发，当龙一鸣到达小路的另一端时，妈妈才走了这条小路的．然后龙一鸣返回与妈妈相向而行，遇到妈妈后再调转车头向小路另一端骑行，到达小路的另一端后再与妈妈相向而行……直到妈妈到达小路的另一端，龙一鸣从出发开始，一共骑了多少米？ 【答案】1600米． 【分析】根据题意可知，龙一鸣骑着自行车以均匀的速度和妈妈同时同地出发，当龙一鸣到达小路的另一端时，妈妈才走了这条小路的．妈妈的速度就是龙一鸣的，龙一鸣的速度就是妈妈的14倍，在相同时间内龙一鸣行的路程就是妈妈的4倍，据此即可解答． 【解答】解：400 ＝400×4 ＝1600（米） 答：龙一鸣从出发开始，一共骑了1600米． 【点评】解答本题的关键是理解龙一鸣骑车的时间和妈妈散步的时间是相同的． 8．一辆卡车和一钢摩托车同时从A、B两地相向开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇，则A、B两地之间的距离为多少千米？ 【答案】150千米。 【分析】第一次相遇时两车行程之和是一趟全程，第二次相遇时，卡车、摩托车各自走了一个全程后又返回再相遇，所以两车行程之和是三趟全程，则第二次相遇用的时间时是第一次相遇的3倍。速度一定，行程与时间成正比，第一次相遇卡车行程60千米，那么第二次相遇时卡车行程（60×3）千米。第二次在离B地30千米处相遇，即第二次相遇时卡车走了比一趟全程多30千米，再减去30千米就是全程。 【解答】解：60×3﹣30 ＝180﹣30 ＝150（千米） 答：A、B两地之间的距离是150千米。 【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是明确明白：第一次两车相遇时，两车共行了一个全程（即A、B两地之间的距离）；第二次相遇时，两车又共行了2个全程。 9．小刚和他的小狗一起分别以均匀的速度从外婆家回到自己家，已知外婆家离小刚家300m．当小刚走了总路程的时，小狗已经到达小刚家．然后小狗返回与小刚相向而行，遇到小刚后再跑回终点，到达终点后再与小刚相向而行……直到小刚也到达．小狗从出发开始，一共跑了多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题干，小刚和她的小狗分别以均匀的速度同时从外婆家的起点出发，当小刚走了总路程的时，小狗已经到达小刚家．那么说明小狗的速度是小刚速度的3倍，而时间一定时，路程与速度成正比，所以小狗行驶的总路程是小刚行驶的总路程的13倍，所以小刚到达终点行驶300米，小狗则是行驶了300×3＝900米，据此即可解答问题． 【解答】解：300×（1） ＝300×3 ＝900（米） 答：小狗一共跑了900米． 【点评】解答此题关键是明确小狗跑的路程是小刚行驶的路程的3倍． 10．货车和轿车从相距270千米的南京、盐城两地同时相对开出，货车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行120千米，几小时后两车第一次相遇？相遇后继续行驶，两辆车到达各自目的地后立即返回，第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇？ 【答案】1.35小时，2.7小时。 【分析】第一次相遇时，两车合走了一个全程，根据相遇时间＝路程÷速度之和，即可求得几小时后两车第一次相遇；两车第二次相遇时，两车合走了3个全程，根据相遇时间＝路程÷速度之和，求出从出发后，经过多少时间第二次相遇，用第二次相遇时间减去第一次相遇时间，即可求出第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇。 【解答】解：270÷（80+120） ＝270÷200 ＝1.35（小时） 270×3÷（80+120） ＝810÷200 ＝4.05（小时） 4.05﹣1.35＝2.7（小时） 答：1.35小时后两车第一次相遇，第一次相遇后又过了2.7小时两车再次相遇。 【点评】本题考查相遇时间＝路程÷速度之和，本题的难点是明白两车第二次相遇时，两车合走了3个全程。 11．在一条公路上，甲、乙两地相距600米，小甬和小真进行竞走训练，小甬每小时走4千米，小真每小时走5千米。8时整，他们二人同时从甲、乙两地出发相向而行，1分钟后二人掉头反向而行，又过3分钟，二人又都掉头相向而行，依次按照1、3、5，7……（连续奇数）分钟数掉头行走，那么二人相遇时是几时几分？ 【答案】8时24分。 【分析】若两人不掉头，则相遇时间：600÷1000÷（4+5）＝0.6÷9（小时），即4分钟，将他们每分钟走的路程看作单位“1”，向相遇点前进即为正，则二人按照1、﹣3、5、﹣7……的顺序前进，当总和到达4时相遇，计算出此时的时间，再加上出发时刻，从而求出相遇的时刻。 【解答】解：若两人不掉头，相遇时间为： 600÷1000÷（4+5） ＝0.6÷9 （小时） 小时＝4分钟 将他们每分钟走的路程看作单位“1”，向相遇点前进即为正，则二人按照1、﹣3、5、﹣7……的顺序前进，当向正方向前进4时，两人相遇： 1﹣3+5﹣7＝﹣4＜4 1﹣3+5﹣7+9＝5＞4 4﹣（﹣4）＝8 所以总用时为： 1+3+5+7+8＝24（分钟） 8时+24分＝8时24分 答：二人相遇时是8时24分。 【点评】本题主要考查了相遇问题，将问题转化为正负数问题是本题解题的关键。 12．甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒甲比乙多跑0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是多少米？ 【答案】176米。 【分析】环形跑道上，每次相遇的总路程均为跑道一圈的距离，设乙的速度为x米/分，根据相遇时间×速度和＝总路程列出方程，求出两人的速度，再计算乙走的总路程，根据总路程确定第五次相遇点到A的最短距离。 【解答】解：设乙的速度为x米/分， 0.1米/秒＝6米/分 所以甲的速度为（x+6）米/分 8×（x+6+x）＝400×5 解得：x＝122 乙的总路程为： 122×8＝976（米） 976÷400＝2（圈）……176（米） 因为176＜400÷2， 所以，176米就是第五次相遇点到A点的最短距离。 答：两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是176米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题和环形跑道问题的综合，根据相遇问题中总路程＝时间×速度和列出方程是本题解题的关键。 