小升初典型奥数：环形路线问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

环形路线问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 第一部分 课前自测 自测1：圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈，不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？ 自测2：李明和王冬从一个圆形场地的A点同时出发，沿场地边沿相背而行，李明每分钟走72m，王冬每分钟走84m，20分钟后两人在B点相遇。 （1）这个圆形场地的周长是多少？ （2）相遇后，李明立即转身原路原速返回，王冬则停在B点回复手机信息。2分钟后王冬回完信息原速去追李明，到他追上李明的时候，距离A点多少米？ 自测3：兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 自测4：小明和小红沿着学校200米长的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，相背而行。小明的速度是5.2米/秒，小红的速度是4.8米/秒，经过多长时间两人第一次相遇？ 自测5：猫和老鼠在一个直径是50米的圆周上的同一地点向相反方向运动，猫每分钟走21.98米，老鼠每分钟走9.42米，当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了多少米？ 自测题参考答案： 自测1：圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈，不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？ 【答案】5次。 【分析】设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为2015.因为时间一定，速度比等于圈数比（即路程比），因为V甲：V乙＝23：13，设V甲＝23x，V乙＝13x，甲要追上乙则需比乙多跑n圈，（23x﹣13x）t＝2015n，10x×t＝2015n，即甲追上乙时所花时间t，则甲追上乙时，所走路程为23x；要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，然后根据n＝2，4，6，8，10（最多多跑10圈）解答即可。 【解答】解：设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为2015。因为V甲：V乙＝23：13， 设V甲＝23x，V乙＝13x，甲要追上乙则需比乙多跑n圈，甲追上乙时所花时间为t， 则（23x﹣13x）t＝2015n 10x×t＝2015n t 则甲追上乙时，所走路程为： 23x； 要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，然后根据n＝2，4，6，8，10（最多多跑23﹣13＝10圈）； 即甲追上乙则需比乙多跑2，4，6，8，10圈时，正好在旗子位置追上，综上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次。 答：甲正好在旗子位置追上乙5次。 【点评】本题考查了行程问题中环形跑道问题，比较复杂，关键是把未知的量用未知数表示出来，然后根据追及距离、追及时间、和速度差以及数的奇偶性解决问题。 自测2：李明和王冬从一个圆形场地的A点同时出发，沿场地边沿相背而行，李明每分钟走72m，王冬每分钟走84m，20分钟后两人在B点相遇。 （1）这个圆形场地的周长是多少？ （2）相遇后，李明立即转身原路原速返回，王冬则停在B点回复手机信息。2分钟后王冬回完信息原速去追李明，到他追上李明的时候，距离A点多少米？ 【答案】（1）3120米；（2）432米。 【分析】（1）用李明和王冬的速度和乘二人走的时间，即可求出这个圆形场地的周长； （2）先用李明2分钟走的路程除以二人的速度差，求出王冬追上李明用的时间；再用王冬的速度乘王冬追上李明用的时间，求出王冬追上李明时走的路程；最后用李明20分钟走的路程减去王冬追上李明时走的路程，即可求出当王冬追上李明的时候距离A点的米数。 【解答】解：（1）（72+84）×20 ＝156×20 ＝3120（米） 答：这个圆形场地的周长是3120米。 （2）72×2÷（84﹣72） ＝144÷12 ＝12（分钟） 72×20﹣84×12 ＝1440﹣1008 ＝432（米） 答：到他追上李明的时候，距离A点432米。 【点评】解答本题需熟练掌握相遇问题和追及问题的解答方法，明确相遇问题公式“路程＝速度和×时间”及追及问题公式“追及距离÷速度差＝时间”，灵活解答。 自测3：兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 【答案】6米。 【分析】兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，则两人速度和是每秒1.3+1.2＝2.5（米），两人每共行一周就相遇一次，则相遇第10次需要时间30×10÷（1.3+1.2）＝120（秒），第十次相遇，妹妹已经走了120×1.2＝144 （米）；144÷30＝4（圈）……24（米），然后用30减去24即可解决问题。 【解答】解：第十次相遇时妹妹已经走的路程： 30×10÷（1.3+1.2）×1.2 ＝300÷2.5×1.2 ＝144（米） 144÷30＝4（圈）……24（米） 30﹣24＝6 （米） 答：妹妹还需走6米才能回到出发点。 【点评】此题属于多次相遇问题，关键在于先求出第十次相遇时妹妹已经走的路程。 自测4：小明和小红沿着学校200米长的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，相背而行。小明的速度是5.2米/秒，小红的速度是4.8米/秒，经过多长时间两人第一次相遇？ 【答案】20秒。 【分析】根据“小明和小红的速度和×相遇时间＝环形跑道的长度”可得：用200除以两个人的速度和即可。 【解答】解：200÷（5.2+4.8） ＝200÷10 ＝20（秒） 答：经过20秒两人第一次相遇。 【点评】解答本题关键是明确两人第一次相遇共行了200米。 自测5：猫和老鼠在一个直径是50米的圆周上的同一地点向相反方向运动，猫每分钟走21.98米，老鼠每分钟走9.42米，当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了多少米？ 【答案】62.8米。 【分析】当猫和老鼠第一次相遇时，两者行驶的路程和应该是圆的周长，先依据C＝πd，求出圆的周长，再依据“时间＝路程÷速度”，求出两者第一次相遇时需要的时间，然后求出两者的速度差，最后根据“路程＝速度×时间”即可解答。 【解答】解：3.14×50÷（21.98+9.42）×（21.98﹣9.42） ＝157÷31.4×12.56 ＝5×12.56 ＝10×6.28 ＝62.8（米） 答：当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了62.8米。 【点评】本题解答起来虽然比较复杂，但是只要明确数量间的等量关系，代入数据即可解答。关键在于明白两者行驶的路程和应该是圆的周长，根据圆的周长公式求出圆的周长，再根据关系式：路程＝速度×时间，解决问题。 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差． 