第二章 直线和圆的方程 单元检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 单元检测 一、单选题 1．已知直线：，：，若，则 （    ） A．－1 B．3 C． D． 2．若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（） A． B． C． D． 3．经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆，直线.若直线与圆相交所得的弦长为8，则（    ） A．或2 B．或12 C．或12 D．或1 5．方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，则（    ） A． B． C． D． 6．将圆平分的直线是（    ） A． B． C． D． 7．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 8．过点且斜率为的光线经过直线反射后与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线和圆，下列说法正确的是（    ） A．对任意，直线与圆相交 B．存在，使得直线与圆相切 C．存在，使得直线被圆截得的弦长为5 D．对任意，圆上都存在四点到直线的距离为2 10．在平面直角坐标系xOy中,圆O:,T为圆O上一动点,且圆T的半径为1,过点O作圆T的两条切线,切点分别为M,N,且直线OM,ON分别与圆O交于点A,B,则(    ) A．点O到圆T上点的最小距离为1 B．当时,直线OA,OB斜率之和为 C．当直线OA,OB斜率存在时,其斜率之积的最小值为 D． 11．已知，下列说法正确的是（    ） A．时， B．若方程有两个根，则 C．若直线与有两个交点，则或 D．函数有3个零点 三、填空题 12．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，写出符合条件实数的一个取值 . 13．已知直线,,，则a= . 14．点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则的值为 ． 四、解答题 15．圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． (1)当时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 16．平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边所在的直线方程； (2)求的面积. 17．已知直线，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点． (1)证明：直线l过定点； (2)已知点，当最小时，求实数m的值． 18．某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 19．某河上有一座圆拱桥，其跨度为30 m，圆拱高为5 m，一船宽为10 m，上面载有货物，水面到船顶高为4 m，问该船能否顺利通过该桥？ 参考答案 1．D 【分析】根据直线垂直得到，即可求得结果. 【详解】因为直线，且， 故，解得. 故选：D. 2．A 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果. 【详解】设直线的倾斜角为，则，而，所以. 故选：A. 3．D 【分析】结合图形利用PA,PB的斜率得到直线l的斜率的取值范围，从而可得直线l的倾斜角的取值范围. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为， ，， 由图可知，，所以或. 故选：D 【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用的斜率可得所要求的斜率的取值范围. 4．C 【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心与半径，再利用点线距离公式与弦长公式得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】由圆的方程，得圆的标准方程为， 所以，解得或. 圆心到直线的距离， 又弦长为，即， 整理得，解得或，均满足圆的条件. 故选：C. 5．A 【分析】依题意可知，方程表示的圆的圆心在直线上，即可解出． 【详解】因为，所以该方程表示圆心为的圆，而该方程表示的曲线关于直线成轴对称图形，所以圆心在直线上，即有． 故选：A． 6．C 【分析】由题意可知所求的直线过圆心，所以先求出圆的圆心，然后将圆心坐标代入各直线方程验证即可. 【详解】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可， 由，得， 所以圆心坐标为， 对于A，因为，所以直线不过圆心，所以A错误， 对于B，因为，所以直线不过圆心，所以B错误， 对于C，因为，所以直线过圆心，所以C正确， 对于D，因为，所以直线不过圆心，所以D错误， 故选：C 7．C 【分析】将直线化为斜截式方程得出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可得出答案. 【详解】将直线化为斜截式方程为，斜率. 设直线的倾斜角为，则. 又，所以. 故选：C. 8．B 【分析】由定点和斜率表示光线的方程，设其经过反射后与轴交点的坐标，再表示该点关于对称点坐标，将其带入光线方程，构建等式，解之得答案. 【详解】因为光线l过点且斜率为， 所以方程表示为 ，即 其经过反射后的图像如下 设与轴交点的坐标为，点A关于的对称点B为，且在l上 所以，即，所以坐标为. 故选：B 【点睛】本题考查平面点、直线的对称问题，注意构建图像辅助分析，属于中档题. 9．AC 【分析】先求得直线直线恒过点，根据点在圆内，可判定A正确，B错误；再利用直线与圆的位置关系和弦长公式，可判定C正确，D错误. 【详解】由直线，可得， 联立方程组，解得，即无论为何值，直线恒过点，因为点在圆内，故A正确，B错误； 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为； 当直线时，直线被圆截得的弦长最小，且最小值为，所以正确； 因为，且圆的半径为， 所以当直线时，圆上只存在两点到直线的距离为，所以D错误. 故选：AC 10．