13．在300米环形跑道甲乙并头起跑，甲的平均速度是每秒5米，乙的平均速度是每秒4.4米，按平均速度计算，两人第二次相遇在起跑线前面多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米，则甲每秒比乙多跑5﹣4.4＝0.6米，又甲、乙二人同时同地同向跑步，所以两人起跑后的第二次相遇时，甲正好比乙多跑2周即300×2＝600米，所以两人相遇所用时间是600÷（5﹣4.4）秒，此时乙跑了600÷（5﹣4.4）×4.4米，除以环形跑道的长度，余数即可得两人起跑后的第二次相遇点在起跑线前多少米． 【解答】解：300×2÷（5﹣4.4）×4.4 ＝600÷0.6×4.4 ＝4400（米） 4400÷300＝14（圈）…200（米） 答：两人第二次相遇在起跑线前面200米． 【点评】首先求出两人速度差，根据追及距离÷速度差＝追及时间求出两人第二次相遇所需时间是完成本题的关键． 14．美美和丽丽两人从学校、文具店同时出发，相向而行，在距离学校500米处两人第一次相遇，相遇后两人继续以原速前进，各自到达文具店和学校后，立即沿原路返回；在距离文具店200米处两人第二次相遇，学校与文具店相距多远？ 【答案】1300米。 【分析】两人第一次相遇点，距离学校500米，说明此时美美行了500米，即每共行一个全程美美就行500米，第二次相遇点，在距离文具店200米处，说明美美行了3个500米，且此时距离文具店200米，即美美行了一个全程加200米，据此解答即可。 【解答】解：500×3﹣200 ＝1500﹣200 ＝1300（米） 答：学校与文具店相距1300米。 【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是明确相遇两次她们共行了3个全程。 15．小红和小明同时从相距3km的甲、乙两地面对面比赛跑步，小红到达乙地后立即返回继续跑，小明到达甲地后也立即返回继续跑，从开始跑到两人第二次相遇用了24分钟。已知小红每分钟跑200m，求小明每分钟跑多少米？ 【答案】175米。 【分析】画出线段图，可知两人第二次相遇共走了3个全程，根据速度和＝路程÷相遇时间，求出两人的速度和，然后减去小红的速度就是小明的速度。 【解答】解：线段图如下： 可知，两人第二次相遇走了3个全程， 3km＝3000m 两人速度和为：3×3000÷24＝375（米/分钟） 小明的速度为：375﹣200＝175（米/分钟） 答：小明每分钟跑175米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出线段图，找出路程的关系，是本题解题的关键。 16．甲、乙两人分别从一个圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇，则这个圆形场地的周长为多少米？ 【答案】480米。 【分析】从出发到第一次相遇甲乙两人共跑了半圈，其中乙跑了100米；从出发到第二次相遇甲乙两人共跑了三个半圈，其中甲跑的路程比一圈少60米，乙跑的路程比半圈多60米。因为他们以匀速跑步，所以乙总共跑了三个100米，从而半圈的长度为：300﹣60＝240米，跑道长就为：240×2＝480米；据此解答。 【解答】解：（100×3﹣60）×2 ＝240×2 ＝480（米） 答：这个圆形场地的周长是480米。 【点评】解答此题的关键是求出乙共跑了多少米，考查了学生对问题的分析判定能力。 17．甲、乙两辆客车分别从A、B两城同时开出，相向而行．甲车每小时行60千米，乙车每小时比甲车多行30千米．两车相遇后都继续往前行驶，都到达后立即按原路返回并再次相遇．两车从出发到第二次相遇共用了5小时，求AB两城相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两辆汽车第一次相遇走了一个全程，甲到达B地加上乙到达A地走了第二个全程，第二次相遇走了第三个全程．第二次相遇时一共走了三个全程，然后再根据路程＝速度×时间，进一步解答即可． 【解答】解：根据题意可得： （60+30+60）×5÷3 ＝150×5÷3 ＝750÷3 ＝250（千米） 答：AB两城相距250千米． 【点评】本题主要考查多次相遇问题，本题的关键是理解甲乙两人到第二次相遇时总共走了3个全程，然后再进一步解答即可． 18．甲、乙、丙三人，甲每分钟走20米，乙每分钟走22米，丙每分钟走25米，甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相对出发，丙遇到乙后，十分钟再遇到甲，求两镇的距离是多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】丙遇到乙后再过10分钟又遇到甲，则从丙遇到乙后，再和甲相遇的这10分钟里，甲丙共行了（20+25）×10＝450米，即乙丙相遇时，乙比甲多行了450米，甲、乙两人的速度差为22﹣20＝2米/分钟，则乙丙相遇时，甲、乙共行的时间450÷2＝225分钟，所以东、西两镇的距离为：（22+25）×225米． 【解答】解：（20+25）×10÷（22﹣20）×（22+25） ＝450÷2×47 ＝225×47 ＝10575（米） 答：两镇相距10575米． 【点评】解答此题关键是根据乙丙相遇后甲与丙的相遇时间求出相遇时甲、乙的距离差，再用甲乙路程差除以速度差，就可此求出乙、丙的相遇时间是完成本题的关键． 19．甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时相对开出，甲、乙两车速度的比是9：7．第一次相遇后两车继续向前行驶，甲车到达B地、乙车到达A地后立即掉头向回行驶，两车第二次相遇点和第一次相遇点之间相距32千米，求A、B两地之间的距离． 【答案】见试题解答内容 【分析】我们知道像题目中的行程问题，甲乙第一次相遇时，两车共行了一个全程（A、B间的距离），以后每次相遇都要行两个全程．所以，我们根据甲、乙两车的速度比9：7，结合行程问题可以把甲、乙两车第一次相遇时，甲走了9份路程，乙走了7份路程，共行7+9＝16份的路程；第二次相遇时，甲走了9×2＝18份路程，即在返回的路上走了18﹣7＝11份路程，11﹣7＝4份的路程就是两次相遇点之间的距离，至此即可求出全程的千米数． 【解答】解：9×2﹣7＝11（份） 32÷（11﹣7）×（7+9） ＝32÷4×16 ＝8×16 ＝128（千米） 答：A、B两地之间的距离为128千米． 