第三部分 典型例题 例题1：李叔叔和王叔叔绕圆形的天鹅湖进行晨跑，从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔每秒跑6米，王叔叔每秒跑5米，90秒后两人第一次相遇。天鹅湖的周长是多少米？ 【答案】990米。 【分析】两人同时从同一地点出发，反向而行．李叔叔每秒跑6米，王叔叔每秒跑5米，每秒两人共跑5+6＝11（米），然后根据速度×时间＝路程解答即可。 【解答】解：（5+6）×90 ＝11×90 ＝990（米） 答：天鹅湖的周长是990米。 【点评】本题考查了行程问题，根据总路程＝速度和×相遇时间进行解答即可。 例题2：小乐和妈妈在小区里的一条环形小路上跑步锻炼。他们同时从同一地点出发，同向而行，小乐的速度是3米/秒，妈妈的速度是2米/秒，经过2分钟，小乐第一次追上了妈妈。这条环形小路长多少米？ 【答案】120米。 【分析】小乐追上妈妈，要比妈妈多行一圈，用速度差乘追及时间就是追及距离，即这条环形小路的长度。据此解答。 【解答】解：2分钟＝120秒 （3﹣2）×120 ＝1×120 ＝120（米） 答：这条环形小路长120米。 【点评】熟练掌握追及路程、追及时间、追及速度三者之间的关系是解决此题的关键。 例题3：甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米，若三人同时从一端出发，至少再经过多少时间三人又从此处同时出发？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据路程、速度与时间的关系式，先求得甲乙丙三人跑一个来回所用的时间分别是多少，然后再利用它们的最小公倍数即可求得经过多少时间三人又同时从出发点出发． 【解答】解：240×2＝480（米） 480÷4＝120（秒）， 480÷5＝96（秒）， 480÷3＝160（秒）， 120、96、160的最小倍数是480； 答：至少经过480秒三人又同时从出发点出发． 【点评】此题考查了利用求得几个数的最小公倍数来解决实际问题的方法的灵活应用． 例题4：周末，李凯与爸爸妈妈一起在体育馆运动场跑步锻炼。李凯跑一圈要6分钟，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟。如果他们同时同地同向起跑，多少分钟后他们三人再次相遇？这时李凯跑了多少圈？ 【答案】至少12分钟两人在起点再次相遇，这时李凯跑了2圈。 【分析】可以通过求3、4、6的最小公倍数的方法求出再次相遇时间，然后用最小公倍数除以李凯跑一圈各自用的时间，就可求出它们各自跑的圈数 【解答】解：3、4、6的最小公倍数是12，所以至少12分钟后三人在起点再次相遇； 李凯跑了：12÷6＝2（圈） 答：至少12分钟两人在起点再次相遇，这时李凯跑了2圈。 【点评】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力。 第四部分 高频真题 1．王老师和张老师在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师的速度是330米/分，张老师的速度390米/分，而且他们从跑道的同一地点同时出发往相反的方向跑，经过多少分钟两人第一次相遇？ 2．小莉和奶奶一起去小花园散步。小莉绕小花园走一圈需要5分钟，奶奶绕小花园走一圈需要6分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？如果两人同时同地出发，同向而行，多少分钟后小莉超过奶奶一整圈？ 3．小华和爷爷晚饭后一起围着小区内的广场散步。小华走一圈需要10分钟，爷爷走一圈需要15分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后首次相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 4．小明和小刚沿百家湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是180米/分，小刚的速度是160米/分，25分钟后两人第一次相遇。 （1）百家湖跑道全长多少米？ （2）如果相遇后改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相连400米？ 5．小丁和小文在环形跑道上练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。小丁的速度是4米/秒，小文的速度是6米/秒，40秒后两人第一次相遇。 （1）这个环形跑道长多少米？ （2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少秒后两人能再次相遇？ 6．李叔叔和王叔叔在操场的环形跑道上快走，两人从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔的速度是4米/秒，王叔叔的速度是3米/秒，50秒后两人第一次相遇，环形跑道长多少米？ 7．某地有一圈环湖栈道。晓军跑一圈需要6分钟，爸爸走一圈需要40分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后晓军超出爸爸一整圈？ 8．夏天到了，壮壮和爸爸一起到遗爱湖环湖游．壮壮环湖一周要2小时，爸爸环湖一周要1.5小时．如果两人同时出发，相背而行，至少多少分钟后相遇？ 9．小强的爷爷和小强沿着公园里的环形跑道散步。爷爷的速度为90米/分，小强的速度为60米/分。他们从同一地点同时出发，反向而行。相遇后继续前进，爷爷又走了8分钟回到出发点。 （1）爷爷一共走了多少分钟？ （2）环形跑道一周长多少米？ 10．甲乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动，两人在中途的C加油处第一次迎面相遇，相遇后，继续前行并在D加油站第二次迎面相遇，若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间的距离为60千米，那么从A地到B地的全程是多少千米？ 11．甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上同时从同一地点背向跑步，5分后两人第二次相遇。已知甲每分比乙多跑6米，两人第二次相遇时甲一共跑了多少米？ 12．在一次环城自行车比赛中，速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，已知最快运动员的速度是最慢运动员的1.2倍，环城一周为7千米． （1）求最慢运动员的速度． （2）经过多长时间，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米？ 13．明明和亮亮从圆形场地的同一地点同时出发，沿着场地的边线相背而行。4分钟后两人相遇，明明每分钟走73米，亮亮每分钟走84米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）这个圆形场地的占地面积是多少平方米？ 14．甲、乙两人沿着300米的环行跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米。经过多少分甲比乙多跑1圈？ 15．假期里，依依和妈妈每天早晨在环湖路上跑步锻炼身体．环湖路长840米，依依每分跑108米，妈妈每分跑92米． （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，多少分后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，多少分后依依超出妈妈一整圈？ 16．李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？ 