微专题34 对数运算8种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题34 对数运算8种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 对数的概念及辨析 题型2 指数式与对数式的互化 题型3 利用对数性质解对数方程 题型4 利用对数运算性质化简求值 题型5 用已知对数表示其他对数 题型6 换底公式的应用 题型7 对数的综合应用 题型8 对数运算的实际应用 知识点1　对数的有关概念 1.一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2.常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 注：log10N可简记为lg N， logeN简记为ln N. 知识点2　对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)． 知识点3　对数的性质 （1）当，且时，； （2）负数和0没有对数，即； （3）特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）； （4）对数恒等式：； （5）． 知识点4　对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点五　换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 注：可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③. 知识点六 对数运算常用方法技巧 1、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式． 2、对数运算中的几个运算技巧 （1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； （2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； （3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解． 题型1 对数的概念及辨析 【例1】【多选】下列选项中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫做自然对数 D．以e为底的对数叫做常用对数 【变式1】使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 【变式2】在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若则； B．若，则； C．，则； D．若，则． 题型2 指数式与对数式的互化 【例2】将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】将化为对数式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型3 利用对数性质解对数方程 【例3】方程的根为（    ） A． B．3 C．或 D．或 【变式1】求下列各式中的的值： (1)； (2). 【变式2】已知，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【变式3】方程的实数解为 . 【变式4】已知，是方程的两个根，试给出关于，的一个结论 ． 题型4 利用对数运算性质化简求值 【例4】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式1】下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】化简 . 【变式3】计算： (1)+； (2). 【变式4】计算： (1)； (2)． 题型5 用已知对数表示其他对数 【例5】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，． (1)求，； (2)若，求x的值． 【变式3】已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知，则（    ） A． B． C． D． 题型6 换底公式的应用 【例6】若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【变式1】 ． 【变式2】设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】求证：． 【变式4】设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 题型7 对数的综合应用 【例7】计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算下列各式的值： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型8 对数运算的实际应用 【例8】今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（    ）（参考数据:） A．年 B．年 C．年 D．年 【变式1】二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（    ）（参考数据：） A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年 【变式2】【多选】声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），下列选项中正确的是（    ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：） C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D．声强级增加，则声强变为原来的10倍 $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题34 对数运算8种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 对数的概念及辨析 题型2 指数式与对数式的互化 题型3 利用对数性质解对数方程 题型4 利用对数运算性质化简求值 题型5 用已知对数表示其他对数 题型6 换底公式的应用 题型7 对数的综合应用 题型8 对数运算的实际应用 知识点1　对数的有关概念 1.一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2.常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 注：log10N可简记为lg N， logeN简记为ln N. 知识点2　对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)． 知识点3　对数的性质 （1）当，且时，； （2）负数和0没有对数，即； （3）特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）； （4）对数恒等式：； （5）． 知识点4　对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点五　换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 注：可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③. 知识点六 对数运算常用方法技巧 1、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式． 2、对数运算中的几个运算技巧 （1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； （2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； （3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解． 题型1 对数的概念及辨析 【例1】【多选】下列选项中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫做自然对数 D．