【点评】此题解答的关键是通过画图得出：两次相遇点之间的距离占全程的多少． 20．甲、乙两车分别从相距50千米的A、B两地同时出发相向而行，在A、B之间不断往返．已知甲车的速度是每小时26千米，乙车的速度是每小时24千米．请问：第3次迎面相遇地点与第4次迎面相遇地点相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】已知甲车的速度是每小时26千米，乙车的速度是每小时24千米，那么每行一个全程（即第一次相遇）需要50÷（26+24）＝1（小时），然后每相遇一次共行2个全程，所以第3次迎面相遇的时间是1+1×（2×2）＝5（小时），甲车行驶的总路程是26×5＝130（千米）；同理第4次迎面相遇的时间是1+1×（2×3）＝7（小时），甲车行驶的总路程是26×7＝182（千米）；两者的总路程是130+182＝312（千米），然后除以50千米，那么余数就是第3次迎面相遇地点与第4次迎面相遇地点相距多少千米． 【解答】解：50÷（26+24）＝1（小时） 1+1×（2×2）＝5（小时） 26×5＝130（千米） 1+1×（2×3）＝7（小时） 26×7＝182（千米） 130+182＝312（千米） 312÷50＝6（个）…12（千米） 答：第3次迎面相遇地点与第4次迎面相遇地点相距12千米． 【点评】在多次相遇问题中，相遇次数与共行全程的个数的关系为：第一次相遇共行一个全程，以后每相遇一次就共行两个全程，如相遇次数为N，共行全程的个数＝1+（N﹣1）×2． 21．童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人，每天早上童童和乐乐“唱着歌”穿梭在104米长的病区走廊上，童童负贡配送药物，只要护士下单。它就能准确的送达。乐乐负责卫生，保证病区干干净净，不留卫生死角。童童与乐乐分别从东、西两地向时相向出发。规定：童童从东边A点出发，跑到西边B点马上返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去，当乐乐从西边B点打扫到东边A点时，它们同时停止运动。已知童童每秒跑10.2米，乐乐每秒跑0.2米。问： （1）第三次相遇距离B点多远？ （2）若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了多少次？ 【答案】（1）6米远；（2）29次。 【分析】（1）第一次相遇时它们共同走了104米，第三次相遇时它们走了208米，也可以看作从第二次开始走208米相遇2次。（2）已知乐乐打扫到离B点60米处，它用了300秒，它们共相遇的次数可求。 【解答】解：（1）104÷（10.2+0.2）＝104÷10.4＝10（秒） 104×2÷（10.2+0.2）＝208÷10.4＝20（秒） 0.2×（10+20）＝0.2×30＝6（米） 答：第三次相遇距离B点6米远。 （2）60÷0.2＝300（秒） 300﹣10＝290（秒） 290÷20＝14......10（秒） 0.2×290＝58（米） 58×2＝116（米） 10.2×10＝102（米） 102＜116 14×2+1＝28+1＝29（次） 答：若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了29次。 【点评】理解相遇问题中的数量关系是解决本题的关键。 22．三个人自A地到B地，两地相距36千米，三个人只有一辆自行车，这辆车只能坐两人，自行车的速度比步行速度快两倍。 他们三人决定：第一个人和第二个人同乘自行车，第三个人步行。这三个人同时出发，当骑车的二人到达某点C时，骑车人放下第二个人，立即沿原路返回去接第三个人，到某处D与第三个人相遇，然后两人同乘自行车前往B；第二个人在C处下车后继续步行前往B地。结果三个人同时到达B地。那么，C距A处多少千米？D距A处多少千米？ 【答案】C距A处28.8千米，D距A处14.4千米。 【分析】当第三个人到达D点时，第一个骑自行车的所行路程是此时第三个人路程的（1+2＝3）倍，则AC＝2×AD。又知第二个人在C处下车后继续步行前往B地，结果三个人同时到达B地。则DC＝2CB。据此解答。 【解答】解：AD＝DC AC＝2×AD CD＝2×CB AB＝（2+2+1）×CB CB＝36÷5 CB＝7.2（千米） AC＝7.2×（2+2）＝28.8（千米） AD＝7.2×2＝14.4（千米） 答：C距A处28.8千米，D距A处14.4千米。 【点评】明确相同时间内路程比等于速度比是解决本题的关键。 23．A、B两地相距950米。甲、乙两人同时由A地出发，两地往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟跑150米。甲、乙两人第几次迎面相遇时距B地最近？ 【答案】二。 【分析】当两人第一次相遇时，两人行驶了两地间距离的2倍，也就是950×2＝1900米，第一次相遇时需要的时间应该是：1900÷（40+150）＝1900÷190＝10（分钟），也就是说每过10分钟两人就需要相遇一次，所以第一次相遇时距B地的距离应该是950﹣40×10＝550 （米），第二次相遇时距B地的距离应该是950﹣400×2＝150米，第三次距B地的距离应该是400×3﹣950＝250米，此时甲要往回走，以后与B地的距离应该是越来越远，故此可得：第二次相遇时距离B地最近，据此即可解答。 【解答】解：（950×2）÷（40+150） ＝1900÷190 ＝10（分钟） 950﹣10×2×40 ＝950﹣20×40 ＝950﹣800 ＝150（米） 答：甲、乙二人第二次迎面相遇时距B地最近。 【点评】解答本题的关键是判断出两人每次相遇间隔的时间，进而求出相遇的地点与B地的距离。 24．甲、乙两车在一条全长10千米的环行公路上，从同一地点沿相反方向同时开出，甲车行了4千米时两车相遇，相遇后两车各增加原速度的，继续前进，按此规律，以后每次相遇都各自增加速度的，第三次相遇时，甲车离出发点多少千米？ 【答案】2千米。 【分析】首先根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，路程和速度成正比，据此求出开始时甲乙两车的速度之比是多少；然后根据每次相遇后两车速度各加10%，可得甲乙两车的速度之比不变，所以每次相遇时，甲乙行的路程之比不变，因此每次相遇时甲车行的路程都是4千米，求出第三次相遇时甲车行驶的路程是4×3＝12（千米），再用它减去环形公路的长度，求出第三次相遇时甲车离出发点多少千米即可。 