17．小张和小李在400米的环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，同向而行．小张每秒跑4米，小李每秒跑6米，出发后经过多少分钟两人第一次相遇． 18．有一周长600米的环形跑道，甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑400米，经过几分钟二人第一次相遇？ 19．小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？ 20．假期里，慧慧和妈妈每天都在环湖路上跑步锻炼身体。环湖路长840米，妈妈每分跑110米，慧慧每分跑130米。 （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，那么经过几分两个人相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，那么几分后慧慧超过妈妈一整圈？ 21．小丽和小华在一个400米的环形跑道上练习跑步．两人从同一地点同时出发．相背而行．经过40秒相遇．已知小丽每秒跑4.5米，求小华每秒跑多少米？ 22．甲乙两人环湖同向赛跑，环湖一周是1000米，乙每分钟走50米，甲的速度是乙的3倍．现在甲在乙前面100米，问多少分钟两人相遇？ 23．甲乙丙三人绕操场步行一圈。甲要5分钟，乙要4分钟，丙要6分钟，如果三人速度不变，并且同时同地出发绕操场步行。那么当他们第一次在出发点相遇时，三人分别走了多少圈？ 24．学校操场的环形跑道长400米，甲、乙两名同学在跑道上同一起点出发，沿相反方向步行，经过2.5分钟相遇。甲每分钟走85米，乙每分钟走多少米？ 25．甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，如果同时同地背向跑，两人相遇后，甲的速度每秒增加4米，乙的速度每秒减少4米，结果两人都用10秒同时回到原地，原来甲的速度是多少？ 26．星期天，笑笑和爸爸到体育场跑步。爸爸跑完一圈需要4分钟，笑笑跑完一圈需要9分钟。两人同时从起点出发，同向而行，他们几分钟后可以在起点第一次相遇？ 27．丽丽和爷爷一起去操场散步，操场一圈400米，小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 28．甲、乙两人在环形运动场上匀速运动，甲骑车、乙走路，同时同地出发。若相向而行，每隔3分钟相遇一次；若同向而行，每隔6分钟相遇一次，求甲、乙两人的速度比。 29．在300米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米．两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？ 30．小明和小亮沿着周长450米的操场跑步，小明每分钟跑200米，小亮每分钟跑250米，他们同时从一点出发同向而行，几分钟后小亮第一次追上小明？ 31．小红一家都是运动的爱好者，经常锻炼身体。他们一家正在运动场上跑步，爸爸跑一圈需要6分钟，妈妈跑一圈需要8分钟，他们俩同时从起点出发，几分钟后可以在起点第一次相遇？ 32．小明和小红两人同时从同一地点出发，沿着400米的环形跑道同方向跑步，小明每分钟90米，小红每分钟110米，经过多少分钟小明和小红第一次相遇？ 33．甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈． （1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答） （2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？ 34．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 35．甲乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米． ①如果两人同向而行，那么甲多久能够追到乙？ ②如果两人背向而行，甲和乙第二次相遇需要多长时间？20分钟以内相遇了几次？ 36．甲、乙两人在环形跑道上跑步．甲跑完一圈要4分钟乙跑完一圈要6分钟． （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后甲第一次追上乙？ 37．在300米的环形跑道上，晓晓和星星同学同时同地起跑，如果同向而跑150 秒后晓晓追上星星，如果背向而跑则半分钟相遇，两人的速度各是多少？ 38．小军和小虎在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的最内圈长400米。小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒。如果他们同时从跑道最内圈的同一地点出发，同向而行，那么多少秒后小军第一次追上小虎？ 39．张伟和爸爸在400m的环形跑道上跑步，他们在起点同时出发同向跑。张伟跑完一圈时，爸爸正好跑完环形跑道的。如果他们各自跑步的速度保持不变，张伟到起点后立即返回和爸爸相向而跑，他们相遇时，爸爸大约跑了多少米，张伟大约跑了多少米？（得数保留整数） 40．温州外国语学校娄桥分校操场400环形跑道上，甲乙两位同学同时同地同向出发，甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，经过多长时间乙同学第一次追上甲？ 41．甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上进行特殊训练．他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈．跑第一圈时，乙的速度是甲速度的，甲跑第二圈时的速度比跑第一圈提高了，乙跑第二圈时的速度比跑第一圈提高了．已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点192米．问：这条椭圆形跑道第多少米？ 参第五部分 答案解析 1．王老师和张老师在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师的速度是330米/分，张老师的速度390米/分，而且他们从跑道的同一地点同时出发往相反的方向跑，经过多少分钟两人第一次相遇？ 【答案】0.5分钟。 【分析】根据题意，王老师和张老师围着环形跑道向相反方向跑的过程，可以看作相遇问题，第一次相遇二人共行路程和为跑道全长360米；利用相遇问题公式：相遇时间＝路程和÷速度和，把数代入，进行计算即可。 【解答】解：360÷（330+390） ＝360÷720 ＝0.5（分钟） 答：经过0.5分钟两人第一次相遇。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 2．小莉和奶奶一起去小花园散步。小莉绕小花园走一圈需要5分钟，奶奶绕小花园走一圈需要6分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？如果两人同时同地出发，同向而行，多少分钟后小莉超过奶奶一整圈？ 【答案】分钟；30分钟。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小莉的速度和奶奶的速度，然后根据：路程÷速度之和＝相遇时间，解答即可； （2）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小莉的速度和奶奶的速度，然后根据：路程差÷速度之差＝追及时间，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（1÷5+1÷6） ＝1 （分钟） 答：如果两人同时同地出发，相背而行，分钟后相遇。 （2）1÷（1÷5﹣1÷6） ＝1 ＝30（分钟） 答：如果两人同时同地出发，相向而行，30分钟后小莉超出奶奶整整一圈。 【点评】此题属于行程问题，明确把路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。 3．小华和爷爷晚饭后一起围着小区内的广场散步。小华走一圈需要10分钟，爷爷走一圈需要15分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后首次相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 【答案】（1）6分；（2）30分。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”，分别求出小华的速度和爷爷的速度，然后根据“路程÷速度和＝相遇时间”，解答即可。 （2）把路程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”分别求出小华的速度和爷爷的速度，然后根据“路程差÷速度差＝追击时间”，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（） ＝1 ＝6（分） 答：如果两人同时同地出发，相背而行，6分钟后首次相遇。 （2）1÷（） ＝1 ＝30（分） 答：如果两人同时同地出发，同方向而行，30分钟后小明超出爷爷一整圈。 【点评】本题考查了环形跑道的相遇和追及问题，熟练运用：路程、速度、时间三者的关系是解题的关键。 4．小明和小刚沿百家湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是180米/分，小刚的速度是160米/分，25分钟后两人第一次相遇。 （1）百家湖跑道全长多少米？ （2）如果相遇后改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相连400米？ 【答案】（1）8500米；（2）20分钟。 【分析】（1）在环形跑道上反向而行，可按相遇问题计算，跑道的长度就是相遇路程，相遇路程＝速度和×相遇时间。 （2）在环形跑道上同向而行，路程差÷速度差＝时间。 【解答】解：（1）（160+180）×25 ＝340×25 ＝8500（米） 答：百家湖跑道全长8500米。 （2）400÷（180﹣160） ＝400÷20 ＝20（分钟） 答：如果相遇后改为同向而行，那么20分钟后小刚和小明相距400米。 【点评】找出题中数量之间的关系，根据数量之间的关系解决问题。 5．小丁和小文在环形跑道上练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。小丁的速度是4米/秒，小文的速度是6米/秒，40秒后两人第一次相遇。 （1）这个环形跑道长多少米？ （2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少秒后两人能再次相遇？ 【答案】（1）400米；（2）200秒。 【分析】（1）两人相遇时所行的路程和就是这个环形跑道的长度，再根据速度和×时间＝路程，可以计算出这个环形跑道长多少米。 （2）如果相遇后两人改为同向而行，属于追及问题，求多少秒后两人能再次相遇，即用环形跑道的长度除以两个人的速度差。 【解答】解：（1）（4+6）×40 ＝10×40 ＝400（米） 答：这个环形跑道长400米。 （2）400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） 答：如果相遇后两人改为同向而行，那么200秒后两人能再次相遇。 【点评】本题考查相遇问题和追及问题，明确时间、路程、速度和之间的关系是解题的关键。 6．李叔叔和王叔叔在操场的环形跑道上快走，两人从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔的速度是4米/秒，王叔叔的速度是3米/秒，50秒后两人第一次相遇，环形跑道长多少米？ 【答案】350米。 【分析】由题意可知，两人相遇时所行的路程和就是这个环形跑道的长度；根据“路程＝速度×时间”，用二人的速度和乘50，即可求出环形跑道的长。 【解答】解：（4+3）×50 ＝7×50 ＝350（米） 答：环形跑道长350米。 【点评】解答本题需熟练掌握路程、速度和时间之间的关系。 7．某地有一圈环湖栈道。晓军跑一圈需要6分钟，爸爸走一圈需要40分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后晓军超出爸爸一整圈？ 【答案】（1）分钟； （2）分钟。 【分析】（1）将栈道的总长看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，分别求出两人的速度，再根据相遇时间＝总路程÷速度和，代入求解即可； （2）根据追及时间＝追及距离÷速度差，列式计算即可。 【解答】解：（1）将栈道的总长看作单位“1”， 晓军的速度为：1÷6， 爸爸的速度为：1÷40， 相遇时间： 1÷（） ＝1 （分钟） 答：分钟后相遇。 （2）1÷（） ＝1 （分钟） 答：分钟后晓军超出爸爸一整圈。 【点评】本题主要考查了环形跑道，区分开要求问题是相遇问题还是追及问题，是本题解题的关键。 8．夏天到了，壮壮和爸爸一起到遗爱湖环湖游．壮壮环湖一周要2小时，爸爸环湖一周要1.5小时．如果两人同时出发，相背而行，至少多少分钟后相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把环湖一周的路程看作单位“1”，根据路程÷时间＝速度，分别表示出壮壮的速度（）和爸爸的速度（），然后根据路程和÷速度和＝相遇时间，解答即可． 【解答】解：2小时＝120分钟，1.5小时＝90分钟 1÷（） ＝1 （分钟） 答：如果两人同时出发，相背而行，至少分钟后相遇． 【点评】此题属于行程问题，明确把环湖一周的路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答． 9．小强的爷爷和小强沿着公园里的环形跑道散步。爷爷的速度为90米/分，小强的速度为60米/分。他们从同一地点同时出发，反向而行。相遇后继续前进，爷爷又走了8分钟回到出发点。 （1）爷爷一共走了多少分钟？ （2）环形跑道一周长多少米？ 【答案】（1）20分钟； （2）1800米。 【分析】（1）爷爷相遇后8分钟走的路程就是相遇时小强走的路程，用90乘8求出该路程，则两人相遇时的时间是（720÷60）分钟，再加上8分钟就是爷爷一共走的时间。 （2）根据速度乘时间等于路程，即可求出跑道的周长。 【解答】解：（1）8+90×8÷60 ＝8+12 ＝20（分） 答：爷爷一共走了20分钟。 （2）90×20＝1800（米） 答：环形跑道一周长1800米。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 10．甲乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动，两人在中途的C加油处第一次迎面相遇，相遇后，继续前行并在D加油站第二次迎面相遇，若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间的距离为60千米，那么从A地到B地的全程是多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲乙两人第一次相遇．