小升初典型奥数：差倍问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

差倍问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 含义：差倍问题即已知两数之差和两数之间的倍数关系，求出两数． 公式：差÷（倍数﹣1）＝小数；小数+差或小数×倍数＝大数． 差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法．被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题． 第二部分 典型例题 例题1：学校体育器材室里足球的数量是篮球的一半，排球的数量是篮球的3倍。借出足球10个、篮球28个后，足球的数量与篮球的数量就相等了。学校体育器材室里原来有篮球多少个？ 【答案】36个。 【分析】根据足球的数量是篮球的一半，可知篮球的数量是足球的2倍，根据借出足球10个、篮球28个后，足球的数量与篮球的数量就相等了，可以推算出篮球比足球多的个数，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出足球的个数，再乘2，即可计算出篮球的个数。 【解答】解：（28﹣10）÷（2﹣1） ＝18÷1 ＝18（个） 18×2＝36（个） 答：学校体育器材室里原来有篮球36个。 【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。 例题2：黄猫和花猫钓鱼。黄猫对花猫说：“如果你把你的鱼给我1条，我的鱼就是你的2倍。如果我给你1条，咱俩鱼的条数就一样多了。”花猫钓了几条鱼？ 【答案】5条。 【分析】根据题意可知：黄猫钓的鱼比花猫多2条，如果黄猫给花猫1条，则黄猫就比花猫多4条，这时黄猫是花猫的2倍，根据差倍问题的基本公式：差÷（倍数﹣1）＝1倍量，就可以求出现在花猫的鱼的数量，进而求出原来花猫钓了多少条鱼。 【解答】解：花猫：（2+2）÷（2﹣1）＝4（条） 4+1＝5（条） 黄猫：5+2＝7（条） 答：花猫钓了5条鱼。 【点评】本题的关键是找出题目中的数量关系再列式解答。 例题3：甲、乙两数的差是252，如果把甲数的小数点向左移动一位后就等于乙数，甲、乙两数各是多少？ 【答案】280；28。 【分析】把甲数的小数点向左移动一位后等于乙数，可知甲数是乙数的10倍，再根据等量关系：甲数﹣乙数＝252，列方程解答。 【解答】解：设乙数为x。 10x﹣x＝252 9x＝252 9x÷9＝252÷9 x＝28 甲数：28×10＝280 答：甲数是280，乙数是28。 【点评】本题考查差倍问题的解题方法，用方程解答比较简便，解题关键是找出题目中的等量关系：甲数﹣乙数＝252，列方程解答。 例题4：有一根红彩带和一根绿彩带，红彩带的长是绿彩带的3倍，红彩带比绿彩带长2.4米．这两根彩带各长多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，把绿彩带长度看作1倍量，则利用差倍问题公式：差÷（倍数﹣1）＝小数；小数×倍数＝大数，求出绿彩带的长度：2.4÷（3﹣1）＝1.2（米），再求红彩带的长度：1.2×3＝3.6（米）． 【解答】解：2.4÷（3﹣1） ＝2.4÷2 ＝1.2（米） 1.2×3＝3.6（米） 答：绿彩带1.2米，红彩带3.6米． 【点评】本题主要考查差倍问题，关键分清1倍数和几倍数，利用差倍问题公式做题． 第三部分 高频真题 1．甲、乙、丙三位小朋友共有85本书。如果把甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等。甲、乙、丙原来各有多少本书？ 2．一只羊的重量是76千克。比一只猪少16千克。一头牛的重量是一只猪的5倍。这头牛的重量是多少千克？ 3．有甲、乙两筐苹果，甲筐苹果重18千克，乙筐苹果重10千克。如果从两筐中取出同样多的苹果后，甲筐剩下的苹果质量是乙筐的3倍，那么从乙筐中取出了多少千克苹果？ 4．一个书架有上、下两层，上层书架放的书的本数是下层的1.8倍。如果从上层取出80本放到下层，那么两层书架上书的本数相等。上、下层原来各有多少本书？ 5．奇思和妙想一起去购物，奇思带的钱比妙想多100元。并且奇思带的钱比妙想的3倍多28元，原来两人各带了多少钱？ 6．学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花。其中黄花的盆数最多，既是红花盆数的4倍，也是蓝花盆数的3倍，如果蓝花比红花多20盆，请问：学校门口一共有多少盆花？ 7．某植物园栽种的月季比菊花多300株，月季的株数是菊花的5倍。菊花有多少株？ 8．甲水果店苹果的重量是乙水果店苹果的3倍，从甲水果店运走450千克，从乙水果店运走50千克后，两家所剩下的苹果重量相等。甲乙两个水果店原有苹果各多少千克？ 9．一台空调的价钱比一台电风扇贵1890元。空调的价钱是电风扇的4.5倍，一台空调多少钱？ 10．一个书架有上、下两层，下层书架放的书的本数是上层的1.45倍。如果从下层取出90本放到上层，那么两层书架上书的本数相等。上层原来有多少本书？ 11．一台扫地机器人的价格是一台普通吸尘器的5倍。已知一台扫地机器人比一台普通吸尘器贵980元。一台扫地机器人多少元？（建议：先看线段图分析数量关系，再解答） 12．有甲、乙两堆土豆，甲堆土豆是乙堆土豆的7倍。如果从甲堆里取36个到乙堆土豆里，甲、乙土豆就一样多。甲、乙两堆土豆原来各有多少个？ 13．花房里禾雀花的盆数是西番莲的2.6倍，禾雀花比西番莲多48盆。