【解答】解：甲乙两车的速度之比是： 4：（10﹣4）＝4：6＝2：3； 因为每次相遇后速度都增加，所以每次相遇时，甲乙行的路程之比不变； 因此每次相遇时甲车行的路程都是4千米； 所以第三次相遇时甲车离出发点： 4×3﹣10＝2（千米） 答：第三次相遇时甲车离出发点2千米。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系，要熟练掌握；解答此题的关键是要明确：时间一定时，路程和速度成正比，并能判断出每次相遇时甲车行的路程都是4千米。 25．小潮、小汐从400米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第一次相遇时，小潮转身往回跑；再次相遇时，小汐转身往回跑；以后的每次相遇分别是小潮和小汐两人交替调转方向，小潮的速度为3米/秒，小汐的速度为5米/秒，则两人在第30次相遇时小潮一共跑了多少米？ 【答案】11250米。 【分析】第一次相遇是相遇问题，小抄转身往回跑；第二次相遇为追击问题，追击距离为跑道长度，小汐转身往回跑；第三次相遇再次变为相遇问题……所以，30次相遇中一半为相遇问题，一半为追及问题，相遇路程和追及路程均为一圈跑道的长度，据此计算出总时间，再乘小潮的速度，即为他的总路程。 【解答】解：相遇时间： 400÷（3+5） ＝400÷8 ＝50（秒） 追及时间： 400÷（5﹣3） ＝400÷2 ＝200（秒） 总时间： 50×15+200×15 ＝750+3000 ＝3750（秒） 总路程： 3750×3＝11250（米） 答：在第30次相遇时小潮一共跑了11250米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，总结30次相遇中有多少次相遇是追及问题和相遇问题，从而求出总时间，是本题解题的关键。 26．甲、乙两艘船分别从A、B两港口同时出发，往返于两港口之间。甲船的速度是42千米/时，乙船的速度是36千米/时，经过4小时两船第二次相遇。A、B两港口相距多少千米？ 【答案】104千米。 【分析】经过4小时两船第二次相遇，即4小时行驶的路程和相当于A、B两港口距离的3倍，然后根据“速度和×相遇时间＝总路程”解答即可。 【解答】解：（42+36）×4÷3 ＝78×4÷3 ＝104（千米） 答：A、B两港口相距104千米。 【点评】解答本题关键是明确：第二次相遇，行驶的路程和相当于3个A、B两港口之间的距离。 27．小明在河的东岸，小刚在河的西岸，他们分别向河对岸直线游去．两人第一次在河中相遇时距西岸80米，相遇后各自继续向对岸游去，当游抵对岸后又立即返回．他俩在河中第二次相遇时距东岸60米，相遇后再继续往前游，到达对岸后又立即返回．当他俩在河中第三次相遇时，距东岸多少米？距西岸多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两人第一次在河中相遇时距西岸80米，即每行一个河宽，那么小刚就行80米，第二次相遇时共行了3个河宽，这时小刚就行80×3＝240米，又因为第二次相遇时距东岸60米，那么河宽是240﹣60＝180米，当他俩在河中第三次相遇时，共行了5个河宽，那么小刚就行80×5＝400米，400÷180＝2（个）…40（米），即小刚就行了2个河宽还余40米，即距离西岸40米，距东岸180﹣40＝140米；据此解答即可． 【解答】解：80×3＝240（米） 240﹣60＝180（米） 80×5＝400（米） 400÷180＝2（个）…40（米） 小刚就行了2个河宽还余40米，即距离西岸40米， 180﹣40＝140（米） 答：当他俩在河中第三次相遇时，距东岸140米，距西岸40米． 【点评】本题考查了比较复杂的相遇问题，关键是明确两人第一次在河中相遇时共行一个河宽，以后每相遇一次就行2个河宽． 28．A、B两地相距236千米．两辆汽车同时从两地出发，相向而行．分别到达A、B两地后又立即返回，经过6小时后两辆汽车第二次在途中相遇．已知甲每小时行56千米．乙车每小时行多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由于它们相向而行，各自达到目的地后又立即返回，他们应是在乙车返回A地后又在去B地的路上和返回A地的甲车相遇，所以相遇时他们行了3个全程，即236×3＝708（千米），已知行驶时间为6小时，用总路程除以6小时，求出两车的速度和，再减去甲车的速度，即可求出乙车每小时行多少千米． 【解答】解：236×3÷6 ＝708÷6 ＝118（千米） 118﹣56＝62（千米） 答：乙车每小时行62千米． 【点评】明确两车第二次相遇时，两车一共行驶了3个AB两地间的距离，是解答本题的关键，依据是等量关系式：速度＝路程÷时间． 29．A、B两地相距1000m，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间往返散步。两人第一次相遇时距A、B的中点100m。那么，两人第二次相遇的地点距A、B的中点多少米？ 【答案】两人第二次相遇的地点距A、B的中点300米。 【分析】两人第一次相遇时距A、B的中点100米，说明两人相遇的路程差是100×2＝200米，根据和差公式可以求出速度慢的人第一次相遇时行了（1000﹣200）÷2＝400米，当两个人第二次相遇时速度慢的人共行了400×3＝1200米，两人第二次相遇的地点距A、B的中点是1000÷2﹣（1200﹣1000）；据此解答即可。 【解答】解：（1000﹣100×2）÷2 ＝800÷2 ＝400（米） 400×3＝1200（米） 1000÷2﹣（1200﹣1000） ＝500﹣200 ＝300（米） 答：两人第二次相遇的地点距A、B的中点300米。 【点评】解答本题关键是理解两人第二次相遇共行了3个A、B两地之间的路程。 30．小军和小刚分别从桥的两端同时出发，往返于桥两端之间。小军骑自行车以120米/分的速度行驶，小刚以60米/分的速度行走，经过36分钟两人第二次相遇。 （1）第二次相遇时，两人一共行了多少米？ （2）这座桥长多少米？ （3）请你简单说说解决第（2）问的理由是什么？　第二次相遇时，共行三个全程。　 【答案】（1）第二次相遇时，两人一共行了6480米。 （2）这座桥长2160米。 （3）第二次相遇时，共行三个全程。 【分析】（1）第二次相遇所走的路程，就是两人的路程和，用两人速度的和乘时间即可。 （2）第一次相遇两人走了一个桥长，然后分别走到桥头两人又走了一个桥长，返回后第二次相遇，两人又走了一个桥长，用第（1）题中的得数，再除以3即可求出这座桥有多少米长。 （3）第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程，所以第二次相遇时，共行三个全程，据此解答即可。 【解答】解：（1）（120+60）×36 ＝180×36 ＝6480（米） 答：第二次相遇时，两人一共行了6480米。 （2）6480÷3＝2160（米） 答：这座桥长2160米。 （3）第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程，所以第二次相遇时，共行三个全程。 故答案为：第二次相遇时，共行三个全程。 【点评】在此类相遇问题中，第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程。 31．环湖一周共400米，甲、乙二人同时从同一点同方向出发，甲过10分钟第一次追上乙，若二人同时从同一点反向而行，只要2分钟二人就相遇。求甲乙的速度。 【答案】120米/分，80米/分。 【分析】由题意可知，甲过10分钟第一次追上乙时两人的路程差是400米，所用的时间为10分钟，所以甲、乙两人的速度差＝路程差÷时间；若二人同时从同一点反向而行，只要2分钟二人就相遇，所以甲、乙两人的速度和＝路程÷相遇时间，甲的速度＝（速度差+速度和）÷2，乙的速度＝速度和﹣甲的速度。 【解答】解：速速差：400÷10＝40（米/分） 速度和：400÷2＝200（米/分） 甲的速度：（200+40）÷2 ＝240÷2 ＝120（米/分） 200﹣120＝80（米/分） 答：甲的速度是120米/分，乙的速度是80米/分。 【点评】完成本题要细心，注意分析所给条件，本题的关键是掌握追击和相遇的相关公式。 32．淘气和笑笑从东西两地同时出发相向而行，第一次在距西地360米处相遇，两人相遇后继续前进，到达对方的出发地后立即掉头，原路返回，第二次在距西地120米处相遇。若整个过程中两人速度不发生改变，求东、西两地相距多少米？ 【答案】600米。 【分析】淘气从东地出发与笑笑从西地出发后第一次相遇距西地360米，说明笑笑走了360米，两人所走的总路程即是东西两地的总路程；淘气第一次相遇后到两人第二次相遇时又走了（360+120）米，两人在第一次相遇后到第二次相遇时共走了东、西两地距离的2倍，因为两人速度不变，所以淘气在第一次相遇后到第二次相遇时走的路程是他第一次相遇前走的路程的2倍，据此算出第一次相遇前淘气走的路程，再用第一次相遇前淘气走的路程加上第一次相遇前笑笑走的路程，即为东、西两地的总路程。 【解答】解：（360+120）÷2+360 ＝480÷2+360 ＝240+360 ＝600（米） 答：东、西两地相距600米。 【点评】解答此题的关键在于理解淘气在第一次相遇后到第二次相遇时所行路程是第一次相遇前所行路程的2倍。 33．A、B两地之间有条公路，小王步行从A地去B地，小张骑摩托车从B地出发不停地往返于A，B两地之间．若他们同时出发，前后速度保持不变，60分钟后两人第一次相遇，70分钟后小张第一次超过小王．当小王到达B地时，小张和小王迎面相遇过几次？ 【答案】见试题解答内容 【分析】我们通过“走相同的路程”所用的时间比表示出小张和小王的速度的比，小王和小张所需时间比：（60+70）：（70﹣60）＝130：10＝13：1所以，小王和小张的速度比为（70﹣60）：（60+70）＝10：130＝1：13，即，小王走一个全程，小张走13个全程；小王行完一个全程，小张行13个全程，第一次是相遇，第二次是追……，所以，共相遇7次，追上6次；据此解答即可． 【解答】解：由题意可知：走相同的路程，小王和小张所需时间比：（60+70）：（70﹣60）＝130：10＝13：1 所以，小王和小张的速度比为（70﹣60）：（60+70）＝10：130＝1：13 即，小王走一个全程，小张走13个全程． 小王行完一个全程，小张行13个全程，第一次是相遇，第二次是追上……， 所以，共相遇7次，追上6次． 答：小张和小王迎面相遇过7次． 【点评】本题是一道较复杂的行程问题，考查了“用走相同的路程所用的时间的比来表示他们的速度的比”来解决问题． 34．快车和慢车同时从东西两站相对开出，第一次在中点西侧10千米处相遇，相遇后两车以原速前进，到达对方出发地后，两车立即返回，在途中第二次相遇，这时相遇点距离东站40千米．东西两站相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】第一次相遇时，两车合行1个东西两站距离，且快车行了东西两站距离的多10千米，第二次相遇时，两车合行3个东西两站距离，所以快车行了东西两站距离的3还多10×3＝30千米，又知快车行的比2个东西两站距离少40千米，所以东西两站相距：（30+40）÷（2），再计算即可． 【解答】解：第一次相遇时，两车合行1个东西两站距离，且快车行了东西两站距离的多10千米， 第二次相遇时，两车合行3个东西两站距离，所以快车行了东西两站距离的3还多10×3＝30千米， 又知快车行的比2个东西两站距离少40千米， 所以东西两站相距： （30+40）÷（2） ＝70 ＝140（千米） 答：东西两站相距140千米． 【点评】本题考查了多次相遇问题，关键是得出又知快车行的比2个东西两站距离少40千米，或者说是行了东西两站距离的多30千米． 35．爸爸出差回来，在距离家700米时，小明和他的小狗一起出门迎接爸爸。爸爸的速度是82米/分，小明的速度是58米/分，小狗的速度是125米/分。小狗遇到爸爸后就立即回头跑向小明，遇到小明后再立即回头跑向爸爸，这样来回不停，直到小明和爸爸相遇。从出发开始，小狗一共跑了多少米？ 【答案】从出发开始，小狗一共跑了625米。 【分析】根据相遇时间＝路程÷速度之和，用700÷（82+58）＝5（分），即求得小明出发5分钟后和爸爸相遇。在这段时间里，小狗一直在跑，求小狗的跑动距离，用小明和爸爸的相遇时间×小狗的速度即可。 【解答】解：700÷（82+58） ＝700÷140 ＝5（分） 125×5＝625（米） 答：从出发开始，小狗一共跑了625米。 【点评】本题的关键在于求出小明和爸爸的相遇时间。 36．育才中学有80名学生租了一辆40座的车去海边观日出。未乘上车的学生步行，和汽车同时出发，由汽车往返接送。学校离海边48千米，汽车的速度是步行的9倍。汽车应在距离海边多少千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边？ 