AD 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求出切线斜率的关系分析即可 【详解】因为点到圆上点的最小距离为,故A正确 ,设过点的切线为 则,即,所以,故B错误 设,则,所以 所以,当时,,故C错误 ,所以,故D正确 故选：AD 11．ABD 【分析】对A：分类讨论求解即可；对B：方程有两个根可以看作的图象与直线有两个不同交点，由图得的取值范围；对C：直线是以为斜率且恒过的直线，结合的图象得到直线与有两个交点时斜率的范围；对D：分求解. 【详解】对A：当时，，得满足题意； 当时，，得不满足题意，故A正确. 对B：作出的图象，方程有两个根可以看作的图象与直线有两个不同交点，由图知，故B正确. 对C：直线可化为，故直线是以为斜率且恒过的直线， 如图，为过与两点的直线，其斜率为， 当位于时，直线与有两个交点， 为过且与平行的直线， 其斜率为， 当位于时，直线与只有一个交点， 为过的水平直线，其斜率为， 当位于时，直线与只有一个交点， 为过的竖直直线，其斜率不存在， 当位于时，直线与只有一个交点， 由图可知，要使直线与有两个交点， 则位于之间或位于之间，故，所以，故C错误. 对D：，即，所以或 由得， 由得进而得或， 所以函数有3个零点，故D正确. 故选：ABD 12．（或或，写出其中一个即可） 【分析】由，转化为，得到表示点到直线的距离，表示点到直线的距离，结合题意分类讨论即可. 【详解】解：由， 得， 则表示点到直线的距离； 表示点到直线的距离； 直线不过原点，, （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和; （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等， 注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去. 设点A到的距离为. ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为，此时，，符合; ②作为增根被舍去的直线，过原点且与AB平行，其方程为， 此时，，符合. （3）当时，至多只有两条直线符合题意，舍去. 综上，或或. 故答案为：（或或，写出其中一个即可） 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题给方程转化为点到直线的距离，注意排除直线过原点的情况. 13．1 【分析】利用两直线垂直对应系数之积的和为0的性质求解. 【详解】∵，， ∴，解得. 【点睛】本题考查直线方程中参数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线垂直的性质的合理运用. 14． 【分析】根据已知条件画出图形，结合图形知圆心到直线的距离最小值时四边形的面积最小，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可知，圆心，半径．如图所示， 四边形PACB，所以当最小时，四边形PACB的面积取最小值，而的最小值即点C到直线l的距离，又， 所以，解得，即，解得． 所以的值为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出； （2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线的方程. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 因为，所以直线的斜率， 所以，即， 所以圆心到的距离， 所以； （2）因为弦被平分，所以， 又因为，所以， 所以，即. 16．(1) (2)15 【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程； （2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积. 【详解】（1）因为，，所以BC所在的直线方程为， 即. （2）B，C两点间的距离为， 点A到直线BC的距离， 所以的面积为. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直线恒过定点的求法列出方程组，解之即可求解； （2）有（1），设直线方程为，可得，根据平面向量数量积的坐标表示和基本不等式中“1”的用法可得直线l的方程，即可求解. 【详解】（1）已知直线， 则， 由，解得， 即直线l过定点； （2）设直线的方程为， 则，又直线l过定点， 则，又点，则 ， 当且仅当即即时取等号， 所以直线l的方程为， 所以直线l过，即， 解得． 18．(1)；（或） (2)小次车会进入安全预警区，理由见解析 【分析】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解. （2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离 与半径做比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案. 【详解】（1）由题意得,, 设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点, 所以解得 所以圆C的方程为；（或） （2）圆C化成标准方程为,圆心为C,半径, 因圆C到直线的距离. 所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区. 19．能 【分析】依题意，以圆拱桥的横截面与水面的交线所在的直线为x轴，过圆拱最高点且垂直于水面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将由图所得的已知点的坐标，代入圆的方程中解方程组求出圆的方程，最后再判断点与圆的位置关系，并根据结论结果判断船是否能通过桥洞. 【详解】 以圆拱桥的横截面与水面的交线所在的直线为x轴，过圆拱最高点且垂直于水面的直线为y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 设圆拱所在圆的圆心坐标为，半径为， 则圆的方程为． 分别将点，代入上式，得， 解得∴圆的方程为． ∵船宽为10 m，水面到船顶高为4 m， ∴判断该船能否通过该桥，即判断点与圆的位置关系． ∵，∴点在圆内，故该船能顺利通过该桥. 学科网（北京）股份有限公司 $$