花房里禾雀花有多少盆？ 14．一个双层书架共有图书176本，从上层取30本放到下层，那么下层图书的本数正好是上层的3倍．原来上、下层各有图书多少本？ 15．学校图书馆买来的作文书比科技书多100本，其中作文书的本数是科技书的3倍．学校买来作文书多少本？ 16．小明的邮票是小亮的5倍，小明给小亮80张邮票两人就一样多，小明和小亮各有多少张邮票？ 17．小明身上的钱是小华的5倍，小明如果给小华40元，那么两人的钱就一样多．小明和小华原来各有多少元？ 18．学校买了一些篮球和排球，买的篮球数量是排球的5倍。买的篮球比排球多32个。学校买来篮球和排球各有多少个？ 19．淘气的邮票张数是笑笑的3倍，笑笑的邮票张数比淘气的少90张，淘气和笑笑各有多少张邮票？ 20．教室里的书橱分上、下两层，下层书的本数是上层书本数的3倍。如果从下层中搬到上层48本，那么两层的本数同样多，下层原来有多少本书？ 21．一个小数，如果把它的小数部分扩大到原来的3倍，这个数是2.8；如果把它的小数部分扩大到原来的7倍，这个数是5.2。这个小数原来是多少？ 22．果园里梨树的棵数是桃树的3.6倍，桃树比梨树少78棵。这个果园里桃树和梨树各有多少棵？ 23．小明在写一个整数时，不小心在这个数末尾多写了一个0，结果比原来的数多了450，原来的数是多少？ 24．学校买来文艺书和科技书共872本，买来的科技书是文艺书的7倍。学校买来科技书和文艺书各多少本？ 25．一个两层的书架，上层放的书是下层的3倍，如果把上层的书搬60本放到下层，两层的书正好相等，原来上、下层各有多少本？ 26．有两桶油，第一桶油的质量是第二桶油的1.5倍，如果把第一桶里的油倒入第二桶4kg，两桶油的质量相等，两桶油原来各有多少千克？ 27．用一个杯子向一个空瓶里倒水。若倒进3杯水，连瓶共重490克，若倒进6杯水，连瓶共重760克。一杯水和一个空瓶各重多少克？ 28．希望小学合唱队女生人数是男生人数的4倍，女生人数比男生多75人，合唱队男女生各有多少人？ 29．动物园里的白兔比灰兔多32只，白兔的只数是灰兔的5倍，白兔、灰兔各养了多少只？ 30．果园里桃树的棵数是梨树的3倍少12棵，桃树比梨树多56棵，果园里桃树和梨树各有多少棵？ 31．妈妈的年龄是笑笑的4倍，妈妈比笑笑大24岁，笑笑和妈妈各多少岁？ 32．甲桶的水是乙桶的4倍，从甲桶取出15千克倒入乙桶，两桶相等。乙桶原有水多少千克？ 33．小明和小星收集书签，小明的书签数量是小星的3倍，如果小明给小星12个，两人的书签数量就同样多。原来小明有多少个书签？（先在线段图上表示出条件和问题，再解答） 34．学校体育器材室的足球个数是篮球的3倍，足球比篮球多24个，足球和篮球各有多少个？ 35．水果店有两箱苹果，第一箱的质量是第二箱的4倍．如果从第一箱拿7.5千克苹果放入第二箱，则两箱苹果的质量一样多．原来两箱苹果各有多少千克？ 36．一个双层书架，上层书的本数是下层的5倍。如果从上层搬100本到下层，那么两层书的本数正好相等。原来上、下层各有图书多少本？（先画线段图表示出条件和问题，再解答。） 37．水果店运来一批西瓜和苹果，西瓜比苹果重60千克，西瓜的质量是苹果的3倍。运来的西瓜和苹果各多少千克？ 38．有两根同样长的铅笔，第一根用去14厘米，第二根用去2厘米。这时第二根是第一根的3倍。这两根铅笔原来长多少米？ 39．光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踢毽子人数的3倍，跳绳的比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？ 40．公园里杨树的数量是柏树的4倍，杨树比柏树多210棵，杨树和柏树各有多少棵？ 41．一个两层书架，第一层有245本书，从第一层拿38本放到第二层后，第二层的书是第一层的2倍，第二层原来有多少本书？ 42．现有两筐水果，甲筐水果的质量是乙筐水果的6倍，已知甲筐水果比乙筐水果重75kg，则甲、乙筐水果各有多少千克？ 43．某超市的电磁炉的价格恰好是一台豆浆机价格的4倍，电磁炉比豆浆机贵480元，一台电磁炉和一台豆浆机各多少元？ 44．甲筐苹果重量是乙筐的3倍，甲筐比乙筐多40千克。甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？ 45．小红零花钱的数量是小明的5倍，如果小红给小明30元，两人的钱数同样多，小红有多少零花钱？ 46．明明的邮票比小涛多110张，已知明明的邮票数量是小涛的3倍，明明和小涛各有多少张邮票？ 47．六年级学生在学校科技知识竞赛中比五年级多得18分，六年级学生的得分是五年级的1.2倍。五、六年级学生各得了多少分？ 48．一个双层书架，上层书的本数是下层的3倍．如果从上层搬40本到下层，那么两层书的本数正好相等．原来上、下层各有图书多少本？（在图中表示出条件和问题，再解答） 上层：¦﹣﹣﹣﹣﹣﹣¦﹣﹣﹣﹣﹣﹣¦﹣﹣﹣﹣﹣﹣¦ 下层：¦﹣﹣﹣﹣﹣﹣¦ 49．白兔的只数是黑兔的5倍，养的黑兔比白兔少100只，养殖场内白兔和黑兔各多少只？ 50．花园里的玫瑰花比月季花少24盆，已知月季花的盆数是玫瑰花的4倍，问花园里的月季花和玫瑰花各有多少盆？ 51．有两个书架，甲书架上有书80本，乙书架上有书50本，每次从甲书架上拿出3本放到乙书架上，拿多少次后两个书架上的书本数相等？ 参考答案与试题解析 1．甲、乙、丙三位小朋友共有85本书。如果把甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等。甲、乙、丙原来各有多少本书？ 【答案】32本，36本，17本。 