【答案】8千米。 【分析】首先根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，路程和速度成正比；设汽车应在距离海边x千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边，则此时步行的人走的路程是千米，此时下车的人需要步行的路程是x千米；然后求出汽车从开始返回到最后到达目的地行驶的路程，再根据汽车从开始返回到最后到达目的地行驶的路程是x千米的9倍，列出方程，求解即可． 【解答】解：设汽车应在距离海边x千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边， 则此时步行的人走的路程是千米，此时下车的人需要步行的路程是x千米， 从汽车返回到和步行的人相遇，汽车行驶的路程是： （48x）38.4﹣0.8x（千米）， 所以2（38.4﹣0.8x）+x＝9x 76.8﹣1.6x+x＝9x 76.8﹣0.6x＝9x 76.8﹣0.6x+0.6x＝9x+0.6x 9.6x＝76.8 9.6x÷9.6＝76.8÷9.6 x＝8 答：汽车应在距离海边8千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边。 【点评】（1）此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握；注意时间一定时，路程和速度成正比； （2）此题还考查了列方程解应用题的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键． 37．欢欢和乐乐分别从相距100千米的A、B两地同时相向而行，欢欢每小时走6千米，乐乐每小时走4千米，如果欢欢带着一只狗和自己同时出发，狗每小时跑10千米，狗在两人之间来回奔跑，直到两人相遇，狗跑了多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】要求出狗行走的路程，只要求出狗行走的时间，然后再乘狗的速度即可，狗行走的时间就是欢欢和乐乐两人的相遇时间，用两地之间的路程除以两人的速度和就是相遇时间，进而求出狗行走的路程． 【解答】解：100÷（4+6） ＝100÷10 ＝10（小时） 10×10＝100（千米） 答：这只狗一共走了100千米． 【点评】本题看似复杂，但只要明确在这一过程中，狗一直在行走，与两人相遇所用时间相同，问题就好解决了． 38．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，并在两地间不断往返行驶，甲车的速度是15千米/时，乙车的速度是25千米/时，甲、乙两车第三次、第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离。 【答案】A、B两地的距离是200千米。 【分析】根据题意，甲、乙两车第一次、第二次、第三次、第四次相遇时，两车共行了1个全程、3个全程、5个全程、7个全程。把全程看作单位“1”，根据相遇问题中，速度比等于路程比，已知甲车与乙车的速度，可以求出两车的路程比；进而求出第一次相遇时，甲车行了全程几分之几，再分别乘5，乘7求出第三次、第四次相遇时，甲车行了全程的几分之几；找到第三次、第四次相遇地点相差100千米对应的分率，用除法计算，求出全程。 【解答】解：在相同的时间内，甲、乙两车所行的路程比为：15：25＝3：5。 第一次相遇时，甲行了全程的； 第三次相遇时，甲行了：5＝1，即走了1个全程，还多； 第四次相遇时，甲行了：7＝2，即走了2个全程，还多； 第三次、第四次相遇地点相差： 1 1 全程：100200（千米） 答：A、B两地的距离是200千米。 【点评】复杂的相遇问题，需明确两车第n次相遇时，共行了（2n﹣1）个全程是解题的关键。 39．2015年的某一天，智康的两位老师杨老师和刘老师进行体能训练．跑道为一个椭圆形状，他们同时从同地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈．跑第一圈时，刘老师的速度是杨老师的三分之二，杨老师跑第二圈时速度比第一圈提高了三分之一，刘老师跑第二圈时速度提高了五分之一．已知杨老师、刘老师第二次相遇点距第一次190米，那么你知道这条椭圆形跑道长多少米吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】刘老师的速度是杨老师的速度的，设杨老师速度为1，那么刘老师速度是，算出速度比是3：2； 第一次相遇在距杨老师出发点占全程的3÷（2+3）处，当杨老师跑完一圈的时候，刘老师只能跑圈，也就是距离杨老师出发点占全程1处，现在杨老师提速，那么速度变成了，现在他们的速度比为2：1，所以当刘老师跑完剩下的时，杨老师可以跑，也就是在距离杨老师出发点1处； 现在刘老师提速，变成了，所以他们的速度比是5：3，现在他们的相遇在距离杨老师出发点3÷（5+3）处，，再根据是190米，进一步算出得数． 【解答】解：设杨老师速度为1，杨老师速度：刘老师速度是1：3：2； 当杨老师跑完一圈的时候，刘老师只能跑圈，杨老师提速，现在他们的速度比为：2：1； 所以当刘老师跑完剩下的时，杨老师可以跑，也就是在距离杨老师出发点1处； 刘老师提速，（1），杨老师速度：刘老师速度：5：3； 他们相遇在距离杨老师出发点3÷（5+3）处，所以距离第一次相遇； 190400（米）． 答：这条椭圆形跑道长400米． 【点评】此题关键是根据条件理顺题中数量之间的关系，确定要求什么，必须先求什么，再求什么，分别用什么方法计算，一步步的把问题解决． 40．甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）．在出发后40分钟两人第一次相遇，小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇．问小张和小王的速度各是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两人第一次相遇，共行一个全程，用时为40分钟，第二次相遇，共行三个全程，所用时间为：40×3＝120分钟＝2小时相遇时，小张行了两个全程减去2千米，其速度为：[6×（40×3÷60）﹣2]÷2＝5（千米/小时），小王行了一个全程多2千米速度为：（6+2）÷2＝4（千米/小时）． 