甲行了AC，乙行了BC；第二次相遇，甲行了全程加上BD，乙行了全程加上AD，因此，这个路程和是三个全程，所以全程加上BD是AC的三倍．根据“若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处”说明A、D之间的距离是A、C之间距离的两倍，据此解答即可． 【解答】解：A与D之间的距离为：60×2＝120（千米）， 甲行第二次相遇时，甲行的路程为：60×3＝180（千米）， B、D之间的距离为：（180﹣120）÷2＝30（千米）， 从A地到B地的全程是：30+120＝150（千米）， 答：从A地到B地的全程是150千米． 【点评】本题主要考查了行程问题中的路程、速度与时间的关系，解答本题的关键是理清二次相遇时甲行的路程是第一次的三倍以及A、D之间的距离是A、C之间距离的两倍． 11．甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上同时从同一地点背向跑步，5分后两人第二次相遇。已知甲每分比乙多跑6米，两人第二次相遇时甲一共跑了多少米？ 【答案】415米。 【分析】根据题意，5分后两人第二次相遇，每相遇一次，甲、乙两人就共行400米，那么5分钟跑了两圈，即400×2＝800（米），用路程除以相遇时间可以求出他们的速度和，然后求出甲的速度，再进一步解答即可。 【解答】解：400×2÷5 ＝800÷5 ＝160（米/分钟） （160+6）÷2＝83（米/分钟） 83×5＝415（米） 答：两人第二次相遇时甲一共跑了415米。 【点评】本题的关键是理解5分钟跑了两圈，然后再根据路程÷时间＝速度进一步解答即可。 12．在一次环城自行车比赛中，速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，已知最快运动员的速度是最慢运动员的1.2倍，环城一周为7千米． （1）求最慢运动员的速度． （2）经过多长时间，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设最慢的速度为x千米/分钟，则最快的速度为1.2x千米/分钟．速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，说明35分钟速度最快的运动员比速度最慢的运动员多行7千米．根据“路程＝速度×时间”分别求出最快、最慢运动员35分钟行的距离，根据此路程之差等于7千克即可列方程求出速度最慢的运动员的速度． （2）由（1）解答可知最慢运动员速度是1千米/分钟，则最快运动员的速度是1.2千米/分钟．设经过y分钟最快的与最慢的运动员第二次相距1千米，根据“路程＝速度×时间”分别求出最快、最慢运动员所行的路程，据此即可列方程解答． 【解答】解：（1）设最慢的运动员的速度为x千米/分钟，则最快的运动员的速度为1.2x千米/分钟 1.2x×35﹣x×35＝7 35×（1.2x﹣x）＝7 35×0.2x＝7 35×0.2x÷35＝7÷35 0.2x＝0.2 0.2x÷0.2＝0.2÷0.2 x＝1 答：最慢运动员的速度是1千米/分钟． （2）由（1）解答可知最慢运动员速度是1千米/分钟，则最块运员的速度是1.2千米/分钟 设经过y分钟最快的与最慢的运动员第二次相距1千米 1.2y﹣y＝1 0.2y＝1 0.2y÷0.2＝1÷0.2 y＝5 35+5＝40（分钟） 答：经过40分钟，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米． 【点评】关键明白，第一次相遇时，快者比慢者多行1周，即7千米；第二次相距1千米时，快者比慢者多行了2千米．根据路程、速度、时间三者之间的关系即可列方程解答． 13．明明和亮亮从圆形场地的同一地点同时出发，沿着场地的边线相背而行。4分钟后两人相遇，明明每分钟走73米，亮亮每分钟走84米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）这个圆形场地的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）200米； （2）31400平方米。 【分析】（1）根据明明和亮亮从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，相遇时两人走的路程就是圆的周长，明明每分钟走73米，亮亮每分钟走84米，用速度和乘4分钟，计算即可得到圆形场地的周长，然后根据圆的周长＝πd，用圆的周长÷3.14即可得到这个圆形场地的直径是多少米； （2）根据圆的面积＝πr2和r＝d÷2，代入数据计算即可得到这个圆形场地的面积。 【解答】解：（1）（73+84）×4 ＝157×4 ＝628（米） 628÷3.14＝200（米） 答：这个圆形场地的直径是200米。 （2）3.14×（200÷2）2 ＝3.14×1002 ＝3.14×10000 ＝31400（平方米） 答：它的占地面积是31400平方米。 【点评】解决本题关键是明确两人走的路程和就是圆的周长，再根据圆的周长和圆的面积公式进行解答即可。 14．甲、乙两人沿着300米的环行跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米。经过多少分甲比乙多跑1圈？ 【答案】7.5分钟。 【分析】如果甲比乙多跑1圈，那么甲就比乙多跑300米，然后除以两者的速度差即可。 【解答】解：300÷（280﹣240） ＝300÷40 ＝7.5（分钟） 答：经过7.5分钟甲比乙多跑1圈。 【点评】解答本题关键是明确甲比乙多跑300米，然后根据“路程差÷速度差＝追及时间”解答即可。 15．假期里，依依和妈妈每天早晨在环湖路上跑步锻炼身体．环湖路长840米，依依每分跑108米，妈妈每分跑92米． （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，多少分后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，多少分后依依超出妈妈一整圈？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）如果两人同时同地出发，相背而跑，那么相遇的时候正好行了环湖路一圈的长度，然后除以两个人的速度和就是相遇时间． （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，属于追及问题，依依超出妈妈一整圈正好是840米，然后除以以两个人的速度差就是追及时间． 【解答】解：（1）840÷（108+92） ＝840÷200 ＝4.2（分钟） 答：如果两人同时同地出发，相背而跑，4.2分钟后相遇． （2）840÷（108﹣92） ＝840÷16 ＝52.5（分钟） 答：如果两人同时同地出发，同向而跑，52.5分钟后依依超出妈妈一整圈． 【点评】此题主要考查了环形跑道问题中的追及问题和相遇问题的综合应用，关键是明确行驶的方向不同． 16．李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？ 【答案】180秒。 【分析】他们同时从同一地点出发，都按逆时针方向跑，当李老师第一次追上张老师时，那么李老师比张老师正好多行360米，然后除以速度差即可。 【解答】解：360÷（6.5﹣4.5） ＝360÷2 ＝180（秒） 答：经过180秒李老师正好比张老师多跑一圈。 【点评】本题关系式是：追及距离÷速度差＝追及时间。 17．小张和小李在400米的环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，同向而行．小张每秒跑4米，小李每秒跑6米，出发后经过多少分钟两人第一次相遇． 【答案】见试题解答内容 【分析】此题可以看作追及问题来解答．