【分析】甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等，由此可知，甲的书的本数是（2丙﹣2）本，乙的书的本书是（2丙+2）本，所以甲+乙+丙＝5丙，据此列式解答即可。 【解答】解：85÷（2+2+1） ＝85÷5 ＝17（本） 17×2﹣2 ＝34﹣2 ＝32（本） 17×2+2 ＝34+2 ＝36（本） 答：甲原来有32本，乙原来有36本，丙原来有17本。 【点评】明确甲、乙的书的本数与丙的书的本数的关系是解题的关键。 2．一只羊的重量是76千克。比一只猪少16千克。一头牛的重量是一只猪的5倍。这头牛的重量是多少千克？ 【答案】460千克。 【分析】用76加上16求猪的重量；再乘5，求牛的重量即可。 【解答】解：（76+16）×5 ＝92×5 ＝460（千克） 答：这头牛的重量是460千克。 【点评】本题主要考查带括号是四则运算的应用，关键注意运算顺序。 3．有甲、乙两筐苹果，甲筐苹果重18千克，乙筐苹果重10千克。如果从两筐中取出同样多的苹果后，甲筐剩下的苹果质量是乙筐的3倍，那么从乙筐中取出了多少千克苹果？ 【答案】6。 【分析】本题利用和差问题公式解答即可。 【解答】解：18﹣10＝8（克） 8÷（3﹣1）＝4（克） 10﹣4＝6（克） 答：从乙筐中取出了6千克苹果。 【点评】本题主要考查差倍问题，关键利用从两筐中取出同样质量的苹果后的关系，列方程求解。 4．一个书架有上、下两层，上层书架放的书的本数是下层的1.8倍。如果从上层取出80本放到下层，那么两层书架上书的本数相等。上、下层原来各有多少本书？ 【答案】下层原来有200本书，上层原来有360本书。 【分析】如果从上层取出80本放到下层，那么两层书架上书的本数相等，那么原来上层的本数比下层多80×2＝160（本），上层书架放的书的本数是下层的1.8倍，再根据差倍公式进行解答。 【解答】解：（80×2）÷（1.8﹣1） ＝160÷0.8 ＝200（本） 200×1.8＝360（本） 答：下层原来有200本书，上层原来有360本书。 【点评】本题关键是求出上下层的本数差，再根据差倍公式：差÷（倍数﹣1）＝较小数、较小数×倍数＝较大数进行解答。 5．奇思和妙想一起去购物，奇思带的钱比妙想多100元。并且奇思带的钱比妙想的3倍多28元，原来两人各带了多少钱？ 【答案】36元；136元。 【分析】设妙想带了x元钱，则奇思带了（3x+28）元，根据等量关系式：奇思带的钱﹣妙想带的钱＝100元，列出方程求解即可。 【解答】解：设妙想带了x元钱，则奇思带了（3x+28）元。 3x+28﹣x＝100 2x+28﹣28＝100﹣28 2x÷2＝72÷2 x＝36 则奇思带了：36+100＝136（元） 答：原来妙想带了36元钱，奇思带了136元钱。 【点评】解决本题的关键在于能够根据题干找到本题的等量关系式。 6．学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花。其中黄花的盆数最多，既是红花盆数的4倍，也是蓝花盆数的3倍，如果蓝花比红花多20盆，请问：学校门口一共有多少盆花？ 【答案】380盆。 【分析】根据题意可知，蓝花与红花的差是20，黄花的朵数是红花的4倍，是蓝花盆数的3倍，由差倍公式解答即可。 【解答】解：根据题意和差倍公式可得： 红花的朵数是：20÷（ 4﹣3 ）×3 ＝20÷1×3 ＝20×3 ＝60 （朵） 蓝花的朵数是：60+20＝80 （朵） 黄花的朵数是：60×4＝240 （朵） 60+80+240 ＝140+240 ＝380 （朵） 答：学校门口一共380盆花。 【点评】根据题意，知道黄花与红花与蓝花的差和倍数的关系，直接根据差倍公式求出黄花、红花、蓝花的朵数进而解答即可。 7．某植物园栽种的月季比菊花多300株，月季的株数是菊花的5倍。菊花有多少株？ 【答案】75株。 【分析】根据差倍公式：差÷（倍数﹣1）＝小数，代入数值进行计算即可。 【解答】解：300÷（5﹣1） ＝300÷4 ＝75（株） 答：菊花有75株。 【点评】本题考查差倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 8．甲水果店苹果的重量是乙水果店苹果的3倍，从甲水果店运走450千克，从乙水果店运走50千克后，两家所剩下的苹果重量相等。甲乙两个水果店原有苹果各多少千克？ 【答案】甲水果店600千克，乙水果店200千克。 【分析】根据题意可知，把乙水果店的水果质量看作1份，则甲水果店有同样的3份，从甲水果店运走450千克，从乙水果店运走50千克后，两家所剩下的苹果重量相等，则450﹣50＝400（千克）即为甲水果店比乙水果店多的（3﹣1）份，据此求出1份量即是乙水果店原来的苹果质量，用1份量乘3即是原来甲水果店的苹果质量。据此解答。 【解答】解：（450﹣50）÷（3﹣1） ＝400÷2 ＝200（千克） 200×3＝600（千克） 答：甲水果店原来有苹果600千克，乙水果店原来有苹果200千克。 【点评】本题考查了差倍问题的应用。 9．一台空调的价钱比一台电风扇贵1890元。空调的价钱是电风扇的4.5倍，一台空调多少钱？ 【答案】2430元。 【分析】把电风扇的价钱看作1份，则空调的价钱是4.5份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，可以计算出电风扇的价钱，再用电风扇的价钱乘4.5，计算出空调的价钱。 【解答】解：1890÷（4.5﹣1） ＝1890÷3.5 ＝540（元） 540×4.5＝2430（元） 答：一台空调2430元。 