概率课时十一讲义-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--概率（一轮复习）课时十一 知识点 写出简单离散型随机变量分布列,由随机变量的分布列求概率,独立事件的乘法公式 典例1、某智能共享单车备有、两种车型，采用分段计费的方式营用，型单车每30分钟收费0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算），型单车每30分钟收费1元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲、乙、丙三人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，并且三个人每人租车都不会超过60分钟，甲、乙均租用型单车，丙租用型单车. （1）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率； （2）设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望. 随堂练习：8月5日晚，2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”开幕式在洞庭南路历史文化街区工业遗址公园（岳阳港工业遗址公园）举行，举办2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出的大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳阳”文旅IP，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某小吃店的生意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统计，结果如下： 取到食品所需的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05 假设每个顾客取到食品所需的时间互相独立，且都是整数分钟.从排队的第一个顾客等待取食品开始计时. （1）试估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率； （2）若随机变量X表示“至第2分钟末，已取到食品的顾客人数”，求X的分布列及数学期望. 典例2、应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，2020年第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平总书记向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”.近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车宝鸡地区销售在2022年5月至2022年9月这5个月的销售量（单位：辆）的数据如下表： 月份 2022年5月 2022年6月 2022年7月 2022年8月 2022年9月 月份代码： 1 2 3 4 5 销售量： 45 56 64 68 72 （1）依据表中的统计数据，请判断月份代码与该品牌的新能源汽车宝鸡地区销售量（单位：辆）是否具有较高的线性相关程度?（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确度为0.01.） （2）求销售量与月份代码之间的线性回归方程，并预测2022年11月份宝鸡地区的销售量（单位：辆）.（结果保留整数） 参考数据：，，， 参考公式：相关系数， 线性回归方程中，，，其中，为样本平均值. 随堂练习：我国北方广大农村地区、一些城镇以及部分大中城市的周边区域，还在大量采用分散燃煤和散烧煤取暖，既影响了居民基本生活的改善，也加重了北方地区冬季的雾霾天气．推进北方地区冬季清洁取暖，是重大民生工程、民心工程，关系北方地区广大群众温暖过冬，关系雾霾天能不能减少，是能源生产和消费革命、农村生活方式革命的重要内容．2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加．图1所示的条形图反映了某省2018年1~7月份煤改气、煤改电的用户数量． （1）在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图，并用散点图和相关系数说明y与t之间具有线性相关性； （2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量． 参考数据：，，． 典例3、甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）求甲获胜的概率； （2）求投篮结束时，乙只投了1个球的概率. 随堂练习：某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子，广场舞，投篮，射门等体育活动.在一次“定点投球”的游戏中，规则如下：每小组两位选手，每位选手投球两次，投中一次得2分，否则得0分，得分累加，得分之和不低于6分则称两人为“黄金搭档”.甲，乙两人一组，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，假设甲，乙两人是否投中互不影响. （1）若，，求甲，乙两人累计得分之和为4的概率； （2）若，求甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值. 典例4、2022年11月21日.第22届世界杯在卡塔尔开幕.小组赛阶段，已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队，这四支球队之间进行单循环比赛（每支球队均与另外三支球队进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者积0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.若每场比赛中，一支球队胜对手或负对手的概率均为，出现平局的概率为. （1）求甲队在参加两场比赛后积分的分布列与数学期望； （2）小组赛结束后，求四支球队积分均相同的概率. 随堂练习：8月5日晚，2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”开幕式在洞庭南路历史文化街区工业遗址公园（岳阳港工业遗址公园）举行，举办2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出的大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳阳”文旅IP，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某小吃店的生意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统计，结果如下： 取到食品所需的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05 假设每个顾客取到食品所需的时间互相独立，且都是整数分钟.从排队的第一个顾客等待取食品开始计时. （1）试估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率； （2）若随机变量X表示“至第2分钟末，已取到食品的顾客人数”，求X的分布列及数学期望. 典例5、为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人. （1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关； 平均车数超过 人数 平均车速不超过 人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 （2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望 参考公式：，其中. 参考数据： 0.150 0．100 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 随堂练习：某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下： 改造前：； 改造后：. （1）完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？ 