第一次相遇时，小李比小张多跑一圈400米，即追及路程，所以用400除以它们的速度差就是追及时间． 【解答】解：400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） （分钟） 答：出发后经过分钟两人第一次相遇． 【点评】此题属于较复杂的追及应用题，此类题的解答方法是根据“追及路程÷速度差＝追及时间”列式；关键是明确第一次相遇时，小李比小张多跑一圈的距离． 18．有一周长600米的环形跑道，甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑400米，经过几分钟二人第一次相遇？ 【答案】6分钟。 【分析】由已知条件可知，二人第一次相遇时，乙比甲多跑一周，即600米，又知乙每分钟比甲多跑（400﹣300）米，即可求第一次相遇时经过的时间。 【解答】解：600÷（400﹣300） ＝600÷100 ＝6（分钟） 答：经过6分钟两人第一次相遇。 【点评】明确当两人第一次相遇时，甲正好比乙多跑一周是完成本题的关键。 19．小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？ 【答案】20分钟。 【分析】如果两人同时同地出发，同方向而行，小红超出小丽一整圈，看作单位“1”，然后用1除以两人的速度差就是追及时间。 【解答】解：1÷（1÷4﹣1÷5） ＝1 ＝20（分钟） 答：如果两人同时同地出发，同方向而行，20分钟后小红超出小丽一整圈。 【点评】环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）；第几次追上就多跑几圈。 20．假期里，慧慧和妈妈每天都在环湖路上跑步锻炼身体。环湖路长840米，妈妈每分跑110米，慧慧每分跑130米。 （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，那么经过几分两个人相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，那么几分后慧慧超过妈妈一整圈？ 【答案】（1）3.5分钟；（2）42分钟。 【分析】（1）根据相遇时间＝路程÷速度和，据此列式解答即可． （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，属于追及问题，慧慧超出妈妈一整圈正好是840米，根据追及时间＝路程÷速度差，据此列式解答。 【解答】解：（1）840÷（110+130） ＝840÷240 ＝3.5（分钟） 答：经过3.5分两个人相遇。 （2）840÷（130﹣110） ＝840÷20 ＝42（分钟） 答：42分钟后慧慧超出妈妈一整圈。 【点评】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，以及环形跑道问题中的追及问题和相遇问题的综合应用，关键是明确行驶的方向不同。 21．小丽和小华在一个400米的环形跑道上练习跑步．两人从同一地点同时出发．相背而行．经过40秒相遇．已知小丽每秒跑4.5米，求小华每秒跑多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】此题可以看作相遇问题来解答．第一次相遇时，他俩跑过的路程和是环形跑道一圈的长度，即400米，所以根据速度和＝路程÷相遇时间求出速度和，再减去小丽的速度即可． 【解答】解：400÷40﹣4.5 ＝10﹣4.5 ＝5.5（米/秒） 答：小华每秒跑5.5米． 【点评】此题属于环形跑道上的相遇问题，考查了“路程÷相遇时间＝速度和”这一知识的灵活应用． 22．甲乙两人环湖同向赛跑，环湖一周是1000米，乙每分钟走50米，甲的速度是乙的3倍．现在甲在乙前面100米，问多少分钟两人相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲的速度是乙的3倍，即甲乙的速度差是50×2＝100米．现在现在甲在乙前面100米，那么甲的追及距离是1000﹣100＝900米，然后再除以甲乙的速度差可得多少分钟后两人相遇． 【解答】解：（1000﹣100）÷（50×2） ＝900÷100 ＝9（分钟） 答：9分钟后两人相遇． 【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题，关键是求出追及距离和速度差． 23．甲乙丙三人绕操场步行一圈。甲要5分钟，乙要4分钟，丙要6分钟，如果三人速度不变，并且同时同地出发绕操场步行。那么当他们第一次在出发点相遇时，三人分别走了多少圈？ 【答案】甲走了12圈，乙走了15圈，丙走了10圈。 【分析】甲、乙、丙三人环绕操场步行一周，甲要5分钟，乙要4分钟，丙要6分钟，则三人第一次相遇在出发点的时间是5、4、6的最小公倍数，5、4、6最小公倍数是60，即60分钟后在出发点第一次相遇，由此即能求出相遇时各行了多少周。 【解答】解：[5、4、6]＝60 甲：60÷5＝12（周） 乙：60÷4＝15（周） 丙：60÷6＝10（周） 答：甲走了12圈，乙走了15圈，丙走了10圈。 【点评】本题关键是明确三人在出发点第一次相遇的时间是5、4、6的最小公倍数是完成本题的关键。 24．学校操场的环形跑道长400米，甲、乙两名同学在跑道上同一起点出发，沿相反方向步行，经过2.5分钟相遇。甲每分钟走85米，乙每分钟走多少米？ 【答案】75米。 【分析】根据题意，设乙每分钟走x米，甲每分钟走85米，2.5分钟走（85×2.5）米，乙2.5分钟走2.5x米，甲、乙走的距离和正好等于环形跑道的长，列方程：2.5x+85×2.5＝400，然后解方程即可。 【解答】解：设乙每分钟走x米。 2.5x+85×2.5＝400 2.5x+212.5＝400 2.5x＝400﹣212.5 2.5x＝187.5 x＝75 答：乙每分钟走75米。 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 25．甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，如果同时同地背向跑，两人相遇后，甲的速度每秒增加4米，乙的速度每秒减少4米，结果两人都用10秒同时回到原地，原来甲的速度是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，甲与乙的速度和是400÷10＝40米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知甲的速度每秒增加4米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和为40米/秒，列出方程求解即可． 【解答】解：400÷10＝40（米/秒） 设原来甲的速度是x米/秒，则 x+x+4＝40 2x+4＝40 2x＝36 x＝18 答：原来甲的速度是18米/秒． 【点评】考查了环形跑道问题，解答此题的关键是理解甲的速度每秒增加4米后与乙原来的速度相同，考查了学生对问题的分析判定能力． 26．星期天，笑笑和爸爸到体育场跑步。爸爸跑完一圈需要4分钟，笑笑跑完一圈需要9分钟。两人同时从起点出发，同向而行，他们几分钟后可以在起点第一次相遇？ 【答案】36分钟。 【分析】爸爸回到起点用的时间是4分钟的整数倍，笑笑回到起点用的时间是9分钟的整数倍，则他们第一次同时回到起点就是4和9的最小公倍数，因此得解。 【解答】解：4和9的最小公倍数是：4×9＝36 那么他们第一次同时回到起点就是36分钟。 答：他们36分钟后可以在起点第一次相遇。 【点评】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力。 27．