【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。 10．一个书架有上、下两层，下层书架放的书的本数是上层的1.45倍。如果从下层取出90本放到上层，那么两层书架上书的本数相等。上层原来有多少本书？ 【答案】400本。 【分析】如果从下层取出90本放到上层，那么两层书架上书的本数相等，那么原来下层的本数比上层多90×2＝180（本），又下层书架放的书的本数是上层的1.45倍，再根据差倍公式进行解答。 【解答】解：（90×2）÷（1.45﹣1） ＝180÷0.45 ＝400（本） 答：上层原来有400本书。 【点评】本题关键是求出上下层的本数差，再根据差倍公式：差÷（倍数﹣1）＝较小数、较小数×倍数＝较大数进行解答。 11．一台扫地机器人的价格是一台普通吸尘器的5倍。已知一台扫地机器人比一台普通吸尘器贵980元。一台扫地机器人多少元？（建议：先看线段图分析数量关系，再解答） 【答案】1225元。 【分析】观察图可知：扫地机器人的价钱是吸尘器的5倍，设一台普通吸尘器x元，则扫地机器人5x元，由“一台扫地机器人比一台普通吸尘器贵980元”可列等量关系式：一台扫地机器人的价钱﹣一台普通吸尘器的价钱＝980，据此列方程解答。 【解答】解：一台扫地机器人的价钱﹣一台普通吸尘器的价钱＝980。 设一台普通吸尘器x元。 5x﹣x＝980 4x＝980 x＝245 245×5＝1225（元） 答：一台扫地机器人1225元。 【点评】完成这类题列方程解答，设其中的一个未知量为x，另一个用含有x的数代替即可。 12．有甲、乙两堆土豆，甲堆土豆是乙堆土豆的7倍。如果从甲堆里取36个到乙堆土豆里，甲、乙土豆就一样多。甲、乙两堆土豆原来各有多少个？ 【答案】84个，12个。 【分析】由题意可知，如果从甲堆里取36个到乙堆土豆里，甲、乙土豆就一样多，则开始甲堆土豆比乙堆土豆多36×2＝72（个），再根据差倍问题的公式：最小数＝差÷（倍数﹣1），最大数＝最小数×倍数，代入数值即可求解。 【解答】解：36×2＝72（个） 72÷（7﹣1） ＝72÷6 ＝12（个） 12×7＝84（个） 答：甲堆土豆原来有84个，乙堆土豆原来有12个。 【点评】此题考查了倍数的应用，关键是明确：最小数＝差÷（倍数﹣1），最大数＝最小数×倍数。 13．花房里禾雀花的盆数是西番莲的2.6倍，禾雀花比西番莲多48盆。花房里禾雀花有多少盆？ 【答案】78盆。 【分析】把西番莲的盆数看作1份，禾雀花的盆数看作2.6份，用禾雀花比西番莲多的盆数除以它们的份数之差，可以计算出西番莲的盆数，再用西番莲的盆数乘2.6，可以计算出花房里禾雀花有多少盆。 【解答】解：48÷（2.6﹣1） ＝48÷1.6 ＝30（盆） 30×2.6＝78（盆） 答：花房里禾雀花有78盆。 【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。 14．一个双层书架共有图书176本，从上层取30本放到下层，那么下层图书的本数正好是上层的3倍．原来上、下层各有图书多少本？ 【答案】见试题解答内容 【分析】一个双层书架共有图书176本，从上层取30本放到下层，那么下层图书的本数正好是上层的3倍，这时两个书架的本数和还是176本，根据和倍公式用176÷（3+1）可以求出这时上层的本数，然后再加上给下层的30本，就是原来上层的本数，然后再用176减去原来上层的，就是原来下层的本数． 【解答】解：176÷（3+1）+30 ＝176÷4+30 ＝44+30 ＝74（本） 176﹣74＝102（本） 答：原来上层有74本，下层有102本． 【点评】本题关键是根据和倍公式，求出现在上层的本数，然后再进一步解答． 15．学校图书馆买来的作文书比科技书多100本，其中作文书的本数是科技书的3倍．学校买来作文书多少本？ 【答案】见试题解答内容 【分析】学校图书馆买来的作文书比科技书多100本，也就是它们的本数相差100本，又其中作文书的本数是科技书的3倍，根据差倍公式进行解答． 【解答】解：100÷（3﹣1） ＝100÷2 ＝50（本） 50×3＝150（本） 答：学校买来作文书150本． 【点评】已知两个数的差与倍数，根据差倍公式差÷（倍数﹣1）＝较小数，较小数×倍数＝较大数进行解答． 16．小明的邮票是小亮的5倍，小明给小亮80张邮票两人就一样多，小明和小亮各有多少张邮票？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，把小亮的邮票数看作1倍数，则小明的邮票数为5倍数，根据差倍问题公式：差÷（倍数﹣1）＝1倍数；1倍数+差＝几倍数．把数代入计算即可． 【解答】解：80×2÷（5﹣1） ＝160÷4 ＝40（张） 40+80×2 ＝40+160 ＝200（张） 答：小亮有40张，小明有200张． 【点评】本题考查了差倍问题，关键是得出二人的邮票张数的差是80×2＝160（张）． 17．小明身上的钱是小华的5倍，小明如果给小华40元，那么两人的钱就一样多．小明和小华原来各有多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】小明如果给小华40元，那么两人的钱就一样多．说明原来两个人相差40×2＝80元，相当于小华钱数的（5﹣1）倍，然后根据差倍公式解答即可． 【解答】解：（40×2）÷（5﹣1） ＝80÷4 ＝20（元） 20×5＝100（元） 答：小明原来有100元钱，小华原来有20元钱． 【点评】此题属于差倍问题，关键是求出数量差和倍数差；运用关系式：数量差÷（倍数﹣1）＝1倍数（较小数），1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）． 