技术改造 设备连续正常运行天数 合计 超过 不超过 改造前 改造后 合计 （2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为万元/次，保障维护费第一次为万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元.现制定生产设备一个生产周期（以天计）内的维护方案：，.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值. （其中） 2025高考--概率（一轮复习）课时十一答案 典例1、答案： （1） （2）分布列见解析， 解：（1）由题意，甲乙丙在3分钟以上且不超过6分钟还车的概率分别为，，， 设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件， 则； （2）随机变量所有可能取值有2，2.5，3，3.5，4， 则， ， ， ， ， 所以，甲乙丙三人所付费用之和的分布列为 2 2.5 3 3.5 4 ∴ 随堂练习：答案： （1）； （2）分布列见解析， 解：（1）设Y表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下: 1 2 3 4 5 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05 A表示事件“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”， 则事件A对应三种情形： ①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为3分钟； ②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分钟； ③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟. 所以 . （2）X所有可能的取值为0，1，2. 对应第一个人取到食品所需的时间超过2分钟， 所以; 对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟， 所以； 对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟， 所以； 所以X的分布列为： 0 1 2 0.5 0.4975 0.0025 所以 典例2、答案： （1）具有较高的线性相关程度 （2），87辆 解：（1）由表中数据可得 ， 所以 ,又，， 所以. 所以月份代码与销售量（单位: 辆）具有较高的线性相关程度， 可用线性回归模型拟合销售量与月份代码之间的关系； （2）由表中数据可得， 则， 所以，令，可得(辆)， 故可预测2022年10月该品牌的新能源汽车该区域的销售量为辆. 随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2），2.02万户 解：（1）作出散点图如图所示． 由条形图数据和参考数据得， ，，， ， 所以． （2）y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关性相当高， 从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系． 由，又由（1）得， ， 所以y关于t的回归方程为． 将代入回归方程得． 所以预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户． 典例3、答案： （1） （2） 解：（1）设，分别表示甲､乙在第次投篮时投中， 则，，， “甲获胜”为事件， 则； （2）记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件. 则. 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）由题意得甲，乙两人累计得分之和为4的概率为： （2）他们在一轮游戏中获得“黄金搭档”的概率为： ， 因为，所以， 令，由，及，得， ， 当时，P的最大值为. 故甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值. 典例4、答案： （1）分布列见解析， （2） 解：（1）甲队参加两场比赛后积分的取值为0，1，2，3，4，6， 则， ， ， ， ， ， 所以随机变量X的分布列为： 0 1 2 3 4 6 随机变量的数学期望： . （2）由于小组赛共打6场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分； 6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7种情况，要使四支球队积分相同，则总积分被4整除，所以每只球队总积分为3分或者4分. 若每支球队得3分： 则6场比赛都出现平局，其概率为：； 若每支球队得4分：则每支球队3场比赛结果均为1胜1平1负， 其概率为：﹒ 所以四支球队积分相同的概率为. 随堂练习：答案： （1）； （2）分布列见解析， 解：（1）设Y表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下: 1 2 3 4 5 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05 A表示事件“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”， 则事件A对应三种情形： ①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为3分钟； ②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分钟； ③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟. 所以 . （2）X所有可能的取值为0，1，2. 对应第一个人取到食品所需的时间超过2分钟， 所以; 对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟， 所以； 对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟， 所以； 所以X的分布列为： 0 1 2 0.5 0.4975 0.0025 所以 典例5、答案：（1）有的把握 （2） 解：（1） 平均车数超过 人数 平均车速不超过 人数 合计 男性驾驶员人数 20 10 30 女性驾驶员人数 5 15 20 合计 25 25 50 ，所以有的把握认为平均车速超过与性别有关. （2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为. 的可能取值为，且， ， ， 分布列为： 0 1 2 3 . 或. 随堂练习：答案：（1）列联表答案见解析，技术改造前后的连续正常运行时间有差异 （2）分布列答案见解析，均值为万元 解：（1）列联表为： 技术改造 设备连续正常运行天数 合计 超过 不超过 改造前 改造后 合计 零假设：技术改造前后的连续正常运行时间无差异. ， 依据小概率值的独立性检验分析判断不成立， 即技术改造前后的连续正常运行时间有差异； （2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天， 一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为， 设一个生产周期内需保障维护的次数为，则， 一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元， 一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元， 设一个生产周期内的生产维护费为，则的所有可能取值为， 所以，的分布列为 一个生产周期内生产维护费的均值为万元. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$