丽丽和爷爷一起去操场散步，操场一圈400米，小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 【答案】（1）分钟；（2）40分钟。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和爷爷的速度，然后根据：路程÷速度之和＝相遇时间，解答即可。 （2）小明超出爷爷一整圈，即400米，把400米看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和爷爷的速度，然后根据：路程差÷速度之差＝追及时间，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（1÷8+1÷10） ＝1 （分钟） 答：相背而行，分钟后相遇。 （2）1÷（1÷8﹣1÷10） ＝1 ＝40（分钟） 答：相向而行，40分钟后小明超出爷爷整整一圈。 【点评】此题属于行程问题，明确把路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。 28．甲、乙两人在环形运动场上匀速运动，甲骑车、乙走路，同时同地出发。若相向而行，每隔3分钟相遇一次；若同向而行，每隔6分钟相遇一次，求甲、乙两人的速度比。 【答案】3：1。 【分析】假设环形运动场的周长是300米，反向而行，3分钟后第一次相遇，则两人共行了300米，然后根据“路程和÷相遇时间＝速度和”求出两个人的速度和；同向而行，则6分钟相遇，可知甲比乙多行300米，根据“路程差÷相遇时间＝速度差”求出两个人的速度差，然后根据和差问题公式和比的意义进一步解答即可。 【解答】解：假设环形运动场的周长是300米， 甲乙的速度和为：300÷3＝100（米/分） 甲乙的速度差为：300÷6＝50（米/分） 甲的速度为：（100+50）÷2＝75（米/分） 乙的速度为：（100﹣50）÷2＝25（米/分） 75：25＝3：1 答：甲、乙两人的速度比是3：1。 【点评】完成本题要注意两人同向行时是追及问题，反向行时是相遇问题。 29．在300米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米．两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米，则甲每秒比乙多跑5﹣4.4米，又甲、乙二人同时同地同向跑步，所以两人起跑后的第一次相遇时，甲正好比乙多跑一周即300米，所以两人相遇所用时间是300÷（5﹣4.4）秒，此时乙跑了300÷（5﹣4.4）×4.4米，除以环形跑道的长度，余数即可得两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米． 【解答】解：300÷（5﹣4.4）×4.4 ＝300÷0.6×4.4 ＝2200（米）， 2200÷300＝7（圈）…100（米） 答：两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前100米． 【点评】首先求出两人速度差，根据追及距离÷速度差＝追及时间求出两人第一次相遇所需时间是完成本题的关键． 30．小明和小亮沿着周长450米的操场跑步，小明每分钟跑200米，小亮每分钟跑250米，他们同时从一点出发同向而行，几分钟后小亮第一次追上小明？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，小亮第一次追上小明时，正好比小明多行了450米，即追及路程是450米，两人的速度差为每分钟250﹣200＝50（米），然后根据关系式：追及路程÷速度差＝追及时间，列式解答． 【解答】解：450÷（250﹣200） ＝450÷50 ＝9（分钟） 答：9分钟后小亮第一次追上小明． 【点评】此题属于追及问题，运用了关系式：追及路程÷速度差＝追及时间，解决问题． 31．小红一家都是运动的爱好者，经常锻炼身体。他们一家正在运动场上跑步，爸爸跑一圈需要6分钟，妈妈跑一圈需要8分钟，他们俩同时从起点出发，几分钟后可以在起点第一次相遇？ 【答案】24分钟。 【分析】小红的爸爸妈妈同时从起点出发，到他们第一次在起点相遇的时间，是他们各自跑一圈所用时间6分钟和8分钟的最小公倍数。 【解答】解：6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是： 2×2×2×3＝24 答：他俩24分钟后可以在起点第一次相遇。 【点评】在起点处相遇，就是爸爸用若个8分和妈妈用若干个6分相好相等，从出发到第一次在起点处相遇的时间就是6分和8分的最小公倍数。 32．小明和小红两人同时从同一地点出发，沿着400米的环形跑道同方向跑步，小明每分钟90米，小红每分钟110米，经过多少分钟小明和小红第一次相遇？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两人同向，两人第一次相遇就是小红第一次追上小明需要的时间，用一圈的长度除以他们的速度差，就是经过多少分钟小明和小红第一次相遇． 【解答】解：400÷（110﹣90） ＝400÷20 ＝20（分钟） 答：经过20分钟小明和小红第一次相遇． 【点评】本题考查了环形跑道的追及问题，根据路程差（一周的长度）÷速度差＝追及时间进行求解即可． 33．甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈． （1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答） （2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）可设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程与乙路程的差＝环形场地的路程，列出方程即可求解； （2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程＝环形场地的路程，列出算式求解即可． 【解答】解：（1）设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，依题意有 3x+150＝200×3， 3x+150＝600 3x＝450 x＝150 150+200＝350（米） 答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米． （2）（200×3﹣300×1.2）÷1.2 ＝（600﹣360）÷1.2 ＝240÷1.2 ＝200（米）， 200﹣150＝50（米）． 答：乙的速度至少要提高每分钟50米． 【点评】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程＝环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度． 34．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 【答案】7。 【分析】根据题意可知，甲与乙的速度和是（400÷24）米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知，甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和列出方程求解即可。 【解答】解：400÷24（米/秒） 设原来甲的速度是x米/秒。 x+x+2 2x+2 2x x＝7 答：甲原来的速度是7米/秒。 【点评】考查了环形跑道问题，解答此题的关键是理解甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，考查了学生对问题的分析判定能力。 