18．学校买了一些篮球和排球，买的篮球数量是排球的5倍。买的篮球比排球多32个。学校买来篮球和排球各有多少个？ 【答案】40，8。 【分析】根据差倍问题公式：差÷（倍数﹣1）＝小数，小数+差＝大数，据此列式解答即可。 【解答】解：32÷（5﹣1） ＝32÷4 ＝8（个） 8+32＝40（个） 答：学校买来篮球40个，排球8个。 【点评】熟练掌握差倍问题公式及运用是解决此题的关键。 19．淘气的邮票张数是笑笑的3倍，笑笑的邮票张数比淘气的少90张，淘气和笑笑各有多少张邮票？ 【答案】135张，45张。 【分析】根据差倍问题的计算公式可知：差÷（倍数﹣1）＝小数；小数+差或小数×倍数＝大数，代入数值进行计算即可。 【解答】解：90÷（3﹣1） ＝90÷2 ＝45（张） 45×3＝135（张） 答：淘气与135张，笑笑有45张。 【点评】本题考查差倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 20．教室里的书橱分上、下两层，下层书的本数是上层书本数的3倍。如果从下层中搬到上层48本，那么两层的本数同样多，下层原来有多少本书？ 【答案】144 【分析】根据设上层为x，下层则为3x，下层减去48本就等于上层加上48本即可解答。 【解答】解：设上层为x，下层则为3x。 3x﹣48＝x+48 2x＝96 x＝48 48×3＝144（本） 答：下层原来有144本书。 【点评】通过设未知数，根据题目中所给和条件列出等量关系式是完成本题的关键。 21．一个小数，如果把它的小数部分扩大到原来的3倍，这个数是2.8；如果把它的小数部分扩大到原来的7倍，这个数是5.2。这个小数原来是多少？ 【答案】1.6。 【分析】从题中可知，小数部分扩大到7倍比扩大到3倍多（5.2﹣2.8），据此可用除法求出小数部分是多少；再用2.8减去小数部分的3倍，即是整数部分，最后把整数部分与小数部分相加，就求出了原来的小数是多少。 【解答】解：（5.2﹣2.8）÷（7﹣3） ＝2.4÷4 ＝0.6 2.8﹣0.6×3+0.6 ＝2.8﹣1.8+0.6 ＝1+0.6 ＝1.6 答：这个小数原来是1.6。 【点评】解答此题关键在于掌握了用7倍数减3倍数的差除以倍率的差，这种求出1倍数是多少的方法。 22．果园里梨树的棵数是桃树的3.6倍，桃树比梨树少78棵。这个果园里桃树和梨树各有多少棵？ 【答案】30棵；108棵。 【分析】把桃树的棵数看作1份，则梨树的棵数是3.6份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出桃树的棵数，再用桃树的棵数乘3.6，计算出梨树的棵数。 【解答】解：78÷（3.6﹣1） ＝78÷2.6 ＝30（棵） 30×3.6＝108（棵） 答：桃树有30棵，梨树有108棵。 【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。 23．小明在写一个整数时，不小心在这个数末尾多写了一个0，结果比原来的数多了450，原来的数是多少？ 【答案】50。 【分析】在一个整数的末尾多写一个0，这个数变为原来的10倍。设原来的数是x，则现在的数是10x。根据题意，现在的数﹣原来的数＝450，据此列方程解答。 【解答】解：设原来的数是x。 10x﹣x＝450 9x＝450 x＝450÷9 x＝50 答：原来的数是50。 【点评】列方程解含有两个未知数的问题时，设其中的一个未知数是x，用含有x的式子表示另一个未知数，再根据等量关系即可列出方程。本题中明确“在一个整数的末尾多写一个0，这个数变为原来的10倍”是解题的关键。 24．学校买来文艺书和科技书共872本，买来的科技书是文艺书的7倍。学校买来科技书和文艺书各多少本？ 【答案】109本，763本。 【分析】把文艺书的本数作为1倍数，科技书的本数就是7倍数，那么872本就相当于文艺书本数的（1+7）倍，由此可以先求出文艺书的本数，然后再求出科技书的本数。 【解答】解：872÷（1+7） ＝872÷8 ＝109（本） 109×7＝763（本） 答：学校买来文艺书有109本，科技书有763本。 【点评】此题属于典型的和倍问题，只要找出对应量，根据基本的数量关系即可解答。 25．一个两层的书架，上层放的书是下层的3倍，如果把上层的书搬60本放到下层，两层的书正好相等，原来上、下层各有多少本？ 【答案】180本，60本。 【分析】由题意得等量关系式：上层原有书的数量﹣60＝下层原有书的数量+60，上层原有书的数量＝下层原有书的数量×3，设原来下层有x本书，则上层原有3x本书，列方程解答即可。 【解答】解：设原来下层有x本书，则上层原有3x本书。 3x﹣60＝x+60 2x＝120 x＝60 上层原有书的数量为：60×3＝180（本） 答：上层原有180本书，下层原有60本书。 【点评】解决本题的关键是找出等量关系式：上层原有书的数量﹣40＝下层原有书的数量+40，设出下层原有书的数量，用下层书的数量表示出上层书的数量，列方程解答。 26．有两桶油，第一桶油的质量是第二桶油的1.5倍，如果把第一桶里的油倒入第二桶4kg，两桶油的质量相等，两桶油原来各有多少千克？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据如果把第一桶里的油倒入第二桶4kg，两桶油的质量相等，可知原来第一桶油比第二桶油多4×2＝8千克，又知第一桶是第二桶重量的1.5倍，可知第一桶油比第二桶油多了1.5﹣1＝0.5倍，是8千克，用除法可求第二桶油多少千克，进而可求出第一桶油的重量，据此解答． 