【解答】解：小张的速度为： [6×（40×3÷60）﹣2]÷2 ＝[6×2﹣2]÷2， ＝5（千米/小时）； 小王的速度为： （6+2）÷2 ＝8÷2， ＝4（千米/小时）． 故答案为：5，4． 【点评】在相遇问题中，一般第二次相遇时两人共行的路程为全程的三倍． 41．一条马路长200m，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发．当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点．然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而行…直到小亮到达终点．小狗从出发开始，共跑了多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点，说明小狗的速度是小亮的2倍，由于小亮和小狗最后都到达终点，那么它们行驶的时间是相同，根据时间一定，速度和路程的正比例关系可知，小狗的路程也是小亮路程的2倍，即200×2米． 【解答】解：当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点，说明小狗的速度是小亮的2倍， 根据时间一定，速度和路程的正比例关系可知，小狗的路程也是小亮路程的2倍， 200×2＝400（米） 答：小狗从出发开始，共跑了400米． 【点评】解决本题关键是先判断出小狗的速度是小亮的2倍，再根据时间一定，速度和路程的正比例关系求解． 42．甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问这条椭圆形跑道长多少米？ 【答案】400米。 【分析】乙的速度是甲的速度的，设甲的速度为1，那么乙的速度是，计算出甲乙的速度比是3：2；相遇问题，第一次相遇在据甲出发点占全程的3÷（2+3）处，当甲跑完一圈的时候，乙只能跑圈，也就是距离甲出发点占全程的1处。现在甲提速，那么速度变成了，现在他们的速度比为2：1，所以当乙跑完剩下的时，甲可以跑，也就是在距离甲出发点1处；现在乙提速，变成了，所以他们的速度比是5：3，现在他们相遇在距离甲出发点3÷（5+3）处，所以距离第一次相遇是190米，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算即可解答本题。 【解答】解：乙的速度是甲的速度的，设甲的速度为1，那么乙的速度是。 甲的速度：乙的速度＝1：3：2 根据相同时间内的路程比等于速度比可知，第一次相遇在据甲出发点占全程的3÷（2+3）处，当甲跑完一圈的时候，乙只能跑圈，即距离甲出发点占全程的1处。 当甲跑完第1圈后，提速，那么甲的速度变成了1 此时甲的速度：乙的速度：2：1 所以当乙跑完剩下的时，甲可以跑，即在距离甲出发点1处； 现在乙提速，变成了（1） 此时甲的速度：乙的速度：5：3，现在他们相遇在距离甲出发点处。 即距离第一次相遇处 190400（米） 答：这条椭圆形跑道长400米。 【点评】此题关键是根据条件理顺题里数量之间的关系，确定要求什么，必须先求什么，再求什么，分别用什么方法计算，一步步的把问题解决。 43．甲、乙两人分别从相距1000m的A、B两地同时出发，相向而行。甲每分钟走100m，乙每分钟走150m，甲带一条狗，狗每分钟跑200m。这条狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲跑，碰到甲的时候又掉头往乙跑，如此往复直到两人相遇。这条狗一共跑了多少米？ 【答案】800米。 【分析】狗一直没有停，所以狗跑的时间就是两人的相遇时间；先把甲乙两人速度相加，求出两人的速度和，再用两人走的路程除以速度和，求出相遇时间，然后再用狗的速度乘相遇时间，就是直到两人相遇，这条狗一共跑了多少米。 【解答】解：1000÷（100+150）×200 ＝1000÷250×200 ＝4×200 ＝800（米） 答：这条狗一共跑了800米。 【点评】解决本题关键是明确狗跑的时间就是两人的相遇时间，再根据相遇时间＝总路程÷速度和，求出相遇时间，然后利用路程＝速度×时间求出狗跑的路程。 44．A，B两地相距540千米．甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快．设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地．那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，甲乙两车每次相遇都共行了2个A、B之间的全程，画图如下：（黄色路线是甲走的，红色路线是乙走的）； 由图可知：第一次相遇时甲走了AP，乙走了AP+2BP；第二次相遇时，甲走了2BP，即AP＝2BP；这样即可求出AP+2BP与AP的数量关系，那么就可以每次相遇两车行驶的路程比，继而可以求出每次相遇乙车行驶的路程，然后再进一步解答． 【解答】解：根据题意可画出下图（黄色路线是甲走的，红色路线是乙走的） 由图可知：第一次相遇，甲走了AP的路程；第二次相遇甲走了PB+BP，则 AP＝2BP，那么AB＝3BP； 第一次相遇：甲车路程：乙车路程＝AP：（AB+BP）＝2BP：4BP＝1：2； 第一次相遇乙车行驶了：540÷（1+2）×2×2＝720（千米）； 每次相遇，乙车都行驶了720千米； 所以，第三次相遇乙车共行了3个720千米，即720×3＝2160（千米）． 答：到两车第三次相遇为止，乙车共走了2160千米． 【点评】此题利用画图便于理清思路和其中的数量关系，然后即可轻松作答． 45．甲、乙两车同时从A、B两城相向而行，在距离A城32千米处相遇，都到达对方城市后立即以原来速度原路返回，又在距离B城44千米处相遇．那么两城相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】第一次相遇时，从A城出发的甲行驶了32千米，到第二次相遇时，两人一共行驶了3个两城间的距离，那么从A城出发的甲就应该行驶了32×3＝96千米，此时甲行驶了两城路程多44千米，就行驶96﹣44＝52千米的距离，也就是两城间的距离，依据除法意义即可解答． 【解答】解：32×3﹣44 ＝96﹣44 ＝52（千米） 答：原来两城相距52千米 【点评】明确第二次相遇时从A城出发的汽车就应该行驶了32×3＝96千米，是解答本题的关键． 46．