35．甲乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米． ①如果两人同向而行，那么甲多久能够追到乙？ ②如果两人背向而行，甲和乙第二次相遇需要多长时间？20分钟以内相遇了几次？ 【答案】见试题解答内容 【分析】①根据题意可知，如果两人同向而行，甲追上乙，甲需要比乙多跑一圈，利用公式：路程差÷速度差＝追及时间用算式法列式为：400÷（280﹣240），计算即可． ②如果两人背向而行，甲和乙第二次相遇二人共行2圈，利用公式：相遇时间＝路程和÷速度和，把数代入：400×4÷（280+240）进行计算即可．根据二人第一次相遇所需时间，计算多长时间可以相遇，再求20分钟内可以相遇多少次．400÷（280+240）≈0.77（分钟），20÷0.77≈25（次）． 【解答】解：①400÷（280﹣240） ＝400÷40 ＝10（分钟） 答：甲10分钟能够追到乙． ②400×2÷（280+240） ＝800÷520 ≈1.54（分钟） 20÷[400÷（280+240）] ＝20÷[400÷520] ≈20÷0.77 ≈25（次） 答：甲和乙第二次相遇需要1.54分钟．20分钟以内相遇了25次． 【点评】本题主要考查环形跑道问题，关键利用路程、速度和时间之间的关系做题． 36．甲、乙两人在环形跑道上跑步．甲跑完一圈要4分钟乙跑完一圈要6分钟． （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后甲第一次追上乙？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把环形跑道的长度看作单位“1”，用1分别除以甲乙的时间，表示出甲乙的速度，然后用1除以两人的速度和就是相遇时间； （2）同理，甲第一次追上乙，就比乙多行一圈，然后用1除以两人的速度差就是追及时间． 【解答】解：（1）1÷（1÷4+1÷6） ＝1 ＝2.4（分钟） 答：相背而行，2.4分钟后相遇． （1）1÷（1÷4﹣1÷6） ＝1 ＝12（分钟） 答：同方向而行，12分钟后甲第一次追上乙． 【点评】环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 37．在300米的环形跑道上，晓晓和星星同学同时同地起跑，如果同向而跑150 秒后晓晓追上星星，如果背向而跑则半分钟相遇，两人的速度各是多少？ 【答案】晓晓的速度是6米/秒，星星的速度是4米/秒。 【分析】如果同向而行150秒相遇，则相遇时晓晓比星星正好多行一周，然后用300除以150就是他们的速度差。如果背向而行30秒相遇，则相遇时晓晓和星星正好行了一周，然后用300除以30就是它们的速度和，再根据和差公式可得晓晓和星星的速度。 【解答】解：300÷150＝2（米/秒） 300÷30＝10（米/秒） （10+2）÷2 ＝12÷2 ＝6（米/秒） 10﹣6＝4（米/秒） 答：晓晓的速度是6米/秒，星星的速度是4米/秒。 【点评】首先根据相遇问题及追及问题公式求出它们的速度和与速度差是完成本题的关键。 38．小军和小虎在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的最内圈长400米。小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒。如果他们同时从跑道最内圈的同一地点出发，同向而行，那么多少秒后小军第一次追上小虎？ 【答案】200秒。 【分析】小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒，则小军每秒比小虎多跑（6﹣4＝2）米，又两人同时同地同向而行，那么小军第一次追上小虎时，小军正好比小虎多跑了一周即400米，则距离差÷速度差＝追及时间。据此解答即可。 【解答】解：400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） 答：200秒后小军第一次追上小虎。 【点评】在环形跑道上的追及问题，根据所行距离差÷速度差＝追及时间进行解答。 39．张伟和爸爸在400m的环形跑道上跑步，他们在起点同时出发同向跑。张伟跑完一圈时，爸爸正好跑完环形跑道的。如果他们各自跑步的速度保持不变，张伟到起点后立即返回和爸爸相向而跑，他们相遇时，爸爸大约跑了多少米，张伟大约跑了多少米？（得数保留整数） 【答案】爸爸大约跑343米，张伟大约跑457米。 【分析】张伟跑完一圈时，爸爸正好跑完环形跑道的，说明爸爸的速度是张伟速度的，并且张伟和爸爸相向而跑，他们相遇时两人的路程和是跑道的。据此解答。 【解答】解：400300（米） （400﹣100）400 ＝100400 ≈57+400 ＝457（米） （400﹣100）300 ＝100300 ≈43+300 ＝343（米） 答：爸爸大约跑343米，张伟大约跑457米。 【点评】本题考查环形跑道问题，理解同向而跑与相向而跑的意思是解本题的关键。 40．温州外国语学校娄桥分校操场400环形跑道上，甲乙两位同学同时同地同向出发，甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，经过多长时间乙同学第一次追上甲？ 【答案】200秒。 【分析】已知甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，则乙同学第一次追上甲同学时，乙同学比甲同学多跑了1圈，即乙同学比甲同学多跑了400米，根据相遇时间＝路程差÷速度差，即可求出。 【解答】解：400÷（7﹣5）＝200（秒） 答：经过200秒乙同学第一次追上甲。 【点评】本题的关键是当乙同学第一次追上甲时，乙同学比甲同学多跑了一圈。 41．甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上进行特殊训练．他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈．跑第一圈时，乙的速度是甲速度的，甲跑第二圈时的速度比跑第一圈提高了，乙跑第二圈时的速度比跑第一圈提高了．已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点192米．问：这条椭圆形跑道第多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是a．再设跑道长是L，根据题干条件求出甲乙两人的速度之比，再根据甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，即可求出椭圆的跑道长． 【解答】解：设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是a．再设跑道长是L． 则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为L， 甲跑完第一圈，乙跑了L，乙再跑余下的L，甲已折返，且以a（1）a的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了L， 这时，乙折返并以a×（1）a的速度跑着． 从这时起，甲、乙速度之比是a：a＝16：9， 所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的LL的，而乙跑了它的， 即第二次相遇时距出发点 L， 可见两次相遇点间的距离是（）LL＝192米， 则L＝192400（米）， 答：这条椭圆形跑道第400米． 【点评】本题主要考查了应用类问题的知识点，解答本题的关键是熟练弄清楚追及问题的过程，有一定难度． 学科网（北京）股份有限公司 $$