【解答】解：4×2÷（1.5﹣1） ＝4×2÷0.5 ＝8÷0.5 ＝16（千克） 16×1.5＝24（千克） 答：原来第一桶油重24千克，第二桶油重16千克． 【点评】本题的重点是让学生理解第一桶油比第二桶油多了4×2千克，再根据差倍问题进行解答． 27．用一个杯子向一个空瓶里倒水。若倒进3杯水，连瓶共重490克，若倒进6杯水，连瓶共重760克。一杯水和一个空瓶各重多少克？ 【答案】90克，220克。 【分析】根据题意可知，3杯水加上一个空瓶的质量是490克，6杯水加上一个空瓶的质量是760克，那么6﹣3＝3（杯）水的质量就是（760﹣490）克，据此用三杯水的质量除以3可以求出一杯水重多少克，用490克减去3杯水的质量就是一个空瓶的质量。 【解答】解：6﹣3＝3（杯） 760﹣490＝270（克） 270÷3＝90（克） 490﹣270＝220（克） 答：一杯水重90克，一个空瓶重220克。 【点评】解答此题的关键在于理解已知的两个质量里都含有一个空瓶的质量，两个质量的差就是（6﹣3）杯水的质量。 28．希望小学合唱队女生人数是男生人数的4倍，女生人数比男生多75人，合唱队男女生各有多少人？ 【答案】25人，100人。 【分析】由题意可知，合唱队女生人数比男生人数多（4﹣1）倍，正好多75人；据此先用75除以（4﹣1），求出男生人数；再用男生人数加数75，即可求出女生人数。 【解答】解：75÷（4﹣1） ＝75÷3 ＝25（人） 25+75＝100（人） 答：合唱队男生有25人，女生有100人。 【点评】本题考查了利用整数除减混合运算及整数加法解决问题，需准确分析题目中的数量关系。 29．动物园里的白兔比灰兔多32只，白兔的只数是灰兔的5倍，白兔、灰兔各养了多少只？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可知，白兔比灰兔多32只，已知白兔的只数是灰兔的5倍，把灰兔的只数看作单位“1”，则白兔比灰兔多5﹣1倍，即32只是灰兔的（5﹣1）倍，由此用除法可求得灰兔有多少只，进而求得白兔有多少只． 【解答】解：32÷（5﹣1） ＝32÷4 ＝8（只） 8×5＝40（只）． 答：白兔40只，灰兔8只． 【点评】方法：差÷（倍数﹣1 ）＝1倍数（较小数），1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）． 或 和﹣倍数（较小数）＝几倍数（较大数）． 30．果园里桃树的棵数是梨树的3倍少12棵，桃树比梨树多56棵，果园里桃树和梨树各有多少棵？ 【答案】果园里桃树90棵，梨树有34棵。 【分析】设梨树有x棵，则桃树有（3x﹣12）棵，根据等量关系：桃树的棵数﹣梨树的棵数＝56棵，列方程解答即可。 【解答】解：设梨树有x棵，则桃树有（3x﹣12）棵。 3x﹣12﹣x＝56 2x＝68 x＝34 34+56＝90（棵） 答：果园里桃树90棵，梨树有34棵。 【点评】本题主要考查了差倍问题，关键是找等量关系。 31．妈妈的年龄是笑笑的4倍，妈妈比笑笑大24岁，笑笑和妈妈各多少岁？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，利用差倍问题公式：差÷（倍数﹣1）＝较小数；较小数+差＝较大数．把数代入分别求笑笑和妈妈的年龄即可． 【解答】解：24÷（4﹣1） ＝24÷3 ＝8（岁） 8+24＝32（岁） 答：笑笑今年8岁，妈妈今年32岁． 【点评】本题考查了差倍问题，关键利用差倍问题公式解题． 32．甲桶的水是乙桶的4倍，从甲桶取出15千克倒入乙桶，两桶相等。乙桶原有水多少千克？ 【答案】10千克. 【分析】根据“甲桶的水是乙桶的4倍”可把“乙桶原有水的质量”看作“1”份，则甲桶原来的水的质量是4份，比乙桶原来的水的质量多（4﹣1）份，即为3份，根据“从甲桶取出15千克倒入乙桶，两桶相等”可知：甲桶原来的水的质量比乙桶原来的水的质量多（15+15）千克，用多的水的质量除以3，正好是每一份水的质量，也就是乙桶原有水的质量，据此解答。 【解答】解：（15+15）÷（4﹣1） ＝30÷3 ＝10（千克） 答：乙桶原来由10千克水。 【点评】差倍问题：和÷（倍数﹣1）＝小数，小数×倍数＝较大数。 33．小明和小星收集书签，小明的书签数量是小星的3倍，如果小明给小星12个，两人的书签数量就同样多。原来小明有多少个书签？（先在线段图上表示出条件和问题，再解答） 【答案】36个。 【分析】小明的书签数量是小星的3倍，如果小明给小星12个，两人的书签数量就同样多。小明的书签数量比小星的多（3﹣1）倍，是12×2个。即可求出小星的书签个数，进而用小星的个数×3＝小明的书签个数。 【解答】解： （12×2）÷（3﹣1） ＝24÷2 ＝12（个） 12×3＝36（个） 答：原来小明有36个书签。 【点评】本题考查了本题考查了差倍问题，关键是如何求出1倍量。 34．学校体育器材室的足球个数是篮球的3倍，足球比篮球多24个，足球和篮球各有多少个？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把篮球的个数看作1份，则足球的个数为3份，则足球的个数比篮球的个数多（3﹣1）份，即篮球个数的2倍是24个，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出篮球的个数，进而求出足球的个数． 【解答】解：篮球：24÷（3﹣1） ＝24÷2 ＝12（个） 足球：12×3＝36（个） 答：足球有36个，篮球有12个． 【点评】此题属于典型的差倍问题，应明确：差÷（倍数﹣1）＝小数；小数+差＝大数，或小数×倍数＝大数． 