27.2.1.4 两角分别相等的两个三角形相似　课件　2023—2024学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相 似 27.2.1 相似三角形的判定 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 长岐中学 詹春燕 学习目标 1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并 能进行相关计算. (重点、难点) 3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行 相关计算. 长岐中学 詹春燕 学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？ 导入新课 情境引入 ？ ？ ？ 长岐中学 詹春燕 讲授新课（第35~36页） 问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？ C A B A' B' C' 两角分别相等的两个三角形相似 一 探究 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题： 这两个三角形是相似的 长岐中学 詹春燕 55 证明：在 △ABC 的边 AB上， 截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E， 则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B. ∵∠B=∠B′， ∴∠ADE=∠B′. 又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′， ∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△A′B′C′ ∽△ABC. C A A' B B' C' D E 问题二 试证明△A′B′C′∽△ABC. 长岐中学 詹春燕 两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： C A B A' B' C' 归纳： 由此得到 长岐中学 詹春燕 证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ， ∠B=80 ° ， ∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△DEF中，∠E=80 °， ∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F. 　 ∴ △ABC ∽△DEF. 例1 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF. A C B F E D 典例精析 长岐中学 詹春燕 1. 如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=60°， ∠B=40°，∠A' = 60°，当∠C'= 时， △ABC ∽△A'B'C'. 练一练 C A B B' C' A' 80° 2. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E， 则图中相似三角形共有( ) A. 1对 　B. 2对 C. 3对 　D. 4对 C ∽ΔDCE ∽ΔDCE ∽ΔACF 长岐中学 詹春燕 4、如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， 求证：△ADE∽△EFC. A E F B C D 证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. 3. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E， AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( ) A. B. C. D. C A B D E A 长岐中学 詹春燕 ∴ 解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° . 又∠C=90 °，∠A=∠A， ∴ △AED ∽△ABC. 判定两个直角三角形相似 二 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长. D A B C E ∴ 长岐中学 詹春燕 1、一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 归纳： 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 思考： 由此得到 长岐中学 詹春燕 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°， ∠C′=90°， . 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. C A A' B B' C' 要证明两个三角形相似，即是需要 证明什么呢？ 目标： 长岐中学 詹春燕 证明：设____________= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′B′. 由 ，得 ∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿. ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′. 勾股定理 ∴ C A A' B B' C' 长岐中学 詹春燕 2、另一个判定直角三角形相似的方法： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 归纳： 由此得到 长岐中学 詹春燕 1、在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°， 依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A=35°，∠B′=55°： ； (2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ； (3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： . 练一练 相似 相似 相似 C A A' B B' C' 长岐中学 詹春燕 A B D C 2. 如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝∠ (或 ∠ =∠ )时， △ACD∽△ABC； ACD ACB B ADB 3. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC 于D. 若 AB=6，AD=2，则 AC= ，BD= ， BC= . D B C A 18 △ABD∽△ACB △BCD∽△ACB 即△ABD∽△ACB∽△BCD 长岐中学 詹春燕 证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°， ∠AFE =∠BFD (对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴ 4. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证： D C A B E F 长岐中学 詹春燕 两角分别相等的两个三角形相似 利用两角判定三角形相似 课堂小结 直角三角形相似的判定 长岐中学 詹春燕 课 后作业 长岐中学 詹春燕 能力提升 1、如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似． C A B D 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： (1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3； ∴ 2 C A B D (2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝ AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ． ∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似． 3 或 长岐中学 詹春燕 证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC， ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE. 2. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE． A B C D E 1 3 2 O 长岐中学 詹春燕 $$