以e为底的对数叫做常用对数 【答案】BCD 【解析】对于A：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A正确； 对于B：只有符合，且，才有，故B错误； 对于C：以10为底的对数叫做常用对数，故C错误； 对于D：以e为底的对数叫做自然对数，故D错误.故选：BCD. 【变式1】使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 【答案】C 【解析】由式子有意义，则满足，解得且.故选：C. 【变式2】在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若则； B．若，则； C．，则； D．若，则． 【答案】B 【解析】对A，若，则均无意义，故A错； 对B，若，说明，则B项正确； 对C，若，则，不一定能推出，故C错； 对D，若，则无意义，故D错.故选：B 题型2 指数式与对数式的互化 【例2】将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数式的含义，将对数式转化为指数式. 【详解】把对数式化成指数式，为． 故选：A． 【变式1】将化为对数式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的定义判断． 【详解】化为对数式为， 故选：B． 【变式2】下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案. 【详解】根据指数式与对数式互化可知： 对于选项A：等价于，故A正确； 对于选项B：等价于，故B正确； 对于选项C：等价于，故C错误； 对于选项D：等价于，故D正确； 故选：C. 题型3 利用对数性质解对数方程 【例3】方程的根为（    ） A． B．3 C．或 D．或 【答案】B 【解析】由，得， 即，解得， 所以方程的根为.故选：B 【变式1】求下列各式中的的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据对数的概念即可求解； (2)根据对数的概念将对数式改为指数式即可求解. (1) 由得， ，解得x＝－2； (2) 由可得， 故， ∴x＝＝64. 【变式2】已知，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【解析】由得，即，又且，所以，故选：C． 【变式3】方程的实数解为 . 【答案】 【解析】由，得， 所以，即， 即，所以或（舍去），所以. 故答案为：. 【变式4】已知，是方程的两个根，试给出关于，的一个结论 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】根据换底公式有，即， 令，则，解得或. 所以或，解得或. 故答案为：（答案不唯一） 题型4 利用对数运算性质化简求值 【例4】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2)1 (3)1 【分析】根据对数的运算计算即可. 【详解】（1）． （2）． （3）． 【变式1】下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，由，所以C错误； 对于D中，由，所以D错误．故选：A 【变式2】化简 . 【答案】 【解析】原式 . 故答案为：. 【变式3】计算： (1)+； (2). 【答案】(1)0；(2)6 【解析】（1）原式= （2）原式=3+log23⋅log32+lg100=3+1+2=6． 【变式4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1） ； （2） . 题型5 用已知对数表示其他对数 【例5】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，，则，故选：C． 【变式1】若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对数运算性质可得，故选：D. 【变式2】已知，． (1)求，； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2)． 【分析】根据对数的加法、减法运算求解（1）（2）即可； 【详解】（1）, ； ． （2）， 所以． 【变式3】已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， .故选：C. 【变式4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选:B. 题型6 换底公式的应用 【例6】若，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由指数化为对数，再由对数的运算可得答案. 【详解】∵，∴， ∴，， ∴. 故选：B. 【变式1】 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用换底公式及对数运算性质计算即得. 【详解】 . 故答案为： 【变式2】设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 【变式3】求证：． 【答案】证明见解析 【解析】左边， 右边， 所以左边=右边，得证. 【变式4】设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1），所以等式成立； （2），所以等式成立. 题型7 对数的综合应用 【例7】计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】根据对数的运算计算即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【变式1】计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)2(2)13 【分析】（1）根据对数的运算性质结合对数的定义运算求解； （2）方法一：以2和5为底数，利用换底公式结合对数运算法则计算得到答案；方法二：以10为底数，利用换底公式结合对数运算法则计算得到答案. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式 ； 方法二：原式 ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2；(2)；(3)；(4)-4. 【分析】利用对数的运算法则，进行同底的对数运算即可. 【详解】（1）原式 ． （2）（方法一） 原式 ． （方法二） 原式． （3）分子； 分母． 原式． （4）原式． 题型8 对数运算的实际应用 【例8】今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（    ）（参考数据:） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】B 【分析】根据已知条件得,解方程组求出的值,当时,在等式两边取对数即可求解. 【详解】由题意得:,解得, 所以, 当时,得,即, 两边取对数得, 所以, 即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要年. 故选:B. 【变式1】二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（    ）（参考数据：） A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年 【答案】A 【分析】估算出可用的年限，然后取常用对数计算即可. 【详解】由题意大约可以用万年， 则 ， 所以，即大约可以用万年. 故选：A 【变式2】【多选】声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），下列选项中正确的是（    ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：） C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D．声强级增加，则声强变为原来的10倍 【答案】BD 【分析】根据题中所给声强级与声强之间的关系式，结合对数的运算以及函数的性质逐一分析四个选项，即可得到答案. 【详解】由题意，，则， 所以， 当时，，故A错误； 当时，即，则，当时，即，则， 故歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：），故B正确； 将声强为对应的声强级作商为，故C错误； 将，对应声强作商为，故D正确. 故选：BD. $$