35．水果店有两箱苹果，第一箱的质量是第二箱的4倍．如果从第一箱拿7.5千克苹果放入第二箱，则两箱苹果的质量一样多．原来两箱苹果各有多少千克？ 【答案】见试题解答内容 【分析】如果从第一箱拿7.5千克苹果放入第二箱，则两箱苹果的质量一样多，那么原来第一箱比第二箱多7.5×2＝15千克，又第一箱的质量是第二箱的4倍，根据差倍公式进行解答． 【解答】解：（7.5×2）÷（4﹣1） ＝15÷3 ＝5（千克） 5×4＝20（千克） 答：原来第一箱苹果有20千克，第二箱有5千克． 【点评】本题关键是求出两箱苹果的质量差，然后再根据差倍公式差÷（倍数﹣1）＝较小数进行解答． 36．一个双层书架，上层书的本数是下层的5倍。如果从上层搬100本到下层，那么两层书的本数正好相等。原来上、下层各有图书多少本？（先画线段图表示出条件和问题，再解答。） 【答案】250本，50本。 【分析】如果从上层搬100本到下层，那么两层书的本数正好相等，可得出上层比下层多100×2＝200（本）； 根据差倍问题公式“差÷（倍数﹣1）＝1倍数”先求出下层原有图书的本数，上层原有图书数＝下层原有图书数×5。 【解答】解：根据题意画线段图如下： 100×2÷（5﹣1） ＝200÷4 ＝50（本） 50×5＝250（本） 答：原来上层有图书250本，下层有图书50本。 【点评】找出题中数量之间的关系，根据数量之间的关系解决问题。 37．水果店运来一批西瓜和苹果，西瓜比苹果重60千克，西瓜的质量是苹果的3倍。运来的西瓜和苹果各多少千克？ 【答案】90千克；30千克。 【分析】把苹果的质量看作1份，则西瓜的质量是3份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，即可计算出苹果的质量，最后用苹果的质量乘3，即可计算出西瓜的质量。 【解答】解：60÷（3﹣1） ＝60÷2 ＝30（千克） 30×3＝90（千克） 答：运来的西瓜90千克，苹果30千克。 【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。 38．有两根同样长的铅笔，第一根用去14厘米，第二根用去2厘米。这时第二根是第一根的3倍。这两根铅笔原来长多少米？ 【答案】20厘米。 【分析】把第一根用去14厘米后剩下的长度看作1倍量，则第二根用去2厘米后剩下的长度为同样的3倍量，则第一根铅笔用去的长度减去第二根铅笔用去的长度即为（3﹣1）倍量，据此求出1倍量，即第一根铅笔剩下的长，用第一根铅笔剩下的长度加上用去的长度即是原来的长度，据此解答。 【解答】解：（14﹣2）÷（3﹣1） ＝12÷2 ＝6（厘米） 6+14＝20（厘米） 答：这两根铅笔原来长20厘米。 【点评】本题考查了差倍问题的应用。 39．光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踢毽子人数的3倍，跳绳的比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？ 【答案】18人；54人。 【分析】把踢毽子人数看作1份，则参加跳绳比赛的人数是3份，再根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出踢毽子的人数，再用踢毽子的人数乘3，计算出参加跳绳比赛的人数。 【解答】解：36÷（3﹣1） ＝36÷2 ＝18（人） 18×3＝54（人） 答：踢毽子的有18人，参加跳绳比赛的有54人。 【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。 40．公园里杨树的数量是柏树的4倍，杨树比柏树多210棵，杨树和柏树各有多少棵？ 【答案】280棵，70棵。 【分析】根据差÷（倍数﹣1）＝小数；小数×倍数＝大数，代入数值进行计算即可。 【解答】解：210÷（4﹣1） ＝210÷3 ＝70（棵） 70×4＝280（棵） 答：杨树有280棵，柏树有70棵。 【点评】本题考查差倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 41．一个两层书架，第一层有245本书，从第一层拿38本放到第二层后，第二层的书是第一层的2倍，第二层原来有多少本书？ 【答案】376本书。 【分析】用第一层的本数减去38本，可以计算出现在第一层的本数，再用现在第一层的本数乘2，可以计算出现在第二层的本数，最后用现在第二层的本数减去38，就可以计算出第二层原来有多少本书。 【解答】解：（245﹣38）×2﹣38 ＝207×2﹣38 ＝414﹣38 ＝376（本） 答：第二层原来有376本书。 【点评】本题解题关键是掌握求一个数的几倍是多少用乘法计算，再利用逆推的方法计算出第二层原来有多少本书。 42．现有两筐水果，甲筐水果的质量是乙筐水果的6倍，已知甲筐水果比乙筐水果重75kg，则甲、乙筐水果各有多少千克？ 【答案】90；15。 【分析】甲筐水果的质量是乙筐水果的6倍，甲筐水果的质量比乙筐水果多6﹣1＝5倍，又甲筐水果比乙筐水果重75kg，用多的75kg除以5，求出乙筐水果的质量，然后再进一步解答。 【解答】解：75÷（6﹣1） ＝75÷5 ＝15（千克） 15×6＝90（千克） 答：甲筐水果有90千克，乙筐水果有15千克。 【点评】本题已知两筐水果的质量差与倍数关系，根据差倍公式差÷（倍数﹣1）＝较小数进行解答。 43．某超市的电磁炉的价格恰好是一台豆浆机价格的4倍，电磁炉比豆浆机贵480元，一台电磁炉和一台豆浆机各多少元？ 【答案】640元；160元。 