甲、乙、丙三人中，甲每分钟走80米，乙每分钟走70米，丙每分钟走60米，甲从A城，乙、丙从B城，同时出发相向而行，甲和乙相遇后过20分钟有和丙相遇，求A、B两城的距离多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲首先在途中与乙相遇，之后20分钟又与丙相遇，则甲乙相遇时，乙丙相距（60+80）×20＝2800米，则根据路程差÷速度差＝共行时间可知，甲乙相遇时，他们行驶的时间为：2800÷（70﹣60）＝280分钟，然后乘甲乙的速度和，可得AB两地相距（80+70）×280＝42000（米）． 【解答】解：（60+80）×20÷（70﹣60）×（80+70） ＝2800÷10×150 ＝42000（米） ＝42（千米） 答：A、B两城的距离42千米． 【点评】本题考查了相遇问题，根据甲乙相遇后甲又与丙的相遇时间，求出甲乙相遇时乙丙的距离差是完成本题的关键． 47．甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，两车第一次相遇是在离A站50千米处，相遇后两车各自以原来速度继续行驶，分别到达B、A站后立即沿原路返回，第二次相遇是在离B站30千米处。问：如此下去，甲、乙两车第三次相遇在何处？（提示：三次相遇共走多少个全程？第二个全程中，甲行了多少千米） 【答案】第三次相遇点距A地10千米。 【分析】画出线段图，从图上可以发现，第一次相遇离A站的距离，就是甲第一次相遇走的路程，第一次相遇后到第二次相遇，两车走的总路程为A、B距离的两倍，根据路程＝速度×时间，速度不变时，两车分别的路程比等于两车的总路程比，可以求出第一次相遇后到第二次相遇，甲走的总路程，从而可以求出A、B间的距离，从第二次相遇到第三次相遇，两车走的总路程也为A、B距离的两倍，所以，甲走的路程可以求出，再根据图示关系，求出第三次相遇点距离A或B站的距离即可。 【解答】解：线段图如下： 设第一次相遇乙走了x千米，则第二次相遇，甲走了（x+30）千米，乙走了（50+50+x﹣30）千米， 第一次相遇两车共走了一个全程，从第一次相遇到第二次相遇两车共走了两个全程， 根据总路程＝甲车总路程+乙车总路程可知，速度不变时，两车分别走的路程与总路程成正比， x+30＝50×2 x＝70 所以从第一次相遇到第二次相遇，甲车走了70+30＝100（千米）， 从第二次相遇到第三次相遇，两车也共走了两个全程， 所以，甲车又走了100千米， 此时相遇点到A的距离为： 100﹣（50+70﹣30） ＝100﹣90 ＝10（千米） 答：第三次相遇点距A地10千米。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，画出线段图找出其中的数量关系是本题解题的关键。 48．甲从东村，乙、丙两人从西村同时相向而行．甲每分钟行70米，乙每分钟行60米，丙每分钟行50米，途中甲和乙相遇6分钟后，与丙相遇，甲、丙从出发到相遇用了多少分钟？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，设甲与乙x分钟相遇，有根据东西两村的距离不变，列方程为：（70+60）x＝（70+50）（x+6），解得：x＝72．加上6即可。 【解答】解：设甲与乙x分钟相遇， （70+60）x＝（70+50）（x+6） 130x＝120x+120×6 10x＝720 x＝72 72+6＝78（分钟） 答：甲、丙从出发到相遇用了78分钟． 【点评】本题主要考查相遇问题的实际应用，根据甲乙的路程差求出甲丙的相遇时间是解答本题的关键． 49．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车的速度为32千米/时，乙车的速度为48千米/时，它们分别到达B地和A地后，甲车的速度提高四分之一，乙车的速度减少六分之一，如果它们第一次相遇与第二次相遇地点相距74千米，那么乙车比甲车早多少小时返回出发点？ 【答案】2.5小时。 【分析】第一次相遇，两车走了一个全程，第二次相遇两车走了（1+2）个全程，其中两车分别以原速度各走一个全程，据此画出线段图，设A、B两地的距离为x千米，根据相遇问题中，相遇时间×速度和＝总路程分别计算两次相遇的时间，再根据两次相遇地点距离列出方程求解，再分别计算两车各走两个全程的时间，时间差即为所求。 【解答】解：线段图如下： 设A、B两地相距x千米，根据相遇问题中，路程比等于速度比可知， 甲走了xx（千米） 因为乙的速度比甲快，所以当甲到达B时，乙已经返回了一段路程， 变速后，甲的速度为：32×（1）＝40（千米/时） 乙的速度为：48×（1）＝40（千米/时） 第二次相遇的时间为： x÷32+[x﹣（x÷32﹣x÷48）×40]÷（40+40） [x40]÷80 [xx]÷80 xx÷80 x（小时） 第二次相遇点据A地的距离： （x）×40 x×40 x（千米） 可得方程： xx＝74 解得：x＝240 两车返回的时间差为： （240÷32+240÷40）﹣（240÷48+240÷40） ＝（7.5+6）﹣（5+6） ＝7.5+6﹣5﹣6 ＝2.5（小时） 答：乙车比甲车早2.5小时返回出发点。 【点评】本题主要考查了多次相遇问题，正确的计算出第二次的相遇时间是本题解题的关键。 50．甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆车，每辆电车都是每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行，小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔6分钟遇到一辆迎面开来的电车，如果电车行驶全程需要56分钟，那么小王与小张在途中相遇时，他们已经出发了多少分？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把同向行驶的相邻两辆车之间的距离看作单位“1”，两辆电车每分钟一共行，则每辆电车每分钟行2；如果电车行驶全程需要56分钟，则甲乙两地之间的距离为56＝7；小张和电车每分钟一共行全程的，小王和电车每分钟一共行全程的，那么两人的速度和是（），再用总路程7除以速度和，即可求出两人相遇时已经行了：7÷（）＝60（分钟）；据此解答即可． 【解答】解：2 56＝7 7÷（） ＝7 ＝60（分钟） 答：他们已经出发了60分钟． 【点评】本题考查了比较复杂的行程问题，关键是求出车和车、人和车、人和人的速度和． 学科网（北京）股份有限公司 $$