专题三勾股定理与全等构造讲义2023-2024学年北师大版八年级数学下册

专题三 勾股定理与全等构造 【知识点】 全等三角形的对应边、对应角相等. 因此可利用构造全等三角形转换边或角的关系，将相关的线段或角转换到直角三角形中，再结合勾股定理解决问题. 1. 倍长中线构造全等三角形，作垂线构造直角三角形，全等结合勾股求线段长； 2. 利用角平分线的条件构造翻折型全等，结合角平分线的性质及勾股定理进行证明与计算； 3. 线段间 或 的关系联想90°或 120°的等腰三角形，底是腰的 或 倍. 其实质是构造共顶点的双等腰直角三角形. 题型1 中线倍长法 【例1】如图, 在△ABC中, AB=5, AC=13, BC边上的中线AD=6. (1) 求BC的长; (2) 过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点 E, 求BE的长. 【分析】(1) 延长AD到F, 使DF=AD=6, 连接CF, 可证△ABD≌△FCD, 利用勾股定理的逆定理可求∠AFC=90°，再利用勾股定理，即可求出DC的长，进而求出答案. (2) 由(1) 知. 求出△ABC的面积，进而求出 BE的长. 举一反三。 1. 如图, 点D 为等边 的边BC的中点, 点E, F分别在边AB, AC上, 且. 若. 求EF的长. 数学 八年级 下册 题型2 角平分线翻折法 【例2】如图所示, 在四边形ABCD中, AC平分∠BAD, ∠ADC+∠ABC=180°. (1) 求证: CD=CB; (2) 若BC=10, AB=21, AD=9, 求AC的长. 【分析】(1) 作CE⊥AB于E, CF⊥AD于F, 利用角平分线的性质得出CE=CF, 证得△CBE≌△CDF,得出结论： (2) 由HL证明Rt△ACE≌Rt△ACF, 得出AE=AF, 由全等三角形的性质得出BE=DF, 求得AE=和BE, 在Rt△BCE中, 由勾股定理求出CE的长, 在Rt△ACE中, 由勾股定理求出AC的长. 举一反三。 2. 如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD⊥AB于点D, AE平分∠BAC交 BC于点 F, 交CD于点E,过点 E作 EH∥AB 交BC 于点 H. (1) 求证: CF=BH; (2) 若AC=6, AB=10, 求FH的长. 30 题型3 型问题 【例3】如图，在 中， 于点E，过BC上一点F作. 于点 H,交AE 于点 K, 于点 G, 连接EG, 若. 求证： 【分析】过点E作 交 GF的延长线于点 D，连接BK，通过证明 可得AG 即可得结论. 举一反三。 3. 如图，在等腰 中， P为 外的一点. 若A，P两点在BC的同侧，且 求证： 题型4 型问题 【例4】如图, 在四边形ABDM中, AB=BD, AB⊥BD, ∠AMD=60°, 以AB为边作等边△ABC.BE平分∠ABD, 连接EM. 求证: (1) ∠BEC=60°; (2) MA+MD= ME. 【分析】先由等边三角形的性质得出AB=BC, ∠ABC=60°, 则△DBC是顶角为 150°的等腰三角形,根据等边对等角的性质及三角形内角和定理求出∠BDC=15°，即可求出∠BEC； (2)连接AE, 延长MA至F, 使FA=DM, 连接EF. 易证△BDE≌△BAE, 得出 DE=AE, 再利用SAS证明△EDM≌△EAF,得出EM=EF,∠DEM=∠AEF,则∠DEA=∠MEF=120°, 在△MEF中, 求出∠F=∠EMF=30°. 过点E作EG⊥MF于点G, 在 Rt△GEM中, 易得 进而得到结论. 举一反三。 4. 如图, 在四边形ABCD中, ∠ADC=60°, ∠ABC=120°, 且AB=CB, 求证: 32 学科网（北京）股份有限公司 $$