【分析】把豆浆机的价钱看作1份，则电磁炉的价钱是4份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出豆浆机的价钱，再用豆浆机的价钱乘4，计算出电磁炉的价钱。 【解答】解：480÷（4﹣1） ＝480÷3 ＝160（元） 160×4＝640（元） 答：一台电磁炉640元，一台豆浆机160元。 【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。 44．甲筐苹果重量是乙筐的3倍，甲筐比乙筐多40千克。甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？ 【答案】60，20。 【分析】根据题意，利用差倍问题公式：差÷（倍数﹣1）＝1倍数，1倍数×倍数＝几倍数，把数代入计算即可。 【解答】解：40÷（3﹣1） ＝40÷2 ＝20（千克） 20×3＝60（千克） 答：甲筐有60千克，乙筐有20千克。 【点评】本题主要运用差倍问题公式解题，关键是分清1倍数和几倍数。 45．小红零花钱的数量是小明的5倍，如果小红给小明30元，两人的钱数同样多，小红有多少零花钱？ 【答案】75元。 【分析】根据“小红给小明30元，两人的钱数同样多”，可知小红的钱数比小明多2个30元，把小明的钱数看作1份，再根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，求出小明的钱数，再用小明的钱数乘5，就可以计算出小红的钱数。 【解答】解：30×2÷（5﹣1） ＝60÷4 ＝15（元） 15×5＝75（元） 答：小红有75元零花钱。 【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。 46．明明的邮票比小涛多110张，已知明明的邮票数量是小涛的3倍，明明和小涛各有多少张邮票？ 【答案】165张；55张。 【分析】设小涛的邮票是x张。根据明明的邮票比小涛多110张，列方程即可求出小涛的张数，再乘3，即可求出明明的张数。 【解答】解：设小涛的邮票是x张。 3x﹣x＝110 x＝110÷2 x＝55 55×3＝165 （张） 答：明明有165张邮票，小涛有55张邮票。 【点评】本题考查差倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 47．六年级学生在学校科技知识竞赛中比五年级多得18分，六年级学生的得分是五年级的1.2倍。五、六年级学生各得了多少分？ 【答案】90分，108分。 【分析】根据题干，设五年级学生得了x分，那么六年级得分就是1.2x分，则根据等量关系：六年级得分﹣五年级得分＝18分，列出方程解决问题。 【解答】解：设五年级学生得了x分，那么六年级得分就是1.2x分。 1.2x﹣x＝18 0.2x＝18 x＝90 1.2×90＝108（分） 答：五年级得分是90分，六年级得分是108分。 【点评】解答此题容易找出基本数量关系，由此列方程解决问题。 48．一个双层书架，上层书的本数是下层的3倍．如果从上层搬40本到下层，那么两层书的本数正好相等．原来上、下层各有图书多少本？（在图中表示出条件和问题，再解答） 上层：¦﹣﹣﹣﹣﹣﹣¦﹣﹣﹣﹣﹣﹣¦﹣﹣﹣﹣﹣﹣¦ 下层：¦﹣﹣﹣﹣﹣﹣¦ 【答案】见试题解答内容 【分析】设下层原来有x本书，则上层有3x，根据题意，3x﹣40＝x+40，解方程即可求出下层树的本数，然后再求上层本数即可． 【解答】解：如图： 设下层原来有x本数，则上层原来有3x本，有： 3x﹣40＝x+40 2x＝80 x＝40 40×3＝120（本） 答：原来上层有120本，下层有40本． 【点评】本题主要考查和差问题，关键根据题意设未知数，根据已知条件列方程求解． 49．白兔的只数是黑兔的5倍，养的黑兔比白兔少100只，养殖场内白兔和黑兔各多少只？ 【答案】见试题解答内容 【分析】可设黑兔有x只，则白兔为5x只，由等量关系：白兔的只数﹣黑兔的只数＝100可以列出方程解决问题． 【解答】解：设黑兔有x只，白兔为5x只，根据题意可得方程； 5x﹣x＝100 4x＝100 x＝25 5×25＝125（只） 答：白兔有125只，黑兔有25只． 【点评】此题利用了方程思想解答问题，题目中的两个等量关系一般表示倍数的等量关系用来设未知数，另一个用来列方程，由此可以解决问题． 50．花园里的玫瑰花比月季花少24盆，已知月季花的盆数是玫瑰花的4倍，问花园里的月季花和玫瑰花各有多少盆？ 【答案】32盆。8盆。 【分析】根据差倍公式：差÷（倍数﹣1）＝小数；小数+差或小数×倍数＝大数代入数值进行计算即可。 【解答】解：24÷（4﹣1） ＝24÷3 ＝8（盆） 8×4＝32（盆） 答：月季花有32盆。玫瑰花有8盆。 【点评】本题考查差倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 51．有两个书架，甲书架上有书80本，乙书架上有书50本，每次从甲书架上拿出3本放到乙书架上，拿多少次后两个书架上的书本数相等？ 【答案】5次。 【分析】先用减法求出甲书架书的本数比乙书架多的本数，用多的本数除以2，就是从甲书架一共拿出的本数放到乙书架，此时两个书架上的书本数相等，再用这个数量除以3即可。 【解答】解：（80﹣50）÷2÷3 ＝30÷2÷3 ＝15÷3 ＝5（次） 答：拿3次后两个书架上的书本数相等。 【点评】如果两个书架上的书本数相等，需要从甲书架拿出多少本放到乙书架是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$